Chuyên đề: Số phức potx

ÑAÏI SOÁ 61 Số Phức định nghĩa số phức : Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z -Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). -Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). Định nghĩa số i : Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho 1 i 2   Dạng đại số của số phức Hai số phức bằng nhau: Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. Ví dụ : Cho i3az;i35z 21  tìm tất cả các số thực m để 21 zz  Giải : 5a 33 5a i3ai35zz 21        Phép cộng và phép trừ của hai số phức : Cho hai số phức . ibaz 111  và ibaz 222  khi đó Phép cộng .     ibbaaibaiba 21212211  Phép trừ .       ibbaaibaiba 21212211  Tóm lại : Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. Ví dụ : Tìm phần thực và phần ảo của số phức .     i56i93z  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ÑAÏI SOÁ 62 Giải :     14zIm;12zRe i1412i56i93z        Phép nhân Cho hai số phức . ibaz 111  và ibaz 222  khi đó Phép nhân .         iabbabbaaiba.iba 212121212211  Tóm lại : Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý 1 i 2   Ví dụ : thực hiện phép tính đã cho và biểu diễn kết quả dưới dạng đại số     i5i2i21z 2  Giải :            i211 i8i23i43i21 ii44i21i2i21z 2 2 2    Định nghĩa số phức liên hợp: Số phức biaz   được gọi là số phức liên hợp của số phức biaz   . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của số phức .     i31i52z  Giải :     i17 i15i2i31i52z 2   vậy số phức liên hợp là i17z   Tính chất của số phức liên hợp: Cho z ,w là hai số phức w , z là hai số phức liên hợp z z  là một số thực z . z là một số thực z z  khi z là một số thực Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ÑAÏI SOÁ 63   n n zz  với n là số tự nhiên Phép chia hai số phức cho z = a + bi , w = c + di (w  0) ta có .              222222 22 2 dc iadbc dc bdac dc iadbcbdac dc bdibciadiac dicdic dicbia dic bia w z                   ( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu ) Dạng lượng giác Imz z z w.zw.z wzwz    Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ÑAÏI SOÁ 64 b M(a;b)  a + bi r Trục thực 0  Rez a Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau:   22 barzMod  ký hiệu z vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ . Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau . Giải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 534 22  Định nghĩa argument của số phức :             2222 22 ba bi ba a babiaz Trong đó . i34z   Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ÑAÏI SOÁ 65   isincosrz ba b sin ba a cos bar 22 22 22                  là dạng lượng giác Mọi nghiệm của hệ phương trình            22 22 ba b sin ba a cos gọi là argument của số phức biaz   0  . Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần  2 và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính OM của điểm M Góc  được giới hạn trong khoảng     20 hoặc       Ví dụ: Tìm argument của số phức i31z  Giải : 3b,1a  ta tìm góc  3 2 3 r b sin 2 1 r a cos            vậy Argz = 3  Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ÑAÏI SOÁ 66       21 21 21 rr 2k zz Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại.       i.sincosr.rz.z 21212121  Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức :     i31i1z  Giải :                          . 3 sini 3 cos2i. 4 sin 4 cos2 i31i1z 12 isin 12 cos22 34 sini 34 cos22                         Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. 2 1 2 1 r r z z        i.sincos 2121  Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : i3 i122 z    Giải : Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ÑAÏI SOÁ 67                                                  6 7 sini 6 7 cos2 6 5 sini 6 5 cos 3 sini 3 cos2 i 2 1 2 3 2 i 2 3 2 1 4 i3 i322 i3 i122 z Dạng mũ số phức Định lý Euler (1707-1783):   sinicosez i Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau. i3z  Giải : 6 5 .i e2 6 5 sini 6 5 cos2 i 2 1 2 3 2i3z                      Ví dụ: Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ÑAÏI SOÁ 68   i2 ez Giải :      sinicose eeez 2 i2i2 Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. Dạng lũy thừa        ibiab3bia3abiaz abi2babiabiaz.zz bi a z 332223 3 3 222       BiA baCbaC baCbaC baCbiaz n01 n 1n10 n 11n1 n 0n0 n kkn n 0k k n n n        Ví dụ: tính 5 z của i 2 z   Giải : i4138 i10i4080i8032 i2Ci2Ci2Ci2Ci2Ci2C i2Ci2z 1 501 5 414 5 323 5 232 5 141 5 051 5 kk5 5 0k k 5        Lũy thừa bậc n của số phức i: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ÑAÏI SOÁ 69 1 i . i i ii.ii 1i ii 224 23 2     1 i . i i ii.ii 1i.ii ii.ii 448 347 246 45      vậy ta có qui luật sau đây . Giả sử n là số tự nhiên, khi đó rn i i  , với r là phần dư của n chia cho 4. Ví dụ: t ính z c ủa 403 i z  Giải : Ta . 403 = 100.4 +3 1 i i i z 334.100403       về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức De Moivre . De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta        nsinincosrsinicosr n n Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:   25 25 i1z  Giải :                  4 sini 4 cos2 i 2 1 2 1 2i1z vậy .               4 25 sini 4 25 cos2i1z 25 25 25 =          4 sini 4 cos24096 Định nghĩa căn bậc n của số phức: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ÑAÏI SOÁ 70 Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w n = z, trong đó n là số tự nhiên       sinicosbiaz              n 2k sini n 2k cosrz sinicosrz n k n n với   1n, 3,2,1k  Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. Số nghiệm của một đa thức: Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: 1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận i3z 1  và i5z 2  Giải : Vì i3z 1  và i5z 2  là hai nghiệm nên i3z 1  và i5z 2  cũng hai nghiệm vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt Bài tập 1) tính trong C a) 9 + 5i +(7-2i) b) (2+6i)(5 )i8  c )   2 i51 i 2 i21 )d   Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. [...]... 2 2) giải phương trình trong C : a) x 2  2 x  2  0 b) x 2  5x  7  0 Giải : a) x 2  2 x  2  0   1 x1, 2  1   1 phương trình có hai nghiệm phức :  x1  1  i , x 2  1  i b) x  5x  7  0   3 5 3 phương trình có hai nghiệm phức x 1, 2  2 5 3i 5 3i x1   , x2   2 2 2 2 3) tìm nghiệm thực của phương trình : 2 71 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com... 3 phương trình có hai nghiệm 1   3 1  i 3 x 1, 2   2 2 1 3 1 3 x1    i , x2    i 2 2 2 2 c)z 2  2z  1  i  0   i phương trình có 2 nghiệm z1, 2  1  i 9) mô tả hình học các tập số phức thỏa mãn các điều kiện sau : f )1  z  2  2 a ) Re z  0 b) 0  Im z  1 g ) z  1  Re z c) Im z  2 k) z 1  z  2 d) z  1 m)0  arg z  e) z  1  2 n)   arg z   4  4 Giải : a ) Re z... http://www.foxitsoftware.com For evaluation on ÑAÏI SOÁ       arg z    4 4 4 3 5   arg z  4 4 Là hìmh quạt giới hạn bởi các tia l1  x , y y  x, x  0 và l2  x, y y   x , x  0 10) Tìm dạng mũ của số phức sau: z  3i Giải : 5 5   z   3  i  2 cos  i sin  6 6   n )   arg z  i 5 6  2e 11) chứng minh công thức Ơle (Euler) : e i  e i cos   2 Giải :  i e  cos   i sin  Ta...    5  2  i 5  2      x 1, 2  2 b) x 2  1  2i x  i  1  0 2  x  1  2i   4i  1 2  4i 2  5  1 Vậy phương trình có nghiệm x 1  1  i , x 2  i 5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1  3i và z 2  2  i làm nghiệm Giải : Đa thức cần tìm là f (z)  z  z1 z  z1 z  z 2 z  z 2   z  3i z  3i z  (2  i)z  (2  i)     z 2  9 z 2  4z  5  6)tìm... P(z )  z 4  4z 3  14z 2  36z  45 biết z  2  i là một nghiệm 73 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on ÑAÏI SOÁ Giải : Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm P(z) có thể phân tích thành z  (2z  i z  (2  i)  z 2  4z  5 P(z) có thể tách thành P( z )  z 2  4 z  5 z 2  9 Mà z... 1 i    20   6 d)1  i  1  i 3 15)chứng minh các đẳng thức : n n  n  n  i sin a ) 1  i   2 2  cos  4  4  8 n n n    i sin b) 3  i  2 n  cos  6  6  16) tìm căn bậc 3 của số : a  2  2i 3 17) tìm nghiệm của đa thức z 6  2z 3  1 : 18) giải phương trình trong C :   a ) z 2  2z  5  0 c) z 2  2i  3z  5  i  0 4 e)z  1  16 b)4 z 2  2z  1  0 d) z 3  1  .  i211 i8i23i43i21 ii44i21i2i21z 2 2 2    Định nghĩa số phức liên hợp: Số phức biaz   được gọi là số phức liên hợp của số phức biaz   . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của số phức .     i31i52z  Giải. Số Phức định nghĩa số phức : Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức. vậy số phức liên hợp là i17z   Tính chất của số phức liên hợp: Cho z ,w là hai số phức w , z là hai số phức liên hợp z z  là một số thực z . z là một số thực z z  khi z là một số