Chuyên đề số phức

Lê Anh Chuyên đề số phức I. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa số phức • Số phức z là một biểu thức có dạng z=a+bi , trong đó a và b là các số thực, i là một số thỏa mãn 2 1i = − . o a là phần thực. o b là phần ảo. o i là đơn vị ảo. • Tập hợp các số phức kí hiệu là £ . • Đặt biệt: o Số phức z=a+0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết z=a. o Số phức z=0+bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo và viết z=bi. o Số phức z=0+0i vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Số phức bằng nhau. • Hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. o a=a' a+bi=a'+b'i b=b'  ⇔   3. Biểu diễn hình học của số phức. • Số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy. 4. Mô đun số phức. • Môđun số phức z=a+bi là số thực không âm kí hiệu 2 2 z = a +b . 5. Số phức liên hợp. • Số phức liên hợp của số phức z=a+bi là số phức z=a-bi . 6. Cộng, trừ, nhân và chia số phức. • Cho hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i . o Cộng hai số phức: ( ) ( ) ( ) ( ) a+bi a'+b'i ' 'a a b b i+ = + + + . o Trừ hai số phức: ( ) ( ) ( ) ( ) a+bi a'+b'i ' 'a a b b i− = − + − . o Nhân hai số phức: ( ) ( ) ( ) ( ) a+bi a'+b'i aa'-bb' ' 'ab a b i= + + . o Chia hai số phức: 2 2 2 2 a+bi aa'-bb' ' ' a'+b'i ' ' ' ' ab a b i a b a b + = + + + . 7. Căn bậc hai của số thực âm. • Căn bậc hai của số thực a âm là i a± . 8. Phương trình bậc hai với hệ số thực. • Cho phương trình bậc hai 2 ax x+c=0b+ với a,b,c , a 0∈ ≠¡ . • Khi ∆ <0 phương trình có hai nghiệm phức: 1,2 2 b i x a − ± ∆ = . II. Dạng lượng giác của số phức(dành cho chương trình nâng cao) 1 O M(a;b) y x a b . Lê Anh ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0) * 2 2 r a b= + là môđun của z. * ϕ là một acgumen của z thỏa cos sin a r b r ϕ ϕ  =     =   1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + , ( ) ' ' cos ' sin 'z r i ϕ ϕ = + thì: * ( ) ( ) . ' . ' cos ' sin 'z z r r i ϕ ϕ ϕ ϕ   = + + +   * ( ) ( ) cos ' sin ' ' ' z r i z r ϕ ϕ ϕ ϕ   = − + −   2. Công thức Moivre: *n N ∈ thì ( ) ( ) cos sin cos sin n n r i r n i n ϕ ϕ ϕ ϕ   + = +   3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Căn bậc hai của số phức ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + (r > 0) là cos sin 2 2 r i ϕ ϕ   +  ÷   và cos sin 2 2 r i ϕ ϕ   − +  ÷   III. Các dạng bài tập. Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo số phức 1. z= ( ) 1 7 5i + − 2. 2 3 4 z=1+2i 5i 2 9i i − + − . Bài 2: Cho hai số phức 1 2 2 5 , z =3-2iz i= + .Xác định phần thực và phần ảo số phức 2 1 2 2 3z z− Bài 3: Cho hai số phức 1 2 2 3 , z =-3-4iz i= − + .Xác định môđun số phức 2 2 2 1 2 4 2z z z− + Bài 4: Xác định phần ảo và tính môđun số phức z, biết: 1. ( ) ( ) 2 2 z= 1-2i 1 3 2 2i i i + − + 2. ( ) ( ) ( ) 2 1 3 1 1 2z i i i i = − + − − 3. 4 2 1 i z i + = + 4. ( ) ( ) 2 2 1 2z i i = + − Bài 5 Cho số phức ( ) ( ) 2 1 1 1z mi mi = + + + + .Xác định số thực m để z là số thuần ảo. Bài 6: Xác định phần thực và phần ảo và tính môđun số phức liên hợp của các số phức z: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 1. 1 - 1-2i 2. 3 2 4 2 5 2 3 3. z = 2 3 2 2 4 4. z =3i-4i -2i 1-2i 5. z= 1- 3 1 3 1 2 z i z i i i i i i i i i = − = + − − + − − − + + − Bài 9: Xác định môđun số phức z, biết: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1. 2 2 + 2+ 2 2. 4 3 + 4+ 3 2 3z i i z i i i i = − = − + − Bài 10: Xác định phần thực, phần ảo các số phức z và biểu diễn các số phức đó trên mp Oxy, biết: ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1. z=2-3i 2. z=-3+4i-4i 2 2-3i 3. z= 1-2i 3 2 4. z= 1+i i i + − + Bài 11: Cho hai số phức 2 3 , z'=3-5iz i= − + . 1. Xác định phần thực và phần ảo số phức 2z+3z’-2i+3. 2. Xác định mô đun số phức 3z-5z’-3 3. Biểu diển số phức z+z’ trên mặt phẳng Oxy. Bài 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1. 1-i 2 4 5 2. 1-2i 2 3 3. 1-z 2 1 2 2 3z i i z i i i i + − = − = − = − + − Bài 13: Tìm phần thực và phần ảo số phức z, biết: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1. z- 2+3i 1 9 2. 1-2i 2 3 10 3. 2iz+ 2-3i 1 1 3 4. 3z- 1-i 1 5. 2iz- 1-i 1 2 2 3 z i z z i i z i i iz z i i = − + = − = − − − = + − = − + 2 Lê Anh Bài 14: Xác định phần ảo z và tính mô đun số phức z , biết: ( ) ( ) z- 1 9 2+3ii z− = Bài 15: Giải các phương trình sau 2 x 2x+5=0− trên tập số phức. Bài 16: Giải các phương trình sau 2 6 +10=0z z− trên tập số phức. Bài 17: Gọi 1 2 z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 +10=0z z− . Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 2 A=2 3z z+ . Bài 18: Giải các phương trình sau 4 2 3 4=0z z+ − trên tập số phức. Bài 19: Giải các phương trình sau 4 2 10 +9=0x x+ trên tập số phức. Bài 20: Tính mô đun số phức z , biết: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 1 2 i i z i − + + = − Bài 21: Cho số phức 2 3z i= − . Tính mô đun số phức 3 z z− . Bài 22: Cho số phức 2 2z i= − . Xác định phần ảo số ( ) 2 z z− . Bài 23: Cho số phức 1z i= + . Tính mô đun số phức 5 z . Bài 24: Cho số phức 1z i= + . Tính phần ảo và tính mô đun số phức 10 z . Bài 25: Với i là đơn vị ảo 2 1i = − . Chứng minh rằng ( ) 2 2 3 4 5 1 2i i i i i i + + + + + = Bài 26: Với i là đơn vị ảo 2 1i = − . Chứng minh rằng ( ) 2 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2i i i i i i i+ + + + + = . Bài 27: Với i là đơn vị ảo 2 1i = − . Chứng minh rằng 2020 2 3 4 5 4 5 1 1 i i i i i i i + + + + +   =  ÷ −   Bài 28: Với i là đơn vị ảo 2 1i = − . Chứng minh rằng ( ) 40 1 1048576i + = . Bài 29: Với i là đơn vị ảo 2 1i = − . Chứng minh rằng ( ) 2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2i i i i i i i i i i+ + + + + + + + + = . Bài 30: Xác định mô đun số phức z, biết: ( ) ( ) 2 3 5 3 2z i i= + − − . Bài 31: Xác định mô đun số phức ( ) 20 1z i= + . Bài 32: Xác định phần ảo số phức ( ) 30 1z i= + . Bài 33: Biểu diễn số phức ( ) 6 1z i= + trên mặt phẳng Oxy. Bài 34: Xác định phần ảo số phức ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 1 1z i i i= + + + + + . Bài 35: Xác định mô đun số phức ( ) ( ) ( ) 3 4 2 1 1 1 1 i i z i + + + = + + . Bài 36: Xác định mô đun số phức z, biết ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 i z i − + = − + . Bài 37: Xác định mô đun số phức z, biết 10 2 3 4 5 2 3 1 i i i i i z i i + + + + +   =  ÷ −   Bài 38: Xác định mô đun số phức z, biết 10 2 2 3 1 3 4 i i z i i i + +   = + −  ÷ −   Bài 39: Tính mô đun số phức z, biết: ( ) 4 1 6 8z i i= + − − . 3 Lê Anh Bài 40: Tính mô đun số phức z, biết: ( ) 2 1 4 3z i i i= − + − − . Bài 41: Xác định số phức liên hợp của số phức ( ) ( ) 2 3 4 4 3 1 2z i i i i= − − − − − . Bài 42: Xác định phần ảo số phức 3 4 8 6 1 4 3 i i z i − + − = − − . Bài 43: Xác định phần ảo số phức 2 3 4 3 4 3 1 2 2 i i z i i − − − = − − . Bài 44: Tính mô đun số phức z, biết: ( ) 2 2 3 4 2 3 4 3 4 i i i z i i + + + = − − . Bài 45: Tính mô đun số phức z, biết: ( ) ( ) 2 2 3 2 5 8 2 6 1 2 i i i z i − + − = − . Bài 46: Cho hai số phức 1 2 3 4 , z 8 6z i i= − = − . 1. Tính giá trị biểu thức 2 2 1 1 2 2 2A z z z z= + + 2. Tính giá trị biểu thức 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2z z z z A z z − + = + SỐ PHỨC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI Bài 1. Giải phương trình 2 2 5 4 0x x− + = trên tập số phức. TN THPT – 2006 Đáp số: 1 5 7 4 4 x i= + ; 2 5 7 4 4 x i= − Bài 2. Giải phương trình 2 4 7 0x x− + = trên tập số phức. TN THPT – 2007 (lần 1) Đáp số: 1 2 3x i= + ; 2 2 3x i= − Bài 3. Giải phương trình 2 6 25 0x x− + = trên tập số phức. TN THPT – 2007 (lần 2) Đáp số: 1 3 4x i= + ; 2 3 4x i= − Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức: 2 2 (1 3 ) (1 3 )P i i= + + − TN THPT – 2008 (lần 1) Đáp số: 4P = − Bài 5. Giải phương trình 2 2 2 0x x− + = trên tập số phức. TN THPT – 2008 (lần 2) Đáp số: 1 1x i= + ; 2 1x i= − Bài 6. Giải phương trình 2 8 4 1 0z z− + = trên tập số phức. TN THPT – 2009 (CB) Đáp số: 1 1 1 4 4 x i= + ; 2 1 1 4 4 x i= − Bài 7. Giải phương trình 2 2 1 0z iz− + = trên tập số phức. TN THPT – 2009 (NC) Đáp số: 1 x i= ; 2 1 2 x i= − Bài 8. Giải phương trình 2 2 6 5 0z z+ + = trên tập số phức. TN THPT – 2010 (GDTX) Đáp số: 1 3 1 2 2 x i= − + ; 2 3 1 2 2 x i= − − Bài 9. Cho hai số phức: 1 1 2z i= + , 2 2 3z i= − . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 1 2 2z z− . 4 Lê Anh TN THPT – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8 Bài 10. Cho hai số phức: 1 2 5z i= + , 2 3 4z i= − . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 1 2 .z z . TN THPT – 2010 (NC) Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo 7 Bài 11. a/Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z+ + = . Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 2 | | | |A z z= + . ĐH Khối A – 2009 (CB) Đáp số: A = 20 b/Cho z 1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình 2 2 4 11 0z z− + = . Tính giá trị của biểu thức ( ) 2 2 1 2 2 1 2 z z A z z + = + Bài 12. Tìm số phức z thỏa mãn | (2 ) | 10z i− + = và . 25z z = . ĐH Khối B – 2009 (CB) Đáp số: z = 3 + 4i ∨ z = 5 Bài 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | (3 4 ) | 2z i− − = . ĐH Khối D – 2009 Đáp số: đường tròn tâm I(3 ; – 4 ), bán kính R = 2. Bài 14. Cho số phức z thỏ mãn: 2 (1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + + . Xác định phần thực và phần ảo của z. CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB) Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5. Bài 15. Giải phương trình 4 3 7 2 z i z i z i − − = − − trên tập số phức. CĐ Khối A,B,D – 2009 (NC) Đáp số: 1 1 2x i= + ; 2 3x i= + . Bài 16. Tìm phần ảo của số phức z, biết: 2 ( 2 ) (1 2 )z i i= + − . ĐH Khối A – 2010 (CB) Đáp số: 2− Bài 17. Cho số phức z thỏa mãn: 3 (1 3 ) 1 i z i − = − . Tìm môđun của z iz+ . ĐH Khối A – 2010 (NC) Đáp số: 8 2 Bài 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | | | (1 ) |z i i z− = + . ĐH Khối B – 2010 (CB) Đáp số: đường tròn 2 2 ( 1) 2x y+ + = Bài 19. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện | | 2z = và z 2 là số thuần ảo. ĐH Khối D – 2010 Đáp số: z 1 = 1 + i; z 2 = 1 – i; z 2 = –1 –i; z 4 = –1+ i. Bài 20. Cho số phức z thỏ mãn: 2 (2 3 ) (4 ) (1 3 )i z i z i− + + = − + . Xác định phần thực và phần ảo của z. CĐ Khối A,B,D – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5. Bài 21. Giải phương trình 2 (1 ) 6 3 0z i z i− + + + = trên tập số phức. CĐ Khối A,B,D – 2010 (NC) Đáp số: 1 1 2x i= − ; 2 3x i= . Bài 22: a. Số phức z thỏa mãn (1+i) 2 (2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. ĐS: a. a=2, b=−3 b. Tìm số phức z thỏa mãn: ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 z z i z i z i  − =  −   −  =  +  .HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1. ĐS: z=1+i Bài 23:Giải phương trình: 4 1 z i z i +   =  ÷ −   ĐS: z∈{0;1;−1} Bài 24:Giải phương trình: 2 0z z+ = . 5 Lê Anh HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z∈{0;i;−i} Bài 25:Giải phương trình: 2 0z z+ = . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z=0, z=−1, 1 3 2 2 z i= ± Bài 26:Giải phương trình: 2 4 3 1 0 2 z z z z− + + + = . HD: Chia hai vế phương trình cho z 2 . ĐS: z=1±i, 1 1 2 2 z i= − ± . Bài 27:Giải phương trình: z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung ĐS: 1 3 1 3 1, , 2 2 2 2 z z i z i= − = ± = − ± . Bài 28:Cho phương trình: (z + i)(z 2 −2mz+m 2 −2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. Bài 29:Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết: a. α = 2−5i b. α = −2−i 3 c. α = 3 - 2i Bài 30:Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z 3 −iz 2 −2iz−2 = 0. b. z 3 +(i−3)z 2 +(4−4i)z−7+4i = 0. Bài 31:Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i− = − + .ĐS: 2 4 x y = . Bài 32:Trong các số phức thỏa mãn 3 2 3 2 z i− + = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. HD: *Gọi z=x+yi. 3 2 3 2 z i− + = ⇒ … ⇒ ( ) ( ) 2 2 9 2 3 4 x y− + + = . * Vẽ hình ⇒|z| min ⇒z. ĐS: 26 3 13 78 9 13 13 26 z i − − = + . Bài 33:Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: a. ( ) 10 9 (1 i) 3 i + + . b. ( ) 7 5 cos sin 1 3 3 3 i i i π π   − +  ÷   . HD: Sử dụng công thức Moivre. ĐS: a. Phần thực 1 16 − , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. Bài 34:Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i) 2 +(1+i) 3 + … + (1+i) 20 . HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực −2 10 , phần ảo: 2 10 +1. ( . ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0. 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: ( ) ! ! kn n A k n − = , n≥k>0. 3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: ( ) !! ! knk n C k n − = , n≥k≥0. 4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton ( ) nn n nn n nn n n n n n n n n bCabCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−−−−− 11222222110  . Công thức số hạng tổng quát: kknk nk baCT − + = 1 , 0≤k≤n. 6 Lê Anh B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008)Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18 5 1 2         + x x ,(x>0).ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2004)Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7 4 3 1         + x x với x>0.ĐS: 35 3. (ĐH_Khối A 2003)Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x       + 5 3 1 , biết rằng ( ) 37 3 1 4 +=− + + + nCC n n n n , 4. (n nguyên dương, x>0, ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 495 5. (ĐH_Khối D 2005)Tính giá trị biểu thức ( ) !1 3 34 1 + + = + n AA M nn , biết rằng 14922 2 4 2 3 2 2 2 1 =+++ ++++ nnnn CCCC (n là số nguyên dương, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử)ĐS: 4 3 =M 6. (ĐH_Khối A 2006)Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x       + 7 4 1 , biết rằng 12 20 12 2 12 1 12 −=+++ +++ n nnn CCC  , (n nguyên dương và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 210 7. (ĐH_Khối D 2008)Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048 12 2 3 2 1 2 =+++ −n nnn CCC  . ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: n=6 8. (ĐH_Khối D 2007)Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x) 5 +x 2 (1+3x) 10 .ĐS: 3320 9. (ĐH_Khối D 2003)Với n là số nguyên dương, gọi a 3n − 3 là hệ số của x 3n − 3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 +1) n (x+2) n . Tìm n để a 3n − 3 =26n.ĐS: n=5 10. (ĐH_Khối D 2002)Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 2 2 4 2 243 n n n n n n C C C C+ + + + =L .ĐS: n=5 11. (ĐH_Khối B 2008)Chứng minh rằng k n k n k n CCC n n 111 2 1 1 11 =         + + + + ++ (n, k là các số nguyên dương, k≤n, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 12. (ĐH_Khối B 2007)Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x) n , biết: 3 n C n 0 −3 n − 1 C n 1 +3 n − 2 C n 2 −3 n − 3 C n 3 + … +(−1) n C n n =2048 (n là số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 13. (ĐH_Khối B 2006)Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.ĐS: k=9 14. (ĐH_Khối B 2003)Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0 + − ++ − + − + +  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 1 23 11 + − ++ n nn 15. (ĐH_Khối B 2002)Cho đa giác đều A 1 A 2 …A n (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n , tìm n.ĐS: n=8 16. (ĐH_Khối A 2008)Cho khai triển (1+2x) n =a 0 +a 1 x+ … +a n x n , trong đó n∈N* và các hệ số a 0 , a 1 ,…a n thỏa mãn hệ thức 4096 2 2 1 0 =+++ n n a a a  . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 ,…a n .ĐS: a 8 =126720 17. (ĐH_Khối A 2007)Chứng minh rằng 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 4 6 2 2 1 n n n n n n C C C C n n − − + + + + = + L , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 7 Lê Anh 18. (ĐH_Khối A 2005)Tìm số nguyên dương n sao cho ( ) 20052.122.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12 =+++−+− + +++++ n n n nnnn CnCCCC  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 19. (ĐH_Khối A 2004)Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của [1+x 2 (1−x)] 8 . ĐS: 238 20. (ĐH_Khối A 2002)Cho khai triển nhị thức n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC         +                 ++                 +         =         + − − − − − − − −− − − 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 2 1 22222222  (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.ĐS: n=7, x=4 21. Cho số phức z=1+i. a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i) n . b. Tính các tổng S 1 =1−C n 2 +C n 4 −C n 6 +… S 2 =C n 1 −C n 3 +C n 5 −… 22. Chứng minh rằng C 100 0 –C 100 2 +C 100 4 –C 100 6 + … –C 100 98 +C 100 100 =–2 50 . −o0o− 8 . thức 4096 2 2 1 0 =+++ n n a a a  . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 ,…a n .ĐS: a 8 =12 6720 17 . (ĐH_Khối A 2007)Chứng minh rằng 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 4 6 2 2 1 n n n n n n C C C C n n − − + +. thức n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC         +                 ++                 +         =         + − − − − − − − −− − − 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 2 1 22222222  (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.ĐS: n=7, x=4 21. Cho số phức z =1+ i. a thức Newton của nhị thức (1+ i) n . b. Tính các tổng S 1 =1 C n 2 +C n 4 −C n 6 +… S 2 =C n 1 −C n 3 +C n 5 −… 22. Chứng minh rằng C 10 0 0 –C 10 0 2 +C 10 0 4 –C 10 0 6 + … –C 10 0 98 +C 10 0 10 0 =–2 50 . −o0o− 8