chuyên đề số phức phần 1

[...]... z − 1 − 2i bi t s ph c z thay ñ i th a mãn z +1+ i = 1 Gi i: G i M ( x; y ) là ñi m bi u di n s ph c w = x + yi ( x; y ∈ R) trong m t ph ng t a ñ Oxy, ta có: w = z − 1 − 2i ⇒ z = w + 1 + 2i = x + yi + 1 + 2i = ( x + 1) + ( y + 2)i ⇒ z = ( x + 1) − ( y + 2)i Do ñó z + 1 + i = 1 ⇔ ( x + 1) − ( y + 2)i + 1 + i = 1 ⇔ ( x + 2) − ( y + 1) i = 1 ⇔ ( x + 2)2 + ( y + 1) 2 = 1 ⇔ ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 = 1 V... 094 714 113 9 D NG 4 : CĂN B C HAI C A S PH C,PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH Bài t p m u 1 (A – 2009): G i z1 và z 2 là hai nghi m ph c c a phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 Tính giá tr c a bi u th c A = z1 + z2 2 2 Gi i : Phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 có bi t th c ∆ ' = 1 − 10 = −9 = 9i 2 nên phương trình có hai nghi m : z1 = 1 + 3i và z2 = 1 − 3i ⇒ A = z1 + z2 = 1 + 3i + 1 − 3i = (12 + 32 ) + (12 ... Tìm s n là s nguyên dương và n ∈ [1; 10] sao cho s ph c z = (1 + i 3) n là s th c n  3 − 3i  8) Tìm n ñ s ph c   3 − 3i  là s th c, là s    9) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z 2 013 + o ? 1 z 2 013 Bi t z + 1 =1 z π 6 THANH TÙNG 094 714 113 9 D NG 6 : CÁC BÀI TOÁN CH NG MINH TRONG S PH C (tham kh o thêm) 1) Ch ng minh r ng: 5 (1 + i) 2 012 = 7i (1 + i )2 010 − 6 (1 + i) 2008 2) Ch ng minh r ng v... 4 z + 11 = 0 Tính giá tr bi u th c z1 + z2 2 A= 2 ( z1 + z2 ) 2 THANH TÙNG 094 714 113 9 7) G i z1 và z 2 là hai nghi m ph c c a phương trình z 2 + 2 z + 4 = 0 Tính giá tr c a A = z1 + z2 − 3 z1 + z2 2 2 3 8) Cho z1 ; z2 là hai nghi m c a phương trình (1 + 2i ) z 2 − (3 + 2i ) z + 1 − i = 0 Không gi i phương trình hãy tính giá tr c a các bi u th c sau : 2 a A = z12 + z 2 ; 2 b B = z12 z2 + z1 z2 ;... ab = 1 +) Hư ng 3 : (ðây là hư ng ñi t ng quát – khi không nhìn th y luôn theo Hư ng 1, Hư ng 2) G i a + bi là căn b c hai c a −2i ⇒ (a + bi) 2 = −2i ⇔ a 2 − b 2 + 2abi = −2i a = 1  b = 1 a 2 − b2 = 0 a 2 = b 2  a = ±b  a = 1; b = 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2ab = −2 ab = 1 ab = 1  a = 1; b = 1 V y căn b c hai c a −2i là : 1 − i và 1 + i nên phương trình có nghi m : −3 (1 + i) + (1 − i )  = 1 −... 2i a  1  z1 + z2 = 4 − i ( ) D NG 5 : D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C (Ban Nâng Cao) THANH TÙNG 094 714 113 9 Bài t p m u (B – 2 012 – NC) G i z1 và z 2 là hai nghi m ph c c a phương trình z 2 − 2 3iz − 4 = 0 Vi t d ng lư ng giác c a z1 và z 2 Gi i : Phương trình z 2 − 2 3iz − 4 = 0 có bi t th c ∆ ' = ( 3i ) 2 + 4 = −3 + 4 = 1 Suy ra phương trình có hai nghi m : z1 = 1 + 3i và z2 = 1 + 3i r = 1 + 3 =... r ng v i m i s ph c z, có ít nh t m t trong hai b t ñ ng th c sau x y ra : 1 z +1 ≥ ho c z 2 + 1 ≥ 1 2 3) Cho s ph c z ≠ 0 th a mãn z 3 + 1 1 ≤ 2 Ch ng minh r ng : z + ≤ 2 3 z z 1 1 3 4) Cho s ph c z = − + i Ch ng minh r ng : z 2 + z + 1 = 0 ; z = z 2 = và z 3 = 1 z 2 2 5) Cho z1 , z2 ∈ C Ch ng minh r ng : E = z1.z2 + z1.z2 ∈ R 6) Ch ng minh r ng E = (2 + i 5) 7 + (2 − i 5) 7 ∈ R 7) Cho z và... các s ph c Gi i : Phương trình z 2 − (1 + i ) z + 6 + 3i = 0 có bi t th c ∆ = (1 + i) 2 − 4(6 + 3i ) = 2i − 24 − 12 i = −24 − 10 i = (1 − 5i )2 a 2 − b 2 = −24 (Làm ra nháp: Nh m a , b th a mãn  ⇒ a = 1; b = −5 ) ab = −5 (2ab = 10 ) (1 + i) + (1 − 5i)  = 1 − 2i  z1 = 2 nên phương trình có hai nghi m :   z = (1 + i) − (1 − 5i ) = 3i  2  2 5 (Cð – 2009) Gi i phương trình sau trên t p s ph c : 4...  +) V i z1 = 1 + 3i ⇒   1 3 π V y d ng lư ng giác c a z1 = 2  cos 3 + i sin 3   ⇒ϕ = cos ϕ = ;sin ϕ = 2 2 3  r = 1 + 3 = 2 2π 2π    +) V i z2 = 1 − 3i ⇒  1 3 2π V y d ng lư ng giác : z2 = 2  cos 3 + i sin 3    ⇒ϕ = cos ϕ = − ;sin ϕ = 2 2 3  Bài t p áp d ng 1) Vi t các s ph c z sau dư i d ng lư ng giác a z = (1 − i 3) (1 + i ) d z = tan 2) Tính z = b z = 5π +i 8 1 i 3 1+ i c z =... trình z 2 + 3 (1 + i ) z + 5i = 0 có bi t th c ∆ ' = 9 (1 + i)2 − 20i = −2i = (1 − i )2 −3 (1 + i) + (1 − i)  = 1 − 2i  z1 = 2 nên phương trình có nghi m :   z = −3 (1 + i) − (1 − i ) = −2 − i  2  2 Chú ý : Vi c vi t ñư c : −2i = (1 − i ) 2 ph n tính ∆ trong bài toán trên có th hi u theo 3 hư ng +) Hư ng 1 : Vì ta khá quen thu c v i công th c : (1 ± i)2 = ±2i a 2 − b 2 = 0 +) Hư ng 2 : Ta ch n a . của số phức: a. 3 1 4 (1 ) z i i = + + − . b. (1 )(2 ) 1 2 i i z i + − = + 16 ) (A – 2 011 -NC): Tìm môñun của số phức z, biết: (2 1) (1 ) ( 1) (1 ) 2 2 z i z i i − + + + − = − . 17 ) Cho số phức. 2 1 3 1 3 B i i = + + − 2 2 011 2 012 1 C i i i i = + + + + + 10 0 (1 ) D i = − 16 8 1 1 1 1 i i E i i + −     = +     − +     10 5 23 2 012 34 F i i i i = + + − 2) Cho số phức. Xác ñịnh phần thực và phần ảo của số phức 1 2 2 z z − và 1 2 . z z 3) ( B – 2 011 -NC): Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3 1 3 1 i z i   + =     +   . 4) ( A – 2 010 ): Tìm phần ảo