Chuyen de 1 2

Bài ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT BA ẨN Ở cấp Trung học sở, quen với giải tốn cách lập phương trình (bậc nhất, bậc hai) hệ phương trình (bậc hai ẩn) Trong này, ta làm quen với cách giải số toán thực tế nhiều lĩnh vực khác cách lập hệ phương trình bậc ba ẩn Giải toán cách lập hệ phương trình Trước xét số ứng dụng môn khoa học tự nhiên kinh tế hai mục tiếp theo, mục làm quen với bước giải toán cách lập hệ phương trình bậc ba ẩn Để giải tốn cách lập hệ phương trình bậc ba ẩn, ta thực bước sau: Bước 1: Lập hệ phương trình Chọn ẩn đại lượng chưa biết Dựa ý nghĩa đại lượng chưa biết, đặt điều kiện cho ẩn Dựa vào kiện tốn, lập hệ phương trình với ẩn Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra điều kiện nghiệm kết luận Ví dụ Giá vé vào xem buổi biểu diễn xiếc gồm ba loại: 40 000 đồng dành cho trẻ em (dưới tuổi), 60 000 đồng dành cho học sinh 80 000 đồng dành cho người lớn.Tại buổi biểu diễn, 900 vé bán tổng số tiền thu 50 600 000 đồng Người ta bán vé trẻ em, vé học sinh vé người lớn cho buổi biểu diễn đó? Biết số vé người lớn nửa số vé trẻ em học sinh cộng lại Giải Gọi x, y, z số vé trẻ em, vé học sinh vé người lớn bán (x, y, z ∈ N) Có 900 vé bán ra, ta có x + y + z = 900 Tổng số tiền thu buổi biểu diễn 50 600 000 đồng, ta có 40 000x + 60 000y + 80 000z = 50 600 000 hay 2x + 3y + 4z = 2530 Số vé người lớn nửa số vé trẻ em học sinh cộng lại, ta có z= x+ y hay x + y – 2z = Từ đó, ta có hệ phương trình x+ y + z =900 x +3 y +4 z=2530 x+ y−2 z=0 { Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình, ta được: x = 470, y = 130, z = 300 Vậy có 470 vé trẻ em, 130 vé học sinh 300 vé người lớn bán Ba vận động viên Hùng, Dũng Mạnh tham gia thi đấu nội dung ba môn phối hợp: chạy, bơi đạp xe, tốc độ trung bình họ chặng đua cho bảng Vận động viên Hùng Dũng Mạnh Chạy 12,5 12 12,5 Tốc độ trung bình (km/h) Bơi Đạp xe 3,6 48 3,75 45 45 Biết tổng thời gian thi đấu ba môn phối hợp Hùng phút 30 giây, Dũng phút 40 giây Mạnh phút 55 giây Tính cự li chặng đua Ứng dụng giải tốn vật lí, Hố học, Sinh học Ví dụ Ba tế bào A, B, C sau số lần nguyên phân tạo 88 tế bào Biết số tế bào B tạo gấp đôi số tế bào A tạo Số lần nguyên phân tế bào B số lần nguyên phân tế bào C hai lần Tính số lần nguyên phân tế bào, biết tế bảo sau thành lần nguyên phân tạo hai tế bào giống tế bào ban đầu Giải Gọi x, y, z số lần nguyên phân tế bào A, B, C (x, y, z ∈ N) Tổng tế bào 88, ta có 2x + 2y + 2z = 88 Số tế bào B tạo gấp đôi số tế bào A tạo ra, ta có 2y = 2x Số lần nguyên phân tế bào B số lần nguyên phân tế bào C hai lần, ta có y + 2= z Từ đó, ta có hệ phương trình 2x +2 y +2 z=88 2x +2 y +2 z=88 2x +2 y +2 z=88 hay 2.2 x −2 y =0 hay 2.2 x −2 y =0 y =2.2 x y+2 z y z y+ 2=z =2 −2 =0 { { { a+b+ c=88 Đặt a = , b = , c = , Ta có hệ phương trình a−b=0 b−c=0 x y z { Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình, ta a = 8,b = 16, c = 64 Do x = 3, y = 4, z = Vậy số lần nguyên phân tế bào A, B, C 3,4, Ví dụ Đề nghiên cứu tác dụng ba loại vitamin kết hợp với nhau, nhà sinh vật học muốn thỏ phịng thí nghiệm có chế độ ăn uống ngày chứa xác 15 mg thiamine (B1), 40 mg riboflavin (B2) 10 mg niacin (B3) Có ba loại thức ăn với hàm lượng vitamin cho bảng đây: Loại vitamin Thiamine (B1) Riboflavin (B2) Niacin (B3) Hàm lượng vitamin (miligam) 100 g thức ăn Loại I Loại II Loại III 2 7 2 Mỗi thỏ cần phải cung cấp gam thức ăn loại ngày? Giải Gọi x, y, z số gam thức ăn loại I, II, III mà thỏ ăn ngày (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) Mỗi thỏ có chế độ ăn uống ngày chứa xác 15 mg B1, ta có 0,03x + 0,02y + 0,02z = 15 Mỗi thỏ có chế độ ăn uống ngày chứa xác 40 mg B2, ta có 0,07x + 0,05y + 0,07z = 40 Mỗi thỏ có chế độ ăn uống ngày chứa xác 10 mg B3, ta có 0,02x + 0,02y + 0,01z = 10 Từ đó, ta có hệ phương trình 0,03 x +0,02 y +0,02 z=15 0,07 x+ 0,05 y+ 0,07 z=40 0,02 x +0,02 y +0,01 z=10 { Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình, ta được: x = 300, y = 100, z = 200 Vậy ngày thỏ cần cung cấp 300 g thức ăn loại I, 100g thức ăn loại II 200 g thức ăn loại III Ví dụ Cho sơ đồ mạch điện Hình 1.Các điện trở có số đo R1 = 6Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω Tính cường độ dòng điện I1, I2, I3 Giải Tổng cường độ dòng điện vào điểm B nên ta có I1 = I2 + I3 Hiệu điện hai điểm B C tính bởi: UBC = I2R2 = 4I2 UBC = I3R3 = 3I3, nên ta có 4I2 = 3I3 Hiệu điện hai điểm A C tính bởi: UAC = I1R1 + I3R3 = 6I1 + 3I3 hay UAC = 6, nên ta có 6I1 + 3I3 = hay 2I1 + I3 = Từ đó, ta có hệ phương trình { I 1−I 2−I 3=0 I 2−3 I =0 I + I 3=2 Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình, ta I1 = A, I2 = A, I3 = A 9 Ví dụ Cân phương trình phản ứng hố học đốt cháy nhôm oxygen:  Al  O2  t  Al2O3 Giải Giả sử x, y, z ba số nguyên dương thoả mãn cân phương trình phản ứng hố học:  xAl  yO2  t  zAl2O3 Số nguyên tử nhôm hai vế nhau, ta có x = 2z Số nguyên tử oxygen hai vế nhau, ta có 2y = 3z Từ đó, ta có hệ phương trình z {2x=2 y =3 z Vì y số nguyên dương nên ta chọn z = 2n, với n số ngun dương Hệ phương trình có vơ số nghiệm dạng (4n; 3n; 2n), n số nguyên dương Để phương trình có hệ số đơn giản, ta chọn n = 1, ta có x = 4, y = z = Vậy phương trình cân phản ứng hoá học 4Al + 3O2 t→° 2Al2O3 Một nhà hố học có ba dung dịch loại acid với nồng độ khác 10%, 20% 40% Trong thí nghiệm, để tạo 100 ml dung dịch nồng độ 18%, nhà hoá học sử dụng lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch nồng độ 40% Tính số mililit dung dịch loại mà nhà hố học sử dụng thí nghiệm Ba loại tế bào A, B, C thực số lần nguyên phân 3, 4, tổng số tế bào tạo 480 Biết chưa thực nguyên phân, số tế bào loại B tổng số tế bào loại A loại C Sau thực nguyên phân, tổng số tế bào loại A loại C tạo gấp năm lần số tế bào loại B tạo Tính số tế bào loại lúc ban đầu Cho sơ đồ mạch điện Hình Tính cường độ dòng điện I1, I2 I3 Ứng dụng giải tốn kinh tế Ví dụ Một ơng chủ trang trại có 24 đất canh tác dự định sử dụng để trồng khoai tây, bắp cải su hào với chi phí đầu tư cho hecta 28 triệu đồng, 24 triệu đồng 32 tiệu đồng Qua thăm dò thị trường, ơng tính tốn diện tích đất trồng khoa tây cần gấp ba diện tích đất trồng bắp cải Biết ơng có tổng nguồn vốn sử dụng để trồng ba loại 688 triệu đồng Tính diện tích đất cần sử dụng để trồng loại Giải Gọi x, y, z diện tích đất cần sử dụng để trồng khoai tây, bắp cải su hào (đơn vị: hecta, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) Tổng diện tích đất sử dụng để trồng ba loại 24 ha, ta có x + y + z = 24 Tổng nguồn vốn sử dung để trồng ba loại 688 triệu đồng, ta có 28x + 24y + 32z = 688 hay 7x + 6y + 8z = 172 Diện tích đất trồng khoai tây gấp ba diện tích đất trồng bắp cải, ta có x = 3y hay x - 3y = Từ đó, ta có hệ phương trình x + y + z=24 x+6 y + z =172 x−3 y +0 { Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình, ta được: x = 12,y = z = Vây diện tích đất cần trồng khoai tây 12 ha, trồng bắp cải trồng su hào Ví dụ Giả sử P1, P2, P3 giá bán (gọi tắt giá) kilơgam thịt lợn, thịt bị thịt gà thị trường Qua khảo sát, người ta thấy lượng cung (lượng sản phẩm đưa vào thị trường để bán) sản phẩm phụ thuộc vào giá theo cơng thức sau: Sản phẩm Lượng cung Thịt lợn Q S = -238 + 2P1 Thịt bò Q S = -247 + P2 Thịt gà Q S = -445 + 3P3 Qua khảo sát, người ta thấy lượng cầu (lượng sản phẩm mà người tiêu dùng có nhu cầu mua) sản phẩm không phụ thuộc vào giá sản phẩm mà cịn phụ thuộc vào giá hai sản phẩm cịn lại theo cơng thức sau: Sản phẩm Lượng cầu Thịt lợn Q D1 = 22 – P1 +P2–P3 Thịt bò Q D2 = 283 +P1-P2- P3 Thịt gà Q D3 = 25 - P1+P2 - P3 Ta nói thị trường cân lượng cung sản phẩm lượng cầu sản phẩm đó, tức là: Q s1=Q D1, Q s2=Q D2 Q s3 =Q D3 Giá sản phẩm thị trường cân bằng? Giải Để tìm giá kilơgam thịt lợn, thịt bị thịt gà, ta xét hệ phương trình QS1=Q D1 −238+ P1=22−P1+ P 2−P3 P1−P 2+ P3 =260 QS2=Q D2 tức −247+ P2=283+ P1−P2−P3 hay −P1+ P2 + P3=530 QS3=Q D3 −445+3 P3 =25−P1 + P2−P3 P1−P2 +4 P3 =470 { { { Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình, ta được: P1 = 120, P2 = 250, P3 = 150 Vậy thị trường cân giá bán kilogam thịt lợn, thịt bò, thịt gà 120 nghìn đồng, 250 nghìn đồng, 150 nghìn đồng Nhận xét: Trên thị trường, lượng cung sản phẩm phu thuộc vào giá bán sản phẩm (còn gọi giá thị trường) Giá thị trường sản phẩm cao lượng cung sản phẩm lớn (do nhà sản xuất nhà phân phối có động lực sản xuất phân phối sản phẩm để thu nhiều lợi nhuận) Chẳng hạn, Ví dụ ta thấy lượng cung Q s1 = -238 + 2P1 thịt lợn lớn nều giá P1 kilôgam thịt lợn lớn Bên cạnh đó, lượng cầu sản phẩm phụ thuộc vào giá thị trường sản phẩm (giá cao lượng cầu giảm) Mặt khác, lượng cung lượng cầu sản phẩm phụ thuộc giá thị trường sản phẩm khác: Chẳng hạn, giá thịt bò giá thịt gà thấp so với giá thịt lợn người tiêu dùng có xu hướng mua thịt bị thịt gà thay mua thịt lợn Như Ví dụ ta thấy, lượng cầu thịt lợn phu thuộc vào giá P1 thịt lợn, giá P2 thịt bị giá P3 thịt gà Ví dụ Một nhà đầu tư dự định sử dụng tỉ đồng để đầu tư vào ba loại trái phiếu: ngắn hạn, trung hạn dài hạn Biết lãi suất ba loại trái phiếu ngắn hạn, trung hạn, dài hạn năm 3%, 4%, 5% Người dự định đầu tư số tiền vào trái phiếu trung hạn gấp đôi số tiền đầu tư vào trái phiếu ngắn hạn với mong muốn nhận tổng tiền lãi năm 4,2% số tiền đầu tư Người nên đầu tư vào loại trái phiếu tiền để đáp ứng mong muốn mình? Giải Gọi x, y z số tiền đầu tư vào ba loại trái phiếu ngắn hạn, trung hạn dài hạn (đơn vị: tỉ đồng, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) Tổng số tiền dự định đầu tư tỉ đồng, ta có x + y + c = Lãi suất ba loại trái phiếu ngắn hạn, trung hạn, dài hạn năm 3%, 4%, 5% mong muốn nhận tổng tiền lãi năm 4,2% số tiền đầu tư, ta có 0,03x + 0,04 y + 0,05z = 0,042 hay 3x + 4y +5z = 4,2 Số tiền đầu tư vào trái phiếu trung hạn gấp đôi số tiền đầu tư vào trái phiếu ngắn hạn, ta có y = 2x hay 2x – y = Từ đó, ta có hệ phương trình x + y + z=1 x + y +5 z=4,2 x− y=0 { Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình, ta được: x = 0,2; y = 0,4; z = 0,4 Vậy nhà đầu tư nên đầu tư 200 triệu đồng vào trái phiếu ngắn hạn, 400 triệu đồng vào trái phiếu trung hạn 400 triệu đồng vào trái phiếu dài hạn Xét thị trường chè, cà phê ca cao Gọi x, y z giá kg chè, kg cà phê kg ca cao (đơn vị: nghìn đồng, x≥ 0,y≥ 0, z ≥0) Các lượng cung lượng cầu sản phẩm cho bảng sau: Sản phẩm Chè Cà phê Ca cao Lượng cung QS 1= -380 + x + y Q S 2= -405 + x +2y - z QS 3= -350 – 2x + 3z Lượng cầu Q D1= 350 – x - z Q D2= 760 – 2y - z Q D3= 145 – x + y - z Tìm giá kilôgam chè, cà phê ca cao để thị trường cân Để mở rộng sản suất, công ty vay 800 triệu đồng từ ba ngân hàng A, B C, với lãi suất cho vay theo năm 6%, 8% 9% Biết tổng số tiền lãi năm công ty phải trả cho ba ngân hàng 60 triệu đồng số tiền lãi công ty trả cho hai ngân hàng A C Tính số tiền cơng ty vay từ ngân hàng Bác Nhân có 650 triệu đồng dự định gửi tiết kiệm vào ngân hàng A, B C Biết ngân hàng A, B, C trả lãi suất 8%/ năm, 7,5%/ năm 7%/năm Để phù hợp với nhu cầu, bác Nhân mong muốn sau năm, tổng số tiền lãi bác nhận 50 triệu đồng số tiền bác gửi vào ngân hàng B lớn số tiền gửi vào ngân hàng C 100 triệu đồng Hãy tính giúp bác Nhân số tiền gửi vào ngân hàng cho đáp ứng yêu cầu bác Một công ty sản xuất ba loại phân bón: - Loại A có chứa 18% nitơ, 4% photphat 5% kali; - Loại B có chứa 20% nitơ, 4% photphat 4% kali; - Loại C có chứa 24% nitơ, 3% photphat 6% kali Công ty sản xuất kilơgam loại phân bón trên? Biết công ty dùng hết 26 400 kg nitơ, 4900 kg photphat, 200 kg kali BÀI TẬP Một đại lí bán ba mẫu máy điều hồ A, B C, với giá bán theo mẫu triệu đồng, 10 triệu đồng 12 triện đồng Tháng trước, đại lí bán 100 gồm ba mẫu thu số tiền 980 triện đồng Tính số lượng máy điều hồ mẫu đại lí bán tháng trước, biết số tiền thu từ bán máy điều hoà mẫu A mẫu C Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh, trường Trung học phổ thông tổ chức cho học sinh tham gia trò chơi Ban tổ chức chọn 100 bạn chia thành ba nhóm A, B, C để tham gia trò chơi thứ Sau trò chơi kết thúc, ban tổ chức 1 chuyển số bạn nhóm A sang nhóm B; số bạn nhóm B sang nhóm C; số bạn chuyển từ nhóm C sang nhóm A B số bạn nhóm C ban đầu Tuy nhiên, người ta nhận thấy số bạn nhóm khơng đổi qua hai trò chơi Ban tổ chức chia nhóm bạn? Một cửa hàng giải khát phục vụ ba loại sinh tố: xoài, bơ mãng cầu Để pha li (cốc) sinh tố cần dùng đến sữa đặc, sữa tươi sữa chua với công thức cho bảng sau Sinh tố (li) Xoài Bơ Mãng cầu Sữa đặc (ml) 20 10 20 Sữa tươi (ml) 100 120 100 Sữa chua (ml) 30 20 20 Ngày hôm qua cửa hàng dùng hết 2l sữa đặc; 12,8l sữa tươi 2,9l sữa chua Cửa hàng bán li sinh tố loại ngày hôm qua? Ba tế bào A, B, C sau số lần nguyên phân tạo 168 tế bào Biết số tế bào A tạo gấp bốn lần số tế bào B tạo số lần nguyên phân tế bào C nhiều số lần nguyên phân tế bào B bốn lần Tính số lần nguyên phân tế bào Cho sơ đồ mạch điện Hình Biết R1 = Ω, R2 = Ω R3 = Ω Tìm cường độ dòng điện I1, I2 I3 Cân phương trình phản ứng đốt cháy khí methane oxygen  CH  O2  t  CO2  H 2O 7 Một nhà máy có ba phận cắt, may, đóng gói để sản xuất ba loại sản phẩm: áo thun, áo sơ mi, áo khoác Thời gian (tính phút) phận để sản xuất 10 áo loại thể bảng sau: Bộ phận Cắt May Đóng gói Thời gian (tính phút) để sản xuất 10 Áo thun Áo sơ mi Áo khoác 12 15 22 24 28 8 Các phận cắt, may đóng gói có tối đa 80, 160 48 lao động tương ứng ngày Hãy lập kế hoạch sản xuất để nhà máy hoạt động hết công suất Bà Hà có tỉ đồng để đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu gửi tiết kiệm ngân hàng Cổ phiếu sinh lợi nhuận 12%/ năm, trái phiếu gửi tiết kiệm ngân hàng cho lãi suất 8%/ năm 4%/ năm.Bà Hà quy định số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng phải tổng 20% số tiền đầu tư vào cổ phiếu 10% số tiền đầu tư vào trái phiếu Bà Hà nên phân bố nguồn vốn để nhận 100 triệu đồng tiền lãi từ khoản đầu tư năm đầu tiên? Trên thị trường có ba loại sản phẩm A, B, C với giá sản phẩm tương ứng x, y, z (đơn vị triệu đồng, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), Lượng cung lượng cân sản phẩm cho bảng đây: Sản phẩm A B C Lượng cung Q S A= 4x – y – z - Q S B= -x + 4y – z - QS C= -x – y + 4z - Lượng cầu Q D A= -2x + y + z +9 Q DB = x – 2y + z + Q DC = x + y – 2z - Tìm giá bán sản phẩm để thị trường cân 10 Vé vào xem kịch có ba mức giá khác tuỳ theo khu vực ngồi nhà hát Số lượng vé bán doanh thu ba suất diễn cho bảng sau: Suất diễn 10h00 – 12h00 15h00 – 17h00 20h00 – 22h00 Khu vực 210 225 254 Số vé bán Khu vực 152 165 186 Tìm giá vé ứng với khu vực ngồi nhà hát Khu vực 125 118 130 Doanh thu (triệu đồng) 212,7 224,4 252,2 Bạn có biết? Q TRÌNH QUANG HỢP CỦA THỰC VẬT Quang hợp trình trao đổi chất chuyển hoá lượng thường diễn thực vật Nhờ có chất diệp lục, xanh hấp thu lượng từ ánh sáng mặt tười, để chuyển hố nước khí carbon dioxide (CO2) hút hình thành nên đường đồng thời nhả khí oxygen (O2) Khí O2 có vai trị quan trọng trình trì sống người Có thể nói, quang hợp chuỗi phản ứng hố học quan trọng khơng thể thiếu Nó tạo lượng cho sống; bù đắp lại chất hữu bị sử dụng trình sống, giúp cân khí O2 CO2 khơng khí Trong tự nhiên, phản ứng quang hợp xảy theo sơ đồ sau:  CO2  H 2O  t  C6 H12O6  O2 Để cân phương trình hố học trên, ta làm sau: Gọi x, y, z, t hệ số cân CO2, H2O, C6H12O6 O2 phương trình hố học (x, y, z, t có ước chung lớn 1) Do số nguyên tử nguyên tố hai vế phải nên ta có hệ phương trình: x=6 z (1) x=6 z x + y=6 z +2 t ⇔ x + y=6 z +2 t (2) y=12 z y=6 z (3) { { Thay (1) (3) vào (2) ta 12z + 6z = 6z + 2t ⇔ t = 6z Do x, y, z, t có ước chung lớn nên ta chọn z= ⇔ x = y = t = Vậy ta có phương trình hố học: 6CO2 + 6H2O t→° C6H12O6 + 6O2