Chuyen de 2 1

Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀ NHỊ THỨC NEWTON Chuyên đề có hai nội dung trọng tâm Đầu tiên, tìm hiểu phương pháp quy nạp tốn học, cơng cụ quan trọng hiệu toán học Chúng ta làm quen thực hành sử dụng phương pháo để chứng minh nhiều loại mệnh đề toán học khác Tiếp theo, tìm hiểu sâu đầy đủ công thức nhị thức Newton tam giác Pascal, thực hành vận dụng chúng giải toán Sau chuyên đề này, bạn có thể: - Sử dụng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh nhiều mệnh để toán học khác Sử dụng công thức nhị thức Newton tam giác Pascal để khai triển biểu thức dạng (a + b)n; vận dụng công thức khai triển giải số toán liên quan Bài Phương pháp quy nạp toán học Từ khoá: Quy nạp toán học: Giả thiết quy nạp Trong trò chơi domino, quân domino xếp theo thứ tự từ quân đến quân cuối Biết rắng xảy hai điều sau: 1) Quân domino đổ; (2) Nếu quân thứ k đồ quân thứ k + đổ Có thể kết luận tất quân domino đổ khơng ? Hãy giải thích Trị chơi domino hình ảnh mơ ngun lí tồn học quan trọng mà ta tìm hiểu Phương pháp quy nạp toán học Bằng cách tơ màu lưới vng hình một học sinh phát công thức sau: +3 +5 + 7+, , + (2n - 1) = n2 (1) a) Hãy công thức (1) với n = 1, 2, 3, 4,5 b) Từ việc tơ màu lưới vng Hình 1, bạn học sinh khẳng định công thức (1) chắn với số tự nhiên n ≥ Khắng định thuyết phục chưa? Tại sao? Với số tự nhiên n ≥ 1, công thức (1) mệnh đề toán học (mệnh đề) tơi mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n ≥ Mỗi lần tô thêm hàng cột ô vuông, bạn học sinh kiểm nghiệm công thức (1) thêm trường hợp n Tuy nhiên, tập hợp N* vô hạn nên cách làm khơng thể chứng tỏ cơng thức (1) với n ∈ N∗¿ Đề đạt điều này, ta cần dùng suy luận Ngun lí quy nạp tồn học cho ta phương pháp suy luận mạnh mẽ hiệu để chứng minh nhiều mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên Ngun lí quy nạp tốn học Giả sử với số tự nhiên n ≥ , P(n) mệnh đề, Giả sử hai điều kiện sau thoá mãn: 1) P(1) đúng, 2) Với số tự nhiên k ≥ 11, nêu P(k) P(k+ 1) Khi đó, P(n) với số tự nhiên n ≥ Đề chứng minh mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên với n ∈ N* phương pháp quy nạp toán học, ta cần thực hai bước: Bước Chỉ mệnh đề với n = Bước Giá sử mệnh để với số tự nhiên n = k ≥ (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề với n = k + Từ đó, theo ngun lí quy nạp tốn học, ta kết luận mệnh đề với số tự nhiên n∈ N*? Ví dụ Bằng phương pháp quy nạp tồn học, chứng minh công thức (1) Giải ∈ với n n N*? Bước Với n = 1, công thức (1) trở thành = 12 Đây mệnh đề đúng, Vậy (1) với n = Bước Giả sử (1) với n = k≥ 1, nghĩa ta có 1+ +5 + + + (2k - 1) = k2 Ta cần chứng minh (1) với n = k+ 1, nghĩa cần chứng minh 1+ +5 + 7+ … + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 Theo giả thiết quy nạp, ta có l + +5 + 7+ (2k - 1) + (2k + 1) =[ 1+3+5+7+(2 k −1) ] + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 Vậy (1) với n = k+ Theo ngun lí quy nạp tốn học, (1) với n∈ N* Chú ý: Đôi khi, ta cần chứng minh mệnh đề P(n) với mợi số tự nhiên n≥ n0, với n0 số tự nhiên đó: Khi đó, chứng minh phương pháp quy nap tốn học, Bước ta mệnh đề với n = n0, Bước ta giả thiết mệnh đề với n = k ≥n0 Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức 2n >n2 với số tự nhiên n≥5 Giải Bước Với n = 5, ta có 2n = 25 = 32 n2 = 52 = 25 Vì 32 > 25 nên bất đằng thức với n = Bước Giả sử bất đẳng thức với n = k≥5, nghĩa có 2k> k2 Ta chứng minh bắt đẳng thức với n = k + 1, nghĩa cần chứng minh 2k+1 > (k + 1)2 Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý k≥5, ta có 2k+1 =2 2k > 2k2 = k2 + k2 ≥ k2 + 5k = k2 + 2k + 3k > k2 + 2k + 1=(k+1)2 Vậy bất đẳng thức với n= k + Theo nguyên lí quy nạp tốn học, bắt đẳng thức với số tự nhiên n ≥ Chứng minh đằng thức sau với n +2 + + +n= ∈ N* n(n+1) ≥ Chứng minh bất đẳng thức sau với số tự nhiên n 2n+1> n2+n+2 Ứng dụng phương pháp quy nạp toán học Phương pháp quy nạp toán học sử dụng nhiều lĩnh vực toàn học khác (số học, đại số, hình học, giải tích, ) Dưới đây, ta xét thêm vài ứng dụng Ví dụ Chứng minh 32n+2 - 8n -9 chia hết cho 64 với n ∈ N* Giải Với n ∈ N*, xét mệnh đề (32n+2 - 8n -9 )⋮64 Ta cần chứng minh mệnh đề với n ∈ N* Bước Với n = 1, ta có 2n + - 8n - = 34 - - = 81 - - = 64⋮ 64 Vậy mệnh đề với n = Bước Giá sử mệnh đề với n = k≥ 1, nghĩa có (3 2k+2 - 8k - 9)⋮64 Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k+ 1, nghĩa cần chứng minh ¿32(k+1)+2−8( k +1)−9 ¿ ⋮ 64 Ta có 32(k+1)+2−8( k +1)−9= 32(k+1) - 8k – 17 = 9(32(k+1) -8k -9) ⋮ 64 Tổng có số hạng đầu chia hết cho 64 (do giả thiết quy nạp) số hạng thứ hai đương nhiên chia hết cho 64, nên chia hết cho 64, Vậy mệnh đề với n = k+ Theo nguyên lí quy nạp toàn học, mệnh đề với n ∈ N* Ví dụ Trong mặt phằng, cho n (n≥ 2) đường thẳng, khơng có hai đường thắng song song khơng có ba đường thẳng đồng quy Gọi Sn, số giao điểm n đường thẳng a) Tính S2, S3, S4, S5 ứng với trường hợp có 2, 3, 4,5 đường thẳng b) Từ đó, dự đốn cơng thức tính Sn, chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp tốn học Giải a) Từ hình vẽ, ta có kết sau b) Ta có: S2 = 1, S3 = = S2 + = 1+ 2; S4 = = S3 +3 = 1+2+3, S5 = 10 = S4+ = 1+ 2+3 + Từ đó, ta dự đoán Sn = 1+ 2+3 +… + (n - 1) = n(n−1) (2) với số tự nhiên n ≥ Ta chứng minh công thức phương pháp quy nạp toán học, Bước Với n = 2, ta có S2 = n(n−1) =1 nên công thức (2) với n=2 Bước Giả sử (2) với n = k≥ nghĩa có Sk = k (k−1) Ta chứng minh (2) với n=k+ 1, nghĩa cần chứng minh: Sk+1 = (k + 1)k Gọi đường thẳng thứ k + d Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng cho cắt k (k−1) điểm Mặt khác,do hai đường thẳng song song khơng có ba đường thẳng đồng quy nên đường thẳng d cắt k đường thắng k điểm khác khác với Sk điểm Do đó, số giao điểm k + đường thẳng Sk = k (k−1) k 2−k +2 k Sk+1=Sk+k= +k = = ( k +1 ) k Vậy công thức (2) với n = k + Theo ngun lí quy nap tốn học, cơng thức (2) với mợi số tự nhiên n≥2 Chứng minh n3 + 2n chia hết cho với n ∈ Chứng minh đẳng thức sau với n N* ∈ N* 1−q n 1+ q+q +q +q +……q = 1−q n-1 Chứng minh mặt phẳng, n đường thẳng khác qua điểm chia mặt phẳng thành 2n phần (n ∈ N*.) (Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi vốn) gửi tiết kiệm có kì hạn ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau kì hạn nều khơng rút cộng vào vốn kì kế tiếp) Giả sử lãi suất theo kì r khơng đổi qua kì hạn, người gửi khơng rút tiền vốn lãi suốt kì hạn đề cập sau Gọi Tn, tổng số tiền vốn lãi người gửi sau kì hạn thứ n (n ∈ N*) a) Tính T1,T2,T3 b) Từ đó, dự đốn cơng thức tính T n, chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp tốn học BÀI TẬP Chứng minh đằng thức sau với n ∈ N* a) + 2.3 + 3.4+ …… = n(n+1)= b) + + +… n2 = n ( n+1 ) (n+2) n ( n+1 ) (2 n+!) c) + + 22 + 23 + 24 + … 2n-1= 2n-1 Chứng minh rằng, với n ∈ N*.ta có: a) 52n - chía hết cho 24; b) n3 + 5n chia hết cho Chứng minh nều x > - (1 + x)n ≥ 1+ nx với n ∈ N* Cho a, b ≥ 0.Chứng minh bất đẳng thức sau với n ∈ N* an +b n a+b ≥ 2 n ( ) Chứng minh bất đẳng thức sau với số tự nhiên n≥ 2: 1+ 1 2n + + > n n+ Trong mặt phằng, cho đa giác A1A2A3… An, có n cạnh (n ≥ 3) Gọi S tổng số đo góc đa giác a) Tính S3,S4,S5, tương ứng với trường hợp đa giác tam giác, tứ giác, ngũ giác b) Từ đó, dự đốn cơng thức tính S n, chứng minh cơng thức đo phương pháp quy nạp tốn học Hàng tháng, người gửi vào ngân hàng khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng Giả sử lãi suất tháng r không đổi theo thể thức lãi kép (tiền lãi tháng trước cộng vào vốn tháng kế tiếp) Gọi Tn (n≥ 1¿là tổng tiền vốn lãi người có ngân hàng thời điểm sau gửi vào khoản thứ n + a) Tính T1,T2,T3 b) Dự đốn cơng thức tính Tn chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp tốn học Gợi ý: Lưu ý cơng thức Bạn có biết? Bài tốn Tháp Hà Nội Bài tồn Tháp Hà Nội trị chơi tồn học nhà tồn học người Pháp ÉdouardLucas (1842 - 1891) phát vào năm 1883 Ngày toàn trở nên nối tiếng thể giới, đặc biệt lĩnh vực Khoa học máy tính Tháp Hà Nội trị chơi gồm ba cột A, B, C) n đĩa có đường kính khác nhau.Mỗi đĩa có lỗ để luồn vào cột (xem Hình 1) Lúc đầu đĩa cột A, theo thử tự “nhỏ lớn dưới” Mục đích trị chơi chuyển tất đĩa từ cột A sang cột C (cột B đóng vai trị trung chuyển) cho thố mãn hai điều kiện: Mỗi bước chuyển đĩa Các đĩa chuyển qua lại cột,nhưng thời điểm đĩa cột “nhỏ lớn dưới”? Bài toán đặt là: Làm thể đề chuyển đĩa từ cột A sang cột C? Số bước bao nhiêu? Gọi Sn số bước it đề chuyển n đĩa từ cột A sang cột C (n∈ N∗¿) Có thể dễ dàng S1=1, S2=3 Với n = 3, ta thực bước Hình nhận S3=7 Giữa S3 S2, có mối liên hệ Thật vậy, để chuyển từ trạng thái đền trạng thái (4) ta cần S2 bước chuyển (Bước 1, 2,3), Tiếp đó, thực bước (Bước 4) đề chuyển trạng thái (4) sang trạng thái (5) Tiếp theo, thực S (Bước 5, 6, 7) đề chuyển trạng thái (5) đến trạng thái (8), Từ đó, ta có S3=2S2+ Tổng qt hố q trình trên, ta tìm mối liên hệ Sn Sn-1 (n≥2) Từ đó, dự đốn cơng thức tổng qt: Sn=2n - 1( n=1, 2, 3,… ) chứng minh công thức phương pháp quy nạp toán học Bạn thử thực điều nhẻ Các bạn chơi trị chơi thủ vị bổ ích với vật dụng sẵn có xung quanh đồng xu, sách, thay thể cho đĩa