Bài 1 khái niệm về khối đa diện

CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BÀI KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN A LÍ THUYẾT I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP Khối lăng trụ phần không gian giới hạn hình lăng trụ kể hình lăng trụ Khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp kể hình chóp Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Khái niệm hình đa diện Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi… hình đa diện tương ứng d Miền ngồi Điểm Điểm ngồi M Ví dụ - Các hình khối đa diện: Trang 576 N - Các hình khơng phải khối đa diện: Hình a Hình b Hình c Giải thích: Hình a khơng phải hình đa diện tồn cạnh khơng phải cạnh chung hai mặt; Hình b khơng phải hình đa diện có điểm đặc biệt hình, điểm khơng phải đỉnh chung hai đa giác; Hình c khơng phải hình đa diện tồn cạnh cạnh chung bốn đa giác III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU Phép dời hình khơng gian Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ¢ xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý r a) Phép tịnh tiến theo vectơ v , phép biến hình biến điểm M thành điểm M ¢ cho uuuuur r MM ¢= v Kí hiệu Tvr b) Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) phép biến hình biến điểm thuộc ( P ) thành nó, biến điểm M khơng thuộc ( P ) thành điểm M ¢ cho ( P ) mặt phẳng trung trực MM ¢ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) biến hình ( H ) thành ( P ) gọi mặt phẳng đối xứng ( H ) c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ¢ cho O trung điểm MM ¢ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình ( H ) thành O gọi tâm đối xứng ( H ) d) Phép đối xứng qua đường thẳng D là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng D thành nó, biến điểm M không thuộc D thành điểm M ¢ cho D đường trung trực MM ¢ Trang 577 Nếu phép đối xứng qua đường thẳng D biến hình ( H ) thành D gọi trục đối xứng ( H ) Nhận xét  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình  Phép dời hình biến đa diện ( H ) thành đa diện ( H ¢) , biến đỉnh, cạnh, mặt ( H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng ( H ¢) Ví dụ:Cho hình lập phương ABCD.A ¢B¢C ¢ D ¢ Khi đó:  Các hình chóp A.A ¢B¢C ¢D ¢ C ¢.ABCD (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A.A ¢B¢C ¢ D ¢ biến thành hình chóp C ¢.ABCD )  Các hình lăng trụ ABC.A ¢B¢C ¢ AA ¢D ¢.BB ¢C ¢ ( AB¢C ¢D) hình lăng trụ ABC.A ¢B¢C ¢ biến A thành hình lăng trụ D C B (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng AA¢D ¢.BB¢C ¢) A D C B O A' B' A' D' C' B' D' C' Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Đặc biệt, hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện đa diện IV – PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện ( H ) hợp hai khối đa diện ( H1) ( H ) cho ( H1 ) ( H ) khơng có chung điểm ta nói phân chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) Khi ta nói ghép hai khối đa diện ( H1) ( H ) để khối đa diện ( H ) Ví dụ Với khối chóp tứ giác S.ABCD , xét hai khối chóp tam giác S.ABC S.ACD Ta thấy rằng: Trang 578  Hai khối chóp S.ABC S.ACD khơng có điểm chung (tức khơng tồn điểm khối chóp điểm khối chóp ngược lại)  Hợp hai khối chóp S.ABC S.ACD khối chóp S.ABCD Vậy khối chóp S.ABCD phân chia thành hai khối chóp S.ABC S.ACD hay hai khối chóp S.ABC S.ACD ghép lại thành khối chóp S.ABCD Ví dụ Cắt khối lăng trụ ABC.A ¢B¢C ¢ mặt phẳng ( A ¢BC ) Khi đó, khối lăng trụ phân chia thành hai khối đa diện Nếu ta cắt khối chóp chóp A ¢BCC ¢ B ¢ A ¢ABC A ¢BCC ¢ B ¢ mặt phẳng ( A¢B¢C) ta chia khối chóp A ¢BCC ¢ B ¢ thành hai khối A ¢BCB¢ A ¢CC ¢ B¢ Vậy khối lăng trụ ABC.A ¢B¢C ¢ chia thành ba khối tứ diện A ¢ABC , A ¢BCB¢ A ¢CC ¢ B¢ MỘT SÔ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG +) Kết 1: Một khối đa diện có mặt +) Kết 2: Mỗi hình đa diện có đỉnh +) Kết 3: Cho  H  đa diện mà tất mặt đa giác có p cạnh Nếu số mặt  H  lẻ p phải số chẵn +) Kết 4: Cho  H  đa diện có m mặt, mà mặt đa giác có p cạnh Khi số cạnh  H  c  pm +) Kết 5: Mỗi khối đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn Trang 579 +) Kết 6: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện +) Kết 7: Mỗi đỉnh đa diện đỉnh chung cạnh +) Kết 8: Nếu khối đa diện có đỉnh đỉnh chung cạnh số đỉnh phải số chẵn Tổng quát: Một đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng đỉnh số chẵn +) Kết 9: Mỗi hình đa diện có cạnh +) Kết 10: Không tồn hình đa diện có cạnh +) Kết 11: Với số nguyên k 3 tồn hình đa diện có 2k cạnh +) Kết 12: Với số nguyên k 4 tồn hình đa diện có 2k  cạnh +) Kết 13: Khơng tồn hình đa diện có +) Số mặt lớn số cạnh; +) Số đỉnh lớn số cạnh +) Kết 14: Tồn khối đa diện có 2n mặt tam giác B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Điều kiện để hình hình đa diện – khối đa diện Phương pháp giải Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Ví dụ: Các hình khối đa diện : Các hình khối đa diện: Bài tập Bài tập 1: Cho hình sau Hình khơng phải hình đa diện Trang 580 A Hình (a) B Hình (b) C Hình (c) D Hình (d) Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng tính chất hình đa diện: Mỗi cạnh cạnh chung hai mặt; Hai mặt có đỉnh chung, có cạnh chung, khơng có điểm chung Hình d vi phạm quy tắc: có cạnh cạnh mặt Bài tập 2: Trong hình đây, hình hình đa diện? A Hình B Hình C Hình D Hình Hướng dẫn giải Chọn C Hình khơng phải hình đa diện có cạnh cạnh chung đa giác, loại A Hình khơng phải hình đa diện có cạnh cạnh chung đa giác, loại B Hình khơng phải hình đa diện có cạnh cạnh chung đa giác, loại D Hình hình đa diện thỏa mãn khái niệm hình đa diện Dạng Xác định số đỉnh, cạnh, mặt khối đa diện Phương pháp giải Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Trang 581 Ví dụ: Hình sau có 11 đỉnh, 20 cạnh, 11 mặt Bài tập Bài tập Số mặt hình đa diện hình vẽ ? A 11 B 10 C 12 D Hướng dẫn giải Chọn D Hình đa diện có mặt  ABD  ;  BDC  ;  ADC  ;  ABFE  ;  BFGC  ;  ACGE  ;  HFE  ;  HFG  ;  EHG  Bài tập 2: Cho hình đa diện hình vẽ bên Hỏi có đoạn thẳng nối đỉnh hình đa diện khơng cạnh hình đa diện? Trang 582 A 66 B 30 C 36 D 102 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có khối đa 20 mặt có 12 đỉnh Số đoạn thẳng tạo thành 12 đỉnh C12 cạnh Số cạnh khối 20 mặt 30 cạnh Vậy số đoạn thẳng nối hai đỉnh hình đa diện khơng phải cạnh hình đa diện C122  30 36 Chú ý: Hình đa diện có n đỉnh có Cn cạnh nối đỉnh hình đa diện khơng cạnh hình đa diện hiệu Cn số cạnh khối đa diện Bài tập Cho hình chóp có số đỉnh 2018, số cạnh hình chóp A 2019 B 1009 C 4036 D 4034 Hướng dẫn giải Chọn D Hình chóp có 2018 đỉnh đa giác đáy có 2017 đỉnh, nên có 2017 cạnh đáy 2017 cạnh bên Vậy hình chóp có 2017  2017 4034 cạnh Chú ý: + Hình chóp có n đỉnh có  n  1 cạnh + Hình chóp có n đỉnh có n mặt Dạng Phân chia, lắp ghép khối đa diện Phương pháp giải Nếu khối đa diện  H  hợp hai khối đa diện  H1  ,  H  cho  H1   H  khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H1   H  , hay lắp ghép hai khối đa diện  H1   H  với để khối đa diện  H  Trang 583 Bài tập Bài tập Mặt phẳng ( AB¢C ¢) chia khối lăng trụ A B C D ABC.A ¢B¢C ¢ thành khối đa diện nào? Một khối chóp tam giác khối chóp tứ giác Hai khối chóp tam giác Một khối chóp tam giác khối chóp ngũ giác Hai khối chóp tứ giác Hướng dẫn giải Chọn A Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng ( AB¢C ¢) chia khối lăng trụ chóp tam giác A.A ¢B ¢C ¢ khối chóp tứ giác ABC.A ¢B¢C ¢ thành khối A.BCC ¢ B¢ A C B C' A' B' Bài tập Lắp ghép hai khối đa diện ( H1) , ( H2 ) để tạo thành khối đa diện ( H ) , ( H1) khối chóp tứ giác có tất cạnh a , ( H ) khối tứ diện cạnh a cho mặt ( H1) trùng với mặt ( H ) hình vẽ Hỏi khối da diện ( H ) có tất mặt? A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Trang 584 Khối đa diện ( H ) có mặt Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác có mặt Khối tứ diện có mặt Ghép hai hình lại hình vẽ ta khối đa diện ( H ) có mặt Bài tập Có thể chia hình lập phương thành khối tứ diện nhau? A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Lần lượt dùng mặt phẳng ( BDD ¢B¢) ta chia thành hai khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A ¢B¢D ¢ BCD.B¢C ¢ D ¢  Với khối ABD.A ¢B ¢D ¢ ta dùng mặt phẳng ( AB¢D ¢) ( AB¢D) chia thành ba khối tứ diện  Tương tự với khối BCD.B¢C ¢D ¢ Vậy có tất khối tứ diện Dạng 4: Phép biến hình khơng gian Phương pháp giải Phép biến hình F biến điểm M thành điểm M  kí hiệu M  F  M  Qua phép biến hình F, hình  H  biến thành hình  H  gồm tất ảnh điểm thuộc hình  H  Hai hình  H   H  gọi có phép dời hình biến hình thành hình Hình  H  gọi đồng dạng với hình  H  có phép vị tự biến hình  H  thành hình  H1  mà hình  H1  hình  H  Trang 585 Bài tập Bài tập 1: Cho hình lăng trụ ABC ABC  Ảnh đoạn thẳng AB qua phép tịnh  tiến theo vectơ CC  là: A Đoạn thẳng CD B Đoạn thẳng DD C Đoạn thẳng CD D Đoạn thẳng AB Hướng dẫn giải Chọn D  A   A TCC   T  AB   AB Ta có    B  B CC TCC Bài tập 2: Cho hình chóp S ABCD hình vẽ Phép đối xứng qua mặt phẳng  SAC  biến hình chóp S.ABD thành hình chóp sau đây? A S ABC B S ABD C S ABO D S ADC Hướng dẫn giải Chọn B  Đ SAC   S  S   Đ SAC   A   A  Đ SAC   S ABD  S ADB Ta có  Đ B  D     SAC    Đ SAC   D  B Trang 586 Bài tập Cho hai đường thẳng song song d, d điểm O khơng nằm chúng Có phép vị tự tâm O biến d thành d ? A Có B Khơng có C Có hai D Có khơng có Hướng dẫn giải Chọn D + Trong trường hợp O , d, d đồng phẳng tồn phép vị tự tâm O biến d thành d + Trong trường hợp O   d, d khơng tồn phép vị tự tâm O biến d thành d Bài tập Cho hình chóp tứ giác S ABCD Số mặt phẳng qua điểm S cách điểm A, B, C , D A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Có ba mặt phẳng gồm: + Một mặt phẳng qua đỉnh hình chóp song song với  ABCD  + Hai mặt phẳng qua đỉnh hình chóp qua hai trung điểm cặp cạnh đối hình vng ABCD Bài tập Hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng? A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Trang 587 Hình lăng trụ tam giác có bốn mặt đối xứng gồm: Ba mặt mặt phẳng chứa cạnh bên hai trung điểm hai cạnh đáy khơng chung đỉnh với cạnh bên Một mặt phẳng chứa trung điểm ba cạnh bên hình lăng trụ Bài tập Gọi n1, n2, n3 số trục đối xứng khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác khối lập phương Mệnh đề sau đúng? A n1 = 0, n2 = 0, n3 = B n1 = 0, n2 = 1, n3 = C n1 = 3, n2 = 1, n3 = D n1 = 0, n2 = 1, n3 = Hướng dẫn giải Chọn C Khối tứ diện có trục đối xứng (đi qua trung điểm cặp cạnh đối diện) Khối chóp tứ giác có trục đối xứng (đi qua đỉnh tâm mặt tứ giác) Khối lập phương có trục đối xứng (Loại 1: qua tâm mặt đối diện ; Loại 2: qua trung điểm cặp cạnh đối diện) Bài tập Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Hướng dẫn giải Chọn A Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng bao gồm:  mặt phẳng qua đỉnh hình chóp chứa đường trung bình đáy  mặt phẳng qua đỉnh hình chóp chứa đường chéo đáy Bài tập Số mặt phẳng đối xứng hình tứ diện là: A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng phẳng D 10 mặt Hướng dẫn giải Chọn B Các mặt phẳng đối xứng hình tứ diện mặt phẳng chứa cạnh qua trung điểm cạnh đối diện Vậy hình tứ diện có mặt phẳng đối xứng Bài tập Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi khác có mặt phẳng đối xứng? Trang 588 A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Hướng dẫn giải Chọn D Hình hộp chữ nhật (khơng hình lập phương) có mặt phẳng đối xứng mặt mặt phẳng trung trực cặp cạnh đối Bài tập 10 Một hình hộp đứng có đáy hình thoi (khơng phải hình vng) có mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Hướng dẫn giải Chọn D Hình hộp đứng có đáy hình thoi (khơng phải hình chữ nhật) có mặt phẳng đối xứng bao gồm:  mặt phẳng chứa đường chéo đáy vng góc với đáy  Một mặt phẳng mặt phẳng trung trực cạnh bên Bài tập 11 Hình lập phương có tất mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C 10 mặt phẳng D 12 mặt phẳng Hướng dẫn giải Chọn B Có mặt đối xứng (như hình vẽ sau) Trang 589 Bài tập 12 Số mặt phẳng đối xứng hình bát diện là: A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D 12 mặt phẳng Hướng dẫn giải Chọn B Gọi bát diện ABCDEF Có mặt phẳng đối xứng, bao gồm: mặt phẳng ( ABCD) , ( BEDF ) , ( AECF ) mặt phẳng mà mặt phẳng mặt phẳng trung trực hai cạnh song song (chẳng hạn AB CD ) Bài tập 13 Có tất mặt phẳng cách bốn đỉnh tứ diện? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D Có vơ số mặt phẳng Hướng dẫn giải Chọn C Có loại mặt phẳng thỏa mãn đề là: Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm cạnh bên có chung đỉnh Có mặt phẳng thỏa mãn loại (vì có đỉnh) Trang 590 Nhận xét Loại ta thấy có điểm nằm khác phía với điểm cịn lại Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm cạnh ( cạnh thuộc cặp cạnh, cặp cạnh chéo nhau) Có mặt phẳng Nhận xét Loại ta thấy có điểm nằm khác phía với điểm lại Trang 591