Bài 6 bất phương trình mũ và bất loga chính thức

BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bất phương trình mũ Cách giai bất phương trình mũ đơn giản a) Đưa số a f  x  a g  x  0  a     f  x   g  x     a    f  x   g  x   b) Đặt ẩn phụ f  x  a f  x    a f  x    0 Đặt t a ,  t   c) Phương pháp logarit hóa  0  a     f  x   log a b f ( x) a b     a    f  x   log a b  a f ( x)  b g ( x)  a   b   f ( x)  g ( x).log a    a 1     f ( x)  g ( x).log ba II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bất phương pháp logarit Cách giải số bất phương trình logarit đơn giản a) Đưa số  0  a     f  x   g  x  log a f  x   log a g  x     a    f  x   g  x   b) Phương pháp mũ hóa  af (1x )  ab  log a f ( x)  b   0 a 1   0 f ( x ) ab  B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa số Phương pháp a Bất phương trình mũ Trang 354 éìï a >1 êïí êï f ( x) £ g ( x) êïỵ ê f ( x) g( x ) a £ a Û êa = ê êïì < a 1 êïí êï f ( x) £ log b a êïỵ ê êìïï < a ) ëïỵ éìï a > êïï êïb £ êíï êï êïïỵ f ( x ) có nghia ê êìï a >1 êïï ï Û ê êíï b > êï êïïỵ f ( x ) > log a b ê êìï < a êíï êï f ( x) ï ê a > b ëïỵ f ( x ) < log a b ● Bất phương trình ìï a > ï í ïï ( a - 1) éf ( x ) - g ( x ) ù£ ë û ) î b Bất phương trình logarit éìï a >1 êïí êï < f ( x ) £ g ( x ) êï log a f ( x) £ log a g ( x ) Û êỵ êìïï < a í ïï g ( x ) > ïï ù ïï ( a - 1) é ëf ( x ) - g ( x ) û£ ) ỵ éìï a >1 êïí êï < f ( x) £ a b êï log a f ( x ) £ b Û êỵ êìïï < a 1 êïí êï f ( x ) > a b êỵï log a f ( x ) ³ b Û ê êïìï < a ( < a ¹ 1) Û ïí ïï f ( t ) = ỵ f ( x) f x + n.a ( ) + p = ● m.a Trang 362 ● m.a m.a f ( x) + n.b f ( x) f ( x) + p = , a.b = Đặt t = a + n.( a.b) f ( x) ● b Bất phương logarit Tổng quát: + p.b f ( x) =0 f ( x) Chia hai vế cho b , t > , suy b f ( x) = t f ( x) ỉa ÷ ç ÷ ç ÷ =t >0 ç è ø b đặt f ( x) ì ï t = log a f ( x) ( < a ¹ 1) Û ïí ïï f ( t ) = ỵ ù fé ëlog a f ( x ) û= Bài tập log 100 x Bài tập Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 4.3 A 10 B C    9.4 log  10 x   13.61log x D 11 Lời giải Chọn C ĐK: x   3  4.  2.log  10 x  2.log  10 x  log  10 x   2  9.2  13.6 PT  4.3  3 t    2 Đặt 2log  10 x   3  13.   2 log  10 x  9 0 log  10 x  0 phương trình trở thành: 4t  13t     t   3 1    2 Do log  10 x      log  10 x     x  10 Số nghiệm nguyên bất phương trình Bài tập Xét bất phương trình log 22 x   m  1 log x   bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng   m    ;0  m   0;    A B  2;   Tìm tất giá trị tham số m để    m    ;     C Lời giải D m    ;0  Chọn C Điều kiện: x  log 22 x   m  1 log x      log x    m  1 log x    1 log x  log 2  1  t   ;   2  Do Đặt t log x Vì x  nên  1 thành   t    m  1 t    t  2mt     1   ;    Cách 1: Yêu cầu tốn tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc  2 Xét bất phương trình (2) có:  ' m   0, m   Trang 363 A m    ; 0 C m   0;1 B m   0;    D Lời giải m    ;    1;    Chọn A x   m  x  1   m  Ta có: 4x 4x  m  x 1  x  1 m t2 , t   0;     t  1 x Đặt t 2 , t  Yêu cầu toán tương đương với  2t  t  1  t  t  2t t2  f t       f  t  ,t    t  1   t  1  t  1 Đặt ,  t 0 f  t  0    t  Bảng biến thiên (Bố sung đầu mũi tên bbt  vào nhé) -∞ t -2 f'(t) + -1 - - 0 +∞ + f(t) +∞ Dựa vào bảng biến thiên có m 0 Bài tập 10 Xét bất phương trình log 22 x   m  1 log x    để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng   m    ;0  m   0;    A B 2;   Tìm tất giá trị tham số m    m    ;     C Lời giải D m    ;0  Chọn C Điều kiện: x  log 22 x   m  1 log x      log x    m  1 log x   Đặt t log x Vì x  nên  1 1 t  thành   1 log x  log 2  1  t   ;   2  Do   m  1 t    t  2mt     1   ;    Cách 1: Yêu cầu tốn tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc  2 Xét bất phương trình (2) có:  ' m   0, m   f  t  t  2mt  0 có ac  nên (2) ln có nghiệm phân biệt t1   t2 Trang 367 1  t2  m  m    m   Khi cần t2  1  t  2mt    f  t   < m t   2t 2  Cách 2:   m    ;   f  t 0;       Khảo sát hàm số ta Bài tập 11 Tìm giá trị gần tng cỏc nghim ca bt phng trỡnh sau: ổ ỗ ç 22 22 ç ç 2log 2x - 2log x +5 ỗ ỗ 3 ỗ ỗ ố A 12,3 ÷ ÷ ÷ ÷ 13 + + ÷ ( 24 x6 - x5 + 27 x4 - x3 +1997 x2 + 2016) £ ÷ log 22 x log 22 x ÷ ÷ ÷ ø 3 C 12,1 Lời giải B 12 D 12, Chọn C Điều kiện:  x 1 Ta có 24 x  x  27 x  x  1997 x  2016 2  x  x    x  1  22 x  26 x  1997 x  2015  , x Do bất phương trình cho tương đương với     22 22  log x  log x   13  log x  log x   0 22 22   3   Đặt t log x 22 , ta có bất phương trình 2t  2t   2t  4t   13   1  3 t       2  2 1 t   12  13   3     13  u  t  ;  u  v u v  v   t ;1   Ta có  2  Đặt t 22     2t  3  3t  t   x   12, 06   Dấu xảy  t x x 1 Bài tập 12 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình  m.2   2m 0 có nghiệm thực A m 2 B m 3 C m 5 D m 1 Lời giải Chọn D x x 1   x   2m.2 x   2m 0 Ta có  m.2   2m 0 x t  t   Đặt t2   m 2t  Ta có bất phương trình tương đương với t  2m.t   2m 0 Trang 368 t2  f t  2t   0;   Xét 2t  4t  f  t     2t   ; f  t  0 Bảng biến thiên t 1  t  Vậy để bất phương trình có nghiệm thực m 1 Bài tập 13 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình x   1;64  nghiệm với giá trị A m 0 B m 0 C m  Lời giải Chọn B  log x   log x  m 0   log x   log x  m 0 Ta có x   1; 64  t   0;  Đặt log x t , 2  m  t  t  * Khi đó, ta có t  t  m 0 f t  t  t t   0;  Xét hàm số   với f  t  2t   0, t   0;  Ta có   Ta có bảng biến thiên: Bất phương trình cho với t   0;   m 0 x   1; 64  A B   log x  m 0 D m  bất phương trình Bài tập 14 Có giá trị dương tham số thực log 22 x  log x  m  log x    log x có nghiệm thuộc C m  * với để bất phương trình  32;    ? D Lời giải Chọn D Trang 369  0  x  x     x 8 log x  log x  0 Điều kiện xác định:  32;    Hàm số xác định  log 22 x  log x  m  log x    log 22 x  log x  m  log x   5;   Đặt t log x Khi x 32 , ta có miền giá trị t  Bất phương trình có dạng: t  2t  m  t  3  m  t  2t  t 1  m2  t t 4 t 1 f  t   f  t  t  3 5;      t  Xét hàm số có nên hàm số nghịch biến  5;    lim f  t  1 f 3  f  t  3 Do x     nên ta có Do với t có giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm 32;    thuộc  m2  f  t  bất phương trình có nghiệm  5;    Khi đó: m   m  Do khơng có số ngun dương m thỏa mãn Bài tập 15 Có giá trị nguyên dương tham số m x  x m  2.3 x2  x  m  2 x A 3 x để bất phương trình có nghiệm? C Lời giải B D Chọn D Điều kiện x  3x  m 0 (*) x  x m  03  2.3 x  x  m  2 x x  x m  x 3  3  x 3  x2  x m  x   x2  x  m  x x  3x  m  x     0 27 x  3x  m  x   x  x  m 0  x  x  m 0    x    x   x  3x  m  x  x  x   m    4 m   m  Do m nguyên dương nên m 1 thỏa mãn (*) Bài tập 16 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log  5x  1 log  2.5x   m A m 6 có nghiệm với x 1 B m  C m 6 Lời giải D m  Chọn C Điều kiện bất phương trình: x  Ta có log  5x  1 log  2.5x   m  log  5x  1   log  x  1  m  1 Trang 370 t log  x  1 2 , với x 1 ta có t 2 Khi   trở thành m t  t   f t t  t 2;   f  t 2t   t   2;   Xét hàm số    ta có   , m min f  t   2; Do để bất phương trình cho có nghiệm với t 2 hay m 6 Bài tập 17 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình Đặt m.4 x   m  1 x 2  m   nghiệm x   ? B m 1 C  m 4 Lời giải A m 3 D m 0 Chọn B Bất phương trình x x x  m.4 x   m  1 x  m    m  4.2    4.2    4.2 x  m x  4.2 x  4t  m x t  4t  Để bất phương trình ban đầu nghiệm Đặt t (Điều kiện t  ) Khi 4t  m t  4t  nghiệm t  x   bất phương trình f t  4t  t  4t 1  f  t   Đặt Hàm số nghịch biến  0;  4t  2t t   4t   0, t  4t  m t  4t  t  m  f   1 Khi x   m  x  1  Bài tập 18 Tìm tất giá trị tham số m bất phương trình có nghiệm x   m    ; 0 m   0;    A B m   0;1 m    ;    1;    C D Lời giải Chọn A 4x 4x x   m  x  1   m  x  m 1  x  1 Ta có: m t2 , t   0;     t  1 x Đặt t 2 , t  Yêu cầu toán tương đương với  2t  t  1  t  t  2t t2   f  t  , t  f  t      t  1   t  1  t  1 Đặt ,  t 0 f  t  0    t  Bảng biến thiên (Bố sung đầu mũi tên bbt  vào nhé) Trang 371 -∞ t -2 f'(t) + -1 - - 0 f(t) +∞ + +∞ Dựa vào bảng biến thiên có m 0 Dạng 3: Phương pháp logarit hóa Phương pháp a f ( x) > b g( x) Với bất phương tình éïì a >1 êïí êï f ( x) > g ( x ) log b a êï Û êỵ êïìï < a