Bài 3 giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Cho hàm số y  f  x  xác định tập D +) Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y  f  x  tập D f  x  M với x  D tồn x0  D cho f  x0  M f  x Kí hiệu: M max D +) Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y  f  x  tập D f  x  m với x  D tồn x0  D cho f  x0  m f  x Kí hiệu: m min D SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y  f  x  tập D f  x  M với x  D tồn x0  D cho f  x0  M f  x Kí hiệu: M max D Cho hàm số y  f  x  xác định tập D Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y  f  x  tập D f  x  m với x  D tồn x0  D cho f  x0  m f  x Kí hiệu: m min D Trang 107 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN hàm số y = f(x) khoảng Phương pháp giải Ta thực bước sau Bước Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng) Bước Tính y   f  x  ; tìm điểm mà đạo hàm khơng không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải Bước Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f  x  miền (a; b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE (MODE lập bảng giá trị) Bước Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn xuất max, giá trị nhỏ xuất - Ta thiết lập miền giá trị biến x Start a End b Step b a (có thể làm trịn để Step đẹp) 19 Chú ý: Khi đề liên có yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính chế độ Radian Bài tập Bài tập Cho hàm số f  x   x  x  x  x  Khẳng định sau đúng? A max f  x   17 30 B max f  x   C max f  x   67 30 D Hàm số không tồn giá trị lớn    47 30 Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D  4 Ta có f  x   x  x  x    x  1  x  1 Khi f  x  0    x  1  x  1 0  x 1 Bảng biến thiên Trang 108 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f  x    47 x 1 30 Bài tập Gọi a giá trị lớn hàm số f  x   biểu thức P  A  8x khoảng   ; 1 Khi giá trị x2   8a a2  22 B 13 C  58 65 D  74 101 Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số liên tục khoảng   ; 1 Ta có f  x   x  12 x  x  1  x 2    ; 1  Khi f  x  0  x  12 x  0   x     ; 1  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f  x  8  P    ; 1 Bài tập Cho hàm số y  f  x    8a 58  a 1 65 x2  x  Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? x2  x  1 f  x  1 A  B f  x   f  x  3 C  D Hàm số khơng có giá trị nhỏ  Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D  Ta có  x  x  1  x  x  1 2x 2x2   y  f  x  1   y   2 x  x 1  x2  x  1  x2  x  1 Do y  0  x  0  x 1 Bảng biến thiên Trang 109 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f  x    x 1 Dạng 2: Tìm GTLN GTNN hàm số đoạn Phương pháp giải Bước Tính f  x  Bước Tìm điểm xi   a; b  mà f  xi  0 f  xi  không xác định Bước Tính f  a  , f  xi  , f  b  Bước Tìm số lớn M số nhỏ m số f  x  m min f  x  Khi M max  a ; b  a ; b Chú ý: Trang 110  max f  x   f  b  +) Hàm số y  f  x  đồng biến đoạn [a; b]   f  x   f  a   max f  x   f  a  +) Hàm số y  f  x  nghịch biến đoạn [a; b]   f  x   f  b  Bài tập 2 x2     Bài tập Cho hàm số y  Giá trị  y    max y  x   2; 3    2; 3  A 16 B 45 C 25 D 89 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có y   3  x  1  0, x 1 , hàm số nghịch biến khoảng   ; 1 ;  1;     Hàm số nghịch biến [2; 3] Do y  y  3  ; max y  y   4  2; 3  2; 3 2 89  5 Vậy  y    max y        2; 3    2; 3   2 Bài tập Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số y  x   x Giá trị biểu thức P  M  m A   21 B   1 C 1 D 21 Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D   2; 2 Ta có y  1  y  0  y   2 x  x2   x2  x  x2 , x    2;   x 0  x2  x    x 2    2;    2; y  0; y   2; y     Vậy M 2 2, m   P 2  2   21 Bài tập Giá trị nhỏ hàm số y 2 x3  3x  m đoạn [0; 5] m A B 10 C D Hướng dẫn giải Trang 111 Chọn A Hàm số xác định liên tục D  0; 5  x 0  D Ta có y  0  x  x 0    x 1  D f   m; f  1 m  1; f   175  m f  x   f  1 m  Dễ thấy f    f    f  1 , m   nên  0; 5 f  x  5  m  5  m 6 Theo đề  0; 5 Bài tập Gọi A, B giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y  x  m2  m đoạn [2; 3] Tất x 13 giá trị thực tham số m để A  B  A m 1; m  B m  C m 2 D m  1; m 2 Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số cho liên tục đoạn [2; 3] Ta có y     m  m  1  x  1  0, m m2  m   A  y  3  ; B  y   m  m  2 13 m2  m  13 Do A  B    m2  m   2  m 1  3m  m  0    m  Bài tập Biết hàm số y  x  3mx   2m  1 x  (với m tham số) đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn Các giá trị tham số m A m 1 B m 0 C m 3 D m  Hướng dẫn giải Chọn D  x  y  0    x 1  2m y 6 nên giá trị lớn không đạt x  2; x 0 Do Vì y     1; y   1 theo max   2; 0 giá trị lớn đạt y   1 y   2m  Ta có y   1  3m  3, y   2m    2m   m  2 1 - Trường hợp 1: Xét  3m  6  m  Trang 112  x     2; 0 Thử lại với m  , ta có y  0   nên m  giá trị cần tìm  x 3    2; 0   2m   m    6  - Trường hợp 2: Xét      2m  Vì   2m   m   5  1  m 2  1  m   m      2m   m    nên (1) vô nghiệm 2 Dạng 3: Tìm GTLN – GTNN hàm số y = |f(x)| đoạn [a; b] Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f  x  đoạn  a; b  , giả sử thứ tự M, m Bước y max  M ; m  +) Tìm max  a ; b y +) Tìm  a ; b y 0 - Trường hợp 1: M m    a; b y m - Trường hợp 2: m 0   a; b y  M  M - Trường hợp 3: M 0   a ; b Bước Kết luận * Tìm tham số để GTLN hàm số y = |f(x)| đoạn [α, β] ] k Thực theo bước sau f  x  max  A ; B  Bước Tìm max ;  ;   Bước Xét trường hợp +) A k tìm m, thử lại giá trị m +) B k tìm m, thử lại giá trị m Bài tập Bài tập Giá trị nhỏ hàm số y  x  x  24 x  68 đoạn [-1; 4] A 48 B 52 C -102 D Hướng dẫn giải Chọn A Bảng biến thiên hàm số y  x  x  24 x  68   1; 4 Trang 113 Suy bảng biến thiên hàm số y  x  x  24 x  68 đoạn   1; 4 Vậy giá trị nhỏ hàm số y  x  x  24 x  68 đoạn   1; 4 48 Cách khác: Theo trường hợp M  48   y 48 Bài tập 2: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số x  mx  m y đoạn [1; 2] x 1 Số phần tử tập S A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Xét hàm số y  f  x   Ta có y   x2  2x  x  1 Mặt khác f  1  x  mx  m x 1  x 0   1; 2 0    x    1; 2 2m  3m  ; f  2   2m  3m   y max  ; Do max   1; 2   - Trường hợp 1:  m  2m  max y  2    1; 2  m   3m  17   (loại) +) Với m   Trang 114 +) Với m  3m     (thỏa mãn) - Trường hợp 2:  m  3m  max y  2   1;    m  10  2m    (thỏa mãn) +) Với m   +) Với m  10 2m  17    (loại) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn Bài tập Gọi S tập giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số f  x  x  14 x  48x  m  30 đoạn [0; 2] không vượt 30 Tổng phần tử S A 108 B 120 C 210 D 136 Hướng dẫn giải Chọn D Xét hàm số g  x   x  14 x  48 x  m  30 đoạn [0; 2]  x    0; 2  Ta có g  x   x  28 x  48  g  x  0   x 2   0; 2   x 4   0; 2  g   30 g  x  30    Để max  0; 2  g   30  m  30 30  m 16   m  14 30  m   0;1; 2; ; 15; 16 Tổng phần tử S 136 Bài tập Biết giá trị lớn hàm số y   x  x   m 18 Mệnh đề sau đúng? A  m  B 10  m  15 C  m  10 D 15  m  20 Hướng dẫn giải Chọn D Xét hàm số g  x    x  x  Ta có g  x   x 4 x liên tục tập xác định [-2; 2]   g   x  0  x  x2  0, x    2;  Trang 115   x 0  x2  x    x     2;  2 4  x  x g     ;g     24 Do max g  x     2; 2 Theo ; g  2  5 x  , suy giá trị lớn hàm số  m 2  m 18  m 15,5 Vậy 15  m  20 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN hàm số y = |f(x) + g(m)| đoạn [a; b] đạt GTNN Phương pháp giải Thực bước sau f  x  ;  min f  x  Bước Tìm  max  a ; b  a ; b Bước Gọi M giá trị lớn y  f  x   g  m    M max   g  m  ;   g  m     g  m    g  m    g  m     g  m Dấu xảy   g  m     g  m  Áp dụng bất đẳng thức   g  m     g  m    g  m    g  m    Dấu xảy    g  m       g  m   0 Bước Kết luận M       g  m   2 Bài tập Bài tập 1: Biết giá trị lớn hàm số y  x  x  m  đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị tham số m A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Đặt f  x   x  x Ta có f  x  2 x  2; f  x  0  x     2; 1 f    0; f  1 3; f   1  f  x  3; f  x   Do max   2; 1   2; 1 Trang 116