Giới thiệu hàm 1 biến số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA CƠ BẢN – BỘ MƠN TỐN BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Hàm số biến số thực Giới thiệu học phần Học phần cung cấp kiến thức giới hạn liên tục hàm biến, phép tính vi phân hàm biến (đạo hàm, vi phân, ứng dụng), phép tính tích phân hàm biến (tích phân bất định, tích phân xác định, ứng dụng tích phân xác định, tích phân suy rộng), phép tính vi phân hàm nhiều biến (đạo hàm, vi phân hàm nhiều biến, cực trị hàm nhiều biến) Đây phần kiến thức cần thiết để sinh viên tiếp thu học phần khác tất chuyên ngành kinh tế, kỹ thuật TÀI LIỆU THAM KHẢO • [1] Bộ mơn Tốn, Bài giảng giải tích (lưu hành nội bộ), Trường đại Học GTVT TP.HCM, 2019 • [2] Đỗ Cơng Khanh (chủ biên), Tốn cao cấp – Giải tích hàm nhiều biến phương trình vi phân, NXB ĐHQG TPHCM, 2010 • [3] Nguyễn Đình trí (chủ biên), Giáo trình Tốn cao cấp, tập 1, tập NXB Giáo dục, Hà nội, 2005 • [4] Jean – Marie Monier, Giáo trình Tốn, Tập 1, 2, NXB Giáo dục, Hà nội, 2006 (dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris, 1996) • [5] George B Thomas, Jr Thomas’ Calculus,twelfth edition, Pearson, 2010 CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Hàm số biến số thực 1.1 Hàm số đồ thị hàm số ❖ Bài toán mở đầu • Hàm số 𝑓 từ tập hợp 𝐷 vào tập hợp số thực 𝑅 quy tắc biến phần tử 𝑥𝜖𝐷 thành số thực 𝑦 • Cách xác định ký hiệu hàm số: Cách 1: Xác định hàm số công thức 𝑦 = 𝑓(𝑥) Cách 2: Xác định hàm số kiểu ánh xạ (chỉ rõ tập xác định 𝐷) 𝑓: 𝐷 → 𝑅 𝑥↦𝑦=𝑓 𝑥 Cách 3: Xác định hàm số cách cho bảng giá trị • Tập hợp 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑓 𝑥 xác định} gọi tập xác định hàm số • Tập hợp 𝑇 = 𝑦 ∈ 𝑅Τ𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷 gọi tập giá trị hàm số • Tập hợp 𝐺𝑓 = 𝑀 𝑥, 𝑓 𝑥 ∈ 𝑂𝑥𝑦Τ𝑥 ∈ 𝐷 gọi đồ thị hàm số ❖ Ví dụ Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 − Ta có: ▪ Tập xđ: 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 1} = [1; +∞) ▪ Tập giá trị 𝑇 = 𝑦 ∈ 𝑅Τ𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑥 ∈ 𝐷 = [0; +∞) ▪ Đồ thị 𝐺𝑓 = 𝑀 𝑥, 𝑥 − ∈ 𝑂𝑥𝑦Τ𝑥 ∈ [1; +∞) 𝑦 𝟐 𝟎 𝟏 𝟒 𝑥 ❖ b) Tiêu chuẩn đường thẳng đứng • Với giá trị 𝑥 = 𝑎 thuộc tập xác định 𝐷 ta xác định giá trị 𝑦 = 𝑓 𝑎 , đó, đường thẳng đứng 𝑥 = 𝑎 cắt đồ thị hàm số điểm • Đây tiêu chuẩn để nhận biết đường cong có phải đồ thị hàm số hay không 𝑥=𝑎 𝑦 𝑥=𝑎 𝑦 𝟐 𝟎 𝑎𝟏 𝟒 Đường cong đồ thị hàm số 𝑥 𝟎 𝑎 𝑥 Đường cong đồ thị hàm số c) Hàm xác định khúc (Hàm nhiều công thức) Đó hàm số mơ tả nhiều công thức khác miền khác đối số Ví dụ: −𝑥, 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≤ 𝑥 , 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ , 𝑘ℎ𝑖 < 𝑥 < a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 = ൜ ; b) 𝑓(𝑥) = ቐ 𝑥 −𝑥 , 𝑛ế𝑢 𝑥 < 1, 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≥ b) Tiêu chuẩn đường thẳng đứng Hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) gọi hàm chẵn theo 𝑥 thoả điều kiện: • 𝑓 có txđ 𝐷 tập đối xứng, tức là: ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⇒ −𝑥𝜖𝐷; • 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷 Hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) gọi hàm lẻ theo 𝑥 thoả điều kiện: • 𝑓 có txđ 𝐷 tập đối xứng, tức là: ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⇒ −𝑥𝜖𝐷; • 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷 ❖ Ví dụ 𝑦 a) Hàm f(x) = 𝑥2 hàm chẵn vì: • 𝑓 có txđ 𝐷 = 𝑅 ∀𝑥 ∈ R ⇒ −𝑥 ∈ 𝑅; • 𝑓 −𝑥 = (−𝑥)2 = 𝑥2 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 𝒇 −𝒙 = 𝒇(𝒙) −𝒙 𝒙 𝑥 ❖ Ví dụ b) Hàm f(x) = 𝑥 hàm lẻ vì: • 𝑓 có txđ 𝑅 ∀𝑥 ∈ R ⇒ −𝑥 ∈ 𝑅 • 𝑓 −𝑥 = (−𝑥)3 = 𝑥2 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ R c) Hàm f(x) = 𝑥 khơng chẵn, khơng lẻ 𝑓 có TXĐ 𝐷 = [0; +∞) không đối xứng tồn ∈ [0; +∞) − ∉ [0; +∞) d) Hàm f(x) = 2𝑥 + không lẻ vì: khơng chẵn, 𝑓(−1) = ≠ 𝑓 = ≠ −𝑓(1) = −6 𝑦 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 𝒇(𝒙) −𝒙 𝒇 −𝒙 𝒙 𝑥 1.2 Hàm hợp (Composite functions) ❖ Định nghĩa Nếu f g hàm số, hàm số hợp 𝑓0 𝑔 định nghĩa là: 𝑓0 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 ❖ Ví dụ Cho 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1, tìm hàm hợp sau: a) 𝑓0 𝑔 b) 𝑔0 𝑓 c) 𝑓0 𝑓 d) 𝑔0 𝑔 Giải a) f0 g x = f g x = g(x) = x + b) g f x = g f x = f x + = x + c) f0 f x = f f x d) g g x = g g x = f(x) = x = 𝑔 𝑥 + = x + + = x + 1.3 Hàm số ngược ❖ Định nghĩa Hàm f gọi hàm 1-1 (one to one function), khơng nhận giá trị hai lần, có nghĩa: ∀𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2 hay 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 𝑦 𝑓 𝑥2 𝑓 𝑥1 𝑥 𝑥2 𝑥 Tiêu chuẩn đường nằm ngang: Hàm f 1-1 khơng có đường thẳng nằm ngang (song song với 0x ) cắt đồ thị nhiều điểm ❖ Ví dụ a) Hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 hàm 1-1 với 𝑥1 , 𝑥2 mà 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑥13 ≠ 𝑥23 ⇒ 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2 b) Hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 hàm 1-1 Vì tồn 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −1 hai đối số khác nhưng: 𝑓 = = 𝑓 −1 ⋅ 𝑦 𝑦 𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝑥23 𝟏 𝑥1 −𝟏 𝟏 𝑥 Vi phạm Tiêu chuẩn đường nằm ngang 𝑥2 𝑥 𝑥13 Thoả mãn Tiêu chuẩn đường nằm ngang ❖ Định nghĩa Cho f hàm 1-1, có tập xác định A tập giá trị B 𝑓: 𝑨 → 𝑩 𝑥↦𝑦=𝑓 𝑥 Hàm ngược 𝑓 ký hiệu 𝑓 −1 xác định sau: 𝑓 −1 : 𝑩 → 𝑨 𝑦 ↦ 𝑥 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑦 = 𝑓 𝑥 ❖ Cách tìm hàm ngược hàm 1-1: B1 Giải phương trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 , thu x = 𝑔 𝑦 B2 Hoán đổi ký hiệu đối số với hàm số ta 𝑦 = 𝑔 𝑥 ❖ Ví dụ CMR 𝑦 = 𝑓 𝑥 = −1 − 𝑥 hàm 1-1 TXĐ nó, tìm hàm ngược vẽ đồ thị hàm hệ trục tọa độ Giải TXĐ: 𝐷 = −∞; −1 , TGT: T = [0, ∞) Giả sử 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ⇒ −1 − 𝑥1 = −1 − 𝑥2 ⇒ −1 − 𝑥1 = −1 − 𝑥2 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 Vậy f hàm 1-1 Tìm x theo y: 𝑦 = −1 − 𝑥 𝑦≥0 𝑦≥0 ⇔ቊ ⇔ቊ 𝑦 = −1 − 𝑥 𝑥 = −1 − 𝑦 Hoán đổi ký hiệu x với y được: 𝑦 = −1 − 𝑥 (với x ≥ 0) hàm số ngược hàm số cho Tức 𝑦 = 𝑓 −1 𝑥 = −1 − 𝑥 1.4 Các hàm số sơ cấp ❖ Định nghĩa (Hàm sơ cấp bản) Các hàm số đơn giản kết hợp với phép toán giải tích ta xây dựng nên hàm sơ cấp, ta gọi chúng hàm sơ cấp Hiện hàm sơ cấp tạo lập hầu hết hệ máy tính bỏ túi, phần mềm tính tốn giảng dạy kỹ chương trình phổ thơng Đó là: 1) Hàm số f 𝑥 = 𝐶 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑥 ∈ 𝑅 2) Hàm số luỹ thừa f 𝑥 = 𝑥 𝛼 𝛼 ∈ 𝑅 3) Hàm số mũ 𝑦 = 𝑎 𝑥 ; < 𝑎 ≠ 4) Hàm số logarit y = log𝑎 𝑥, < 𝑎 ≠ 5) Hàm lượng giác bản: 𝑓(𝑥)=sinx, f(𝑥)=cosx, f(𝑥)=tanx,f(𝑥)=cotx 6) Các hàm lượng giác ngược: 𝑓(𝑥)=arcsinx, f(𝑥)=arccosx, f(𝑥)=arctanx, f(𝑥)=arccotx 7) Hàm số đa thức f 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 8) Hàm hữu tỷ: f 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 𝑄𝑚 𝑥 với 𝑃𝑛 𝑥 , 𝑄𝑛 𝑥 đa thức 9) Hàm đại số (còn gọi hàm vơ tỷ) tạo nên từ phép tốn đại số cộng, trừ, nhân, chia kết hợp với phép khai đa thức 10) Hàm hyperbolic, hàm hyperbolic ngược (Xem GT) Chú ý: Hàm siêu việt hàm số mà hàm đại số, bao gồm: hàm lượng giác; hàm lượng giác ngược; hàm mũ; hàm logarit; hàm hyperbolic; hàm hyperbolic ngược, nhiều hàm khác ❖ Định nghĩa (Hàm sơ cấp) Hàm số sơ cấp làm số số cho biểu thức giải tích xây dựng từ hàm số sơ cấp số phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia, phép lấy hàm hợp ❖ Ví dụ Hàm đa thức 𝑦 = 4𝑥 + 2𝑥 − hàm số sơ cấp Hàm số 𝑦 = sin( 4𝑥 + 2𝑥 − 3) hàm hợp hàm sin với hàm đa thức nên hàm sơ cấp Hàm số 𝑦 = 2𝑥−3 + 𝑥−1 2x tan( 3x − 2) hàm sơ cấp 𝑥 , 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ nhiều −𝑥 , 𝑛ế𝑢 𝑥 < công thức nên hàm số sơ cấp Hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 = ቊ Nhắc lại tính chất hàm số sơ cấp 𝑦 ❖ Hàm hằng: f: R → R 𝑪 x ↦ f(x) = C 𝛼 𝒇(𝒙) = 𝑪 𝑥 ❖ Hàm lũy thừa 𝑦 = 𝑥 Hàm lũy thừa có tập xác định tập giá trị tùy thuộc vào số mũ ❑ Ví dụ: a) 𝑦 = 𝑥 có tập xác định 𝐷 = 𝑅 b) y = 𝑥 −3 = 𝑥3 có tập xác định D = R\{0} c) 𝑦 = 𝑥 = 𝑥 có tập xác định D = [0;+∞) d) 𝑦 = 𝑥 e) 𝑦 = 𝑥 −2 3 = 𝑥2 có tập xác định D = R\{0} có tập xác định D = (0;+∞) ❖ Hàm mũ 𝑦 = 𝑎 𝑥 ; < 𝑎 ≠ TXĐ: D=R TGT T= 0;+∞ Hàm số đồng biến 𝒂 > 𝟏 Hàm số nghịch biến 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 𝒚 = 𝒂𝒙 ; 𝒂 > 𝟏 𝒚 = 𝒂𝒙 , 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 ❖ Hàm số logarit y=log𝒂 𝒙, (𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏) TXĐ: D= 0;+∞ TGT T=R Hàm số đồng biến 𝒂 > 𝟏 Hàm số nghịch biến 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 𝑦 𝟏 𝑥 ❖ Hàm lượng giác 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝟏 ❖ Hàm sin: -𝝅 𝑠𝑖𝑛: 𝑅 [−1; 1] 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ❖ Hàm cosin: cos: 𝑅 [−1; 1] 𝑥 ↦ 𝑦 = cos𝑥 𝝅 -2𝝅 2𝝅 -𝟏 𝟏 𝝅 -𝝅 -2𝝅 𝒚 = cos𝐱 -𝟏 2𝝅 ❖ Hàm tan: 𝜋 tan: 𝑅 \ + 𝑘𝜋 𝑅 𝑥 ↦ 𝑦 = tanx ❖ Hàm cot: cot: 𝑅 \ 𝑘𝜋 𝑅 𝑥 ↦ 𝑦 = cotx 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧𝐱 𝟑𝝅 -𝟐 −𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝟑𝝅 𝟐 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭𝐱 -2𝝅 𝝅 -𝝅 2𝝅 𝒚 Hàm lượng giác ngược: 𝝅 𝟐 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 ❖ Hàm arcsin: 𝜋 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛:[ − 1; 1] → − ; 2 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 −𝟏 𝟏 𝟎 − 𝒙 𝝅 𝟐 𝑦 ❖ Hàm arctan: 𝜋 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛: 𝑅 → (− ; ) 2 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝝅 𝟐 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 𝑥 − 𝝅 𝟐 𝒚 ❖ Hàm arccos: 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 𝝅 arccos: [−1; 1] → [0; 𝜋] 𝑥 ↦ 𝑦 = arccosx 𝝅 𝟐 𝟎 −𝟏 ❖ Hàm arccot: arccot: R → (0; 𝜋) 𝑥 ↦ 𝑦 = arccotx 𝟏 𝒙 𝑦 𝝅 𝝅 𝟐 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕𝒙 𝑥