Tên đề tài (Tahoma font, size 12) SỞ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TÍNH TOÁN BÁO CÁO TỔNG KẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Đơn vị thực hi[.]
SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Đơn vị thực hiện: Phịng Thí nghiệm mở (Open Lab) Chủ nhiệm nhiệm vụ: TS Nguyễn Văn Huấn TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 9/2019 SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Viện trưởng: Nguyễn Kỳ Phùng Đơn vị thực hiện: Phịng Thí nghiệm mở (Open Lab) Chủ nhiệm nhiệm vụ: TS Nguyễn Văn Huấn Nguyễn Văn Huấn TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 9/2019 Một số vấn đề chọn lọc lý thuyết xác suất ứng dụng MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ĐƠN VỊ THỰC HIỆN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I Báo cáo khoa học II Tài liệu khoa học xuất 28 III Chương trình giáo dục đào tạo 29 IV Hội nghị, hội thảo 30 V File liệu 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 CÁC PHỤ LỤC 37 PHỤ LỤC 1: “On the complete convergence of sequences of random elements in Banach spaces” PHỤ LỤC 2: “Complete convergence and strong laws of large numbers for double arrays of convex compact integrable random sets and applications for random fuzzy variables” PHỤ LỤC 3: ‘Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for arrays of measurable operators under some conditions of uniform integrability” PHỤ LỤC 4: “Multivalued strong laws of large numbers for triangular arrays with gap topology” PHỤ LỤC 5: Minh chứng đào tạo sau đại học PHỤ LỤC 6: Minh chứng tham gia hội thảo khoa học Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một số vấn đề chọn lọc lý thuyết xác suất ứng dụng MỞ ĐẦU Sự hội tụ biến ngẫu nhiên lý thuyết xác suất vấn đề thời sự, nhiều nhà khoa học quan tâm có ảnh hưởng to lớn đến phát triển lý thuyết xác suất, thống kê toán học ứng dụng chúng Dựa vào kết mà cộng đồng khoa học quốc tế đạt năm gần đây, nhiệm vụ này, chúng tơi tập trung nghiên cứu vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất liên quan đến hội tụ biến ngẫu nhiên đơn trị, biến ngẫu nhiên đa trị biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập mờ với điều kiện khác Một số định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn (xác suất lượng tử) ứng dụng copula nhiều chiều nghiên cứu Hsu Robbins [23] giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ chứng minh dãy trung bình số học biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối hội tụ đầy đủ đến giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên phương sai biến ngẫu nhiên hữu hạn Điều ngược lại chng minh bi Erdăos [14, 15] Kt qu ca Hsu, Robbins v Erdăos tr thnh mt nh lý c s nhận quan tâm nhiều tác giả Một số kết gần đây, có ứng dụng cho thống kê công bố báo [39, 41, 42, 43, 44, 45, 46] nh lý HsuRobbins-Erdăos mở rộng báo tiếng Baum Katz [6] liên quan việc đánh giá tốc độ hội tụ Lấy ý từ báo [6], nhiều tác giả nghiên cứu định lý Baum-Katz cho dãy phụ thuộc, chẳng hạn như: phụ thuộc martingale, liên kết âm, dãy bị chặn, mixing, Trong [24], tác giả cung cấp cách tiếp cận định lý Baum-Katz cho dãy biến ngẫu nhiên đơn trị trường hợp αr > Điều quan trọng kết khơng địi hỏi cấu trúc phụ thuộc dãy biến ngẫu nhiên Hai ứng dụng đặc trưng kết đề cập Nội dung nhiệm vụ tiếp nối chủ đề báo [24] xét cho trường hợp αr = Để ngắn gọn trình bày, chúng tơi tập trung cho trường hợp dãy biến ngẫu nhiên độc lập, không phân phối nhận giá trị không gian Rademacher loại p Cách tiếp cận sử dụng để thu kết tương ứng cho số trường hợp phụ thuộc khác dãy biến ngẫu nhiên mở rộng chúng trường hợp mảng nhiều chiều Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một số vấn đề chọn lọc lý thuyết xác suất ứng dụng Trong thập kỷ gần đây, lý thuyết biến ngẫu nhiên đa trị nghiên cứu rộng rãi có ứng dụng nhiều lĩnh vực, chẳng hạn tối ưu điều khiển, toán kinh tế, thống kê số lĩnh vực liên quan Năm 1975, Artstein Vitale [3] chứng minh luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối, nhận giá trị tập compact không gian Rd , với hội tụ theo metric Hausdorff Sau đó, kết mở rộng cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng Rd Artstein Hart [1] Tuy nhiên metric Hausdorff ràng buộc mạnh thay tôpô yếu Hiai [18] mở rộng luật mạnh số lớn Artstein Hart [1] cho không gian Banach khả ly việc sử dụng tôpô Mosco Hess [16] chứng minh cách độc lập kết tương tự cho trường hợp biến ngẫu nhiên đa trị khơng gian Banach vơ hạn chiều Ngồi ra, Hess [17] thu hội tụ theo tôpô Wijsman luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập đôi một, phân phối nhận giá trị không gian Banach khả ly Luật mạnh số lớn cho mảng kép biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập (hoặc độc lập đôi một) giới thiệu Castaing cộng [7, 8] với hội tụ Mosco, Wijsman slice Trong [34], tác giả nhận luật mạnh số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng với hội tụ Mosco Sử dụng tôpô gap, Terán [40] thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập đôi phân phối Kết tổng quát hoá luật số lớn với hội tụ theo tơpơ Wijsman, Mosco slice, mà khơng địi hỏi giả thiết bổ sung tính chất khơng gian Quang cộng [35] nhận số luật mạnh số lớn cho mảng kép biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập (hoặc độc lập đôi một) điều kiện khác Theo hướng nghiên cứu trên, nhận hội tụ đầy đủ, hội tụ hầu chắn mảng biến ngẫu nhiên đa trị số ứng dụng cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập mờ Chúng thiết lập số luật mạnh số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng, theo tôpô gap, có khơng có điều kiện compact khả tích Lưu ý rằng, trường hợp đơn trị, luật mạnh số lớn dãy mảng kép biến ngẫu nhiên kéo theo kết tương ứng cho trường hợp mảng tam giác Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một số vấn đề chọn lọc lý thuyết xác suất ứng dụng Trong xác suất khơng giao hốn, luật số lớn quan tâm số tác giả Batty [5], Jaite [26], Luczak [30] chứng minh luật yếu luật mạnh số lớn dãy độc lập toán tử đo Luật mạnh số lớn dãy toán tử dương đo được thiết lập Quang công [37] Một số kết khác luật số lớn tìm thấy Lindsay Pata [29], Klimczak [27], Zhang Hou [47], Choi Ji [11], số tài liệu họ trích dẫn Gần đây, Quang cộng [38] chứng minh số điều kiện tương đương khả tích dãy tốn tử đo Từ đó, tác giả giới thiệu số dạng khả tích lý thuyết xác suất khơng giao hốn thiết lập luật số lớn toán tử đo Với hướng nghiên cứu trên, giới thiệu khái niệm khả tích theo nghĩa Cesàro, h-khả tích tương ứng với mảng số {ani } h-khả tích với mũ r cho mảng toán tử đo Chúng tơi thiết lập định lý hội tụ trung bình luật yếu số lớn cho mảng toán tử đo Trong phần cuối nhiệm vụ, nghiên cứu copula định lý giới hạn trung tâm dạng hàm ứng dụng vào copula (xem[12]) Dựa nghiên cứu trước nhóm độ đo copula phương pháp xấp xỉ (xem [21, 20]), nghiên cứu để thay chuẩn vô độ đo λ Đây độ đo nhóm đề xuất đưa kết xấp xỉ copula nhiều chiều nhằm kiểm chứng tính hội tụ định lý giới hạn trung tâm dạng hàm Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một số vấn đề chọn lọc lý thuyết xác suất ứng dụng LỜI CẢM ƠN ĐẾN ICST Nghiên cứu tài trợ Sở Khoa học Cơng nghệ Tp Hồ Chí Minh Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn thơng qua Hợp đồng thực nhiệm vụ KHCN số 14/2017/HĐ-KHCNTT ngày 13 tháng 09 năm 2017 Bên cạnh đó, nhóm nghiên cứu gửi lời cám ơn chân thành đến chun viên Phịng Hành Tổng hợp (Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn) giúp nhóm hồn thành thủ tục hành q trình thực nhiệm vụ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một số vấn đề chọn lọc lý thuyết xác suất ứng dụng ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm: Phịng Thí nghiệm mở (Open Lab) Chủ nhiệm nhiệm vụ: TS Nguyễn Văn Huấn Thành viên nhiệm vụ: GS.TS Nguyễn Văn Quảng GS.TS Nguyễn Trung Hưng TS Phạm Hoàng Uyên Cơ quan phối hợp: Trường Đại học Sài Gòn Trường Đại học Vinh Trường Đại học ChiangMai, Thái Lan Trường Đại học Kinh tế - Luật, ĐHQG Tp Hồ Chí Minh Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một số vấn đề chọn lọc lý thuyết xác suất ứng dụng KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I BÁO CÁO KHOA HỌC Định lý Baum-Katz dãy biến ngẫu nhiên Trong mục này, cung cấp cách tiếp cận định lý Baum-Katz cho dãy biến ngẫu nhiên đơn trị trường hợp αr = Để ngắn gọn trình bày, tập trung cho trường hợp dãy biến ngẫu nhiên độc lập, không phân phối nhận giá trị không gian Rademacher loại p Cách tiếp cận sử dụng để thu kết tương ứng cho số trường hợp phụ thuộc khác dãy biến ngẫu nhiên mở rộng chúng trường hợp mảng nhiều chiều Các kết công bố [25] 1.1 Một số ký hiệu khái niệm Trong mục này, C số dương giá trị khác lần xuất Ta ký hiệu I(A) hàm tiêu tập hợp A Với số thực a, log2 (max{1; a}) ký hiệu log+ a Giả sử {X, Xn , n > 1} dãy biến ngẫu nhiên Ta xét bất đẳng thức sau n 1X C1 P(kXk > t) P(kXk k > t) C2 P(kXk > t) n (1.1.1) k=1 Nếu tồn số dương C1 (C2 ) thỏa mãn vế trái (tương ứng, vế phải) (1.1.1) với n > t > ta nói dãy {Xn , n > 1} bị chặn yếu (tương ứng, bị chặn yếu) X Ta nói dãy {Xn , n > 1} bị chặn yếu X vừa bị chặn yếu bị chặn yếu X Rõ ràng, {Xn , n > 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối bị chặn yếu X1 C1 = C2 = 1.1.1 Định nghĩa (xem [28], trang 246) Giả sử {rj , j > 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = Không gian Banach thực khả ly E gọi không gian Rademacher loại p (1 p 2) tồn số C > cho với i > Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một số vấn đề chọn lọc lý thuyết xác suất ứng dụng vj ∈ E (1 j i) i i p 1/p 1/p X X 6C kvj kp rj vj E (1.1.2) j=1 j=1 1.2 Các kết Giả sử α > {Xn , n > 1} dãy biến ngẫu nhiên Chúng sử dụng kỹ thuật chặt cụt thông thường sau: ∗ Xnk = Xk I(kXk k nα ); Xnk = Xk I(kXk k > nα ); Sn = n X Xk ; Snk = k=1 k X Xnl ; ∗ Snk l=1 = k X ∗ Xnl , n, k > l=1 Kt qu ca Hsu, Robbins v Erdăos [14, 15, 23] định lý sở lý thuyt xỏc sut vi tờn gi l nh lý Hsu-Robbins-Erdă os Một kết quan trọng mở rộng định lý Hsu-Robbins-Erdăos c xut hin bi bỏo ni ting ca Baum Katz [6] Dưới phần kết họ 1.2.1 Định lý (Định lý Baum-Katz) Giả sử r, α hai số thực (r > 1; α > 1/2; αr > 1), {X, Xn , n > 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối có kỳ vọng khơng Khi ba phát biểu sau tương đương (a) E|X|r < ∞ ∞ X (b) nαr−2 P(|Sn | > εnα ) < ∞ với ε > n=1 (c) ∞ X n=1 αr−2 n |S | P sup αk > ε < ∞ với ε > k >n k Lấy ý tưởng từ kết Baum Katz [6], nhiều tác giả nghiên cứu định lý Baum-Katz cho lớp biến ngẫu nhiên phụ thuộc Trong [24], cung cấp cách tiếp cận định lý Baum-Katz dãy ngẫu nhiên phụ thuộc cho trường hợp αr > 1.2.2 Định lý (xem [24, Định lý 2.1]) Cho r, α hai số thực dương {Xn , n > 1} dãy biến ngẫu nhiên (i) Giả sử αr > 1, {Xn , n > 1} bị chặn yếu biến ngẫu nhiên X EkXkr < ∞ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh (1.2.1) Page 2.k X X ni ni ≤ E n ∞ X n2 !2.k n 22 E s(x∗ , Fni ) X n=1 i=1 n=1 i=1 ≤ 2 !2.k n E