Mot so van de chon loc cua giai tich handout

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 1/1 NỘI DUNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 2/1 Chuỗi Fourier Định nghĩa hàm trực giao ĐỊNH NGHĨA 1.1 n o∞ gọi hệ Dãy hàm ϕn(x) n=1 trực giao theo hàm trọng số q(x) đoạn [a, b] b Z a ϕm (x).ϕn (x).q(x)dx = 0, m 6= n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 3/1 Chuỗi Fourier Định nghĩa hàm trực giao ĐỊNH NGHĨA 1.2 Nếu m = n ta có ||ϕn(x)|| = sZ b a ϕ2n (x)q(x)dx gọi chuẩn ϕn(x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 4/1 Chuỗi Fourier Định nghĩa hàm trực giao VÍ DỤ 1.1 Dãy hàm {sin mx}, m = 1, 2, hệ trực giao đoạn [−π, π] Z ( π sin mx sin nxdx = −π 0, m 6= n π, m = n Ở hàm trọng số q(x) ≡ p Chuẩn || sin mx|| = π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 5/1 Chuỗi Fourier Định nghĩa hàm trực giao ĐỊNH NGHĨA 1.3 Dãy hàm trực giao {ψn(x)} gọi hệ trực chuẩn theo hàm trọng q(x) đoạn [a, b] b Z a ( ψm (x).ψn (x).q(x)dx = 0, m 6= n 1, m = n Chú ý Hệ trực chuẩn thu từ hệ trực giao cách chia hàm số hệ cho chuẩn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 6/1 Chuỗi Fourier Định nghĩa hàm trực giao VÍ DỤ 1.2 Dãy hàm 1, cos x, sin x, , cos nx, sin nx hệ trực giao [−π, π] với hàm trọng số q(x) = 1, Z ( π sin mx sin nxdx = −π Z 0, m 6= n π, m = n π sin mx cos nxdx = 0, ∀m, n ( Z π 0, m 6= n cos mx cos nxdx = π, m = n −π −π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 7/1 Chuỗi Fourier Định nghĩa hàm trực giao Để thu hệ trực chuẩn, ta chia hàm cho chuẩn cos nx sin nx cos x sin x p , p , p , , p , p · π π π π 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 8/1 Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier ĐỊNH NGHĨA 1.4 Hàm số f (x) gọi hàm liên tục khúc đoạn [a, b] tồn điểm a = x1 < x2 < < xn = b cho hàm số f liên tục khoảng (xi , xi+1) tồn hữu hạn giới hạn từ phía f (xi +) f (xi+1 −), ∀i = 1, 2, , n − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 9/1 Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier V D 1.3 ả 1 Hm v sin không hàm liên tục x x khúc [0, 1], khơng tồn giới hạn f (0+) Hàm liên tục khúc [a, b] bị chặn khả tích [a, b] Tích hai hàm liên tục khúc hàm liên tục khúc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 10 / Phương trình hàm Bessel Hàm Bessel Nếu ν = n, n = n ∈ Z+ (−1)k 2k−n x = J−n (x) = 2k−n k!Γ(−n + k + 1) k=n ∞ X (−1)k 2k+n n x = (−1) Jn (x) = (−1) 2k+n k!Γ(n + k + 1) k=0 n ∞ X Do đó, J−n Jn phụ thuộc tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 100 / Phương trình hàm Bessel TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Hàm Bessel MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 101 / Phương trình hàm Bessel Hàm Bessel Để tìm nghiệm tổng quát phương trình Bessel cần phải tìm nghiệm độc lập với Jν(x) Thường ta sử dụng nghiệm Watson đưa sau Yν (x) = (cos νπ)Jν (x) − J−ν (x) sin νπ ⇒ Yn (x) = lim Yν (x) ν→n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 102 / Phương trình hàm Bessel Hàm Bessel Yν (x) độc lập tuyến tính với Jn (x) gọi hàm Bessel loại cấp ν Do đó, nghiệm tổng quát phương trình Bessel y(x) = c1 Jν (x) + c2 Yν (x), TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH ν ≥ TP HCM — 2016 103 / Phương trình hàm Bessel Hàm Bessel NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH BESSEL ĐỊNH LÝ 6.2 S Nếu ν ∉ Z+ {0} nghiệm tổng quát y(x) = c1 Jν + c2 J−ν (19) Nếu ν = n, n = n ∈ Z+ nghiệm tổng quát y(x) = c1 Jn (x) + c2 Yn (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH (20) TP HCM — 2016 104 / Phương trình hàm Bessel Các tính chất truy hồi hàm Bessel CÁC TÍNH CHẤT TRUY HỒI CỦA HÀM BESSEL ν Jν0 (x) = Jν−1 (x) − Jν (x), x ν Yν0 (x) = Yν−1 (x) − Yν (x) x ν Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x), x ν Yν0 (x) = −Yν+1 (x) + Yν (x) x 2ν Jν+1 (x) = Jν (x) − Jν−1 (x), x 2ν Yν+1 (x) = Yν (x) − Yν−1 (x) x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 105 / Phương trình hàm Bessel Tính trực giao thứ hàm Bessel Xét phương trình x2 y 00 + xy + (k2 x2 − ν2 )y = 0, (21) k số khác không Nếu thay t = kx, ta t 2d y dt +t dy + (t − ν2 )y = dt Đây phương trình Bessel biến số t Do đó, nghiệm có dạng y = Jν(kx) hay x 2d Jν (kx) dJν (kx) 2 + x + (k x − ν )Jν (kx) = dx2 dx TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 106 / Phương trình hàm Bessel Tính trực giao thứ hàm Bessel Chia vế phương trình cho x ta c à 2ả dJ (kx) d x + k2 x − Jν (kx) = dx dx x Lấy hai giá trị khác k k1 6= k2 ta c à 2ả d dJν (k1 x) ν x + k12 x − Jν (k1 x) = 0| × Jν (k2 x) dx dx x à 2ả d dJ (k2 x) x + k22 x − Jν (k2 x) = 0| × Jν (k1 x) dx dx x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 107 / Phương trình hàm Bessel Tính trực giao thứ hàm Bessel Trừ vế phương trình ta (k22 − k12 )xJν (k1 x)Jν (k2 x) = · ¸ dJν (k1 x) dJν (k2 x) d xJν (k2 x) − xJν (k1 x) = dx dx dx Lấy tích phân từ đến L phương trình trên, ta (k22 − k12 ) L Z xJν (k1 x)J (k2 x)dx = Ê Ô = L k1 Jν (k2 L)Jν0 (k1 L) − k2 Jν (k1 L)Jν0 (k2 L) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 108 / Phương trình hàm Bessel Tính trực giao thứ hàm Bessel Hàm Bessel Jν(x) có vơ số nghiệm thực dương µj µi , k2 = , µi , µj L L nghiệm thực dương khác Jν(x) = Z L ⇒ xJν (k1 x)Jν (k2 x)dx = Giả sử k1 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 109 / Phương trình hàm Bessel Tính trực giao thứ hàm Bessel ĐỊNH LÝ 6.3 Cho ν ≥ L > Khi L Z   0, i 6= j ³ µ ´ ³ µj ´ i xJν x Jν x dx = L  J (µi ), i = j L L ν+1 với µi µj nghiệm dương phương trình Jν(x) = Điều ³ µ ´ có nghĩa hệ hàm Bessel i Jν x trực giao [0, L] với hàm trọng x L TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 110 / Phương trình hàm Bessel Tính trực giao thứ hai hàm Bessel ĐỊNH LÝ 6.4 Nếu phương trình αJν (x) + βxJν0 (x) = 0, ν > −1 có µ nghiệm dương giả sử k1 = (22) µj µi , k2 = , L L µi , µj nghiệm thực dương khác phương trình (??) L Z  0, i 6= j  ³ µ ´ ³ µj ´ i 2à 2 2ả xJ x Jν x dx = L  1+ Jν (µ), i = j L L β2 µ2 với µ = µi = µj TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 111 / Phương trình hàm Bessel Khai triển hàm tùy ý thành chuỗi hàm Bessel KHAI TRIỂN FOURIER-BESSEL ĐỊNH LÝ 6.5 Nếu µi (i = 1, 2, ) nghiệm phương trình Jν(x) = ³µ ´ i x , f (x) = Jν L i=1 ∞ X ν > −1, < x < L với = 2 L2 Jν+1 (µi ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) L Z ³µ ´ i xf (x)Jν x dx L MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 112 / Phương trình hàm Bessel Khai triển hàm tùy ý thành chuỗi hàm Bessel KHAI TRIỂN DYNI-BESSEL ĐỊNH LÝ 6.6 Nếu µi (i = 1, 2, ) nghiệm phương trình αJν(x) + βxJν0 (x) = 0, ³µ ´ i f (x) = Jν x , L i=1 ∞ X ν > −1, < x < L = à L2 1+ α −β ν TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) L Z 2 β2 µ2i ! Jν2 (µi ) ³µ ´ i xf (x)Jν x dx L MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 113 / Phương trình hàm Bessel Khai triển hàm tùy ý thành chuỗi hàm Bessel TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Huy Thiện Phương trình tốn lý NXB GIÁO DỤC VIỆT NAM (2010) Erwin Kreyszig Advanced Engineering Mathematics John Wiley and Sons, Inc (2011) Sadri Hassani Mathematical Methods For Students of Physics and Related Fields Springer (2009) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 114 /