Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ VĂN DŨNG MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p KHẢ TRƠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 20[.]
1 of 107 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ VĂN DŨNG MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p-KHẢ TRƠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w of 107 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Văn Dũng MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p-KHẢ TRƠN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Hà Nội - 2013 Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w of 107 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Lê Văn Dũng Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w of 107 LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy định hướng gợi mở vấn đề Thầy nghiên cứu, nghiêm khắc Thầy học tập tình thương Thầy dành cho tác giả sống Trong trình học tập hoàn thành luận án, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ góp ý GS.TS Nguyễn Hữu Dư, GS TS Nguyễn Văn Hữu, TS Nguyễn Văn Hùng, TS Nguyễn Hắc Hải, PGS TS Hồ Đăng Phúc, PGS TS Phạm Ngọc Phúc, PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Hùng Thao, GS TSKH Đặng Hùng Thắng, PGS TS Phan Viết Thư, TS Lê Văn Thành, Tác giả xin chân thành cảm ơn tới quý thầy bạn Lê Văn Thành giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phịng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi tác giả học tập nghiên cứu từ năm 2008 tới Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô Bộ môn Lý thuyết xác suất thống kê toán, Khoa Toán - Cơ - Tin học giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập hoàn thành luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, đồng nghiệp Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm, nơi tác giả công tác giảng dạy Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tất thầy cơ, gia đình bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tác giả q trình học tập hồn thành luận án Lê Văn Dũng Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w of 107 MỤC LỤC Những kí hiệu dùng luận án Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kì vọng có điều kiện 1.2 Một số dạng hội tụ mảng biến ngẫu nhiên 10 1.3 Không gian Banach p-khả trơn 13 Chương Luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 18 2.1 Chuỗi kép biến ngẫu nhiên số 18 2.2 Luật mạnh số lớn 32 Chương Hội tụ theo trung bình luật yếu mảng biến ngẫu nhiên 3.1 Khả tích 3.2 Định lí hội tụ theo trung bình 3.3 Luật yếu số lớn Feller 3.4 Luật yếu số lớn mảng khả tích Kết luận kiến nghị số lớn cho 44 44 48 53 62 66 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 67 Tài liệu tham khảo 68 Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w of 107 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N R E k·k B(E) (Ω, F, P ) Card(A) I(A) a := b (k, l) ≺ (m, n) m∨n m∧n log(x) log+ (x) [x] Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Không gian Banach thực khả ly Chuẩn không gian Banach E σ -đại số Borel không gian Banach E Không gian xác suất đầy đủ Số phần tử tập hợp A Hàm tiêu tập hợp A a gán b k ≤ m l ≤ n max{m, n} min{m, n} logarit số e x max{log(x), 0} Số nguyên lớn không vượt x Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w of 107 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Kolmogorov nói "Giá trị chấp nhận lý thuyết xác suất định lí giới hạn, kết chủ yếu quan trọng lý thuyết xác suất luật số lớn", luật số lớn đánh giá ba viên ngọc quý lý thuyết xác suất Ngày nay, luật số lớn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất 1.2 Từ năm 1950 trở lại đây, luật số lớn nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Ngày vấn đề tiếp tục nghiên cứu 1.3 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên martingale nhận giá trị không gian Banach nghiên cứu nhiều tác giả có tên tuổi Tuy nhiên việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều số gặp khó khăn nên định lí giới hạn mảng nhiều số biến ngẫu nhiên không độc lập chưa nghiên cứu nhiều Với lí định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Banach p-khả trơn Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu hội tụ chuỗi kép, luật mạnh số lớn Kolmogorov luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund mảng biến ngẫu nhiên, hội tụ theo trung bình bậc p, luật yếu số lớn Feller luật yếu số lớn mảng biến ngẫu nhiên điều kiện khả tích Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w of 107 Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng kĩ thuật giải tích xác suất, kĩ thuật martingale để chứng minh định lí hội tụ Một số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bổ đề Toeplitz Bất đẳng thức cực đại Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob, sử dụng để chứng minh kết Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết hội tụ chuỗi, luật mạnh số lớn, hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết định lí giới hạn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach lý thuyết xác suất Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Các định lí giới hạn lý thuyết xác suất nói chung luật số lớn nói riêng đóng vai trị quan trọng phát triển lý thuyết thực hành xác suất thống kê Luật số lớn James Bernoulli công bố năm 1713 Về sau, kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn E Borel phát Kết Borel Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926 Luật mạnh số lớn Kolmogorov phát biểu rằng: Nếu {Xn } dãy biến ngẫu nhiên độc lập với moment bậc hữu hạn, {bn } dãy số cho < bn ↑ ∞ Khi đó, ∞ X DXn n=1 b2n 2) chiều hoàn toàn tương tự trường hợp mảng chiều nên luận án xét cho mảng biến ngẫu nhiên chiều Các kết luận án báo cáo hội nghị: Hội nghị toàn quốc lần thứ Xác suất thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w 10 of 107 Khoa Học Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự nhiênĐHQG Hà Nội, 10/2010), đăng tạp chí: Acta Mathematica Vietnamica, Statistics and Probability Letters, Lobachevskii Journal of Mathematics, Bulletin of the Korean Mathematical Society, Journal of the Korean Mathematical Society 7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, Kết luận, Danh mục báo nghiên cứu sinh liên quan đến luận án tài liệu tham khảo, luận án trình bày ba chương Chương trình bày khái niệm kì vọng, kì vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, số dạng hội tụ mảng biến ngẫu nhiên thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chương thiết lập điều kiện hội tụ chuỗi kép mảng hai chiều biến ngẫu nhiên Cũng Chương không thiết lập luật mạnh số lớn mà đưa tốc độ hội tụ luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chương đưa định lí hội tụ theo trung bình bậc p luật yếu số lớn gồm luật yếu số lớn Feller với số ngẫu nhiên không ngẫu nhiên thiết lập điều kiện khả tích điều kiện đủ để thu luật yếu số lớn tổng kép biến ngẫu nhiên có số ngẫu nhiên Chương gồm mục Mục 3.1 trình bày khái niệm khả tích đều, mục 3.2 trình bày kết định lí hội tụ trung bình, mục 3.3 3.4 trình bày kết luật yếu số lớn Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w 61 of 107 Hơn nữa, {Tn ; n ≥ 1} {τn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên R-giá trị nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (3.7), Tm X τn X amn P (Xij − cmnij ) −→ m ∧ n → ∞ (3.17) i=1 j=1 Chứng minh Đặt bmn = g(kmn ), Vmnij = Vij I(kXij k ≤ bmn ) Để chứng minh (3.16) ta chứng tỏ giả thiết Định lí 3.3.1 thỏa mãn Từ (3.15), lấy a = kmn bmn = g(kmn ) có (3.4) thỏa mãn Bây ta chứng tỏ điều kiện (3.5) thỏa mãn Vì g hàm khơng giảm nên um X X apmn EkVmnij p − cmnij k ≤ C i=1 j=1 um X X apmn EkVmnij kp i=1 j=1 (theo bất đẳng thức cr ) =C um X X apmn +C EkXij I(kXij k ≤ g(1))kp i=1 j=1 um X X kmn X apmn EkXij I(g(l − 1) < kXij k ≤ g(l))kp i=1 j=1 l=2 := C.Mmn + C.Nmn (3.18) Do (3.11), (3.12) (3.14), ta có Mmn = ≤ ≤ ≤ apmn apmn kmn apmn um X X ∞ X apmn EkXij I(g(1/(l + 1)) < kXij k ≤ g(1/l))kp i=1 j=1 l=1 u v ∞ m X n X X p g (1/l)P {g(1/(l + 1)) < kXij k ≤ g(1/l)} i=1 j=1 l=1 um X ∞ X X ! [(g p (1/(l − 1)) − g p (1/l))P {kXij k > g(1/l)}] i=1 j=1 g p (1) + l=2 ∞ X l=1 um X X p g (1/l) sup sup aP {kXij k > g(a)} a>0 m≥1,n≥1 kmn i=1 j=1 ! → m ∨ n → ∞ (3.19) 59 Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w 62 of 107 Với Nmn , ta có Nmn ≤ um X X kmn X apmn g p (l)P {g(l − 1) < kXij k ≤ g(l)} i=1 j=1 l=2 um X X ≤ g p (1) p P {kXij k > g(1)} amn i=1 j=1 + um X X apmn i=1 j=1 kX mn −1 ! (g p (l + 1) − g p (l))P {kXij k > g(l)} l=1 um X X kmn P {kXij k > g(1)} = g p (1) p amn kmn i=1 j=1 u v kX m n mn −1 p p (g (l + 1) − g (l)) X X + p lP {kXij k > g(l)} amn l=1 l i=1 j=1 um X X kmn ≤ g p (1) p sup sup aP {kXij k > g(a)} amn a>0 m≥1,n≥1 kmn i=1 j=1 kX u v mn −1 m n kmn (g p (l + 1) − g p (l)) X X + p lP {kXij k > g(l)} amn l kmn i=1 j=1 l=1 Lại (3.11) (3.14) ta có u v m n XX kmn sup sup aP {kXij k > g(a)} → m ∨ n → ∞ p amn a>0 m≥1,n≥1 kmn i=1 j=1 Mặt khác từ (3.13), (3.15) Bổ đề Toeplitz (xem [30], trang 250) ta có kX u v mn −1 m n p p (g (l + 1) − g (l)) X X kmn lP {kXij k > g(l)} apmn l kmn i=1 j=1 l=1 → m ∨ n → ∞ Do đó, Nmn → m ∨ n → ∞ (3.20) 60 Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w 63 of 107 Từ (3.18), (3.19) (3.20) suy giả thiết (3.5) thỏa mãn Theo Định lí 3.3.1 ta thu kết luận (3.16) Áp dụng Định lí 3.3.3 ta có kết luận (3.17) Định lí chứng minh Hệ 3.3.5 Cho E không gian Banach p-khả trơn với ≤ p ≤ {Xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} thỏa mãn E(Xmn |Fmn ) = với m ≥ 1, n ≥ Giả sử {Xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Cho < r < p, đặt cmnij = E(Xij I(kXij kr ≤ mn)|Fij ) Giả sử cmnij Fkl -đo với (i, j) thỏa mãn i < k ≤ um j < l ≤ Nếu lim aP {kXkr > a} = 0, a→∞ max 1≤k≤m 1≤l≤n (mn)1/r k l X X P −→ m ∨ n → ∞ (X − c ) ij mnij i=1 j=1 (3.21) Chứng minh Lấy g(t) = t1/r , un = = n, kmn = mn amn = (mn)1/r Khi đó, điều kiện (3.11), (3.12), (3.14) (3.15) thỏa mãn Mặt kP p mn p r −1 , suy điều kiện (3.13) khác, từ bất đẳng thức l r −2 ≤ C.kmn l=1 thỏa mãn Do ta thu kết luận (3.21) Hệ 3.3.6 Cho < r < Giả sử {Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên R-giá trị bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên R-giá trị X Nếu lim aP {|X|r > a} = 0, a→∞ l X P (Xj − E(Xj I(|Xj |r ≤ n)|Fj )) −→ n → ∞, max n1/r 1≤l≤n j=1 Fj = σ(Xi ; ≤ i < j) 61 Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Tài liu Lun Vn - Báo Cáo ni bt, c sc, mang giá tr cao vi y nh dng pdf, w