Một số vấn đề về nhóm con của nhóm s5

Trang 1

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Khoa Toan — Tin Hoc

Dé tai

Mit own dé ve mboan ene

cia win $5

Giáo viên hướng dẫn : TS Trần Huyên

Sinh viên thực hiện : Trần Văn Vương

THU ViIEP:

Trang 2

MUC LUC

Trang

Lời nói đầu sear 3

Chương! KIẾN THỨC CHUAN BI !, N8: RGME CỒN xu 4406610609043 S4062é 4 Án xe eseeeaoeeseeorx930005610906018301020 035 4 La NÊN CŨ srs ssi sists v cajnie nisin anntsapabhacinnnonsasenpocnsepeiceuveenaioetaveensms 4 5:3 NN NT c4 0teittityiti2001/265600101202060 6t $ 2: Định VÝ LUARITNREE v60 GG00Gi0aLGGL50040GLLA4áaa66 tả 5 ¡.Í ĐNNH TT c3 (6004ãtqvaatqwdgwezeax 5 l1, 7n 6 BF TARE: Do Feiss vsisn sais sessvevsvnonvastaacraneaetanieaniieasesuvicenseenrsagsvensceent 6

3.Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương . . 7 3TƑ-Nhôm cửa ChuẨn: tỆP::á:ás220222 G05 S012 20 ảu68kedd 7

3.2 NÓNG VDMỜNGGS0 200020000404 ees es ance a 7

4 Đồng cấu . (L2 211222 HT TT TH T11 1111111 §

Ó } DRN NGIÊH LÊ lo cseieeeneeareaoeeeiodieeneeneieseeoaeoneessei 8

4.2 CBG GIT OD «sat atkuvudrtaodoGiaccbcttax61ảs6ssssssal 8

5 Nhóm đối xứng và nhóm thay phiên bậc n Ụ 5} Phản Kế cá 1421940241466 v vu “ 5.2 Nhóm đối xứng bậc ' SẶ5 2-5 ScS<csseeeeees ll 3 na REF IRE POT secre cvcessencenveroseapnrnscnnensnensnpramepiqatrnte LH CN TỐ N dkcckseoeibieecitickieeiseobisinbdtsveicsleokbsseeeseskes 12 KT PNAHEANG VỆ Gái eiticdiccocddcsaỷaaaasueo /2 ĐINH Ga 010014066 iax6ag 12 7 Tác động của nhóm lên mội tập .- 12 7.1 Định nghĩa .- - - S1 An ng !2 TU XI HÀ dễ 22 cau avienoinioskeareeikiiekeixeveidosieseneeeseedeeok 12

7.3 Quỹ đạo của một phần tử . -5<< << xvrsea 12

7.4 Tác động liên hợp của nhóm lên chính nó I3 7.5 Tác động liên hợp của nhóm lên tập các nhóm con của nó l4 8 Nom con Sylow .cscccsscsscosssvessssssvecssssucesesuucsssssecsessnuesarsenuecece 14 cE PRONG ns nscacn veeventiosvaynedsspectuvesvencquetexeass ecaceqnidentdervensconsennts l4 B22 ENR 19 SOW ettytdicpivGiadsgoaroecdtdiapnoaiaceasae l4

Chung 2 NHOM CON CUA NHOM Ss

1.Một số thông tin định lượng về nhóm S - 5 15

{1 C80 cầu NÀ S v v00 1140002 15

1.2 Các ước nguyên dương củủa|S,| -.-. <-<<<e-<<<5+s+ IS

Trang 3

2 Một số kết quả hay dùng trong luận văn này ló

9.7 NNÀ.đÃ 2Í tú zccaccŸ SG 2cGitG du G1stiadisGiGssue 16 2.2 DIỆNÀ đỆ Z:Ã: šGïuiGG5LA00080090ãt00/ã0dx0Gaxu l6 3:3 Mệnh đã 23c á22G022A02S40006S4.v03ả4awau 17 2.4 Mémh dé 2.4 coccccccccccccccecccscecscecseessecseeseecscenscsesecseessenssesceears 18

crate earner career 18

2:6 MÀ để 2Ô se ebesnsibiBhi Gia ha 6i66156240563550040k 66/5646 6 19 DT BART GES ou sseisischiticgeiienibg Sects penaatldina ics ia anRena aaa Ncai 19

3: Miômi cou của nhóm Ss sie 602 0x4 20

3.1 S; không có nhóm con cấp ÏÌŠ cv <csxsvsrsesrses 20

3:2 NNGHE COR CED 2 PO ÏEieeaeeskeesedesnvsoeasedeavseeene 21

3.3 Nhdm con cấp 3 trong Ssercccccccssreccrccecsersssnscsserecsccnsesarensensers 22 3.4 NhOmicon cp 5 trong Sy: svisissitisssncassiessscassnecacdvcesbaacnessassse 23 3.5 $„ không có nhóm con cấp 30 .-.ccccccccecccec<cce- 23 3.6 S; không có nhóm con cấp 4( - 5c cSxSx<sssrsss 24 3.7 Nhóm con cấp 8 trong Š .- << c<cc<exeeeseereee 24 3.8 Nhóm con cấp 20 trong SŠ .-(«c«S<c xxx 25

3.9 Nhdm con Clip 4 trong Ss cccceccsevesseeesescseeereeseeseeeseenseseeeeees 26

3:10-Niden:con: chp 6 troma: Ss siisssissccisnsatisastiedastsnsssacnsasennpeinie 29 3.11 Nhóm con cấp 10 trong Ss .- :- csccccscccseseseeseeeseesseseeesees 3] 3.12 Nhóm con Cép 60 trong Ss cccccccccesecesererseeesereeeeeeenreeesenenees 33 3.13 Trong Ss khéng tén tai cdc nhóm con cấp 12 va cdp 24 34

Chương 3 TÂM VÀ NHÓM CÁC HOÁN TỬ CỦA S;

A FRR CUR BGG Sie is cà áo t6 5 2602664266 62ecos2ssosa 36

lui: TRÀ NGẴNG TL ecttcccG0ci00109612001ásoi 36 E9: MAI Đã LG xa c0 (00000232Gä0 0002161200000 205106 36 BSF EG IS rics dao 36

2 Nhém céc han tf clha $6 oocccccccccccccccccccccccecsssecesevecsesererseeseeeeenes 37 si PIN HP KG: ĐỀ vao vetraiHadkeoadebebtoadaaooonnose: 37

2.2 MỸnÀ lễ 2⁄2 ;c‹:ss.áicocccbcicccii in G0 21000056 G2340416k4055as6axsxs6: 38 DF Weal Hệ C3 rùi csstxddgidstudasusuagna 38 Tài liệu tham khảo Ò- À2 2S n3 g8 ng ng vn 40

Trang 4

LOI NOI DAU

Bài toán tìm tất cả các nhóm con của một nhóm hữu hạn là một bài toán quan trọng và rất khó, đặc biệt là đối với nhóm đối

xửng S›

Trong luận văn này em đã sử dụng các kiến thức về tác

động của nhóm lên một tập, định lý Lagrange, định lý Sylow, để đi tìm các nhóm con của nhóm S;

Luận văn gồm 3 chương :

Chương! : Kiến thức chuẩn bị

Chương ll : Nhóm con của nhóm S:

Chương lll : Tâm và nhóm các hoản tử của S;

Em xin chan thảnh cảm ơn TS.Trần Huyên , người Thay đã tận tình dạy bảo và giúp đở em hoàn thành luận văn nảy

Tp.HCM, ngảy 25 tháng 4 năm 2004

Sinh Viên

Trang 5

Chuong 1: Kién thitc chuẩn bị CHUONG I KIEN THUC CHUAN BI 1 NHÓM NHÓM CON: 1.1 Nhóm: Dinh nghĩa 1.1:

Ta gọi là nhóm X một tập hợp X cùng với một phép tốn hai ngơi kết hợp, có đơn vị e va moi phan tử x e X đều có phẩn tử nghịch đảo x'' e X sao

cho x'”.x=x.x''=e

Nếu phép tốn hai ngơi trong X là giao hoán thì ta bảo ta có một nhóm

giao hoán hay nhóm abel Nếu tập hợp X là hữu hạn thì ta bảo ta có một nhóm

hữu hạn và số phần tử của X gọi là cấp của nhóm X Ký hiệu là|*| Còn nếu X

là tập vô hạn ta nói nhóm X có cấp vô hạn

1.2 Nhóm con:

a) Định nghĩa 1.2.1:

Giả sử X là một nhóm Tập con khác rỗng A của X gọi là nhóm con của

nhóm X nếu A ổn định đối với phép toán trong X và A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm

Nếu A là nhóm con của X thì ta ký hiệu: A c X

b) Định lý 1.2.2: (Đặc trưng của nhóm con)

Giả sử A là tập con khác rỗng của nhóm X Khi đó các khẳng định sau

tương đương:

i) A là nhóm con của X

ii) — Với mọia,b 6 A,ta có a,b € A và a'e A

iii) — Với mọi ab e A, ta có ab! e A, Chứng mình:

i > ii: Đầu tiên ta chứng minh phần tử đơn vị e` của nhóm con Á cũng

chính là phần tử đơn vị e của X Thật vậy, với mọi e c Á, ta có e',a = a = e.a

Trang 6

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị có a'.a = e, mặt khác a Ï.a = e, do đó a” = a`' và như vậy a” e A Cuối cùng tích a.b € A do A là tập con ổn định ii > iii: Néu a,b € Athia,b' « Adodéa.b' e A ili > i:

Vì A zØ nên tổn tại x A khi đó e=x.xÌ e A

Bây giờ Va e A,a' =e.a” e A, cuối cùng với mọi a,b e A thì a,b” e A

do đó a.b = a(b'y' eA

Như vậy, A là tập con ổn định, chứa đơn vị và mọi phần tử của A đều có

nghịch đảo trong A nên A là một nhóm con của X

©) Nhóm con sinh bởi một tập:

Dinh nghia 1.2.3:

Giả sử U là một bộ phận của một nhóm X Nhóm con A bé nhất của X

chứa U gọi là nhóm con sinh ra bởi U Trong trường hợp A = X, ta nói rang A là một hệ sinh của X và X được sinh ra bởi U

1.3 Nhóm xyclic: Định nghĩa 1.2.4:

Một nhóm X gọi là xyclic nếu và chỉ nếu X được sinh ra bởi một phần tử a e X, phần tử a gọi là một phần tử sinh của X

2 DINH LY LAGRANGE :

Nếu G là nhóm hữu hạn thì cấp của nhóm G, được ký hiệu bởi |G|, là số

phần tử của G Định lý sau đây mô tả mối liên hệ giữa cấp của một nhóm với cấp của các nhóm con của nó

2.1 Định lý 2.1: (Định lý Lagrange)

Giả sử G là một nhóm hữu hạn và S là một nhóm con của nó Khi đó,

cấp của nhóm G là bội của cấp của nhóm S,

Chứng minh:

Giả sử G có cấp là n và S có cấp là m Trước hết ta hãy chứng minh mọi

lớp trái xS, x e G, đều có số phần tử là m Muốn vậy ta hãy xét

Trang 7

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Và các phần tử

XE NI CC

Các phần tử này là phân biệt, vì nếu có xx; = xx; chẳng hạn thì x; = x; (vì trong nhóm có luật giản ước) Đó là tất cả các phần tử của lớp trái x§ Như vậy x§ có m phần tử Vì G là hữu hạn nên số các lớp trái xS là hữu hạn, gọi l là

số các lớp ghép trái xS Bay giờ ta chứng minh các lớp trái là rời nhau Thật vậy, giả sử xS và yS có chung phẩn tử z (x,y.z e G) Tức là z = xs; = ys; với §).$2 € S Với mois é€ S, ta co: XS = XS).8; 'S = y(S98) 's) € yS Suy ra: xŠ C yŠ Tương tự ta cũng có: yŠS C xŠ Cho nén; xS = yS

Do các lớp ghép trái là rời nhau nên ta có: n = ml, Vậy: Cấp của G là bội của cấp của S

2.2 Hệ quả 2.2:

Cấp của mọi phần tử của một nhóm hữu hạn G đều là một ước số của

cấp của G

Chifng minh:

Mỗi phần tử x € G sinh ra một nhóm xyclic <x> có cấp bằng cấp của x,

mà <x> là một nhóm con của G, nên cấp của <x> bằng cấp của x là một ước

của cấp của G

2.3 Hệ quả 243:

Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic

Chứng minh:

Giả sử nhóm G có cấp là p và p là một số nguyên tố Vì p >l nên có

phần tử a # e trong G Nhóm xyclic <a> sinh bởi a có cấp n>l và n là một ước

của p Vì p nguyên tố nên n = p Do đó: G = <a>

Nhân xét:

Nếu cấp của G bằng p là số nguyên tố thì G được sinh ra bởi một phần

Trang 8

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

3 NHOM CON CHUAN TAC VA NHOM THUONG: 3.1 Nhóm con chuẩn tắc: Dinh nghia 3.1: Một nhóm con H của nhóm G goi 1A chuan tic néu va chi néu x'ax €H với mọi a e H và x e G Ký hiệu: Ha G Nhân xét:

1) Néu H [a nhóm con của G thì x “Hx cũng là nhóm con của G với mọi

x € G That vay gia sv x ‘ax va x’ bx 1a hai phần tử của x 'Hx (a,b € H)

Khi đó(x 'ax) (x"'bx) = x" (ab) x € x'Hx va(x' a x)!=x!a”x e x!Hx

Vậy x''Hx là nhóm con của G,

Nhóm con x`Hx gọi là nhóm con liên hợp với nhóm con H (nhờ phan tử xe),

2) Giả sử K là tập con của G, và

No(K) = [xeG/xKx = K thì Ne(K) c G That vậy,

e Va,be Na(K)ta có: (ab)`'Kab = ba 'Kab = bÌKb = K

= ab e Ne(K)

e VaecNoe(K),a'Ka =K==aKa' =K==(a`)'Ka'=K

Do đó:a'' e Ng(K)

Nhóm con N‹(K) gọi là cái chuẩn tắc hoá của tập con K

e Giả sử H là nhóm con của G, khi đó từ định nghĩa ta thấy ngay H là ước chuẩn tắc của Ne(H!)

Hơn nữa, cũng từ định nghĩa ta có cái chuẩn tấc hoá No(H) của nhóm

con H là nhóm con lớn nhất (theo quan hệ bao hàm) trong các nhóm con của G

nhận H làm nhóm con chuẩn tắc Đặc biệt nếu H4 G thì Ne(H)=G

3.2 Nhóm thương:

Định lý - Đình nghĩa 3.2:

Trang 9

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị a) Lớp xyH chỉ phụ thuộc vào các lớp xH và yH mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử đại diện x,y của các lớp đó

b) Tập G/H cùng với phép toán 2 ngồi (xH, yH) + xyH là một nhóm, gọi là nhóm thương của Ö trên H

Chứng mình:

a) Giả sử x,H = xH, y;H = yH tức là xx, € H, yy é H Đặt x'`xị =aec H Khí đó:Do y lay 6H va y'y, € Hnén:

(xy) Quy) ¥' Ox'x) yy = yay, = (yay yy) € H Vậy (xy) ”(x¡y,) e H, tie 1a xyy)H = xyH

b) Tính kết hợp của phép toán hai ngôi trong tập G/H suy ra từ tính kết hợp của phép toán trong G, phần tử đơn vị của G/H chính là eH trong đó e là

đơn vị của G, còn phẩn tử nghịch đảo của xH chính là lớp x''H 4 ĐỒNG CẤU: 4.1 Định nghĩa 4.1: Một ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y gọi là đồng cấu (nhóm) nếu f bảo tổn phép toán, tức là: f(x.y) = f(x) f(y), Vx, y e X

Một đồng cấu f từ nhóm X đến nhóm X gọi là một tự đồng cấu của X

Một đồng cấu đơn ánh gọi là đơn cấu, một đồng cấu toàn ánh gọi là toàn

cấu, một đồng cấu song ánh gọi là đẳng cấu, một tự đồng cấu song ánh gọi là tự đẳng cấu Nếu tồn tại một đẳng cấu f từ nhóm X đến nhóm Y thì ta viết X = Y và nói X và Y đẳng cấu 42 Các định ly : 4.2.1.Định lý 4.2.1 :

Giả sử f: X > Y là đồng cấu nhóm, A là nhóm con của X, B là nhóm

con của Y Khi đó:

i) f(A) là nhóm con của Y

ii) f!(B) là nhóm con của X Nếu B là nhóm con chuẩn tắc của Y thì f”(B)

Trang 10

4.2.2 Định lý 4.2.2:

Giả sử f: X > Y là đồng cấu nhóm Khi đó:

i) f là toàn ánh khi và chỉ khi Imf = Y,

ii) f là đơn ánh khi và chỉ khi Kerf = {ex}

4.2.3 — Định lý 4.2.3 (định lý đồng cấu tổng quát)

Giả sử f: X >3 Y và g: X > Z là các đồng cấu nhóm, trong đó g là toàn

ánh và Kerg c Kerf Khi đó:

i) Tổn tại duy nhất đồng cấu h: X > Y sao cho f =h.g

ii) h la đơn ánh khi va chỉ khi Kerg = Kerf

iii) Imh = Imf va h [a toan ánh khi và chỉ khi f là toàn ánh Hệ quả: Giả sử f: X > Y là toàn cấu nhóm Khi đó: £: X/Kerf > Y xKerf +> f(x) là đẳng cấu § NHÓM ĐỐI XỨNG VÀ NHÓM THAY PHIÊN BẬC n: 5.1 Phép thế: a) Khái niệm phép thế: Một phép thế trên một tập hợp X là một song ánh từ X lên chính nó Khi X là tập có n phần tử thì một phép thế trên X gọi là một phép thế bậc n, Để tiện lợi mà không mất tính tổng quát, ta thường lấy tập n phần tử là

X =(I,2 n} Khi đó mỗi phép thế f bậc n thường được viết dưới dạng:

| 2 ell

/“[m f(2) a)

Vì f là song anh nén cac phan uf f(1), f(2), f(n) đều khác nhau do đó

chúng là một hoán vị của n phần tử 1, 2, n Như vậy mỗi một hoán vị xác định một phép thế bậc n nên số các phép thế bậc n bằng số các hoán vị của tập có n phần tử và bằng n'

Tập hợp tất cả các phép thế bậc n ký hiệu là S„

Trang 11

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị b,) Vong xích và chuyển trí:

Cho f là một phép thế bậc n Nếu f viết được dưới dạng:

thì f gọi là vòng xích độ dài m và ta viết đơn giản:

f= (iy bp iy) £ (lạ là lạ)

Vòng xích độ dài l chính là phép thế đồng nhất

ly =(1) =(2) = =(n)

Vòng xích độ dài 2 gọi là phép chuyển trí

Hai vòng xích f = (i, i; i,) va g = Guin» jx) gọi là độc lập nếu

(iy iy on igg OV Gujo ja) = Ø

Dé thấy rằng phép nhân các vòng xích độc lập có tính chất giao hoán

b;) Định lý 5.1.1:

Mọi phép thế bậc n khác phép thế đồng nhất đều phân tích được duy nhất (không kể thứ tự) thành tích các vòng xích độc lập độ dài lớn hơn hoặc bằng 2 c) b;) Hệ quả 5.1.2: Mọi phép thế đều phân tích được thành tích các chuyển trí Dấu của phép thế: ©¡) Hàm dấu: Ham dau la ánh xạ sign: S, > R xác định như sau: sien(f)= TT TT : a ¢;) Dinh ly 5.1.3: Dấu của một phép chuyển trí bing -1 ¢;) Dinh ly 5.1.4:

l- Sign (f) € {1,-1} vai moi fe S,, 2- Sign (f.g) = Sign (f) Sign (g) d) Dinh nghia:

Trang 12

Một phép thế gọi là phép thế chẩn nếu dấu của nó bằng I, gọi là phép thế lẻ nếu dấu của nó bằng - l e) Hé qua 5.1.5: I- Nếu f là vòng xích độ dài m thi Sign (f) = (-1)""' 2 f =fif F, thì : Nếu phép thế f có sự phân tích thành tích các vòng xích độc lập: Sign (f) = Sign (f)) Sign (f,) 3- Tích của hai phép thế cùng tích chẩn, lẻ là phép thế chẩn, khác tính chẩn, lẻ là phép thế lẻ

4- Khi phân tích một phép thế thành tích của các chuyển trí thì số các

chuyển trí tham gia trong tích là chẩn hay lẻ tùy theo phép thế đó là chan hay lẻ 5- Sign (1,) = 1, Sign (f') = Sign (Ù với mọi f e S„ 6- Số các phép thế chẩn bậc n bằng số các phép thế lẻ bậc n và bằng 3 52 Nhóm đối xứng bậc n:

Cho X = | l, 2, n} với n là số nguyên dương

Tập tất cả các song ánh từ X đến X, với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm Nhóm này được gọi là nhóm đối xứng bậc n

Ký hiệu: S„

Cấp của S„ bằng n!

š.3 Nhóm thay phiên bậc n:

Tập tất cả các hoán vị chan của §, (n > 2)lập thành một nhóm Nhóm

con đó được gọi là nhóm thay phiên bậc n Ký hiệu: A,

Cap cia A, bang =,

6 NHOM DON:

Trang 13

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nhóm G được gọi là một nhóm đơn nếu nó không có nhóm con chuẩn tắc nào khác {c} và G 6.2 Định lý 6.2: Nhóm thay phiên À„ là một nhóm đơn, trừ khi n = 4 7 TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM LÊN MỘT TẬP: 7.1 Định nghĩa 7.1: Cho nhóm G và tập S khác rỗng Ta gọi một tác động của G lên S là ánh xạ GxS>2S (X,S) + XS thoả hai điều kiện sau: i) x, (y.s)=(xy).s, V xy €G, Vs eS iijes=s, Vxe€S, 7.2 Mệnh để 7.3: (Nhóm con ổn định của một phần tử)

Giả sử nhóm G tác động lên tập S và s € S Khi đó, tập hợp

Trang 14

Giả sử nhóm G tác động lên tập S và s e S Khi đó, ánh xa sau là một song ánh [:G/G, >@G.s Xi, +» X.S Chifng minh: Ta có: xG, =yG, ©>y x eG, ©>(yXx).s =s => y.((y'x).s) = YS <> (y(y''x)).s =y.s €©X.s= y.s

Do đó, tương ứng trên là ánh xạ và là đơn ánh Mặt khác, hiển nhiên f là

một toàn ánh Vậy f là song ánh

Đặc biệt, khi G hữu hạn ta suy ra:

[G :G,] = |G+| (*)

7.4 Tác động liên hợp của nhóm lên chính nó:

Cho G là một nhóm Khi đó ánh xạ

GxG?G

(x,a) + x.a = xax”

là một tác động của nhóm G lên chính nó, gọi là phép liên hợp trong G Thật vậy: VX,y,s € Ö ta có: (xy).s = (xy)s (xy)” =(xy)s(y 'x")=x(ysy)x! = x.(ys) c.m = eme = m Với tác động này và với a e G, ta có: G.a = [xax !/x € G}

G, = {x € G/xax' =a) =(x € G/xa=ax}

Nhóm G, khi này trùng với tâm hoá tử của a (1a Ce(a))

Ghi chú:

Cc(a) = (x e G/ xax” = a]

Trang 15

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Theo công thức (*), khi G hữu hạn ta có: G.a| =| G: Cola)]

7.5 Tác động liên hợp của nhóm lên tập các nhóm con của nó:

Giả sử P(G) là tập tất cả các nhóm con của G Khi đó ánh xạ G xP(G) 2 G

(x, H) 4 x.H =xHx’

là một tác động cửa nhóm G lén tập P(G) và cũng được

gọi là tác động liên hợp của G lên P(G),

Với tác động trên và với H c G(H e P(G)), ta có:

G.H= {|x.H/ x e G] = {xHx'/x e G]

Gu = {x € G/x H=H} = {x € G/xHx' =H} =Ng(H)

Vay qui dao của H là tập tất cả các nhóm con liên hợp với H nhờ các

phan tử của G, còn nhóm con ổn định của H là cái chuẩn tắc hoá Ne(H) của

nhóm con H

Từ đây ta có: Nếu G là nhóm hữu hạn thì số các nhóm con của G liên

hợp với nhóm con H bằng chỉ số [G:Ne(H)]

8 NHÓM CON SYLOW: 8.1 p~— nhóm:

Giả sử H là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố Khi đó nhóm H gọi là p

nhóm nếu cấp của H là lũy thừa của p Nhóm con H của nhóm hữu hạn G gọi

là p - nhóm con của G nếu H là p-nhóm Ta gọi H là p-nhóm con Sylow của G, nếu cấp của H là p” và nếu p° là lũy thừa lớn nhất của p chia hết cấp của G 8.2 Dinh ly Sylow: Giả sử G là một nhóm hữu hạn, p là số nguyên tố chia hết cấp của nó Khi đó: I) Đối với mỗi lũy thừa p” chia hết cấp của nhóm G, tồn tại nhóm con cấp p” trong G

2) Mỗi p-nhóm con được chứa trong một p-nhóm con Sylow nào đó 3) Số các p-nhóm con Sylow đồng dư với 1(modp) va chia hết cấp của G

Trang 16

Chương 2: Nhóm con của nhóm S: CHƯƠNG II NHÓM CON CỦA NHÓM S; I MỘT SỐ THONG TIN ĐỊNH LƯỢNG VỀ NHÓM S:: 1.1 Cấp của nhóm S; [S,|= 5! = 120=27.3.5

1.2 Các ước nguyên dương cia |S, :

Tập tất cả các ước nguyên dương của |S,! là:

S = (1, 2, 3.4, 5,6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

Theo dinh ly Lagrange, H c S‹ thì |/! e § 1.3 Cấp của các phan ti trong Ss:

Trang 17

Chitong 2: Nhém con ciia nhém S;

2 MOT SO KET QUA HAY DUNG TRONG LUAN VAN NAY: 2.1 Mệnh để 2.1:

Cho G là nhóm hữu hạn, p\ (i, H là p-nhóm con Sylow của G Khi đó, H 4 G khi và chỉ khi G có duy nhất một p-nhóm con Sylow là H

Chifng minh:

i) Điều kiện cẩn:

Gọi P là p-nhóm con Sylow của G Theo định lý Sylow P và H liên hợp với nhau, Do đó, tổn tại x e G sao cho P = xHx'' Nhưng H4 G nên xHx” = H

Vay: P=H

ii) — Điều kiện đủ:

Trang 18

Chương 2: Nhém con cia nhém Ss e y, la ddn anh VxH yH e X, y,(xH) =y,(yH) =axH = ayH Do đó y, là song ánh => a 'axH = ä layH =>xH = yH Giả sử m = [G : HỊ = 'X| Đặt S„ là nhóm các song ánh từ X đến X Khi đó: Y„ 6 Sm Xét ánh xạ y : G —> S„ ar y, VabeG, VxHe X

Trang 19

Chuong 2: Nhém con cia nhém S; Chứng minh: Ta có: y e xNc(H)x Ì <> x'yx € No(H) o> (x'yx)H = Hix 'yx) œ y(xHxÌ) = (xHx Ì)y <> y e Ne(xHx `) Vay: xNo(H)x! = Ne(xHx”) 2.4 Mệnh dé 2.4: (Về liên hợp của một vòng xích)

Trong ŠS„ cho Œ = (ai; 8) 8y,) (3i 82 đậy) (Ay) Am? Amn): Khi đó, với mọi }eS, ta có:

Bap’! = (Bi{ay)) B(a¡›) = (a¡,)) (J(aa;) B(a››) ve B(a›,)) (Bam) B(a„›)

B(a„,))

Chứng minh:

Giả sử J(a„) = bụ Ta có:

BœB''(b„) = Bơ(a,) = Bd(a„, „¡y) = byes

Trong đó j + l được lấy modulo độ dài của xích chứa a,,

Do đó: BœR'!= (bạbị; bị) (bạiba; bạ,) (bạybạy bạ) = (B(a),)B(aj») B(ay,)) (B(a2) Bay)

B(a›,)) .((am)Ð(a„2) B(a„)) 2.5 Mệnh để 2.5:

a) S, sinh ra bdi tập tất cả các chuyển trí

b) A, sinh ra bởi các vòng xích độ dài 3

Chứng minh:

a) Theo hệ quả 5.1.2, mọi phép thế đều phân tích được thành tích các

chuyển tri, Nén S, sinh ra bởi tập tất cả các chuyển trí

Trang 20

Chương 2: Nhóm con của nhóm Š;

Do d6: A, sinh ra bởi các vòng xích độ dài 3 2.6 Mệnh để 2.6: Mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với nhau (đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên mod n) Chifng minh: Giả sử X = <a> là một nhóm xyclic hữu hạn cấp n Xét ánh xạ y : Z > X m + a” e y là đồng cấu nhóm: Vvn,m e Z : y(m+n) = a””°= a”,a” = y(m) y(n) e y là toàn cấu: VxeX,.x=a`keZ Suy ra tổn tại k Z: y(k) = x ® Kery=nZ Thật vậy:

Với k = nq € nZ ta có y(k) = y(ng) = a”” = ex

Suy ra: nZ c Ker y (1)

Trang 21

Chuong 2: Nhém con cia nhém §;

Suy ra: x e No(H)

Vậy: No(K) c Ne(Hì

3 NHÓM CON CỦA NHÓM S;

3.1 Sz không có nhóm con cấp lŠ:

« Bổ để l:

Giả sử a, b là 2 phần tử của một nhóm, cấp của a bằng r, cấp của b bằng $; (r,s) = Ì và ab = ba Khi đó, cấp của ab bằng rs

Chứng minh:

Do ab = ba nên (ab)” = a”.b” = e.e =e Giả sử (ab)' = e =a'b'=e

=>a'=b"

Nâng cả hai vế lên lũy thừa r và s ta được

a® = b™ =e(1), a” =b” = e(2), Từ (1) và (2) suy ra: bà tris Vi (r,s) = | nén io tirs Vậy cấp của ab bằng rs « Bổ để 2:

Giả sử p, q là các số nguyên tố và p < q: q không đồng dư I (modp) Khi đó mọi nhóm cấp p.q đều là nhóm xyclic cấp p.q

Chứng mỉnh:

Giả sử G là nhóm cấp p.q với p<q, q không đồng dư 1 (modp), Khi đó các p-nhóm, q-nhóm con Sylow của G đều có cấp nguyên tố nên là nhóm

xyclic

Giả sử <a>, là các p-nhóm, q-nhóm con Sylow cia G Goi m,n lan lượt là số các nhóm p-nhóm, q-nhóm con Sylow của G Theo định lý Sylow ta

có:

Trang 22

Chương 2: Nhóm con cia nhém Ss

m\ pq

mì p4

m = Ì + kp(k e N)

mì = l(mod p) —

Suy ra: mìq Do đó: m = | hoac m = q

Theo gia thiết: m = l + kp # q nên m = Ì Do dé: <a>< G n\, pq S :tn\pn=l vi HAAAgG Ế hc Ta cũng có: Đo đó: 4 G Do (p,q) = Ì nên:

<a> © = {ce} Mat khac:

Do b’a'b e <a> nên: (ab) !ba = ba ba e <a>

Do (ab) b(ab) nên: (ab) 'ba = (ab} 'b(ab).b'” e Do đó: (ab) 'ba = e = ab = ba Theo bổ để 1, cấp của ab bằng rs Vậy: G = <ab> Ta thấy, 15 = 5.3, 5 không đồng dư 1(mod3) nên nếu H là nhóm con cấp 15 của Ss thì H xyclic Mà trong S; không có phần tử cấp 15 Nén Ss; không có nhóm con cấp 15, 3.2 Nhóm con cấp 2 trong S;: «Ổ Bổ đề:

Sa có 2 loại phần tử cấp hai mà tất cả các phần tử của mỗi loại này đều liên hợp với nhau

Chứng minh:

Goi a là phần tử cấp hai trong Ss thi a = (ajaz) hodc a = (a)a2) (a3a4)

Trong đó (a¡,a:.a‡ a¿} 6 {1.2, 3, 4, 5}

® a=(a¡a;)8aa):

Trang 23

Chương 2: Nhém con ciia nhém Ss

Xét B: 6 S5; mà:

(22) a, a, a, a, a,

Ta có:

0,(12)(34)B, Ì = (ayas)(a¿a¿) =a nên các phần tử cấp 2 của §; thuộc

loại này đều liên hợp với (12) (34), vì vậy chúng liên hợp với nhau ® a=(a¡a): l 2 3 4 5 a, a, a, a, a, Xét B = |v {ajasas} = { 1,2,3,4,5}\{a,a2} Ta có: 8(12)B = (a,a2), nén moi phan wr dang (a,a2) trong Ss déu lién hợp với nhau Mà trong Ss; có 10 phần tử cấp 2 dạng (a;a;) và 15 phần tử cấp 2 dang (a)a2)(ajay)

Do đó, trong §¿ có hai loại nhóm cấp hai là loại <(a¿a;)> và loại <(a¡aa)(ayaa)> mà mỗi loại nhóm cấp hai này là một lớp liên hợp có số phần tử lần lượt là 10, 15 3.3 Nhóm con cấp 3 trong S;: Các phần tử cấp 3 của S; có dạng (a;aza›) Trong Ss có tất cả 20 phần tử dạng này Do |S,|= 120 = 27.3.5

Nén mi nhém con cap 3 cla Ss la 3-nhém con Sylow cia Ss

Do 2 nhóm con cấp 3 khác nhau giao nhau bằng {ec} va S; cé tat cd 20

phần tử cấp 3 nên số nhóm con cấp 3 của S; là: _ = 10

Theo định lý Sylow, các nhóm con cấp 3 của S; liên hợp với nhau

Vậy, trong S‹ tất cả các nhóm con cấp 3 lập thành một lớp liên hợp gồm

I0 phần tử

Hơn nữa, từ đó ta suy ra:

Nếu G là nhóm con cấp 3 của Ss thì:

IN, (G= =12

Trang 24

Chương 2: Nhóm con của nhóm S‹

3.4 Nhóm con cấp 5 trong Ss:

Các phần tử cấp 5Š trong S„ có dạng (a;a›a;aaas), Trong S¿ có tất cả 24

phan wf dang nay,

Do |S,|= 120 = 3Ỷ.3.5

Nên mỗi nhóm con cấp 5 của S‹ là 5-nhóm con Sylow của Sa

Do 2 nhóm con cấp 5 khác nhau giao nhau bằng (c|} và S¿ có tất cả 24

, > ; 2

phần tử cấp 5 nên số nhóm con cấp 5 của S¿ là: _ “6

Theo định lý Sylow, các nhóm con cấp Š của S; liên hợp với nhau

Vậy trong S§‹ tất cả các nhóm con cấp 5 lập thành một lớp liên hợp gốm 6 phần tử

Hơn nữa, từ đó ta suy ra:

Nếu G là nhóm con cấp 5 trong S‹ thì: 120 N, (G) = r1 = 20, 3.5 S¿ không có nhóm con cấp 30: Giả sử S„ có nhóm con cấp 30 là H |HMỊ= 30 = 5 3 2 H có 3-nhóm con Sylow K Gọi m là số 3-nhóm con Sylow của H Theo định lý Sylow, ta có: \10 me Suy ra: m = | vm= 10 m % l(mod 3) Nếu m = 10 thì H có 20 phần tử cấp 3 Mà S; cũng có 20 phần tử cấp 3

Do đó mọi phần tử cấp 3 của S; đều thuộc H

Ta lại có: A‹ sinh bởi các vòng xích độ dài 3

Suy ra: A¿c H

= |4,|<|H|

= 60 < 30 (vô lý) Vay: m=!

Trang 25

Chương 2: Nhóm con của nhóm Š;

Từ đó: K«< H

=HecšW, (K) = |H| <|N, (K)|(*)

xí- 120 |

Ma: |N,, (K)}= "2 = 12 < 30 = || (mau thuẩn với(*))

Vay: S; không có nhóm con cấp 30 3.6 S; không có nhóm con cấp 40: Giả sử S; có nhóm con cấp 40 là H 40 =2” 5 H có 5-nhóm con SyÌow K Gọi m là số 5-nhóm con Sylow của H Theo định lý Sylow, ta có: m\8 suy ram= 1 atl Từ đó: K« H Suy ra He XN,(Ấ) Suy ra |/|<|N,(Kj (*)

Ma: |N,,(K))= 42° = 20 < 40 = |Hf| (mâu thuẩn với (*)

Trang 26

Chương 2: Nhóm con của nhóm S;

Theo định lý Sylow, tất cả các phần tử cấp 2 và cấp 4 của Sa đều thuộc

các 2-nhóm con Sylow cilia Ss Nhung §; có duy nhất một 2-nhóm con Sylow là

P nên số phần tử vừa cấp 2, vừa cấp 4 của S¿ là 8 - I = 7 (vô lý)

Vay |H| # 120 e Néu |H|=24

Do trong Ss, mi 2-nhém con Sylow là một nhóm con cấp 8 Do đó, theo

định lý Sylow các nhóm con cấp § của S liên hợp với nhau

l 9

Như vậy, số nhóm con cap 8 trong Ss 1a: =5

Theo định lý Sylow, tất cả 25 phần tử cấp 2 và 30 phần tử cấp 4 trong Ss đều thuộc một trong số năm nhóm con cấp 8 của S‹ Trong khi đó, số phần tử cấp 2 và cấp 4 trong năm nhóm đó không vượt quá: 7 5 = 35 Do đó ta dẫn đến mâu thuẫn

Vậy: |H| =8

Hay chuẩn hoá tử của nhóm con cấp 8 trong Sa là chính nó

b) Số nhóm con cấp 8:

Vì tất cả các nhóm con cấp 8 của S; đều liên hợp với nhau và chuẩn hoá

tử của mỗi nhóm con cấp 8 trong §s là chính nó nên Ss có tất cả w= 15 nhóm con cấp 8

3.8 Nhém con cap 20 trong Ss:

a) Sự liên hợp của các nhóm con cấp 20:

Bổ đẻ:

Trong S; mỗi nhóm con cấp 20 là chuẩn hoá tử của một nhóm cấp 5

Trang 27

Chương 2: Nhóm con cia nhém Ss m\4 m = 1(mod 5) = | Do đó: H là nhóm con cấp 20 của §s thì nó có nhóm con chuẩn tắc cấp 5 mà ta gọi là K 5 la K 3.9 Suy ra: Hc N, (K) Ma: Nv, (= 728 = 20 nén He N, (K)

Giả sử Hị C Ss, |H,| = 20 thi ta cing c6: H, = N, (K,)vdi |K,| = 5

Vi K va K, 1a 5-nhém con Sylow của Ss nén t6n tai x € Ss sao cho:

K, = xKx"

Suy ra: Hị = N, (K,) = Ny, (xKx"') =x Ny (K)x" = xHx"

b) Chuẩn hoá tử của nhóm con cấp 20 là chính nó: Thật vậy: Gọi H là nhóm con cấp 20 của S; Khi đó H có nhóm con chuẩn tắc cấp = N, (H)C N, (K) (Mệnh để 2.4) Mà: |N, (K)| = 20 => |N, (H)|= 20 (Do HC N, (H) và |H|= 20) Vậy: N,(H) =H c) Số nhóm con cấp 20:

Vì tất cả các nhóm con cấp 20 của S; đều liên hợp với nhau và chuẩn

hoá tử của mỗi nhóm con cấp 20 trong Ss là chính nó nên Ss có tất cả = = 6 nhóm con cấp 20

Nh6ém con cap 4 trong Ss:

% Các loại nhóm con cấp 4 trong Ss:

Trang 28

Chitong 2: Nhém con cua nhém S;

Theo định lý Sylow, mỗi nhém con cap 4 cua S; déu nim trong một nhóm con cấp 8

Ta có một nhóm con cấp 8 của S; là:

G = {e, (1234), (13)(24), (1432), (1234), (14)(23), (13), (24))

Ta đi tìm các nhóm con cấp 4 của G Gọi H là nhóm con cấp 4 của G e Nếu H có chứa phần tử cấp 4 thì H là nhóm xyclic và H z Z4 Do Z„ có 2 phần tử cấp 4 nên G có 2 phần tử cấp 4 Như vậy có một nhóm con xyclic cấp 4 của G là: H, = {e, (1234), (1432), (13)(24)} e Nếu H không chứa phẩn tử cấp 4 Khi đó, moi phan tử (z e) của H đều có cấp 2 Có 2 trường hợp: + H chứa 2 phẩn tử cấp 2 là phép thế lẻ và một phần tử gấp 2 là phép thế chẩn G có l nhóm con cấp 4 loại này là: H; = fe, (13), (24), (13)(24)} + H chita 3 phần tử cấp 2 đều là các phép thé chin G cé 1 nhém con cấp 4 loại này là: H; = (e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)] Như vậy, G có 3 nhóm con cấp 4 là: H, = {e, (1234), (1432), (13)(24)] H, = {e, (13), (24), (13)(24)} H, = fe, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} e VbeSstacé: ôH;ð' = {e, (5(1)5(2)5(3)5(4)), (5(1)5(4)5(3)5(2)), ((5(1)5(3))(5(2)8(4))) }

5H,5"' cé 2 phan wt cap 4 trong khi Hy, H; không có phần tử cấp 4 nào

nên ôH,Š” z H, (¡i=2,3) Do đó, H; không liên hợp với H; và H;

e Võ€S;stacó:

ôH;ô' = {e, (õ(1)ỗ(2))(8(3)ỗ(4)), (õ( 1 )õ(3))(õ(2)õ(4)), (ô( 1)ô(4))(ô(2)(3))]

Trang 29

Chương 2: Nhém con cia nhém S; 8H;õ” có 3 phần tử cấp 2 đều là phép thế chẩn, trong khi H; có 2 phép thế lẻ nên öH;ô” z Hạ

Do đó, H;› và H; không liên hợp với nhau trong S‹

Goi K là nhóm con cấp 4 trong Sa thì tồn tại một 2-nhóm con Sylow của S; chứa nó Ta gọi nhóm đó là G¡ Vì G và G; là 2-nhóm con Sylow của S: nên có x € Ss sao cho Gị = xGx” Suy ra: K C xGx” Mà xGx” chỉ có 3 nhóm con cấp 4 là: xH,x'!, xH;x'', xH;x'Ì, nên: K =xH,x "hoặc K = xH;x "hoặc K = xH;x ` Như vậy,

Tập tất cả các nhóm con cấp 4 của S„ được phân thành ba lớp tương đương theo quan hệ liên hợp mà H;, Hạ, H; lần lượt là các phần tử đại diện cho

mỗi lớp đó

a) Các nhóm con xyclic cấp 4 trong S‹:

Theo trên tất cả các nhóm con xyclic cấp 4 của S¿ đều liên hợp với

nhau Sau đây, ta sẽ tìm nhóm con dạng này của Ss

Trong Ss có tất cả 30 phần tử cấp 4 Mặt khác, hai nhóm xyclic cấp 4

khác nhau không chung nhau phần tử cấp 4 nào và mỗi nhóm xyclic cấp 4 có

đúng 2 phần tử cấp 4 nên số nhóm con xyclic cấp 4 của § là:

30-15 2

Từ kết quả này ta suy ra:

Chuẩn hoá tử của một nhóm con xyclic cấp 4 trong S; là một nhóm cấp 120 _

15

b) Các nhóm con cấp 4 của S; liên hợp với H;:

Gọi H là nhóm con cấp 4 của S‹ liên hợp với H;, H có dạng:

H =le, (a:a»), (asa¿), (ara+)(asa¿)}, a¿ 6 {1,2,3,4,5]

Do S; có 15 phần tử cấp 2 dạng (a,a)(a;a¿) nên số nhóm con cấp 4 dạng

này là 15

Từ đó, ta suy ra:

Trang 30

Chuong 2: Nhém con cia nhém Ss Chuẩn hoá tử của một nhóm con cấp 4 của §; liên hợp với H; là một nhóm cấp = =8

c) Các nhóm con cấp 4 của S; liên hợp với H::

Gọi H là nhóm con cấp 4 của S¿ liên hợp với H;, H có dạng:

H=({e, (a;a;)(a¿a¿), (a¡ai)(azax), (a¡a¿)(a2a3)}

Số nhóm con cấp 4 dạng này trong S; là : 1 C†.—=5 41! Từ đó, ta suy ra: Chuẩn hoá tử của một nhóm con cấp 4 của S; liên hợp với H; là một nhóm cấp i = 24 Tóm lại: e Trong Ss có 15 nhóm con xyclic cấp 4 và 20 nhóm con không xyclic cp 4

eâ Trong Đ; chun hoá tử của một nhóm con xyclic cấp 4 là nhóm cấp

& Và chuẩn hoá tử của một nhóm con không xyclic cấp 4 là nhóm cấp 8 hoặc

nhóm cấp 24

3.10 Nhóm con cấp 6 trong S‹:

3.10.1 Các loại nhóm con cấp 6 trong Sa:

Giả sử G là nhóm cấp 6 trong Sa Ta xét 2 trường hợp:

a) Trường hợp 1: G có chứa phần tử cấp 6

Khi đó, G là nhóm xyclic cấp 6 Theo mệnh đề 2.3, G z 24

Ze = {1,2,3,4,5 }

Trang 31

Chương 2: Nhóm con của nhóm SŠ‹

Khi đó mọi phan wf (+ e) của G đều có cấp 2 hoặc cấp 3 Theo định lý Saylow, G có duy nhất một nhóm con cấp 3 nên trong G có 2 phần tử cấp 3 và 3 phhẩn tử cấp 2

Gọi a là một phần tử cấp 2 và b là một phần tử cấp 3 của G Nếu ab = ba

thai theo bổ để 1, 6 muc 3.1 cấp của ab bằng 6 Điều này không xảy ra vì ta đaan g xét trường hợp G không chứa phần tử cấp 6

Do đó: ab # ba

Như vậy trong trường hợp này ta có:

G = {e, a, b, bỶ, ab, ba]

e_ Giả sửb =(ayasay), khi đó: bỶ = (ayaya;) Ta xét 2 trường hợp của a

e a là phép thể lẻ: a = (a,a,)

Nhận thấy (a;a)a;)(a;a4) = (ajayapa;)¢ G

(@,aa,)agas) €G

Do đó: {i,j} < {1,2,3}

Vì vậy trong trường hợp này Ö có dạng:

G¡ = {e, (aya+), (a¡äy), (aaay), (a¡a283), (aiaya2) }

Trong S4 có C¿` = a 20 nhém con dang nay, 2!3!

e ala phép thé chan: a = (aja)) (a,a,)

Nhan thay: (a;apa5) (a)a2) (ajay) = (a;ajay) € G

Do dé: {h, k} = {4,5}

Vì vậy trong trường hợp này G có dạng:

Gạ = {e, (a)a2a5), (a) aja2), (aya2)(agas), (yay) agas),

(azas)(a¿as)]

Trong Ss cũng có I0 nhóm con dạng này

3.102 Về sự liên hợp của các nhóm con cap 6 trong Ss:

a) Các nhóm xyclic cấp 6 trong Š; liên hợp với nhau: Thật vậy,

Giả sử G = <((a¡a;ay)(a¿as)> là nhóm xyclic cấp 6 trong S‹

Trang 32

Chương 2: Nhóm con của nhóm Ss I 2 3 4 s5 Xét œ = | E Ss, a, a, a, a, a, Ta có: œ <(123)(45)> œ' = G Do đó: G liên hợp với <(123)(45)>

Vì mọi nhóm xyclic cấp 6 trong S; đều liên hợp với <(123)(45)> nên

chúng liên hợp với nhau

VB c S;:0GB 'là nhóm xyclic cấp 6 nén: BGP! # G; (i = 1,2)

Vì vậy, G không liên hợp với G¡, G:

b) Các nhóm cấp 6 dạng Gi(i = 1,2) liên hợp với nhau G¡ và G;

không liên hợp với nhau Thật vậy: 123 4 5 xetp=| les, a, @, a, a, 4, ) Ta có: BG,B' = H; với H; = [e,(12),(23).(13),(123),(132)] BG›B'' = H; với H;ạ={e,(12)(45),(13)(45), (23)(45), (123), (132)) Vì các nhóm con cấp 6 dạng G, đều liên hợp với H, nên chúng liên hợp với nhau

Vơe§‹, œG,œ” = {e,( œ (a,) œ (a;)),( œ (a;) œ (ax)), (œ (ai) œ (43)),

(œ (a¡) œ (aa) œ (ax)),( œ (a¡) œ (4y) œ (a2))]}

œG,œ ` có 3 phần tử cấp 2 đều là các phép thế lẻ, trong khi G; không có phần tử cấp 2 là phép thế lẻ Vì vậy, œG¿œ ` + Ga Do đó G¡ và G; không liên hợp với nhau Tóm lại: e S¿ có tất cả 10 nhóm con xyclic cấp 6 và 20 nhóm con không xyclic cấp 6 e Trong §; chuẩn hố tử của một nhóm con cấp 6 là nhóm con cấp 12 3.11 Nhóm con cấp 10 trong S‹:

Gọi G là nhóm cấp 10 trong Ss Theo định lý Sylow G có duy nhất một

Trang 33

Chương 2: Nhóm con của nhém S; a) Trong G không có phần tử cấp 2 dạng (a¡aj) Thật vậy: Giả sử G có phần tử cấp 2 là (a,a,) Xét (airaaaisai¿as) là 1 phần tử cấp 5 bất kỳ trong G

Khi đó, do (aaisa,ya,¿ais) là Ì phép thế chẩn, (a¿a,) là phép thế lẻ nên

(Ay) ap8pyät¿âns) (a¡a,) là phép thế lẻ =(âAiiäis8iyaaais)(a¡4,) = (Ayam) = (aiiaizaiyajzais)= (ayam)(a¡4,) (*) Ta xét các trường hợp © (k,m) = [i,j]: (aam)(a;a,)= e có cấp l © (k,m}“@ [i, j} = Ø :(aya„)(a,a,) có cấp 2 e (k,m] © (i,J]} = (n]} :(aya„)(a¿a,) có cấp 3

Trong khi đó(ayagzasa,aas) có cấp 5 Do đó, (*) không thể xảy ra Vì vậy, G không có phần tử cấp 2 dạng (a;a,)

Như vậy, nếu G là nhóm con cấp 10 của Sa thì các phần tử của G đều là

các phép thế chẩn Do đó, G cũng là nhóm con cấp 10 của A‹ b) Nhóm con cấp 10 trong A::

« Bổ đề:

Chuẩn hoá tử của nhóm con cấp 5 trong As là nhóm cấp 10 Chứng minh:

Gọi H là nhóm con cap 5 trong As Khi đó, H cũng là 5-nhóm con Sylow

cla As Theo định lý Sylow, mọi 5-nhóm con Sylow của Á; đều liên hợp với

nhau Do đó số nhóm con cấp Š trong As la [As: N, (H)]

Mặt khác, mỗi nhóm con cấp 5 của S; cũng chính là nhóm con của A;

nên số nhóm con cấp 5 trong A; là 6

Suy ra: [As: ý, (H)] =6 60

Vì i vay: | af ) -IN, (Hy = —=10 6 « Bổ để 2:

Trang 34

Chương 2: Nhóm con của nhóm S; Trong A‹ chuẩn hoá tử của mỗi nhóm con cấp 10 là chính nó, Hơn nữa, tất cả các nhóm con cấp 10 của A‹ đều liên hợp với nhau

Chứng minh:

* Theo dinh lý Sylow, mọi nhóm cấp I0 đều có duy nhất một nhóm

con cấp 5 Do đó, H là nhóm con cấp 10 của A; thì nó có nhóm con chuẩn tắc cấp 5 mà ta gọi là K nhau Suy ra: N,„(H) c N, (K) (mệnh để 2.7) Ma: |N, (K)| = 10 nén Nas(H) = V„(K)=H

+ Gid sit H, CAs, |H,| = 10 thì ta cũng có Hị = V, (K)) với |K,|= 5 Vì K, K¿ là các 5-nhóm con Sylow của As nén tén tai xe As sao cho K,=xKx', Suy ra: Hị = N, (Ki) = Vu, (xKx”)=xX, (K)x'=xHx ` Từ đó số nhóm con cấp 10 trong As là: = = 6 Như vậy, trong A; có 6 nhóm con cấp 10 Các nhóm này liên hợp với Từ đó ta suy ra:

Trang 35

Chương 2: Nhóm con của nhóm S‹

Néu a £ H thì H z Hơ

Khi dé do [S,: A,] = 2 nén S, = H U Ha Suy ra: a® € H hodc a’ € Ha « a@eH=>(a)=a'e¢H>aeH

e a €Ha>3xaeH:a’=xa>a=xeH

Nhưng ơ” e H hay a’ € Ha đều suy ra œe H nên ta gặp mâu thuẫn Vậy H chứa tất cả các vòng xích độ dài 3 của S,

Mà A, sinh bởi các vòng xích độ dài 3 nén: A, GC H

§

Mặt khác |#/|= “” =|4 nên H = AÁ,

Vậy S¿ có duy nhất một nhóm con cấp 60 là A‹

3.12.2.Nhóm thay phiên A„ là nhóm con chuẩn tắc của S„

3.13

Chứng minh:

Vig € S, ta cd:

Sign (g'fg) = Sign g' Sign f Sign g = Sign f

Bởi vậy nếu f e A, thì g 'fg e A,„ V g eS§,

Do đó A„ là nhóm con chuẩn tắc của S, Đặc biệt , A; là nhóm con chuẩn tắc của S‹

Tóm lại:

§; có duy nhất một nhóm con chuẩn tắc cấp 60 là A‹ Trong S‹ tổn tại các nhóm con cấp 12 và cấp 24:

3.13.1 S; có các nhóm con cấp 12:

Trang 36

Chương 2: Nhóm con của nhóm S;

Trang 37

CHUONG III

TAM VA NHOM CAC HOAN TU CUA S, 1 TAM CUA NHOM §;:

1.1 Dinh nghia 1.1:

Cho X là một nhóm, ta gọi là tâm của X bộ phận

C(X) = {a & X/ ax = xa, Vx € X}

1.2 Ménh dé 1.2 :

C(X) là nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của C(X) đều là nhóm con chuẩn tắc của X Chifng minh : + C(X) # Ø vì e € C(X) + Nếua,b c C(X) thì ax = xa và bx = xb nên : (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab) Suy ra: ab e C(X) + VxeX,ax=xa=xa'=ax =a! € C(X) Vay :C(X) GX

Rõ ràng với mọi a,b € C(X), ab = ba, Do đó: C(X) là nhóm con giao hoán của X

se Giả sử A là một nhóm con của C(X)

Trang 38

b) C(As) = {e} Chifng minh:

a) C(Ss) = [Í e Sự f.g= g.{, Vg e S4]

Do đó, e e C(Sa) nên : {e] C(S:)

e Với mọi f e C(Sa) thì F.g = g.f, V g e Sa Giả sử f là một chuyển trí f =(1J) Chọn g = (ijk) thì

fg = (ijk)(ij) = (ik) g.f = (ijijk) = Gk)

Do f.g = g.f nên ¡ = j hay f = e Nếu f là một phép thế bất kỳ thì f có thể phân tích thành tích các chuyển trí nên C(Sx) c {e]

Vay: C(Ss) = [e}

b) C(As) = (f € As f.g =g.f, Vg € As)

e Ta thay: e.g =g.c, Vg € As

Do đó : e € C(As) nén (e} C C(As)

g.f = (ij )(kI (ijk) = (Iki) Ma: f.g = g.f => (lik) = (Iki)

=k=i Hay f =e

Nếu f là một phép thế bất kỳ trong A; thì f có thể phân tích thành tích

các vòng xích độ dài 3 Suy ra: C(A‹) c [e}

Vậy: C(A;) = |e]

2 NHOM CAC HOAN TU CUA Ss:

2.1 Định nghĩa hoán tử:

Giả sử X là một nhóm, x và y là hai phần tử của X Ta gọi phần tử x 'y Ìxy là một hoán tử của x và y

Trang 39

2.2 1)

Mệnh đề 2.2:

Nhóm con A sinh bởi tập tất cả các hoán tử của tất cả các cặp x, y

của X là nhóm con chuẩn tắc của X gọi là nhóm các hoán tử của X, ký hiệu là [X.XI

ii) Nhóm thương X/[X,X] 1a abel

iii) Néu H< X thi: X/H abel > [X,X] CH Chifng minh:

i)

ii)

Với mọi a e [X,X| và mọi x e X ta có

b=a”x 'ax e [X,XỊ Do đó : x 'ax = ab e [X,XỊ Vay [X, X]< X Vdi moi x,y € X ta cd ying xye [X,X] => (yx) xy € [X.X] => xy [X,X] = yx [X,X] => XY = yx

Vay nhóm thương X/{X,X] là abel

li) Nhóm thương X/H là abel © Vx,y e X : xyH =yxH o> VxyeX :x"y'xy eH <= [X,X]cH 2.3 Mệnh để 2.3 : i) [Ss, Ss] = As li) [As, As] = As Chifng minh :

i) Do dinh nghia ta c6 [As As] C As

Ngược lại mỗi vòng xích độ dài 3 đều có dạng (ijk)

Ma: (ijk) = (mji) (ki) ‘(mji)(Iki) = [(mij), (Iki)] € [As, As], As dude sinh bởi các vòng xích độ dai 3 nén As c IAs, As]

Vậy: [As, As] = As

ii) Wfig € Ss, sign(f'g'fg) = sign’(f) sign*(g) = |

Trang 40

Suy ra: F!g 'fg € As

Ma: {S‹, S‹] được sinh bởi các hoán tử [f,g|, Vf,g e S¿

Nên [Š‹ S4] GAs

e Ngược lại với mọi vòng xích độ dài 3 trong Ss c6 dang (ijk) Ta c6:

(ijk) = (ij) (ik)! (ij)Gik) = [(ij), (ik)] € [Ss, Ss]

Mà: A‹ được sinh bởi các vòng xích độ dài 3 nên À; c|§‹, S‹] Vậy: [Ss, S4} = Á¿

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	1,85 MB