Safe NO) LID - A Widant d= 3s / +} : Co Wy lr (
ĐẠI HỌC QUOC GIA TP HCM | TRƯỜNG ĐẠI HOC SU PHAM ° + ©° s* vs “9 x% LUẬN VĂN THẠC $Ï TOÁN CNUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ ĐỂ TAT MOT SO VAN DE VE M6 OUN TU DO Người hướng dẫn: PTS CZ#z¿ C⁄2/4n Ngudithyc hign: ONguyén Fein 2x„áz Người phần biện l: — woe ~-— - 4 EN
nie e <n ÍTrườ sa là Hạc fut he
Ngưởi phản biện 2: | cor HƠI cổ NEoggeei-
Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng châm luận văn
Thạc ổï Toán học trường DH &ư phạm Tp CM
Trang 2§1 §2 §3 §4 MUC LUC
KIEN THUC CHUAN BI
XAY DUNG MO BUN TU DO
MQ DUN CON CUA MO BUN TU DO MO DUN THUONG CUA MO BUN TU DO
Trang 1 Trang 8 Trang 21
Trang 3S06 cdm on,
Ludn van nay dugc hoan thanh nhd si gitip dd tan tinh cua quí thầy cô trưởng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh Đặc biệt
xin bay to long biét ơn thảy Trần Huyên , người đã trực tiếp ra để tải vả hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoán thánh
Trang 4Một só uấn đê uề mô đun tự do - 1
§ 1 KIỀN THỨC CHUẨN BỊ
Mục này nhắc lại các khái niệm và các kết quả của lý thuyết mô đun , dãy
khdp , sẽ được dùng về sau , việc chứng minh chúng có thể tìm thấy ở các
sách tham khảo được chỉ ra ở mục sau củng
1) Mô dun , mô đun con :
a) Dinh nghia :
- Cho R là vành có đơn vj la 1 , một mô đun trái R hay gọn hơn R - mô đun
trái là một nhóm công Abel ( X, + ) nếu đã xác định một tác động từ R vào X ( tức có ánh xạ R x X —> X mà (r, x —>r x ) sao cho thỏa 4 tiên để sau :
MỊ: : la=x , VaeEexXx
M;: (r4) =r(4Z ) ,Vr,á€R,VeeX M;: (r†+ 4) =r2z+4;,Vr,4eR,V+eceXx
M,: r(Z+#)=rz+ r2 ,VreR,Vz,zeX
- Cho R - mô đun X, tập A # Ø và A c X được gọi là mô đun con cửa X
nếu A thỏa hai điều kiện sau : i) A la nhóm con của nhóm cộng X i)VaeR va VeeA thiaz eA b) Tính chất : Mệnh để I - I : - Tập con A của R - mô đun X là mô dun con của X khi và chỉ khi : A #Ø vàVq, e R,Vaye A thiazr+ py EA - Giao của một họ không rỗng những mô đun con cua R - mô đun là một R - mô đun
- Cho S là tập con của R - mô đun X Mô đun con sinh bởi tập S là mô đun
nhỏ nhất cửa X chứa S Ký hiệu X = <S>
khi đó <S> bằng giao của tất cả các mô đun con của X chứa S
Trang 5Một só oốn đề uề mô đưn ty do - 2 S của X là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính với các hệ tử trong R cửa các phân tử của S fi <§>= {Sins / ner; ses} j=]
2)Mô đun thương :
Cho R - mô đun X ; A là mô đun con của X khi đó ta có nhóm thương ( X/A, + } là nhóm Abel Ta trang bị phép nhân tử R vào nhóm thương X/A
như sau :
VreR ; V(++A)€ X/A: r(Œ+A)=mZ£ +A
với các phép toán như vậy thi X/A là R - mô đun vả ta gọi là mô đun thương
3) Đồng cấu mô đun , ảnh , hạt nhân :
e Định nghĩa Í :
Cho X, Y lả các R - mô đun Ảnh xạ ƒ : X — Y được gọi là R - đồng cấu mô đun nếu ƒ bảo toàn các phép tốn về mơ đun, tức là : .{œ + )=ƒ( )+/f ) ,V#, €X .ƒ(r2) =r /(2) , VreR,œeX Ta ky higu Home (X,Y) Ia tap tất cà các đồng cấu mô đun tử mô đun X tỏi mô đun Y Ta gọi Ix:X->X_ là ánh xạ đồng nhất trên X Ja :A >X làánh xạ nhúng P,:X—X/A là ánh xạ chiếu
trong đó A là mô đun con của X
Ta chứng minh được các ánh xạ trên là các R - đồng cấu mô đun
Nhận xét: Nếu trên tập Homg(X,Y) ta định nghĩa phép toán cộng
Ġ+g:XY
Trang 6M6t 56 vén dé vé mo dun tự do - 3
Khi đó : ( Homg(X,Y), + ) là nhóm cộng Abel, và nếu R lả vành giao hoán thì Hom(X,Y) có cấu trúc R - mô dun
e Định nghĩa 2 :
Cho / : X —> R là R - đồng cấu mô dun
Ta gọi hạt nhân của đồng cấu ƒ ký hiệu Ker f = {2 €X/ f(z) = 0} =f 30)
Ta gọi ảnh của đồng cấu ƒ, ký hiệu #m/ =ƒ(X) = (y<Y/3zeX: g=f@)) Ta gọi mô đun thương X/Ker f 1a doi anh cia f va ký hiéu coimf
Ta gọi mô đun thương Ÿ/⁄1m/ là đối hạt nhân của / và ký hiệu cokerƒ/
Menhdé1-3: -
Cho ƒ : X — Y là toàn cầu từ R - mô đun X vào R - mô dun Y Khi do ton
tại đẳng cấu ƒ: X / Kerf — Y sao cho biéu dé sau giao hoán : x—Loy _ abo fe ( tức là: ƒ = ƒ #gey ) eet Kerf Mệnh để 1 - 4 : Cho A và B là các mô đun con cửa R - mô đun X Khi đó tổn tại đẳng cấu : A+B/B 3% A/AnB 4) Day khớp : a) Định nghĩa : Dãy các đồng cấu : wo X, 2 xy, Xa
được gọi là dãy khớp nếu với mọi n ta có : Imf,., = Kerf, ( trừ 2 đầu nếu có )
Trưởng hợp đặc biệt : cho A,B,€ là các R - mô đun và X : A —> B và
ơ:B —>C là các R - đồng cấu :
Day (ŒE): 0 —> 4 ` => B——>C —(Q được gọi là dãy khóp ngắn nêu X là đơn cấu ; ơ toàn cấu và ImX = Kerơ
Dãy (E) được gọi là chẻ ra nếu B = Im X ®B, trong đó B' là mô đun con
Trang 7Một só uắn dê uề mô đun ty do - 4 b) Tính chất : Mệnh để 1 - S : Cho Y > y—2 >Z với f, g làR - đồng cấu nếu fg : X —> Z là đẳng cấu thì : i) g toan cau va f đơn cấu ii) Y=Imf@®Kerg Ménh dé 1-6:
Cho day khdp (E): O— A As fy 7 gf
Cac phat biểu sau đây là tương đương :
i) Day (E) ché ra
ii) X có nghịch đảo trái , tức là ton tại đồng cấu 4 :B->A sao cho 4X = lạ iii) œ có nghịch đảo phải , tức là tồn tại đẳng cấu r : C —> B sao cho or=IJe 5) Tích trực tiếp , tổng trực tiếp : a) Tổng trực tiếp của bai mô đun : - Xây dựng tổng trực tiếp : Xét tập nên: ÄX;xX;=({(Z¡,2;) /2ạ cX\,2;e€ X2} Phép toán : với (Z¡,;);(¡, 2) 6 Xị xX; và r 6 R (#q,#¿) + ⁄¡.22)=(#Z\(†2:, +:12:) # f(2Z\,22)=(r2\,r) Z
Ta kiểm tra được (X; x X;, + , ) là R - mô đun và ta gọi là tổng trực tiếp
của hai mô đun X,, X; , ký hiệu X, ® X;
- Các ánh xạ nhúng và chiếu :
J, :X, > X, ® X; va J;:X; X, B X,
Trang 8Một số uốn đề uề mô đun tự do - 5
được gọi là phép nhúng
.P, :X;® X;X và P;:X:;® X; >X; (71,22) bh 2, (Z\,¿) zw,
dude goi la phép chiéu
Với các phép nhúng và chiếu ta có hệ thức sau :
ĐJh = ly,; PJ; = ly,; PaJì = 0; 2 = 0; Pid + Pod2 # Ìlvexy „ Mệnh để 1 - 7 : | Cho R - mô đun X và X,, X; là các mô đun con của mô dun X , nếu X=Xị +X; và X;¬X;ạ=0 thì XzX,;® X; Khi đó ta nói X là tổng trực tiếp trong cửa X; và X; Hệ quả :
X là tổng trực tiếp trong cửa X; và X; khi và chỉ khi với mọi phân tử + € X có một sự phân tích duy nhất Z =2: +2¿ với 6 ÄXị; 2 6 X; Mệnh để 1 - 8: Nếu hợp thành các đồng cấu X Í ›sy_—# ›7 là đẳng cấu thì Y =Imf® Kerg Mệnh để 1 - 9: ( tính phổ dụng của tổng trực tiếp ) Mọi họ đồng cấu {g, : X, — X} đều phân tích được một cách duy nhất qua
họ các phép nhúng J, : {g,: X, -> ®X,} Nói cánh khác, tổn tại và duy nhất
Trang 9Một 86 vén dé vé mé dun ty do - 6 Hệ quả: X =@X, khi vả chỉ khi với moiz € X co sự phân tích duy iel nhat 2 = > 2; vdi 2, € X; ie] b) Tich trực tiếp cửa một họ bất kỳ các mô đun : - Xây dựng tích trực tiếp :
Cho ho {X,};e, Trén tap tich Dé cac
2, Xi ={fil FM Sle iJ EX}
= (Zi her / 2 € Xj}
Ta định nghĩa phép toán sau đây :
(i)¡ † @¡)¡ =(#¡ +20
r(Z¡)¡ = (FZj)n
Kiểm tra các tiên để về mô đun ta có : (®X,, +, ) là R - mô đun Ta gọi
Trang 10Mot 86 vén dé vé mé dun tu do-7 Nói cách khác : tồn tại duy nhất đồng cấu @ : X —> x X, sao cho với te moi ¡i€l taco ƒ; = P, ® " 6) Mé dun xq anh: a) Djnh nghia :
Mot R - m6 dun P dude goi la xa anh néu:
Với mọi R - đồng cấu ƒ:P—> B và mọi R - toàn cấu ø :A —> B tồn tại một R - đồng cấu h :P-—> A sao cho tacó: f=gh
Trang 11Mot sé vén dé uề mó đun tự do - 8
#2 XÂY DỰNG MO DUN TU DO
Trong mục nảy chúng ta trình bày việc xây dựng các mô đun tự do Để
làm điều đó trước hết ta cần nhắc lại một số khái niệm
Tập con S của R - mô đun X được gọi là hệ sinh của X nếu mọi phân tử Z
của X đều viết được dưởi dạng :
x= »a45 Trong do (<s)s laho cac phan tt cua R vdi gia hitu han 4eS e Tập con hữu hạn S = { 4¡, 4¿, , 4„ } của R - mô đun X được gọi là ni độc lập tuyến tính nếu từ hệ thức Vins =0 suyrar,=rạ= =rạ=0 i= H Ngược lại nếu tồn tại r, r;, , rạ không đồng thời bằng 0 sao cho ins = 0 i=]
thì tập con S được gọi là phụ thuộc tuyến tính
se Tập con bất kỳ của R - mô đun X được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi
tập con hữu hạn cửa nó là độc lập tuyến tính
e Ta gọi tập con S cửa R - mô đun X là cơ sở của X nếu ; - § là độc lập tuyến tính
- S là hệ sinh của X ( ký hiệu X = <S>) -
Ta đã biết rằng nếu không gian véctơ có một cơ sở thì mọi phân tử của nó đều biểu thị duy nhất qua cơ sở Vậy tính chất đó có cỏn đúng trong tập cơ sở của mô đun X không ? Mệnh để sau khẳng định điều đó :
Mệnh để 2 - 1 :
Táp con S của R - mô đun X lả cơ sở cía X nếu vả chỉ nếu mọi phán th a của X' đêu viết được một cách duy nhất dưới dạng -
x= » a 44, trong do (xs )s la ho cdc phan ti vdi gid hitu han
Trang 12Một sé vdn dé vé mé dun ty do - 9
Chiing minh :
Điều kiện cần :
Giả sử S là cơ sở cửa X khi đó S là hệ sinh cửa X Vi vay moi phan tử xeX
viết được dưới dạng :
z= »a,5 , trong dé (es )s la ho cac phan ti cua R vdi gia hidu han jeS Giả sử ta có cách viết khác : œ = È„Ø,4 Khi đótacó: áeS 0= 2„a„4— 2.84 2,(z,4- 8,3) 5 4eS seS
Do S doc lap tuyén tinh néntacd: as- Bs =O hay as Bs
Vậy sự biéu dién cua phan th 2 1a duy nhat
Điều kiện đủ :
Giả sử mỗi + e X viết được một cách duy nhất dưới dạng : Z =
jeS
thì trước hết S là hệ sinh của X
Mặt khác nếu tacó: È œ¿4=0 thìvì 0= È Ô,4 nên khi đó ta có: jeS 4eS 3 ơ4 = » 0,4 , vì 0 chỉ có một cách biểu diễn eS 4eS duy nhất qua các phân tử cửa S nên œz=0với mọi 4 € S Chứng tỏ S là độc lập tuyến tính
Vậy S là một cơ sở của X
Trang 13Một số uấn đà uề mó dun ty do 10 - Ta thấy rằng trong X mọi phân tử có dạng (k, / ) với & # 0 là độc lập tuyến tính Thật vậy : giả sử ta có m(k, t) vớim,k e Z;f€ Z¿ tức là :(m k,m†) = (0,0) Từ đó nói riêng ta có m k =0 Do k # 0 nên buộc m = 0,
Vậy (k, t) với k # 0 là phản tử độc lập tuyến tính
- Ta cũng thấy trong X mọi phản tử có dạng ( 0 il ) là phụ thuộc tuyến tính
That vay: gidstttacd: g(0,1)=Ovdige Z;leZ,
diéu nay tuong duong vdi (90,1) =(0,q1) =(0, 0) Khi đó tachọn q=n #0 thì ta luôn luôn có (40,4l)= (0, 0)
Vậy (0, !) phụ thuộc tuyến tính
Bây giờ ta chứng mình Z - mô đun X không có cơ sở Muốn vậy ta cân chứng minh :
¡) Nếu X có cơ sở thì hệ sinh của nó có ít nhất hai phan tt
ii) Hai phân tử bất kỳ của X luôn luôn phụ thuộc tuyến tính
Chường minh ip :
Giả sử Z ® Z7 „ sinh ra bởi một phần tử = (mm, f ) với me Z , fe Z,
Khi đó do ( /, Ø ) là phẩn tử của X nên tổn tại ke Z để (/, 0) =k(m, f)
tức là: (km, kr)=( 1, 0) Từ đó ta có hệ :
bki=0 kt=0
: ; k=1 =-]
Đăng thức kèm = / cho ta m=! hoặc | (dok,meZ)
cả hai trường hợp xảy ra cho & nói trên đưa đến hệ thức :
+r=0và do đó =0, vậy phần tử sinh ø chỉ có thể là œ =(1, 0)
Trang 14Mot sé vdn dé uề mô đun tự do -] 1
không thể sinh ra X Ví dụ phan tử (0,1) là không thể biểu diễn qua bất kỳ một
trong hai phản tử nói trên Vậy X không thể sinh bởi một phân tử Ching minh ii) :
Cho hai phan ti bat ky (m, t,) va(k, 6) thuộc X Ta sé chỉ ra có các
phản tử r,, r; thuộc Z không đồng thời bằng 0 sao cho
ru(m,t,) + r;(k,!;) = (0.0) (*)
Thật vậy : nếu chọn r, = mñk vàr; =-nm thì r,,r; thỏa : rạn + rạk = 0
rịí\ †+r+Í› =0
Vậy đẳng thức (*) thỏa mãn , có nghĩa là hai phần tử bất kỷ (m, f,) và
(k , f;) luôn luôn phụ thuộc tuyến tính
Như vậy ta đã chứng minh được Z - mô đun X là không có cơ sở
Ví dụ 2-2 :
Cho X là nhóm Abel hữu hạn có cấp m, khi đó X là Z - mô đun như đã biết và trong X phân tử bất kỷ Z hiển nhiên có cấp là ước của m ( theo định lý
Lagrang) ,do vay ma =0.vim#0nénz la phan ti khéng déc lap tuyén tinh
Vậy trong X không thể tôn tại bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào và do vậy X
không thể có cơ sd |
Cac vi du trén chi cho ta thấy rằng : nói chung lớp các R - mô dun là không
trùng với lớp các R - mô đun có cơ sở Vì vậy định nghĩa được cho sau đây là
hợp lý :
Định nghĩa :
R - mỏ đun F được gọi la tự do nếu F ld mô đun không hoặc F có cở sở Theo định nghĩa về mô đun tự do ta có ngay :
- Vành cơ sở R là mô đun tự do trên chính nó
Thật vậy : nếu gọi 1 là đơn vị của R., khi đó mọi phẩn tử re R đều có thể
Trang 15Một só uốn đè uề mô đun tự do -12
và vì r.l =0 ©> r=0 nên {1} là độc lập tuyến tính
chứng tỏ {1} là cơ sở của R Vậy R - mô đun tự do R
- Không gian véc td trên trưởng số thực |R là |R - mô đun tự do
That vay : nhu dai sé tuyén tinh da chung té : Moi không gian véc tơ trên trưởng déu co co sd Để có những ví dụ tương đối phức tạp hơn về mô đun tự do ta cần một vài chuẩn bị Trước hết chúng ta có : Mệnh đề 2-2 : Cho R - mô dun X va R - mé đun tự do F nếu M đẳng cấu với F thì M la R - mô đụn tự do Chung minh :
Vì F là mô đun tự do nên trong F tốn tại cơ sở S Khi đó mọi phân tử we F
đều biểu diễn duy nhất dưới dang: x = Sơ z4 , trong đó (œs)s là các phân tử
trong |R co giá hưu hạn =
Do XzF nên tổn tại đẳng cấu @: F — X
Ta chứng minh œ(s) là cơ sở của X
Muốn vậy ta chứng minh : - @(s) là hệ sinh của X - @(s) độc lập tuyến tính
9 @(s) là hệ sinh :
(
Lấy y e X khi đó do Tuân cấu nên tồn tại z e F để @(2) = %
vì F có cơ sở là Snên x= 2,,4 Vậy g2) = z =ø|>z|~z
sES sEeS
Do » la déng cấu nên Ya, p(s) = chứng tỎ biểu thị tuyến tính
seS
Trang 16Một số uấn dé vé m6 dun ty do 13 * œ(s) độc lập tuyến tính : Lấy họ hữu hạn {@(4;)}, với ¡ =1,n n n Giả sử 3 œ;0(4¡)=0 hay @ Sa, 5,|=0 i=l f=] n Do @ là đơn cấu nên ta có : a; 4; =0,vì 4¡e S và S là cơ sở của F, i=l
nên œ = 0 với mọi ¡ = 1,n Vậy {@(4¡)h;-Tra là họ hủu hạn bat ky cua @ (s)
mà độc lập tuyến tính nên @ (s) là độc lập tuyến tính
Vậy @ (s) là cơ sở ĐÀN BỀN THÊ - mô dun tu do
Ménh dé 2-3 :
Cho họ mô đưn (F)),c„ Tống trực tiếp Xà F; la mỏ đụn tự do trên R nếu
moimo dun thanh phan F; la mô đun tự do
Nói cách khác : Tổng trực tiếp các R - mô đun tự do là R - mô đun tự do Chường minh : Giả sử F¿ là R - mô đun tu do, vdi moi ie I Xét ánh xạ nhúng thứ i : J, : È; — © = | L5 (z ) {° néu k Fi |
Lư i Kir = {|z¡ nếu k =i i lúc đó J, thực hiện phép nhúng đẳng cấu từ F, lên J;Œ,)
Do F, là các R - mô đun tự do, nên F, có cơ sở {⁄;} Vì Vậy
jel;
Ji {Uy} là cơ sở của J(F
Lay T=U {2(4) } , ta chứng minh T là cơ sở của @® Fy
Trang 17Một số uấn đề uè mô đun tự do 14 Muốn vậy phải chứng minh : T là hệ sinh của &, Fy, và TT là độc lập € tuyến tính 32T là hệ sinh: Lấy # € hi khi đó 2: = (2;) = 3./,(e,) ie!
vì cac J,(a;)e F; déu biểu thị tuyến tính qua cơ sở £J,(u, i} cua J;Œ,) tức là
biểu thị tuyến tính được qua T Vậy T là hệ sinh cửa i Fy
3* T độc lập tuyến tính :
Giả sử 2, ry (J; (ui )) =O , khi dé ta phan tich téng bén trái đẳng
ije
thức trên và nhóm các số hạng có chung chỉ số ¡ làm một ta được :
>|E„¿.4«.)) =0, trong đó 2,Jw] EF với mọii
Theo định nghĩa tổng trực tiếp thì phải có :
3n,J/(w) =Ô với mọi i và vì {J,(„)} là cơ sở của J;Œ,) nên Fịj¡= 0
jel
vdi moii, j
Như đã chứng tỏ ở trên bản thân vành hệ tử R là mô đun tự do trên chính nó
nên áp dụng mệnh để 2 - 3 ta lập tức có ngay các thí dụ mới về các mô đun tự do
chẳng hạn : R ® R; R ® R@ R Nói cách khác nếu X là tổng trực tiếp một
ho nao đó các mô đun X, mà X,z R với mỗi ¡ thì X là mô đun tự do
Mệnh để 2 - 3 cũng tạo cơ sở cho ta việc xác định nên một khái niệm mới :
khái niệm mô đun tự do sinh bởi tập S#@_ cho trước Với mi phản tử 4 € SŠ
ta xét tập :
Trang 18Mot sé vdn dé vé mé dun ty do 15
me + r; 4 =(rị trạ)á
.r(œ4 )=(rơ)á VỚI rạ,ry,r€R ; 4á eS
Hiển nhiên : với phép toán được định nghĩa như trên thì R ¿ là R - mô đun Ta chứng minh : Ra z R That vay: xétanhxa: (p: R->Ra r|j> F4 * Khi đó @ là đồng cấu vì : @(œr, +r;) = (œn +r;ạ)4 = (œn)4 + (Br;)á =ơ(n4 ) +B(r;4 )= œợ( )+ B@Œ;) vớiœ,,r,rnạ,ra€R;á€S
- Dễ dàng thấy q là toàn cấu
* Chứng minh @ là đơn cấu : lấy rị, rạ € R, giả sử rạ 4 = r; 4 theo quan hệ bằng nhau cửa hai phần tử trong R 4 ta có rị = r; Vậy @ là đẳng cấu, tức là R 4 > R
Vì R là mô đun tự do trên chính nó nên R 4 cũng là R - mô dun tudo Mặt khác theo mệnh để 2 - 3 tổng trực tiếp các mô dun tự do là mô đun tự
donên @® R¿ làmô đun tự do trên R
4eS
.Tagọi ® R¿ là mơ đun tự do sinh bởi tập S Ký hiệu F(s)= ® R,
4eS 4eS
Ở trên ta thấy rằng tổng trực tiếp một họ những mô đun mà mỗi mô đun trong họ là đẳng cấu với vành hệ tử R là một mô đun tự do Một câu hỏi được đặt ra là có
phải lớp các mô đun có thể biểu diễn như là tổng trực tiếp của các mô đun đẳng
cấu với R là vét sạch lớp các mô đun tự do hay không ? Câu trả lời có tính chất
Trang 19Mét sé vdn dé vé mé dun tudo 16 Mệnh đề 2 - 4 : R- mô đun X la tựdo c> X= OK, vdi R, =R IC
Điều kiện đứ - Do tổng trực tiếp các mô đun tự do là mô đun tự do và vì
R, =R trong đó R là tự do nên GR; là mô dun tu do Vay X la R - m6 dun r€ tu do Điều kiện cần : X là mô đun tự do nên nó có cơ Sở ƒe€;};¿ ¡ Tadat R; = R,, = {r e; /re R} Khi đó R¿zR (nhờ đồng cấu o: ROR, rr>rớ, ) Ta cân chứng minh X= @ R, ie] Muốn chứng minh X = ° Ñ¿ ta phải chứng minh : rE - X= LR; (a) - |>,|¬z =0 (b)
Chiing minh (a) :
Lấy z eX, do ƒ@;},«¡ là cơ sở của Xnên z= > ae trong đó (G,} la
/
họ các phân tử cửa R có giá hữu han
Trang 20Một số uấn dé vé mé dun ty do 17 Nhu vay Ke; = Dre; hay Ve; + 2 (-r,)e, = 0 iz] iz] Do {e¡} ie] độc lập tuyến tính buộc 7; = Ô ; F; = O0 vởi mọi j nên # = 0 Vậy ta có Er |ne =0 izj
Trong Đại số tuyến tính ta đã biết về sự xác định các ánh xạ tuyến tính
trong không gian hửu hạn chiều Một ánh xạ tuyến tính trong không gian hửu hạn chiều là hoản toàn xác định khi và chỉ khi biết được ảnh cơ sở trong không gian tuyến tính đó Bởi không gian tuyến tính , như đã nói ở mục này là một mỏ
đun tự do , nên ta hy vọng rằng kết quả đó có thể mỏ rộng được tới các R - mô
đun tự do với bất kỳ vành hệ tử nào
`
Mệnh đẻ 2 - 5 :
Cho R - mô đưn tự do F với cơ sd {x jie; va gid st Nla R- m6 dun va
{yifies ld ho cdc phần tử thuộc N Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu ý: FŠN saocho ƒ(zj)=%, với mọi iel Chưững minh : Ta chỉ ra sự tôn tại đồng cấu ƒ
Nếu z la phản tử của F, khi đó tổn tại duy nhất họ có giá hữu hạn
(a;), sao cho z= Daye
Tađặt: ƒ(œ )= 2 „4,y, Rõ ràng ý là ánh xạ từ F tdiN
Bây giỏ ta chứng minh ƒˆ là đồng cấu mô đun
Trang 21Mot sé vdn dé vé mé dun ty do 18 m= day 5 #2 2/2 iel fel Taco:
f (aa, + Pay) = fla Lex, + p Yaz,
= /|3 aia; + > 2/2; fel tel = ia a; + Ba; 1z] = Vag, + Ba;) f(y) ie] = D(a 4, + B a; )y; - tel =a Lay, +B Lay; iel ie! = af (4) + Ø (22) ae f là duy nhất :
Giả sử tồn tại đồng cấu mô đun / F FoN sao cho f (a) = Yi Voi mọi
œceF.Khiđó 2= 44% vdi (z;), 1a ho cac phan ti trong F co gia hitu han iel Khi đó ta có : /Ƒ(z)= ƒ 24, = ya, f (4%) = D4, t=] i=] i=] = Daf (4%) = {Zea = f (a) iel ie] vay f=f
Mệnh dé 2 - 5 cho ta cac hé qua dang chu y sau day :
Hệ quả 1 : Nếu {2;};<; laco sd clia R - m6 dun F va {Yihier lacd sd của
Trang 22Mot sé vdn dé vé mé dun ty do 19 Ching minh: Theo mệnh để 2 - 5 tổn tại duy nhất đổng cấu ƒ :F > F saocho ƒ ()= yx Ta sẽ chứng minh ƒ là đẳng cấu
* fladdnanh: Thật vậy : lấy z, F khi đó do {2;}¡¿e¡ là cơ sở
của Fnên 4= 3 a2; va y= » với (2) và (b,) là họ các phần tử
tel iel `
trong R co giá hửu hạn
Nếu ix) =KY) & / 3 2“ =f Ya
tel ie]
Hay 3 a,ƒf(,)~ 3.b.ƒf(z,) = ay; ~ 3b,
ie] tel iel iel = (4, —b;)y; =0 iel Vi {Yihier là cơ sở của F nên ta có: ø;¿— b,=0 với mọi i Vay a, = b, hay z =#- Dodo / đơn ánh te / loàn ánh :
Lấy Liên F,do {2i}i<¡ là cơ sở của F nên ta có :
Trang 23Mot sé van dé vé mé dun ty do 20
Đồng cấu ƒ vừa toàn cấu vừa đơn cấu nên f 1a dang cau
Hệ quả2: — Nếu F là mô đun tự do thì F là mô đun xạ ảnh Chứng minh :
Già sử @:F->G đồng cấu
g: E>G toản cấu
ta chỉ ra sự tồn tại của đồng cấu tự: F —>E
Vì F là tự do nên nó có l cơ sở X, Vz X, @(2) eG
Jw, F
|e
E—> G-~>0
Vi g la toan anh nén Jae E / g(a) = (2)
Theo định nghĩa mô đun tự do sinh bởi tập X, đối với mọi ánh xạ
J:X SE tồn tại duy nhất 1 đồng cấu tự : F —> E sao cho ta có biểu đồ giao
hoán :
Nếu đặt J(z) = a thi J sé md rộng thành một đồng cấu duy nhất q : F —> E
sao cho ta có W (2) = J(2); V2 e X và do đó gự (2) = g1J (2) = g(a) = @(2)
Như vậy gọ và @ trùng nhau trên 1 cơ sở của F Do đó chúng trùng nhau trên tất cả các phân tử của F
Vay taco gy = @
Trang 24Một số uốn đề v3 mé dun tu do - 21
§ 3 MO DUN CON CUA MO DUN TU DO
Ta đã biết rằng với mỗi R - mô đun tự do F, thì ít nhất F có hai mô đun con
tự do tâm thưởng Tuy nhiên nếu mô đun F có các mô đun con thật sự thì chưa
chắc là các mô đun con tự do Chẳng hạn :
Vị dụ 3 - 1 : Cho R là một vành giao hoán có đơn vị là 1, ta xét vành giao
hoán : % =RxR=((ơ,B) / œ,BeR)
Phép toán được định nghĩa như sau :
Với (œ, Bị); (œ;, B) e R : (œ, B) † (0;, Bạ) = (œị + d;, Bị† Ba) va (0, Bi) (2, B2) = (a) d;, Bị.B›)
Khi do cdc tap con: R, =Rx {0}; R, = {0} xR là các ®- mô đun con
cửa #\L nhưng không là mô dun con tu do
Thật vậy : rõ ràng là một vành với phần tử 0 là (0,0) và phần tử đơn vị là
(1,1), và như đã biết nó là # - mô đun tự do trên chính nó
Ta kiém tra R, la m6 dun con cla KR
Trước hết ta số đL, # Ø vì (1,0) e ®¡ Hơn nửa #®\¡ ổn định với hai phép toán mô đun có trên KR
Giả sử (ơi, 0) e Ø#\.,(ơy, 0) e KR, và(œ,) e khi dó ta có : (œ, B) (œ, 0) = (œ œ, B 0) = (œ ơy, 0) e KR,
(œ, 0) + (œ;, 0)= (ơi + œ¿, 0) e \¡
Tuy nhiên ®, không phải là mô đun tự do trên #
RG rang RK, dude sink bởi (1,0) € R, vi vdi mdi (a,0) € KR, thi :
(a, 0) =(a,0)(1,0) vdi(a, 0)Ee R
Nhưng (1,0) là phẩn tử phụ thuộc tuyén tinh , vi với hệ tử (0,1)e Ø\\{0,0) tacó: (0,1)(1,0)= (0,0)
Trang 25Mot 86 vdn dé vé mé dun ty do - 22
là mô dun tự do được, vì mỗi phân tử bất kỳ thuộc nó cũng đều phụ thuộc tuyến tính
Ta đã chứng minh được Ấ¿¡ là mô dun con cua Knhung không phải là mô
dun con tu do Bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được Ấ%; là mô đun con
của mô đun nhưng không phải là mô đun con tự do Nguyên nhân làm cho
một 9À - mô đun con cửa ® - mô đun tự do không phải là mô đun tự do , có thể
nhận thấy rằng , là do vành Øk có các ước cửa không Ta cũng có thể chứng
minh được kết quả trong trường hợp chung hơn là : Nếu vành R có ước cửa không thì nói chung bất kỳ R - mô đun tự do F đều có chính các R - mô đun con
không tự do Ta cũng có thể lấy ví dụ để chứng tỏ rằng , ngay cả trong trưởng
hợp vành R không có ước của không thì vẫn tồn tại các R - mô đun tự do mà có
những mô đun con của nó không là tự do
Ví dụ 3 - 2 :
Cho vành đa thức # = Z(2) gồm các đa thức với hệ số nguyên , khi đó ỨV
là mô đun tự do trên chính nó Xét tập hợp Ø\¡ gồm tất cả đa thức với hệ số
nguyên mà hệ số tự do của nó là số chẵn
Ta chứng tỏ `; là iđian của vành Z(2), tức Ø\¡ là Z(2) - mô đun con Thật vậy : nếu g(2), p(2) là các đa thức có hệ số tự do là số chẩn thì tổng
của chúng cũng là đa thức có hệ số tự do chẳn Mặt khác nếu #(2) là đa thức với hệ số nguyên thì b(Z).g(2) là một đa thức cũng có hệ số tự đo chẵn
Tuy nhiên : Ø, không là mô đun con tự do Để chứng tỏ điểu đó trước hết
Trang 26Mot 86 vdn dé vé mé dun ty do - 23
hién nhién do tinh giao hoan cia vanh R= Z(z) ( vi déi vdi abe là vành
giao hoán thì ta luôn luôn có ab - ba = 0 ) Như vậy nếu Ø có cơ sở thì cớ sở của nó chỉ có thể là một phân tử Giả sử phản tử đó là #2) # 0, vì g2) =2 Ø\
nên 2 = h2) ƒ) với h() e Ø\V, tức là ƒ#2) là ưóc của 2 nén f(z) = 2 hoặc
fc) = 1 nhưng ƒ) không thể bằng 1 vi nhu vay thi R, = R Vay chi có thể
fiz) =2 Tuy nhiên ®- mơ dun con sinh bdi g(z) =2 1a mé dun con that su cua
R, gdm cac da thite ma moi hé s6 1a chin Vay f(z) = 2 khéng thé sinh ra #, tức R, khong cd cod sd
Qua hai ví dụ nói trên , nói chung với vành R bất kỷ thì R - mô đun con của
R - mô đun tự do không chắc là tự do , ngay cả trong trưởng hợp khi R là một miễn nguyên Vậy một câu hỏi đặt ra là : có những điều kiện nào đó hay không cho vành R mà R - mô đun con của R - mô đun tự do lại là mô đun tự do Các định lý ta phát biểu sau đây sẽ trả lời một phần nảo câu hỏi nêu ra
Định Ù 3-1:
Néu R la vanh giao hoán vả mọi R - mô đun con của mô đun tự do ld tự do
thì vanh R phải thởa :
¡) Vdi mọi œ, 8 e Rma a #0, 8z0thì ơ/8 z0
ii) Môi iđian của R la iđian chính Chường mình :
Chứng minh ¡) : Cho R là vành mà mọi R - mô đun con của R - mô đun tự
do là tự do và giả sử tồn tại œ #0, #0 mà œB =0 Khi đó Rị = < B > sẽ là mô đun không tự do
Thật vậy : giả sử Rạ là R - mô đun tự do, do R là vành giao hoán nên hai
Trang 27Một số uấn dé vé mé dun tự do - 24
œ # 0 làm triệt tiêu ` đã nói ở trên ta có œ a = œ (tị B) = r¡(œ ) = r¡ 0 =0 Điều
này có nghĩa là a không độc lập tuyến tính và do đó khong thé la co sd cla R, Điều vô lý đó cho ta chứng minh ¡)
Chứng minh ¡¡) : Mỗi iđian I là mô đun con của R , mà R là mô đun tự do
nên I là mô đun con tự do, vì vậy [ có cơ sở Mặt khác do hai phân tử bất kỳ của I( tức là của R ) là phụ thuộc tuyến tính nên cơ sở I chỉ có một phản tử, giả sử
đó là phần tử a Khi đó Ï = < a > là iđian chính được sinh ra bởi a
Định lý 3 - 2 :
Nếu R la vanh thởa hai điều kiện :
¡) Nếu œ #0; 8 #0 thì œ.80
ii) Moi idian trai la idian trdi chinh
Khi dó mọi R - mô đun con của R - mô đụn tự do F la mô đụn con tự do
Chưững mình :
Do F là mô đun tự do nên F có cơ sở là (e,);¿¡ và nhở nguyên lý sắp tốt
nên ta coi Ï được sắp theo thứ tự tốt
Gọi M là R - mô đun "của mô đun tự do F Ta sẽ chứng minh M là mô đun
con tự do
That vay : vdiz € F thì 2 = > ape; , ta xét hàm tọa độ thứ ¡ là P;
kel
hw)= P| Saver| = a;
Gọi 'X: là mô đun con cửa F được sinh bởi < fe, jr <j; >
Đặt M, =M ¬ X, , khi đó M, là mô đun con của X, vì P, là đồng cấu mô
Trang 28Một 86 van dé vé mé dun tự do - 25 Mặt khác , theo giả thiết , mọi iđian là iđian chính trái nên P; ( M, ) là iđian chính trái , vì vậy 1a có P, (M;, )= Rr, Do cách chọn cơ sở của M, nên : nếu r, # 0 thì M; # M,_ ¡ và nếu r, = 0 thì ta có M,=M,.; - Với r; # 0 ta chọn U, € M, sao cho P,(U; ) = r, - Với r; = 0 ta chọn tLl,= 0 Ta sẽ chứng minh £U, }„‹; sinhraMvả (U,},¿, với U, #£ 0 là độc lập tuyến tính
a) Chứng minh {U, },‹, sinh raM
Ta dùng phương pháp qui nạp siêu hạn để chứng minh
Với ¡ = 1 ( gid sử I là phân tử nhỏ nhất cửa I ) Nếu uy = 0 thì M;=0 vậy Uy sinh ra M;
Néu u, #0 vdiz e M; thì ta có P2) € P\(M,)=Rr,
Vậy Piz) = Š tị =Ê P¿(U,) = P(ÊuU,) nên Pj(2 -ÊU,)=0 với Éc R
Mat khac : dow — Gu, € M; =MOM,=Mor {<e, >} nén taco: 4 —ÈUu,; =Ye, và vì 0= P(+ — ÉU¡) = y P(€) = Y Vậy + —ÉU; =0 Từ đó tacó2 = Eu, vdi EU,ER hay 1, sinhra M,
- Giả sử { Uy}, <, (Vdit<i) sinh ra M, , ta chung minh:
fu, },<; sinhraM;,
Thật vậy với mọi z € M, ta có : P,) eP((M,)=Rr nên
Pi(z-) = nr = 1 Pi(U;) = P(nu,) với rịc R
Trang 29Một số uốn dé vé mé dun ty do - 26
Theo giả thiết qui nạp 2 — nu, biểu thị tuyến tính qua { Uy}, <, (vdit<i) nénz biéu thj tuyén tinh qua { U,},<,U { U;}
Ching td {U, },<; sinhraM,
b) Chứng minh {U,} vdi U; # 0 déc lap tuyén tinh
Giả sử ngược lại {u,} với u, # 0 không độc lập tuyến tính điều đó có nghĩa la ton tại đẳng thức : " Dein Mig =0 ma a,, #0 vdimoik (i <i)< <iq) Khi do taco: "1
y= pS u,| - P (a;,t,) =4;,F;,(Ui,) =i, CS)
Do 7;,#0 va a; #0 nén theo điểu kiện ¡) của định lý ta có :
f;„-Ø;¡ „# 0 ; mâu thuẩn với (*)
Chứng tỏ {u,) với u, # 0 là hệ độc lập tuyến tính
Ta đã chứng minh được {U,} với u, # 0 là một cơ sở của M Vậy M là mô đun con cửa F la mé dun ty do |
Từ định lý 3 - 2 ta có hệ quả quan trọng sau đây :
Hệ quả - Nếu R là vành chính thì mọi mô đun con cửa R - mô đun tự do
là mô đun tự do Ching minh :
Do R là vành chính nên trước hết R là miễn nguyên, vậy :
Trang 30Mét 86 vén dé vé mé dun ty do - 27
mặt khác vì R là vành chính nên mọi iđian là iđian chính nên R thỏa điều
kiện ii) của định ly 3 - 2
Vậy vành R thỏa hai điều kiện cửa định lý 3 - 2 , hệ quả đã chứng minh Định lý 3 - 2 , cũng như hệ quả của nó , một cách gián tiếp trả lởi phủ định
cho vấn để : có phải mô đun bất kỷ có thể xem là mô đun con cửa mô đun tự do ? Thật vậy , không phải mọi mô đun tự do trên vành chính đều là mô đun tự
đo ( chẳng hạn các Z - mô đun hữu hạn không là Z - mô đun tự do ), vì vậy
chúng không thể là mô đun con của mô đun tự do Như vậy , nói chung lớp các
mô đun con của mô đun tự do là một lớp con thật sự của lớp tất cả các mô đun
và do vậy bải toán tìm những đặc trưng cho lóp các mô đun con của các mô đun tu do la một bải toán đáng được xem xét Định lý 3 - 2 đã cho ta một đặc trưng
của lớp đó trong trưởng hợp vành hệ tử thỏa mãn hai điều kiện đã cho
Trong trường hợp không có một điều kiện nào cho vành R., việc giải quyết vấn để nêu trên quả là không đơn giản Ngay cả trong trường hợp hạn hẹp hơn
như khi R - là miễn nguyên thì điểu kiện cần để R - mô đun X là mô đun con cửa
R - mô đun tự do nào đó là X không là mô đun xoắn ( tức 2 e X \ {0} và À z 0
thì #0 ); nhưng đó có là điểu kiện đủ hay không chúng ta vẫn chưa thể trả
Idi
Chúng ta nhớ rằng mỗi mô đun tự do F là mô đun xa anh va hang tử của
Trang 31Một số uẫn đề uê mô đun tự do - 28
Chứng minh :
Ta biết rằng mọi R - mô đun đều là ảnh đồng cấu của một R - mô đun tự
do Vì vậy tồn tại R - mô đun tự đo F và toản cấu g: F —> P ( với P là R - mô đun
xạ ảnh )
Đặt K = Ker g và ¡ : K —> F là phép nhúng chính tắc , ta có dãy khóp ngắn :
ors kK F5P5 0
Do P là mô đun xạ ảnh , nên theo mệnh dé 1 - 12 , § 1 day khdp trén ché ra,
vi vậy tôn tại đồng cấu 4: P—> F sao cho g4 = Ip Khi đó theo mệnh để
I-5,Ề1tacó F=i(k) + 4 (p)
dog4 = lp nên 4 là đơn cấu vậy Pz 4 (p), do đó P đẳng cấu với l
hạng tử trực tiếp của một mô đun tự do
Phần sau đây ta sẽ tìm điều kiện cho vành R để mỗi mô đun con cửa mô đun tự do là mô đun xạ ảnh Và do vậy với điều kiện đó cửa vành R ta có lớp
các R - mô đun con của mô đun tự do là trùng với lớp các R - mô đun xạ ảnh
Giả sử có một vành R như thé , thi mỗi iđian trái I của R dĩ nhiên là mô đun
con của mô đun tự do R và do vậy I phải là xạ ảnh Điều đó có nghĩa là : muốn
mọi mô đun con cửa R - mô đun tự do là mô đun xạ ảnh thì trước hết các iđian trái của R phải là các mô đun xa anh Vanh R mà các iđian trái của nó là các mô
đun xạ ảnh ta gọi là vành di truyền Như vậy, điều kiện di truyền của vành R là điều kiện cần để R - mô đun của mô đun tự do là mô đun xạ ảnh Điều kiện đó
cũng là đử theo như khẳng định cửa định lý sau :
Định lý 3 - 4: Cho R la vánh di truyền, khi dó mỗi R - mé dun con cua
Trang 32M6ét 86 vén dé vé mé dun ty do - 29
Chứng minh :
Để chứng minh định lý này ta cần tời nguyên lý sắp tốt trong lý thuyết tập
hợp , nói rằng mọi tập X # Ø được sắp tốt theo một cách nào đó Cho F là mô
đun tự do trên vành R di truyền và A la|idian cia F Chon mét co sd S={ a }ae, cuaF vdi I là tập đã sắp tốt theo cách nào đó như nguyên lí sắp
tốt khẳng định Với mỗi œ e I ta đặt : G„ = < {2 | B < œ }>= Ps R 2%
<a
vaF, =< {2,|B sa }>= Gy OR x
Hién nhién , méiz Ee AN Fy c F, dude phan tích một cách duy nhất
= œ +r4ạ VỚI # € G„ và reR Điểu đó cho phép xác định đồng cấu po: ANF, >R ma op # +rz„) =r ( dễ dàng kiểm tra tính đồng cấu của @ )
có thể thấy : Ker =An¬ Gạ
Im @= lạ AR, và do R là vành di truyền mà lạ là mô
đun xạ ảnh Vì vậy dãy :
®
O> ANG, bANFa Sly > O°
trong đó (p* là thu hẹp @ trên ảnh Iạ„ = Im @ _ làchẻra ( mệnh để 1 - 12, §1)
Sự chẻ ra cửa dãy khớp này cho ta sự phân tích tổng trực tiếp :
An Fe = (An G)đ C vi CcC A ơ F„ mà Cạ # lạ , tức Cạ là mô đun
xạ ảnh Để ý rằng Cạ C A nên sẽ kết thúc chứng minh định lý bằng cách kiểm
trarằng: A= Đ Ca ae
Việc kiểm tra tiến hành theo 2 bước :
a) A= ee a
Trang 33Một số uốn dé vé mé dun ty do - 30 b) Can d, Cg prea = {0} Trude hétdo A= U (ANF, ) nên nếu A # ».C thì do tính sắp tốt ael ael ctia J, t6n tại chỉ số bé nhất B sao cho cé phan th ac AN Fg ma a & ›à sẽ ael
Vì ae AmFg =(A ¬Gg) Ca nên a=b+d trong đó b e AnnGg và
deCn Tử a€@ » Ca suyra b & Mà ( vì nếu ngược lại thì kết hợp ael ael de CạC » Ce tacd ae » Cy): ael ael Tuy nhién do b € AN Gg = vạt? 7) F, ) nén tén tại chỉ số y < mà a<
be A ©F;y Kết quả này mâu thuẩn với việc xác định sự bé nhất của chỉ số B
Vậy A= 2K, Ta đã kiểm tra xong a) ael Dể kiểm tra b) ta để ý rằng đổi hổi C„ 2, Cg =0 véiméiae Ila œ #8 tướng đương với điều rằng : Tổng hửu hạn -đ=đạ +đạ, + +d„ạ =0 ( trong đó da, €C„, ) khivachikhi dg, =dg, = =dg, =0
Ta chứng minh khẳng định sau củng nảy bằng qui nên
Với n = I : khẳng định là hiển nhiên
Giả sử khẳng định đúng với n = k - 1 Khi đó nếu diy, + dạ, + +d„y, =0, ta sẽ chứng mình đ„ =Ô Vì I sắp tối ta có
quyển xem œ¡ < 01) < <Q, vado vay cé thé thay :
dg, tdg, + tda, € AN Fg, =(ANGg, ) OCay,
Trang 34Một số uấn đề uề mô đun tự do - 31
từ đó ta có đự, = đại tdg, + +dg,_, =O va gia thiết qui nạp cho ta có đại =_ = đạ, ,¡ =0 Chứngminh b) kết thúc
Vi A= ° Cự và mỗi Cạ là xạ ảnh Vì vậy theo mệnh để I -12,
ae
Trang 35M6ét 86 vén đề vé mé đun tự do - 32
§ 4 MƠ ĐUN THƯƠNG CỦA MÔ ĐUN TỰ DO
Trong mục này ta tìm mối liện hệ giửa một R - mô đun với mô đun thương
của một mô đun tự do và ta cũng tìm cách chỉ ra điều kiện cửa vành cơ sở của
một R - mô đun trí do F để mọi mô đun thương cửa nó là mô đun tự do Trước
hết ta cần tới các kết quả sau : Mệnh để 4 - 1 : Moi R- m6 dun X dêu đẳng cấu với mô dun thương của mô đun tự do nảo do Ching minh : Cho X là R - mô đun , khi đó X # Ø, lấy mé dun tu do F(x) sinh bdi tap X Xét sơ đồ sau : X —£ F(X) Ye ate X trong đó J„ : X — F(x) là phép nhúng mà : _Í0 nếu /#4 Ifa) =(2;), = #, nếu f=4
Khi đó tên tại @ : F(x) —> X sao cho 1, = @ J, , vi 1, là toàn cấu nên œ là toàn cấu , nên theo định lý Nơte ta có :
X = F(x)/ Kero
Mệnh để 4 - | chỉ ra rằng lớp các R - mô đun có thể xem là lớp các R - mô đun thương của lớp các R - mô dun tu do Vi vay bai toan tim điều kiện cho R
để lớp các R - mô đun tự do là khép kín với cấu trúc thương trở thành bài toán
Trang 36M6ét 86 vén dé vé mé dun ty do - 33 Ménh dé 4-2: Cho day khdp ng&n (E) : E): 0—>A4—`——>B——>Ƒ >0 trong đó F là R - mô đun tự do Khi đó (E) là dãy khỏp chẻ ra +?
Chường mình : =tu dy => F xn auf = đpơa ( MÐ4.12 )
Theo giả thiết đã cho , do F là R - mé dun tu do Vi vay ton tai co sd , giả sử (2, » là một cơ sở của F
Do ơ là toàn ánh nên với cơ sở (2¡ )¡ € F sẽ tồn tại họ các phân tử (Yih
của mô đun B mà Ø (2, ù=#; với mọi ¡ e I
Theo mệnh để 2 - 6, tồn tại đồng cấu ọ : F — B sao cho 0(Z¡)=2 Ta sẽ chứng minh o p= lp nghiala Vz c F thì ( @) (2) =⁄ Thật vậy : Do # e F nên tôn tại duy nhất họ các phân tử (œ; )¿ với giá hữu a = Dax; (ope) = o(g(#)) = O Pl Lae #¡)) = ơ( S2 nh] = Sa) ie] = Fa, o(y;) = Soe, = & ie]
han trong R sao cho :
Như vậy đồng cấu @ của dãy khớp (E) có nghịch dao phai nén day khdp
(E) là chỉ ra
Mệnh để 4 - 3 : Nếu R la vành ma hai phân tử bất kỳ la phụ thuộc tuyến
Trang 37M6t so vén dé vé mé dun tu do - 34
Ching minh:
Lấy I là iđian trái khác không, khi đó I là R - mô đun tự do và vì R là vành hai phân tử bất kỳ phụ thuộc tuyến tính nên I có cơ sở chỉ một phân tử Tức tôn tại phần tử B#0 để I= R.B
Ta ching minh R=R.B =I
Thậi vậy : giả sử R # R B thì R/Iz {0} Theo giả thiết ta có :
R/Ilà R - mô đun tự do, nên nó có cơ sở Giả sử œ + I là một phản tử
thuộc cơ sở , ta có R œ=R qua đẳng cấu :
ọ:R >Rơœ
r | >rŒœ
mặt khác theo giả thiết với œ , B bất kỳ luôn luôn phụ thuộc tuyển tính nên
tôn tạir, 4 không đồng thời bằng 0 sao cho :
rœ + 4B=0
Do 4B e I nên rœ e I.Vậyrœ= 0, từ đó ta có 4j3 = 0 nên 4 =0 Vô
lý Vậy : R=RB
Trong ménh để 4 -3 chúng ta đã đưa ra khái niệm về các vành với hai phản
tử bất kỷ là phụ thuộc tuyến tính , Chúng ta không biết lớp các vành kiểu đó có
trùng với lớp tất cả các vành có đơn vị hay không Câu hỏi đó đối với chúng tôi
cho đến bây giỏ vẫn còn là vấn đế bỏ ngõ trong tằm mức mà chúng tôi có thể biết , hầu như các vành quen thuộc đối với chúng ta đều là các vành thỏa điều
kiện của mệnh để 4 - 3 Một vài ví dụ sau đây chứng tổ điều đó
Ví dụ 4 - I: |
Cho X là nhóm cộng, giả sử ƒ vag là các ánh xạ tử X đến X Khi đó
Hoin (X,X) cùng với phép công và phép nhân các ánh xạ đã biết là một vành có đơn vị , không giao hoán và hai phân tử bất kỳ luôn luôn phụ thuộc tuyến tính
Trang 38Mét so vén dé vé mé dun tự do - 35
mãn các tiên để cửa vành , với phân tử không là ánh xạ 0 và phân tử đơn vị la anh xa dong nhat 1,
Ta sẽ chứng minh : với ƒ, g € Hom (X,X) thì ƒ, ø phụ thuộc tuyến tính Thật vậy , nếu /, ø là ánh xa bất kỷ , ta lấy ánh xạ h : X - X sao cho
h(X) = I thì rổ ràng h(ÄX) 0
và hệ thức sau thỏa mãn: Af-—hg =0 tức ƒ, g phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 4 - 2 - |
Ta gọi Mat, là tập các ma trận vuông cap n Khi đó Mat, là vành không giao hoán , có đơn vị và hai phân tử bất kỳ là phụ thuộc tuyến tính
Thật vậy , dễ dàng chứng minh được Mat, là vành , với đơn vị là : 10 0 01 0 E= 00 1 Mat, la khong giao hoan vi ta da biét phép nhan cac ma tran khéng co tinh chất giao hoán
Ta chứng minh hai phân tử bất kỳ của Mat, là phụ thuộc tuyến tính
địt - đị„ bi, hịa se bi»,
a>, a b>, boy b
Giảsử: 4=| 7U “| và Bal 7h #2”
Qn) - Ann bn bao» - Đụ
Ta chỉ ra sự tổn tại các ma trận không đồng thời bằng 0
X = (xy) ; Ye (vy) — saocho XA + YB=0
Các ma trận X, Y khi đó phải thỏa :
X11 X12 [4u - WỊI - Yu by Din 00 0
X21 X22 - ae id 4g [221 + Yan | [2i - Đan | „ 09 0
An)
Trang 39Một số uắn dé vé mé dun tự do - 36
Triển khai đẳng thức trên ta sẽ được một hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất với 2n” ẩn số và nˆ phương trình
Theo lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính thuần nhất thi tôn tại nghiệm
không tâm thường có nghĩa là tồn tại Xipjg hoặc i,j, khac khong Diéu do
có nghĩa là tổn tại các ma trận X, Y không đồng thời bằng 0 để thỏa đẳng thức XA+YB=0
Vậy A, B phụ thuộc tuyến tính
Mệnh để 4 - 4 :
Néu vanh R ma don vj 1 #0 va chi co hai idian trái tâm thưởng thì mọi
R- m6 dun déu tự do
Ching minh :
Giả sử M là R - mô đun và M # { 0}
Lấy m € M và m #0 ta chứng minh {m) là hệ độc lập tuyến tính
Thật vậy : Ta xét ánh xa: (:R—›> Rm
r|> rm
Khi dé @ la toan cdu va Ker p={reR / rm=0 } la idian trai claR
Néu Ker p # {0} thiKer@=R nén m=0 => vô lý Vậy Ker @= {0}
Trang 40Một số uốn đề uê mô đun tự do - 37
That vay : lay ho hitu han bat ky C = { a, , a), ., a, } cla tap A, ta ching
minh C déc lap tuyén tinh Theo dinh ly vé hop các tập hợp ắt tôn tại
A, ,Aj2, 4A, saocho ay €A,, ,a, € Ay
Tuy nhién day A; ¢ A, ¢ A; Cc la day tang nên trong họ các
Aj, ,Aj2, , Aj, at ton tai mét tap bao hàm các tập hợp cỏn lại Giả sử tập đó là „ Khi đó C e 4, và vì 4, độc lập tuyến tính nên họ con hữu hạn bất kỷ của nó cũng độc lập tuyến tính , nói riêng C độc lập tuyến tính Do tính bất kỷ
của C, suy ra A là độc lập tuyến tính
Theo bổ để Zonr trong <⁄ có phản tử tối đại Gọi B là phân tử tối đại cửa #, ta chứng mình B là ¡ä cơ sở của M Muốn vậy ta chứng minh B là hệ sinh của M ( vì hiển nhiên B là độc lập tuyến tính ) Giả sử B không là hệ sinh của M, khi đó < B ># M nên M- < B >#0, do đó tồn tại + e M— < B> Ta sẽ chứng minh B' = B (2 {2} c c7
Thật vậy nếu B' là phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại r, e R ; 4 € R không đồng thởi bằng không sac cho :
2nhị + 4z=0 Œ)-
iel
Nói riêng 4 # 0 vì nếu 4 = 0 thì do B độc lập tuyến tính nên r, = 0 với mọi ¡ , mâu thuẩn với giả thiết
Theo chứng minh trên, 2 #0 và 4 #0 thì 4+ #0
Mặt khác : vì có 4 #0 nên #4 là iđian trái khác 0 Vì R chỉ có hai iđian
trái tắm thưởng nên|È4 = R và do vậy mô đun con R 4+ = RZ