Một số vấn đề về mô đun tự do

Safe NO) LID - A Widant d= 3s / +} ĐẠI HỌC QUOC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HOC SU PHAM ° s* + vs | : Co Wy lr ©° x% “9 LUẬN VĂN THẠC $Ï TOÁN CNUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ ĐỂ TAT MOT SO VAN DE VE M6 OUN TU DO Người hướng dẫn: PTS CZ#z¿ C⁄2/4n Ngudithyc hign: ONguyén Fein 2x„áz Người phần biện l: — nie e X mà (r, x MỊ: : la=x , M;: (r4) M;: M,: —>r x ) cho thỏa tiên để sau : VaeEexXx =r(4Z) (r†+ 4) ,Vr,á€R,VeeX =r2z+4;,Vr,4eR,V+eceXx r(Z+#)=rz+ r2 ,VreR,Vz,zeX - Cho R - mô đun X, tập A # Ø A c X gọi mô đun cửa X A thỏa hai điều kiện sau : i) A la nhóm nhóm cộng X i)VaeR va VeeA thiaz eA b) Tính chất : Mệnh để I - I: - Tập A R - mô đun X mô dun X : A #Ø vàVq,e R,Vaye A thiazr+ py EA - Giao họ không rỗng mô đun cua R - mô đun R - mô đun - Cho S tập R - mô đun X Mô đun sinh tập S mô đun nhỏ cửa X chứa S Ký hiệu X = giao tất mô đun X chứa S Mệnh để - : Mô đun R - mô đun X sinh tập khác rỗng Một só oốn đề uề mơ đưn S X ty - tập tất tổ hợp tuyến tính với hệ tử R cửa phân tử củaS = fi {Sins j=] / ner; ses} 2)Mô đun thương : Cho R - mô đun X ; A mơ đun X ta có nhóm thương ( X/A, + } nhóm Abel Ta trang bị phép nhân tử R vào nhóm thương X/A sau : VreR ; V(++A)€ X/A: r(Œ+A)=mZ£ +A với phép toán thi X/A R - mô đun vả ta gọi mô đun thương 3) Đồng cấu mô đun , ảnh , hạt nhân : e Định nghĩa Í : Cho X, Y lả R - mô đun Ảnh xạ ƒ : X — Y gọi R - đồng cấu mơ đun ƒ bảo tồn phép tốn mô đun, tức : {œ + )=ƒ( )+/f ) ,V#, €X ƒ(r2) =r /(2) , VreR,œeX Ta ky higu Home (X,Y) Ia tap tất cà đồng cấu mô đun tử mô đun X mô đun Y Ta gọi Ix:X->X_ ánh xạ đồng X Ja :A >X làánh xạ nhúng P,:X—X/A ánh xạ chiếu A mơ đun X Ta chứng minh ánh xạ R - đồng cấu mô đun Nhận xét: Nếu tập Homg(X,Y) ta định nghĩa phép toán cộng ƒ†+g:XY œk (ƒ+g)(#)= /() + g() với e X tỏi M6t 56 vén dé vé mo dun tự - Khi : ( Homg(X,Y), + ) nhóm cộng Abel, R lả vành giao hốn Hom(X,Y) có cấu trúc R - mơ dun e Định nghĩa : Cho / : X —> R R - đồng cấu mô dun Ta gọi hạt nhân đồng cấuƒ ký hiệu Kerf = {2 €X/ f(z) = 0} =f 30) Ta gọi ảnh đồng cấu ƒ, ký hiệu #m/ =ƒ(X) = (y B ơ:B —>C R - đồng cấu : Day (ŒE): —> ` => B——>C —(Q gọi dãy khóp ngắn nêu X đơn cấu ; toàn cấu ImX = Kerơ Dãy B (E) gọi chẻ B = Im X ®B, B' mơ đun Một só uắn dê uề mơ đun ty - b) Tính chất : Mệnh để - S : Cho Y > y—2 >Z với f, g làR - đồng cấu fg : X —> Z đẳng cấu : i) g toan cau vaf đơn cấu ii) Y=Imf@®Kerg Ménh dé 1-6: Cho day khdp (E): O— A As fy gf Cac phat biểu sau tương đương : i) Day (E) ché ii) X có nghịch đảo trái , tức ton đồng cấu :B->A cho 4X = lạ iii) œ có nghịch đảo phải , tức tồn đẳng cấu r : C —> B cho or=IJe 5) Tích trực tiếp , tổng trực tiếp : a) Tổng trực tiếp bai mô đun : - Xây dựng tổng trực tiếp : Xét tập nên: Phép toán ÄX;xX;=({(Z¡,2;) : với (Z¡,;);(¡, (#q,#¿) /2ạ cX\,2;e€ X2} 2) Xị xX; r R + ⁄¡.22)=(#Z\(†2:, +:12:) # f(2Z\,22)=(r2\,r) Ta kiểm tra (X; x X;, + , ) R - mô đun ta gọi tổng trực tiếp Z hai mơ đun X,, X; , ký hiệu X, ® X; - Các ánh xạ nhúng chiếu : J, :X, > X, ® X; a,b (#,,0) va J;:X; X, B X, +; (0, £2) Một số uốn đề uề mô đun tự -5 gọi phép nhúng P, :X;® X;X (71,22) P;:X:;® X; >X; bh 2, (Z\,¿)zw, dude goi la phép chiéu Với phép nhúng chiếu ta có hệ thức sau : ĐJh = ly,; PJ; = ly,; PaJì = 0; = 0; Pid + Pod2 # Ìlvexy Mệnh để - 7: Cho R - mô | đun X X,, X=Xị +X; X;¬X;ạ=0 X; mơ đun mơ dun X , XzX,;® X; Khi ta nói X tổng trực tiếp cửa X; X; Hệ : X tổng trực tiếp cửa X; X; với phân tử+ € X có phân tích Z =2: +2¿ với ÄXị; X; Mệnh để - 8: Nếu hợp thành đồng cấu X Í ›sy_—# ›7 đẳng cấu Y =Imf® Kerg Mệnh để - 9: ( tính phổ dụng tổng trực tiếp ) Mọi họ đồng cấu {g, : X, — X} phân tích cách qua họ phép nhúng J, : {g,: X, -> ®X,} Nói cánh khác, tổn đồng đồng cấu @ : @® X; —> Ý tel cho với ie I thỏa mãn hệ thức g= OJ Ménh dé 1-10: | Cho họ mô dun X, vdiie I ma X = pans ¡Gel cho V, izt = /0} Khi đó: Xz@X, mơ đun X, viết Y = BY; ¡Gel với t€ Ï ta gọi X tổng trực tiếp „ Một 86 vén dé vé mé dun ty - Hệ quả: X =@X, iel nhat = > 2; vả với moiz € X co phân tích vdi 2, € X; ie] b) Tich trực tiếp cửa họ mơ đun : - Xây dựng tích trực tiếp: Cho ho {X,};e, Trén tap tich Dé cac 2, Xi ={fil FM = (Zi her / Sle iJ EX} € Xj} Ta định nghĩa phép toán sau : (i)¡ † @¡)¡ =(#¡ +20 r(Z¡)¡ = (FZj)n Kiểm tra tiên để mơ đun ta có : (®X,, +, ) R - mô đun Ta gọi 1à tích trực tiếp họ ( X4 );e¡ Ký hiệu Xi: Các phép nhúng va phép chiếu : J„ : Xu->mẮX, aK bY Py : mK; > 0= 55)=0i< ĐC C020, i#k aie be Xy (Z¡)i r> 2x voir, © Xx Với phép nhúng phép chiếu ta có tính chất : FjJy =lyy ;¡ PfJ, =0 với K#t Mệnh để I - 11 : ( tính phổ dụng tích trực tiếp) Mọi họ đồng cấu ( ƒ, : X —> X, };¿¡ phân tích cách qua họ phép chiếu : P,: ze X12 te X; Mot 86 vén dé vé mé dun tu do-7 Nói cách khác : tồn đồng cấu moi ¡i€l taco ƒ; = P, ® @ : X —> x X, te cho với " 6) Mé dun xq anh: a) Djnh nghia : Mot R - m6 dun P dude goi la xa anh néu: Với R - đồng cấu ƒ:P—> B R - toàn cấu ø :A —> B tồn mộtR - đồng cấu h :P-—> A cho tacó: f=gh Nói cách khác : R - mô đun P xạ ảnh R - đồng cấu/ :P > B biểu đồ : Lf A—4 B——0 với dỏng khóp bổ sung thành biểu đồ giao hốn : h A—— P Lf B——>0 b) Tính chất : Mệnh để - 11 : Cho P = & P, , P xa anh P; xạ ảnh với ¡ € Ï Mệnh để - 12 : Các khẳng định sau R - mỏ đun P tương đuơng : i) P la xa anh X ii) — Mọi dãy khớp 0->E->F-ŠSP->0 chẻ