Một số vấn đề về nội suy hàm số

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÔ HÔ CHÍ MINH KHOA TỐN TIN HỌC

osteo

LUAN VAN TOT NGHIEP DAI HOC

MOT SO VAN DE VE NOI SUY HAM SO

Trang 2

Một Số Vắn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Điệu SVTH: Phạm Hữu Danh

LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Đề tài: Một Số Vấn Đề Về Nội Suy Hàm Số

Sinh viên thực hiện: Phạm Hữu Danh Khóa: 30

Mã số sinh viên: K30.101.018

Giáo viên hướng dẫn: TS Trịnh Công Diệu

Giáo viên phản biện: TS Nguyễn Chí Long

Bộ mơn Tốn Ứng Dụng, khoa Toán Tin trường Đại Học Sư Phạm

TPHCM

Thời gian bảo vệ: 23/05/2008

Trang 3

Một Số Vấn Đề Vè Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh MỤC LỤC Trang EuÊ 2 0 ẽ 5 NI TƯ vácnacatbeecieieooiiceoccdkoieccoccciiaisrtsasbiisettcabodfgGioniakicskáe46sse 6 KỊ HÌNG:t02á20GceiSugidu2d6t52000t0xcadiisáctccsxia 7

Chương I: KIÊN THỨC CHUẢN BỊ a _=

Ears arin NG QUY 2cáctct0(0G000020cGcCGGGG0GGGGCiGGGtae 8 2 Các Lớp Ham NOI Suy .cesseecccsssesersesseesstecssesnsesesesesrereceseenes 8

TL KH ẽ— —————————— 8

z2 TÚI 0y đa thiếp tìng QOỂN vi csisicssicsvccnnsossissscocsvenstacictanesecvsansonsnconcbeovenses 9

2:3: Nội mự bĐềếng hầm GBĨNG:2(ácc2622c G02 622020 2225021000220 tocý-o 10 9; Sid SO tn Wn Gayoso sce ors 10

3.1 Sai số của nOi suy da thite .c.cccccesssesssesssesesesesesecesnsnseesensotsceeacacsvaes 10 3.2 Sai số của nội suy đa thức từng đoạn - 5c xe sxea 12

Oh Ais RR ccs sch lca 13

AD Taal ik See bathers 0 OND sissies saa sath aaah casas 13

Trang 4

Một Số Vấn Đê Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu

SVTH: Phạm Hữu Danh

Chương II: NHỮNG VẤN DE CO BAN VE HAM SPLINE 24 I Định Nghĩa Nội Suy Bằng Hàm Spline Bậc Ba 24

¿: Cách Xây:ựng Hàm SDHN ¿các 002022202222 CQ-U0iNqNãga 24

3 Tính Chất Hàm Spline 2-2-5252 S22t2xczzrersrsrsrrvee 27 _n ớt, ruxxewrrwratarantaartöeaeawaaaeensn 34

4:1; Seah 6B đồ đhnng H0 co nick kooEiidbsssaee 34

4:3: Su số do dã liên đầu VẬU:(02:2)0621600000046(0630321d08 36

Chương II: ÁP DỤNG CÚA HÀM SPLINE 38

1 Tính Giá Tri Ham So Céip .cccccscccccssessssccssessssessssessssesssssesssueessnsesen 38

DoD PRAM tichy ooo ceccccseeeeeeseeeeeneeeseeseeesceeseneenseenteeseceaseeeeeaeeeaeeenseeeeeseees 38

12, THUÊ NINH 60062461000 10046206X.cE6(sluxdigucxsqsaci6 39

DR OT Maa sss asi SON Ui ibaa 39

1.4 So sánh nội suy spline và nội suy đa thức bậc ba từng đoạn 43 Fe TL LÍ DI PRI sires sececenevecyvesnneiynssunnvsvesnnassvusvevienswnseisveusssosornsiensies 48 2.1 Xây dựng công thức - 4 ST x4 48 Be iB CV xe 4tdd40034 2c uy 48 T13: ĐÀ GIÁ Bi Âu ke 60 2n 0G k6bSGGGGG00 100 ti400 00260666 49 TH le eeeaeeaeeeatetogtirrekogspitesssgletclxiGez6osii4g0xcssose 50 ER "X i- -—-—-——————————ằ—— 51

2.4 Thudit toa nha 51

2.5 So sánh nội suy spline và nội suy đa thức bậc ba từng đoạn 53

BR amie saan VU ANH VAT VD YA-TVVAnIv.TDV-2VVhAV2ĐOBer S522 Á0+-2172722 770) ĐH HD

Trang 5

Một Số Vấn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu

LỜI MỞ ĐÀU

Giải tích số (còn gọi là Phương pháp số hay Phương pháp tính) là một môn

khoa học nghiên cứu các bài toản vẻ số, giải gần đúng các phương trình, xắp xỉ hàm số, bài toán toi wu

Toản học phát sinh do nhu cẩu thực tế Do đó tốn học lúc đầu đơng nghĩa

với tính toản Cùng với sự phát triển của các khoa học khác, toán học chia làm toản

lý thuyết và toán ứng dụng Toán ứng dụng ngày càng chiếm vị tri quan trọng, đặc biệt khi máy tính phát triển

Phép nội suy là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích số, trong đó chủ

yếu là nội suy bằng đa thức (đa thức nội suy Lagrange, Newton) Nội suy bằng hàm spline bậc ba là một vấn để còn khá mới

Bài luận văn này sẽ trình bày những kiến thức cơ bản vẻ nội suy bằng hàm

spline và nội suy đa thức từng đoạn Qua đó rút ra những ứng dụng trong việc tính

giả trị một số hàm sơ cấp và tính tích phán

Từ một tài liệu tiếng nước ngoài, tác giả đã đọc hiểu cũng như tham khảo

thêm một số giáo trình Giải tích số khác, qua đó trình bày lại những vấn đề sau: se Định nghĩa nội suy bằng hàm spline bậc ba và nội suy bằng đa thức bậc ba

từng đoạn

« Đưa ra những ví du cu thé minh hoa

Xin chân thành cảm ơn TS Trịnh Công Diệu đã cung cấp tài liệu cũng như

những đóng góp bỏ ích để bài luận văn được hoàn thành

Dù đã cố gắng nhưng do một số yếu tô khách quan cũng như chủ quan, bài luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong ý kiến đóng góp của thây

cô và các bạn

Trang 6

Một Số Vấn Đê Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh

NỘI DUNG

Chương mở đầu: Những kiến thức chuẩn bị

e Định nghĩa nội suy e Các lớp hàm nội suy

e Sai số của phép nội suy

e Ap dung ndi suy tính giá trị hàm sơ cấp, tính tích phân Chương I: Những vẫn đề cơ bản về hàm spline

e Định nghĩa nội suy bằng hàm spline bậc ba

se Cách xây dựng hàm spline

e Tinh chat ham spline e Sai số của hàm spline

Chương II: Áp dụng của hàm spline

Trang 7

Một Số Vấn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu C [a,b] W3 [a,5] {x} 4 ;" (x) deg (P(x)) AB (u,v) A’ A” SVTH: Pham Hữu Danh Ki HIEU

tập hợp các hàm có đạo hàm cấp hai liên tục trên [a,b]

tập hợp các hàm có bình phương đạo hàm cấp hai khả tích trên [a.b] tập hợp các giá trị x,„,X, , X„ đạo hàm cấp n của hàm số f (x~x)(x=x) (x~x,) bậc của đa thức P(x) tích hai ma trận A và B

Trang 8

Một Số Vắn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu

CHUONG MO DAU: KIEN THUC CHUAN BI

I ĐỊNH NGHĨA NỘI SUY:

Cho ham s6 f(x) xác định trên [a,b] Biết các giá trị của f tại một số điểm:

f(x,)= /„¡=0,n

Phép nội suy là tìm một hàm g(x) thay thé cho f(x) trén [a,b], trong dé g(x) là

hàm số xác định, dễ khảo sát hon f(x) và:

g(x,)=f,i=0,n

Có thê dùng phép nội suy đề:

e Tinh gia trị gần đúng của f{x) thông qua hàm nội suy g(x) e - Tính gần đúng đạo hàm, tích phân của f(x) thông qua hàm g

2 CÁC LỚP HÀM NỘI SUY:

2.1 Nội Suy Đa Thức:

Đa thức đại số thường được sử dụng trong phép nội suy vì các phép toán trên

đa thức dễ thực hiện Hơn nữa đó là lớp hàm được nghiên cứu kĩ nhất

Bài toán nội suy đa thức đặt ra là:

Trang 9

Một Số Vấn Đè Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh 7 (x—x,) (x—x,_, )(x-%,,).-(¥-,) E(x) (x, — x, ) (%, — x4 )(% — X44 ) -(x, - x, ) (0.2) Dé thay: P(s)= {ee J 0,khi j #¡ 2.1.2 Nhận xét: » deg(P(x))=n ® Đa thức P(x) xác định duy nhất e Dat: o(x)=(x-%)(x-») (x-3,) Khi đó công thức tính P(x) có thê viết lại như sau: „G1z—— S) — (0.3) (x-x,)'{x,) 2.2 Nội Suy Đa Thức Từng Đoạn:

Khi thực hiện phép nội suy bằng đa thức thì số mốc nội suy đôi khi quá lớn, do đó đa thức tìm được có bậc rất lớn, điều này rất khơng tiện trong tính tốn Vì thế người ta tìm cách chia đoạn [a,b] thành nhiều khoảng, mỗi khoảng chứa một số

mốc nội suy và trên mỗi khoáng hàm nội suy là một đa thức bậc nhỏ

Ở đây ta xét đa thức bậc ba từng đoạn

“Cho hàm số ƒ xác định trên [a,b] Xét phan hoach: a=X,<X,< <x, =b

với n=3k,k >1, ƒ lấy các giá trị tại các mút là { ƒ,}_ „

Trang 10

Một Số Uắn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh P(x), Vx e[x,,x] P,(x),Vx[x,,x,Ì (0.4 P(x),¥xe| x42, | tee eee eeee P(x) =4 với deg(P,(x))=3,V/ =1,k ”

Ở đây ta sử dụng đa thức nội suy Lagrange để xây dựng các ham P(x) trén

đoạn #24 với bốn mốc nội suy Ky 5193-29 % ja %;

2.3 Nội Suy Bằng Ham Spline:

Cũng lấy ý tưởng chia [a,b] thành nhiều đoạn mà trên mỗi đoạn hàm nội suy là một đa thức (thường là bậc ba) Tuy nhiên người ta tìm cách làm “trơn” đỗ thị

của hàm nội suy

Vấn đề này sẽ được khảo sát trong chương I

3 SAI SỐ CỦA PHÉP NỘI SUY:

3.1 Sai Số Của Nội Suy Đa Thức:

3.1.1 Sai số do phương pháp:

Giả sử P(x) là đa thức nội suy bậc n của hàm số f{x) trên đoạn [a,b]:

P(x,)= /(x,),¡=0,n

Lấy x tùy ý thuộc đoạn [a,b], cố định x

Trang 11

Một Sé Van Dé Vé Noi Suy Hàm Số GVHD:TS.Trinh Céng Diéu SVTH: Phạm Hữu Danh ;.#Œ)-P) o(x) Dé thay: F(x,)=0,i=0,n F(x)=0

Do đó F(z) có n+2 nghiệm phân biét Theo dinh ly Rolle F’(z) c6 n+1 nghiém phan biét, suy ra F’’(z) có n nghiệm phân biệt Cuối cùng, ta có: F(z) có nghiệm £ e [a,b] Ta có: 0=Ƒ"(£)= /*)~ k(n+1)\ Suy ra: rad (n+l)! +1)! So sánh hai công thức tính k, ta có: sg n+l) (n+1) Hard FD anaes Nếu đặt M =sup||/““*(x)|:a< x<ð} thì ta có: IR#]<(z.păứ-)Œœ~)-(x~>,) (0.6)

3.1.2 Sai số đo đữ liệu đầu vào:

Giả sử thay vì biết được các giá trị đúng y, = ƒ (x,),í =0,n ta chỉ biết được

Trang 12

Một Số Vắn Dé Vẻ Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Điệu

Sai số đo dữ liệu đầu vào:

lAr|=|P-PI<ŸA,|—E9

(x re x, )@'(x,)

3.2 Sai Số Của Nội Suy Đa Thức Từng Đoạn:

Trang 13

Một Số Vấn Đè Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Nếu xe(x;,x;): Ø(x) =(x~%,)(x=x/\(x~x;)(x ~*) <(s~x)(~x)Œ:—5Ÿ =(h+h +h (hy +h) s(t hy +h) Dat: h, = max {h,,h,,h,} Khi đó, sai số lớn nhất trên [xạ„x; | là: R= Mh Một cách tổng quát, sai số lớn nhất có thể gặp phải trên [XS | /=Lk R, = SM,h Ộ (0.8) trong đó: M, =sup{|f(x)|:x¢[ 2,5, ]} h, = max {hy hy,5h,} 4 AP DUNG: 4.1 Tính Giá Trị Hàm Sơ Cấp Bài toán: “Tính giá trị gần đúng của f[x), kết quả làm tròn tới k chữ số thập phân, sai số không quá 10”* ” 4.1.1 Phân tích:

Đầu tiên ta phải chọn đoạn [a,b] chứa x và các mốc nội suy thích hợp trên [a,b] Sau đó ta tiễn hành nội suy đa thức từng đoạn để tính giá trị hàm f{x) Tiếp theo ta làm tròn giá trị tính được tới k chữ số thập phân

Các mốc nội suy {x,} được chọn phải thỏa:

Trang 14

SVTH: Phạm Hữu Đanh

⁄ Các giả trị {ƒ}_„ tính được chính xác

*“ Sai số do phương pháp nằm trong phạm vi cho phép Trong bài toán này ta sẽ gặp hai sai số: ¡) Sai số do phương pháp: Sai số lớn nhất của P(x) trên | xạ „ „,x,, | là 3 —4 R, = S20, trong đó:

M,= sup{|'°(x) ‘xe Ere }

Trang 17

Một Số Vấn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Điệu SVTH: Phạm Hữu Danh Ví dụ 2: Tính giá trị gần đúng của 2`°, kết quả làm tròn tới ! chữ số thập phản, sai số không quá 0,1 Giải * Bước |: Xét đoạn [-3,3] chứa 1,2 với các mộc nội suy: xX; -3 -2 -1 0 l 2 3 f; V8 % 1⁄2 l 2 4 8 Y Buéc 2: Gọi P(x) là đa thức nội suy từng đoạn của f{x) tại các mốc nội suy trên Trên [0,3]: P(x)=~c(x~1)(x~2)(x~3)+x(x~2)(x~3) -2x(x~I)(x~3)+2z(x~1)(x~2) w Bước 3: Do 1,2 [0,3] nên giá trị gần đúng của 2'” là: P(1,2) =-0,0546 + 1,728 + 0,864 — 0,256 = 2,2784 Bước 4: Làm tròn ta được: P(1,2)=2,3 * Bước 5: Két qua: 2'? = 2,3 4.2 Tinh Tich Phan: Cần tính tích phân: !=[7(x)& Ta tính: : y= | P(x)dx

trong đó P(x) là đa thức (hay đa thức từng đoạn) nội suy của f{x)

Ta coi J là giá trị gan ding cua I

Trang 18

Một Số Vắn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh 4.2.1 Xây dựng công thức: 4.2.1.1 Công thức Newton-Cotes: 1) Cách làm: Đôi biến: x-a sNg Ta được: ]7(s)&~(e~z)j®(£)4:

với ®(£)= ƒ(a+(b~ a)£)

Trang 20

Một Sé Van Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Sai số: J - J|$—M (b-< y (0.13) 4.2.1.2 Dùng nội suy đa thức bậc ba từng đoạn: 1) Phương pháp: Cho ham số f xác định trên [a,b] Cần tính tích phân: 1=[ƒ(x)k Chia doan [a,b] thành n=3k phần bằng nhau với các điểm chia: x, =a+tih,i=0,n b-a H

Trang 21

Mét Sé Van Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Í P,6)&=” XE ,,+3/,„+3//,,+ 7) *xs-4) = (Sis +3; +3 fyi +f,,) Do do: jP(x)&=*Š*(+3⁄ +3/+2ƒ/,+ +2/4 +34 ¿+34 ¡+ 4) b— 8k

ii) Sai số do phương pháp: * Sai số địa phương: (0.14) “(J,+3/,+3/,+2/,+ +2/„ +3; +3/ + /u) $ 1 2 3 r SOM, “2y.9) "S570" f(x): xe [41.4] Y Sai sé toan phan: r <k— Mh =~) _M(b-a)h' 3570 1190 (0.15) với M =sup{|/(x)|:xe[a,b]}

iii) Sai số đo dữ liệu đầu vào:

Trang 22

Một Sé Van Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh r=[7(x)& Kết quả làm tròn tới k chữ số thập phân, sai số không quá 10” ” 4.2.3 Phân tích:

Đầu tiên ta phải chọn các mốc nội suy cách đều trên đoạn [a,b] sao cho sai số trong phạm vi cho phép Tiếp đó ta dùng công thức (0.14) tính J Cuỗi cùng ta làm tròn kết quả thu được tới k chữ số thập phân

Cũng như khi tính giá trị hàm sơ cấp, ta sẽ gặp phải hai sai số: i) Sai s6 do lam tròn:

wk

Không vượt quá

ii) Sai số do phương pháp: ~k Ta phải chọn các mốc nội suy sao cho sai số không vượt quá — -k -k 2! M4 (b—a)h' elon pt 2 _ 10 1190 2 27 (b-a)M

với M =supl|/*°(x)|: x e[a,Ì)

Kết quả thu được sẽ là một số thập phân làm tròn tới k chữ số sau dấu phẩy

Trang 24

Một Số Vắn Đề Vè Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu

CHUONG I: NHUNG VAN DE CO BAN VE HAM SPLINE

1 BINH NGHIA NOI SUY SPLINE BAC BA:

Trén doan [a,b] cho phan hoach:

Q@=X,<X,< <x,=b

f(x) la ham số xác định trên [a,b] với các giá trị tại các nút là { f,}" Bài toán nội suy bằng hàm spline bậc ba được phát biểu như sau: “Tìm trên (a,b] hàm số g(x) thỏa:

L1) g(x)<C? (a,b), tức là g(x) cùng các đạo hàm cắp mội, cấp hai liên tục

Trang 25

Một Sé Van Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu

Trang 27

Một Số Vấn Đề Về Nội Suy Hàm Số Giải hệ (1.5) tim duge m,,m,, ,m,_,, thé vao (1.2) sẽ tìm được hàm g(x) Aeon 1 ho oh hh, é » -Ẻ—= h, oh, h, 0 0 0 GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh 00 0 0 “Gà hm„ hạ h 3 TINH CHAT HAM SPLINE BAC BA: [a,b] Gia sit ue W; [a,b] théa: u(x,)= ƒ,,k = 0.n Xét phiém ham: ©(u)= f[u'(x)} dx Ta sé chimg minh ham s6 cực tiểu hóa phiếm hàm (1.8) Thật vậy, xét:

®(u - g)= jI- #'Ƒ&

Trang 28

®(g)= ®(u)— ®(u - g) << ®(u) (1.9)

Từ đó ta rút ra được định nghĩa tương đương của hàm spline bậc ba:

“Hàm spline bậc ba g(x) là hàm thuộc lớp W; [a,b] có giá trị tại các nút cho sẵn

và cực tiểu hóa phiếm hàm: O(u)= ie "(x)] dx” I.3.1 Nội Suy Bậc Ba Từng Đoạn Trơn a) Xét bài toán: “Tìm hàm gí+) thuộc lớp Wj}|[a,b} cực tiểu hóa phiếm hàm: ®,(0)= [[u" đ+ > P.|w(x,)- X] (1.10) Pp,>0,k= On P

b) Ta sẽ chứng minh rằng cực tiểu của (1 10) là một hàm spline bậc ba, nghĩa là hàm số thỏa điều kiện 1) 2) 4)

Giả sử ưạ e W;[a,b] là cực tiểu của (1 10)

Ta xây dựng hàm spline g(x) thỏa:

#(x,)=1,(x,),k =0,n

Trang 29

Một Số Vấn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh ®,(u„)= flu "| de+ SP, [u(x,)- 7] đ(s)= j[g' ô+.ằ[s(%)~ Do uạ là cực tiêu nờn: đ,(u,)< ,(g) Suy ra: 6 b JIô'] «< J[s'] «& b

Theo phần trước, g(x) là cực tiểu của [[w"] dx, do đó uy = g

c) Vì thể ta chỉ cần tìm cực tiểu của ®, (+) trong các hàm spline bc ba Giả sử g(x) lấy giá trị tại các nút là {/„,},_

Trang 31

Một Số Vắn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Dé ®, đạt cực tiểu thì đạo hàm phải bằng 0: Feng (Am,m)+2p,(ju, ~ f,)=0,s=0,n Dựa vào đại số tuyến tinh, ta có thể chứng minh một số tính chất sau: i) (Am,m)' = 2((Am)',m) với A là ma trận vuông đối xứng, kí hiệu B' chỉ ma trận đạo hàm của các phân tử ma trận B Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp A là ma trận vuông cắp 3 ay đ;y Ay m, A=la, G@, 4, m =| m, a, đ; đ; m, a, ,M, + A,M, + a,,M, Am =| 4,,m, + A.M, + am, đ + đ,;Jt, + 4y, (Am,m) = a,,m; + 4,,m,m, + a,,m,mM, + + @,,M; + a,,mm, + a,,m,m, + + Gy,My + Gy,M,M, + Ay,MM, + Do A đối xứng nên: (Am,m) = a,,m; + a,,m; + d,,m; + 2a,,m,m, + 2a,,m,m, +2a,,mym, Suy ra:

(Am,m)' = 2a,m,m, + 2a,,m,m, + 2a,!m,m, '+

+2a,,(m,'m, + m,m,')+2a,,(m,'m, + m,m,')+2a,,(m,'m, + mym,')

Mặt khác:

G,,m,'+ G,,M, ‘+ a.m,’

*(Am)'=| a,,m,'+ a,,m,'+ a,m,'

a,,m,'+ a,,m,'+ a,,m,'

Từ đó ta đễ dàng suy ra điều phải chứng minh

ii) (Hm)'=Hm'

với H là ma trận không phụ thuộc vào biến

Trang 32

Một Số Uấn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh iti) (Ab,c)=(b,A*c) với A 14 ma tran cap mxn, A* 1a ma tran chuyén vi cia ma tran A, b 1a ma tran cap nx1, c 1a ma tran cap mx! Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp m=2, n=3 b, 2 đị; ni) b=| b, e~[Ê) đạ dạ ay b Cạ 3 Abin ee + d),b, + a,b, ) 4?c=| a¿;€, + đục 7, i 12 22 430, + đạC;

Tính (Ab,c) va (b,A*c) ta sẽ suy ra điều phải chứng minh

Trang 33

Một Số Vấn Để Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu

Nhân hai về của (1.13) với #IP” ta được: HPˆ'H *m+ Hụ = H ƒ

c>(A+ HPˆ'H*)m= Hƒ ¬

(1.14) là hệ phương trình tuyến tinh n-1 an m,,m,, ,™m,_,, giai tim duge m

Từ đó ta tính được / theo công thirc suy ty (1.13)

u= ƒ-P'H*m (1.15)

Cuối cùng ta thu được hàm g(x) bởi công thức (1.2)

1.3.2 Nối Dài Đều

Cho các mốc nội suy:

X.<X;< <X„.<x,

f là hàm số lấy giá trị tại các nút là ƒ,„ ƒ ƒ,

Giả sử n đủ lớn, p là một số tự nhiên thỏa p<<n Xây dựng trên (x,,x; hàm nội suy lớp C”

Gọi P(x) là đa thức Lagrange bậc p lấy các giá trị tại các nút x;,X;, ,

P\(x) la da thirc Lagrange bic p lay các giá trị tại các nút x;,;, , X„ Thành lập đa thức Q;(x) bậc 2p+1 thỏa: có = Thy eos ae k đt £9 (hens Là (1.16) k=0,p Đa thức Q;(x) tồn tại duy nhất Đồng nhất g(x) =O, (x), Vx e(x,,x;) Vi dụ: trường hợp p=l

O,(x) là đa thức bậc ba có dang:

Q,(x)=a, +a,(x—x,)+a,(x—x,) +a,(x-x,)

Trang 34

Một Số Vấn Đê Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh a, =f, fi -Sf x, —%, ews 3 (Eh hed X—~ (T1; X;T—X | [Aa 4-4) (x,-%)\5-m% —x Tương tự, xây dựng da thirc Q.(x) bic 2p+1 Đồng nhất g(x) = Ó;(x),Vx e(x;,x; ) .“ e«

Cứ làm tương tự như vậy cho đến khoảng ( x m-p~l?”"n=p x ) Hàm nội suy g(x) là hàm đa thức từng đoạn lớp C? bac 2p+!

4 SAI SỐ CỦA NỘI SUY SPLINE BẬC BA: 4.1 Sai Số Do Phương Pháp:

Cho hàm số f xác định trên [a,b] Xét phân hoạch:

a=X,<X,< <x,=b

f lây các giá trị tại các nút là { ƒ/, },_

Trang 35

Một Số Vấn Đề Vè Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu

F có ba nghiệm phân biệt và F" liên tục trên [x, ,„x, | nên F" có hai nghiệm

phân biệt (định lý Rolle) F' có hai nghiệm phân biệt và F'' liên tục trên [x, ,,x, | nên F"' có một nghiệm ¿ €[x,,,x,| 0=F(#)= /"(#)~s"(£)~2k=k~“)- #6) Do đó: R(x) _/'()-#!() (x-x,,)(x-x,) 2 = (x)= LE) 8) 5, (xx) (1.17) ƒ"{x)- g'{x)|:xe[x x,Ì) Khi đó sai số R(x) có thể ước lượng như sau: IR(ø|<='(x~x )(x, - x) (1.18) Dat N, = max { Nhận xét:

e _ ø`' là hàm số bậc nhất nên đơn điệu trên [x, ,„x, | Nếu f” đơn điệu trên

[x ¡.x,| thì Nị có thể tìm được tại hai đầu mút

Vị dụ: f'' tăng, ø`” giảm trên 1% oe Khi đó:

(t)+r4)srw)

~#"(x,)<~#"(x)<~"(x )

= ƒ*{x )- ø"(x,)< ƒ"{x)- g"{x)< ƒ"{x,)- ø"(x ),Vx e[x, ›x,]

Từ đó tính được X, = max{|ƒ"(x)~ g"(x)|: xe[x,,,%,}

Trang 36

Mét Sé Van Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu

4.2 Sai Số Do Dữ Liệu Đầu Vào:

Trong thực tế, các giá trị f, đôi khi không thẻ tính chính xác, do đó ta chỉ có thể sử dụng giá trị gần đúng Điều này ảnh hưởng đến kết quả sau cùng, gây ra sai số do dữ liệu đầu vào Sau đây ta sẽ xem xét ảnh hưởng của chúng đến kết quả

Giả sử các giá trị đúng tại các điểm mốc nội suy là VÌ: trong khi ta chỉ

biết được các giá trị gần đúng { ƒ}" „ với sai số:

|/- /|< A,„i=0,n

Theo Am=Hf ta thấy m phụ thuộc tuyến tính vào f Do đó các giá trị m, cũng

Trang 38

CHUONG II: AP DUNG CUA HAM SPLINE | TINH GIA TRI HAM SO CAP

Bài toán:

“Tính giả trị gân đúng cia f(x), két qua lam tròn tới k chữ số thập phân, sai số

không quá 107" ” 1.1 Phan Tich:

Đầu tiên ta phải chọn đoạn [a,b] chứa x và các mốc nội suy thích hợp trên [a,b] Sau đó ta tiền hành nội suy bằng hàm spline để tính giá trị f{x) Tiếp theo ta làm tròn giá trị tính được tới k chữ số thập phân

Các mốc nội suy {x,}` được chọn phải thỏa:

vs Các giá trị {ƒ/}, tính được chính xác

Trang 39

Một Số Van Dé Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Ta chọn các điểm mốc nội suy sao cho sai số phương pháp không vượt quá 10° 2 7 -k bs -k past eh <= (2.1)

ii) Sai s6 do lam tron:

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	2,48 MB