I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN TP HĨT U ÈI VỴI MËT LỴP PHìèNG TRNH PARABOLIC SUY BIN TĩA TUYN TNH KHặNG ặTặNặM LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYỄN THỊ NGC HN TP HểT U ẩI VẻI MậT LẻP PHìèNG TRNH PARABOLIC SUY BIN TÜA TUYN TNH KHỈNG ỈTỈNỈM Ng nh: ToĂn giÊi tẵch M số: 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc TS.PHM THÀ THÕY Th¡i Nguy¶n - 2018 Líi cam oan Tổi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc v khổng trũng lp vợi à ti khĂc CĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2018 Ngữới viát luên vôn Nguyạn Th Ngồc HƠn XĂc nhên XĂc nhên cừa trững khoa ToĂn cừa ngữới hữợng dăn khoa hồc TS PhÔm Th Thừy i Líi c£m ìn Tỉi xin b y tä láng bi¸t ỡn sƠu sưc tợi TS PhÔm Th Thừy , ngữới cổ  tên tẳnh hữợng dăn tổi suốt quĂ trẳnh nghiản cựu tổi cõ th hon thnh luên vôn Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu, ban lÂnh Ôo sau Ôi hồc ton th cĂc thƯy cổ giĂo Khoa ToĂn trữớng HSP ThĂi Nguyản  truyÃn thử cho tổi nhỳng kián thực quan trồng, tÔo iÃu kiằn thuên lủi v cho tổi nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn hồc viản luên vôn ny ữủc hon chnh hỡn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2018 TĂc giÊ Nguyạn Th Ngồc HƠn ii Mửc lửc Lới cam oan Lới cÊm ỡn Mửc lửc Mởt số kỵ hiằu v viát tưt M Ưu Kián thực chuân b 1.1 Mët sè kh¡i ni»m 1.2 C¡c khæng gian h m 1.3 Tªp hót to n cưc 1.4 1i ii2 iii v5 4 1.3.1 Mët sè kh¡i ni»m 1.3.2 Tªp hót ton cửc 1.3.3 Sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc 11 13 Tªp hót ·u 16 1.4.1 Tªp hót ·u cõa qu¡ tr¼nh ìn trà 16 1.4.2 Tªp hót ·u cõa nûa qu¡ tr¼nh a trà 18 1.5 Mởt số bĐt ng thực thữớng dòng 20 1.6 Mët sè bê · quan trång 21 iii Têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ætænæm 23 2.1 °t b i to¡n 23 2.2 Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu 25 2.3 Sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu 2.4 Tẵnh trỡn cừa têp hút Ãu trữớng hủp nhĐt nghi»m v p=2 L2 (Ω) 2.4.1 Tªp (L2 (Ω), Lq (Ω)) 2.4.2 Tªp (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hót Ãu Kát luên Ti liằu tham khÊo 27 31 35 - hót ·u 39 41 42 iv Mởt số kỵ hiằu v viát tưt R = (; +) : têp Rn : khổng gian vctỡ tuyán tẵnh thỹc n chiÃu C([a; b], Rn ) : tªp C(Ω) : l C k (Ω) : cĂc số thỹc tĐt cÊ cĂc hm liản tửc trản [a; b] v nhên giĂ tr trản khổng gian c¡c h m li¶n tưc tr¶n mi·n Ω l khỉng gian cĂc hm khÊ vi liản tửc Ãu cĐp k trản mi·n L2 ([a, b], Rm ) : C ∞ (Ω) : l têp cĂc hm khÊ tẵch bêc hai trản [a, b] v lĐy giĂ tr ữủc xĂc nh bơng \ C(), C k (), , vợi giĂ compact khổng gian cĂc hm khÊ vi liản tửc cĐp vổ hÔn trản miÃn Vợi giĂ compact Trong õ khổng gian cĂc hm lụy thứa bêc p khÊ tẵch Lebesgue : k(Ω)kLp (Ω) |(Ω)|p dx) p , (1 ≤ p < ∞) Z =( (Ω) ∞ L (u) = {u : u → R|u l Trong â Ω C k () kN k Cc (), Cc (), , kỵ hiằu c¡c h m Lp (Ω) : l Ω khæng gian cĂc hm khÊ vi liản tửc cĐp vổ hÔn trản mi·n C0∞ (Ω) : L Rn o ÷đc Lebesgue, kukL∞ (u) : kukL∞ (u) = ess sup |u| u v < ∞} Ω Rm Ω0 ⊂⊂ Ω th¼ v(x) L1 (0 ) Z L1loc () : tỗn tÔi L1 () : gỗm cĂc hm cõ ở o Lebesgue Lploc (u) = {u : u → R|u ∈ Lp (V ), H k (u), Wpk (u)(k = 1, 2, ) l vỵi måi Ω|v(x)| < +∞ V u} kỵ hiằu cĂc khổng gian Sobolev C k, (u), C k,β (u), (k = 0, 1, , < β ≤ 1) l c¡c khæng gian Holder Ou = (ux1 , , uxn ) l v²ctì gradient cõa h m u n X Mu= uxi xi l to¡n tû Laplace cõa h m u i=1 : k¸t thóc chùng minh vi M Ưu Lẵ chồn à ti CĂc phữỡng trẳnh Ôo hm riảng tián hõa xuĐt hiằn nhiÃu cĂc quĂ trẳnh cừa vêt lỵ, hõa hồc, sinh hồc Viằc nghiản cựu nhỳng lợp phữỡng trẳnh ny cõ ỵ nghắa quan trồng khoa hồc v cổng nghằ Chẵnh vẳ vêy nõ  v ang thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh khoa hồc trản thá giợi CĂc vĐn à t l nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm, sỹ phử thuởc liản tưc cõa nghi»m theo dú ki»n ¢ cho v c¡c tẵnh chĐt nh tẵnh cừa nghiằm cừa bi toĂn Trong ba thêp k gƯn Ơy, lỵ thuyát cĂc hằ ởng lỹc tiảu hao vổ hÔn chiÃu ữủc phĂt trin mÔnh m Lỵ thuyát ny nơm giao cừa chuyản ngnh l lỵ thuyát hằ ởng lỹc, lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn Ôo hm riảng v lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng Bi toĂn cỡ bÊn cừa lỵ thuyát ny l nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa têp hút NhiÃu kát quÊ và lỵ thuyát têp hút ối vợi nhiÃu lợp phữỡng trẳnh vi phƠn Ôo hm riảng ữủc trẳnh by [8],[14] Mởt nhỳng lợp phữỡng trẳnh Ôo hm riảng ữủc nghiản cựu nhiÃu nhĐt l lợp phữỡng trẳnh parabolic Sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc ối vợi lợp phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh khổng suy bián  ữủc nghiản cựu bi nhiÃu tĂc giÊ miÃn b chn Tẵnh liản tửc cừa têp hút ton cửc ối vợi cĂc bi toĂn parabolic ữủc nghiản cựu cĂc cổng trẳnh[3], [6], [12] Cho án nay, cĂc kát quÊ và lỵ thuyát têp hút ối vợi lợp phữỡng trẳnh parabolic khổng suy bián rĐt phong phú v  khĂ hon thiằn Lỵ thuyát và têp hút ton cửc ối vợi phữỡng trẳnh parabolic suy bián  ữủc nghiản cựu cho bi toĂn chựa phữỡng trẳnh parabolic suy bián cõ phƯn chẵnh dÔng 4(u) hoc div((u)O(u)) õ (0) = 0; phữỡng trẳnh parabolic suy bián chựa toĂn tỷ Grashin; phữỡng trẳnh parabolic suy bián kiu Caldiroli - Mussina CĂc kát quÊ và sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu ữủc nghiản cựu [2], [7], [11], [9], Viằc nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v tẵnh chĐt cừa têp hút ối vợi lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián l vĐn à thới sỹ, cõ ỵ nghắa khoa hồc v hựa hàn cõ nhiÃu ựng dửng cĂc bi toĂn thỹc tá Vợi nhỳng lẵ trản, chúng tổi lỹa chồn vĐn à trản lm nởi dung nghiản cựu luên vôn vợi tản gồi Têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm Mửc ẵch v nhiằm vử nghiản cựu 2.1 Mửc ẵch nghiản cựu Mửc ẵch cừa luên vôn l nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v mởt số tẵnh chĐt cừa têp hút ton cửc (bao gỗm tẵnh trỡn, Ănh giĂ số chiÃu fractal, ) ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh suy bián kiºu Caldiroli - Mussina mi·n bà ch°n 2.2 Nhi»m vử nghiản cựu Trẳnh by mởt số khĂi niằm cĂc khổng gian hm, têp hút ton cửc, sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc, số chiÃu fractal Trẳnh by kát quÊ và sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm trản miÃn b chn Phữỡng phĂp nghi¶n cùu Ω ⊂ RN º chùng minh sü tỗn tÔi v nhĐt nghiằm yáu, chúng tổi sỷ dửng phữỡng phĂp xĐp x Galerkin kát hủp vợi cĂc bờ à compact chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút v tẵnh trỡn cừa têp hút chúng tổi sỷ sửng phữỡng phĂp cừa lẵ thuyát hằ ởng lỹc vổ hÔn chiÃu, nõi riảng l v ta cõ cĂc ¡nh gi¡ sau | Z T τ Z T Z | a(un , v)dt| = dt |u|p−2 udiv(ρ∇v)|dxdt, p−1 τ Ω p p Z T p0 p0 ≤C ||un ||Lp (Ω) ||v||V dt ≤ C||un ||Lp (Qτ,T ) ||v||Lp (τ,T ;V ) , τ |hf (un ), vi| ≤ ||f (un )||Lq0 Qτ,T ) ||v||Lq (Qτ,T ) , ( |hg, vi| ≤ ||g||Lq0 (Qτ,T ) ||v||Lq (Qτ,T ) , vỵi måi v ∈ Lp (τ, T ; V )∩Lq (Qτ,T ), â { 0 Lp (τ, T ; V ∗ ) + Lq (Qτ,T ) K¸t hđp i·u n y vỵi (2.10) v sû dưng M»nh · 2.4 [2] ta thu ÷đc un → u Lp (Qτ,T ), B¥y gií ta x²t dun } bà ch°n khæng gian dt {un } â tn → t0 , vỵi l ti·n compact Lp (Qτ,T ) Do â, u ∈ L2 (τ, T ; L2 (Ω)) tn , t0 ∈ (τ, T ] Ta s³ chùng minh un (tn ) → u(t0 ) L2 (Ω) V¼ un (tn ) * u(t0 ) L2 (Ω), n¶n lim inf ||un (tn )||L2 (Ω) ≥ ||u(t0 )||L2 () n Náu ta chựng minh ữủc thẳ un (tn ) → u(t0 ) lim supn→∞ ||un (tn )||L2 (Ω) ≤ lim inf n→∞ ||u(t0 )||L2 (Ω) L2 (Ω) Ta câ ||un (t)||2L2 (Ω) ||u(t)||2L2 (Ω) vỵi måi ≤ ||un (s)||2L2 (Ω) n t + K(t − s) + (gσn (v), un (v))dv, Z ts ≤ ||u(s)||2L2 (Ω) + K(t − s) + (gσ (v), un (v))dv, s t ≤ s, t, s ∈ [τ, T ], thuëc v o Z â σ = gσ v h¬ng sè K>0 Do â, h m Z ||un (t)||2L2 (Ω) t − Kt − (gσn (v), un (v))dv, Z tτ J(t) = ||u(t)||2L2 (Ω) − Kt − (gσ (v), un (v))dv, Jn (t) = τ 29 khỉng phư [, T ] l liản tửc v khổng tông trản L2 (Ω) h¦u khp t ∈ (τ, T ), un → u L2 (τ, T ; L2 (Ω)), ta câ cho Jn (t) → J(t) Ti¸p theo ta chùng minh τ < tm < t0 Hìn núa, v¼ un (t) → u(t) L2 (τ, T ; L2 (Ω)) h¦u khp n → ∞ gσn * gσ t ∈ (τ, T ) lim supn→∞ Jn (tn ) ≤ J(t0 ) Jn (tm ) → J(tm ) v Gi£ sû Thªt vªy, °t tm < t n Vẳ Jn khổng tông, ta cõ Jn (tm ) − J(t0 ) ≤ |Jn (tm ) − J(tm )| + |J(tm ) J(t0 )| Vợi bĐt kẳ > tỗn tÔi tm v n0 (tm ) cho Jn (tn ) ≤ , vỵi måi n ≥ n0 Vẳ vêy, Z lim sup ||un (t)||2L2 () n→∞ t − Kt − (gσ (v), u(v))dv τ Z t ≤ ||u(t0 )||2L2 (Ω) − Kt − (gσ (v), u(v))dv lim sup Jn (tn ) = n→∞ τ Do â, limn→∞ sup ||un (tn )||L2 (Ω) ≤ ||u(t0 )||L2 () nh lỵ 2.3.3 [1] GiÊ sỷ cĂc iÃu kiằn (H1) - (H3) ữủc thọa mÂn Khi â hå nûa qu¡ tr¼nh a trà A {Uσ }σ∈Σ câ mët tªp hót to n cưc ·u compact L2 (Ω) Chùng minh Tø (2.7), ta câ ||un (t)||2L2 (Ω) ≤ ||u(0)||2L2 (Ω) e−(t−τ ) + K1 + K2 ||g||2L2 b = Do õ hẳnh cƯu cừa Ănh xÔ T (B) ||u(0)||2L2 (Ω) e−(t−τ ) cho UΣ (t, 0, B) B0 , Ta nh nghắa têp ton cửc +R B0 = {u ∈ L2 (Ω) : ||u|| ≤ (t, u) 7→ UΣ (t, 0, u), L2 (), K R2 + } nghắa l vợi bĐt kẳ vợi mồi K = U (1, 0, B0 ) ta cõ B B(L2 ()) tỗn tÔi t T (B) Tứ Bờ à và sỹ tỗn tÔi têp hút l compact 30 l têp hĐp thử Hỡn nỳa, vẳ B0 l têp hĐp thử, ta cõ U (t, τ, B) = UΣ (t, t − 1, UΣ (t − 1, τ, B)) = UT (t−1)σ (1, 0, UT (τ )σ (t − − τ, 0, B)) ⊂ UΣ (1, 0, B0 ) ⊂ K vỵi måi σ ∈ Σ, B ∈ B(L2 (Σ)), Khi â måi d¢y v t ≥ T (B, τ ) {ξn } ∈ Uσn (tn , τ, B0 ), σn ∈ Σ, tn → +∞, B ∈ B(L2 (Σ)), l ti·n compact Do õ, Ănh xÔ U cõ giĂ tr compact vợi bĐt kẳ Cuối cũng, ta chựng minh Ănh xÔ trản vợi mội tÔi t (, x) U (t, τ, x) σ ∈ Σ l nûa li¶n tưc cè nh GiÊ sỷ iÃu ny khổng úng, tực l, tỗn u0 ∈ L2 (Ω), t ≥ τ ≥ 0, σ0 ∈ Σ, > 0, δn → 0, un ∈ Bδn (u0 ) , σn → σ0 , ξn ∈ Uσn (t, τ, un ) cho {ξn } ∈ / B (U0 (t, , u0 )) sỹ tỗn tÔi tªp hót to n cưc L2 (Ω) , ta câ v Nh÷ng theo Bê · v· ξn → ξ ∈ Uσ0 (t, τ, u0 ) (sai kh¡c mët d¢y con), iÃu ny dăn án mƠu thuăn Sỹ tỗn tÔi cừa têp hút ton cửc Ãu compact kát hủp vợi nh lẵ và têp hút Ãu cừa nỷa quĂ trẳnh a tr 2.4 Tẵnh trỡn cừa têp hút Ãu trữớng hđp nh§t nghi»m v p = Ta x²t B i to¡n (2.1) cho tr÷íng hđp p = 2: ∂u − div(ρ(x)∇u) + f (u) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ, ∂t u|t=τ = uτ (x), x ∈ Ω, (2.11) u|∂Ω = 0, â lüc g u L2 () cho trữợc, hằ số , số hÔng phi tuyán f v ngoÔi thọa mÂn cĂc iÃu ki»n (H1) - (H3) Chóng tỉi nghi¶n cùu B i to¡n (2.11) õ số hÔng phi tuyán 31 f thọa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (H21 ) f ∈ C (R, R) thäa m¢n (2.2) , v f (u) l (l > 0), v ngoÔi lỹc g (2.12) thọa mÂn thảm mởt số iÃu kiằn no õ Tữỡng tỹ nhữ nh lẵ và sỹ tỗn tÔi nhĐt nghiằm yáu, vợi iÃu kiằn (2.12) cõ th chựng minh ữủc Bi toĂn (2.11) cõ nhĐt nghiằm Vẳ vêy, ta cõ th nh nghắa mởt hồ cĂc quĂ trẳnh L2 () vợi U (t, )u = u(t), â cõa B i to¡n (2.11) vỵi i·u ki»n ban ¦u u(t) uτ {Uσ (t, τ )}σ∈Σ l nghiằm yáu nhĐt v ngoÔi lỹc Do tẵnh nhĐt nghiằm, ta cõ U (t + h, τ + h) = UT (h)σ (t, τ ), ∀σ ∈ Σ, t ≥ τ, τ ∈ R, h R Ta s sỷ dửng lẵ thuyát têp hút Ãu khổng gian kp ối vợi quĂ trẳnh liản tửc yáu [6] v phữỡng phĂp ữợc lữủng tiản nghiằm tiằm [10] cên nghiản cựu tẵnh trỡn cừa têp hót ·u tr÷íng hđp n y Ta chùng minh m»nh à sau Mằnh à 2.4.1 Vợi cĂc giÊ thiát (H1), (H21) v (H3), hå c¡c qu¡ tr¼nh {Uσ (t, τ )}σ∈Σ sinh bði B i to¡n (2.1) tr÷íng hđp (L2 () ì , L2 ()) liản tửc yáu vợi p=2 l t ≥ τ, v (L2 (Ω) × Σ, D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) − Chùng minh Cho trữợc v n * yáu liản tửc yáu vợi t , R, v giÊ sỷ un * u Kẵ hiằu t > yáu L2 (Ω) un (t) = Uσn (t, τ )uτn Tữỡng tỹ chựng minh Bờ à và sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc L2 () , ữợc l÷đng cõa un óng cho un (t) Cư thº l , {un } L∞ (τ, T ; L2 (Ω)) ∪ L2 (τ, T ; D01 (Ω, ρ)) ∩ Lq (τ, T ; Lq (Ω)) 32 bà ch°n Nh¥n c£ hai vá cừa phữỡng trẳnh Ưu (2.11) vợi õ lĐy tẵch phƠn trản , (t ) dun , dt sau ta câ d d dun ||L2 (Ω) + (t − τ ) ||un ||2D01 (Ω,ρ) + (t − τ ) (t − τ )|| dtZ dt dt dun = (t − τ ) g(t) dx, dt Ω Z u â F (u) = f (s)ds Dịng b§t ¯ng thùc Cauchy Z F (un )dx Ω º ¡nh gi¡ v¸ ph£i, ta câ d d (t − τ ) ||un ||2D01 (Ω,ρ) + (t − τ ) dt dt F (un )dx ≤ (t − τ )||g(t)||2L2 (Ω) Ω Z [τ, t], τ < t ≤ T , ta câ Z Z 1 t 2 (t − τ )||un (t)||D01 (Ω,ρ) − ||un (s)||D01 (Ω,ρ) ds + (t − τ ) F (un )dx 2 τ Z tZ Z t Ω − F (un )dx ≤ (t − τ ) ||g(s)||2L2 (Ω) ds τ LĐy tẵch phƠn trản Tứ C1 |u|q C0 ≤ F (u) ≤ C3 |u|q + C0 ta câ (t − τ )||un (t)||2D01 (Ω,ρ) + C1 (t − τ )||un (t)||qLq (Ω) Z Z tZ t ≤ ||un (s)||D01 (Ω,ρ) + (C2 |u|q + C0 )dxds τ τ Ω Z t + (t − τ ) ||g(s)||2L2 (Ω) ds τ ≤ C, vỵi måi {un } l bà ch°n t > τ, {un (t)} d¢y um (t) cõa L2 (τ, T ; D01 (Ω, ρ)) ∩ Lq (τ, T ; Lq (Ω)) l bà ch°n un (t) cho D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) um (t) * (t) 33 Do õ vợi Vẳ vêy, ta lĐy mởt yáu L2 () vợi t , D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) v vỵi t > , Theo tẵnh nhĐt nghiằm, ta cõ v {Uσn (t, τ )uτn } ω l nghi»m cõa b i toĂn u (2.11) vợi iÃu kiằn ban Ưu L2 (Ω) â D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) v â óng vỵi Uσm (t, τ )uτm * uσ0 (t, τ )uτ y¸u i·u n y óng cho måi d¢y cõa {Uσn (t, τ )uτn } M»nh · 2.4.2 Vợi cĂc giÊ thiát (H1), (H2) v (H3), hồ cĂc quĂ trẳnh {U (t, )} cõ mởt têp Chùng minh Gi£ sû (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) B ⊂ L2 (Ω) l bà ch°n, - h§p thư ·u uτ ∈ B, σ ∈ Σ, B0 v u = Uσ (t, τ )uτ Do â, t÷ìng tü (2.7) ,ta câ ||u(t)||2L2 (Ω) ≤ ||u(τ )||2L2 (Ω) e−(t−τ ) + C(1 − e−(t−τ ) ) + õ tÔi ||||L2b ||g||L2b , Σ = Hω (g) T1 = T1 (B, τ ) C ||g||2L2 , −1 b 1−e Tø b§t ¯ng thùc cuối, tỗn cho ||u(t)||2L2 () , vợi måit ≥ T1 , uτ ∈ B (2.13) Tø (2.7) v (2.13) , ta câ t+1 Z t (||u||2D01 (Ω,ρ) + ||u||qLq (Ω) ) ≤ C4 Z °t F (s) = vỵi måi t ≥ T1 (2.14) s f (ξ)dξ , â tø (H2), ta câ C1 |u|q − C0 ≤ F (u) ≤ C2 |u|q + C0 , Z q C1 ||u||Lq (Ω) − C0 |Ω| ≤ F (u) ≤ C2 ||u||qLq (Ω) + C0 |Ω| Ω So s¡nh vỵi (2.14) , ta câ Z t t+1 (||u||2D01 (Ω,ρ) + Z F (u) ≤ C5 Ω 34 vợi bĐt kẳ t T1 (2.15) ut , ta thu ÷đc Z d 1 2 ||u||L2 (Ω) + (||u||D01 (Ω,ρ) + F (u)) ≤ ||σ(t)||2L2 (Ω) + ||u(t)||2L2 (Ω) ), dt 2 Ω M°t khĂc, nhƠn (2.1) vợi (2.16) vẳ vêy d (||u||2D01 (,) + dt F (u)) ≤ ||σ(t)||2L2 (Ω) Ω Z (2.17) Tø (2.15) v (2.17) , ¡p döng b§t ¯ng thùc Gronwall ·u, ta câ ||u||2D01 (Ω,ρ) Z F (u) ≤ C6 + vỵi måi t ≥ T1 Ω Do â ||u(t)||2D01 (Ω,ρ) + ||u(t)||qDq (Ω) ≤ C L iÃu ny cõ nghắa l tỗn tÔi mởt têp thử b chn Ãu Têp B0 vợi mồi t ≥ T1 (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq ()) - hĐp B0 cụng l têp (L2 (), L2 ()) chn Ãu ối vợi hồ cĂc quĂ trẳnh v (L2 (Ω), Lq (Ω)) {Uσ (t, τ )}σ∈Σ - hĐp thử b Theo nh lẵ 1.4.5 , chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa mởt têp hút Ãu, ta ch cƯn chựng minh rơng {U (t, )} l compact ti»m cªn ·u 2.4.1 Tªp (L2(Ω), Lq (Ω)) - hút Ãu Ta giÊ sỷ ngoÔi lỹc g thọa m¢n i·u ki»n: (H31 )g ∈ L2n (R; L2 (Ω)), tc tành ti¸n Bê · 2.4.3 N¸u â l têp cĂc hm chuân L2loc (R; L2 ()) [10] g L2n (R; L2 ()), thẳ vợi bĐt kẳ Z lim sup γ→+∞ t≥τ vỵi måi L2n (R; L2 (Ω)) τ t τ ∈ R, e−γ(t−τ ) ||ϕ||2L2 (Ω) ds = 0, ϕ ∈ Σ 35 {Uσ (t, τ )}σ∈Σ º ch¿ hå c¡c qu¡ tr¼nh l (L2 (Ω), Lq (Ω)) - compact ti»m cªn ·u, ta sû dưng k¸t qu£ sau Bê · 2.4.4 [6] Gåi {Uσ (t, )} l hồ cĂc quĂ trẳnh trản L2 (Ω) v l (L2 (Ω), L2 (Ω)) - compact ti»m cên Ãu ( ối vợi ) Khi õ {U (t, τ )}σ∈Σ l (L2 (Ω), Lq (Ω)) - compact tiằm cên Ãu, {U (t, )} Vợi bĐt kẳ (L2 (), Lq ()) cõ mởt têp > 0, τ ∈ R Z - h§p thư ·u v T = T (, B, τ ), |Uσ (t, )u |q < vợi bĐt kẳ B0 ; B L2 (), v bĐt kẳ têp b chn M = M (, B) cĂc hơng số dữỡng q < ,náu tỗn tÔi cho u ∈ B, t ≥ T, σ ∈ Σ Ω(|Uσ (t,τ )ur |M ) BƠy giớ ta chựng minh nh lỵ 2.4.5 trẳnh [1] Vợi cĂc iÃu kiằn {U (t, )}σ∈Σ Lq (Ω) câ mët tªp (H1), (H21 ) v (H31 ), hå c¡c qu¡ (L2 (Ω), Lq (Ω)) - hót ·u Aq , compact v hót måi tªp cõa L2 (Ω) tỉpỉ cõa Lq (Ω) Hìn núa Aq = ωτ,Σ (B0 ), â B0 l têp (L2 (), Lq ()) - hĐp thử Ãu Chựng minh Theo Bê · 2.4.4 v ành l½ 3.9 [7], ta ch cƯn chựng minh: vợi mồi > 0, R hai hơng số dữỡng Z v bĐt kẳ têp b chn T = T (B, , τ ) v M = M (B, ), |Uσ (t, )u |q dx < vợi bĐt kẳ B L2 (), tỗn tÔi cho u B, t ≥ T, σ ∈ Σ Ω(|Uσ (t,τ )ur |M ) LĐy M ừ lợn cho C1 |u|q1 ≤ f (u) Ω1 = Ω(u(t) ≥ M ) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M } v k½ hi»u (u − M )+ = ( u−M 0, n¸u n¸u 36 u≥M u ≤ M Trong Ω1 ta câ C1 (u − M )2q−2 + |σ(t)|2 + 2C1 C1 q−1 ≤ (u − M )q−1 + |σ(t)|2 , + |u| 2C1 σ(t)(u − M )q−1 + ≤ v q−1 f (u)(u − M )q−1 (u − M )q−1 + ≥ C1 |u| + C1 C1 q−1 ≥ (u − M )q−1 + |u|q−2 (u − M )q+ + |u| 2 C1 C1 M q−2 q−1 q−1 ≥ (u − M )+ |u| + (u − M )q+ 2 Nh¥n phữỡng trẳnh (2.11) vợi |(u M )+ |q1 v sỷ dửng bĐt ng thực trản, ta thu ữủc 2d ||(u − M )+ ||qLq (Ω) + 2(q − 1) q dt Z ρ(x)|∇(u − M )+ |2 |(u − M )+ |q−2 Z Ω1 Z + C1 M q−2 |(u − M )+ |q ≤ |σ|2 Ω1 Ω1 C Do â d C1 M q−2 q ||(u − M )+ ||qLq (Ω) + ||(u − M )+ ||qLq (Ω) ≤ dt Theo M»nh · 2.4.2, tỗn tÔi ||U (t, )u ||qLq () q °t k = TB , ρq > vỵi måi v TB > τ Z Ω1 q |σ|2 2C1 cho ≥ TB , uτ ∈ B ta câ ||(u − M )+ (t)||qLq (Ω) ≤ ||(u − M )+ (k)||qLq (Ω) e−λ(t−k) Z + ≤ ||(u − M )+ (k)||qLq (Ω) e−λ(t−k) + 37 k t −λ(t−s) (e Z q 2C1 k t q 2C1 Z |σ|2 ) Ω1 e−λ(t−s) ||σ||2L2 (Ω) , (2.18) â q 2C1 t Z k C1 M q−2 q λ= Theo Bê · 2.4.3, ta câ e−λ(t−s) ||σ||2L2 (Ω) ≤ 2q+2 2q+3 ρq T! = ln( ) + k, λ °t , σ ∈ Σ, M ≥ M1 vỵi vỵi måiM1 (2.19) â ||(u − M )+ (k)||qLq (Ω) e−λ(t−k) ≤ 2q+2 , vỵi måi t > T1 (2.20) Tø (2.18) - (2.20) , ta thu ÷đc Z |(u − M )+ |q dx (u(t)M ) Lp lÔi cĂc bữợc trản, lĐy tỗn tÔi M2 v T2 Z 2q+1 , vợi t > T1 , σ ∈ Σ, M ≥ M1 |(u+M )− |q−2 (u+M )− thay cho |(u−M )+ |q−1 , cho |(u + M )− |q dx ≤ Ω(u(t)≤−M ) 2q+1 , vỵi t > T2 , σ ∈ Σ, M ≥ M2 , â (u + M )− = ( u+M n¸u 0, M3 = max(M1 , M2 ), ta câ Z |(|u(t)| − M3 )|q dx ≤ n¸u u ≤ −M, u ≥ M LĐy (|u(t)|M3 ) 2q+1 , vợi t > max(T1 , T2 ), σ ∈ Σ Do â Z Ω(|u(t)|≥2M3 ) q Z ((|u(t)| − M3 ) + M3 )q Ω(|u(t)|≥2M3 ) Z Z q q ≤2 ( (|u| − M3 ) + M3q ) ZΩ(|u(t)|≥2M3 ) ZΩ(|u(t)|≥2M3 ) ≤ 2q ( (|u| − M3 )q + (|u| − M3 )q ) |u(t)| = Ω(|u(t)|≥2M3 ) ≤ 2q+1 2q+1 = 38 Ω(|u(t)|≥2M3 ) 2.4.2 Tªp (L2(Ω), D01(Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hót ·u º chùng minh sỹ tỗn tÔi cừa têp giÊ sỷ ngoÔi lỹc g (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hót Ãu, ta thọa mÂn iÃu kiằn mÔnh hỡn sau: (H32 ) ||g(t)||L2 (Ω) ≤ K vỵi måi t ∈ R, v g L2b (R; L2 ()) Trữợc tiản, ta chựng minh bờ à sau Bờ à 2.4.6 Dữợi cĂc iÃu kiằn (H1), (H21) v (H32),vợi mồi têp B ⊂ L2 (Ω) bà ch°n τ ∈ R, v tỗn tÔi hơng số dữỡng T = T (B, ) ≥ τ cho || d (Uσ (t, τ )uτ )|t=s ||2L2 (Ω) ≤ C dt â C ởc lêp vợi (t) theo thới gian 1d ||v||2L2 () + dt Do â v t uτ ∈ B, s ≥ T, σ ∈ Σ, σ u(t) = Uσ (t, )u Chựng minh t lỹc B vợi bĐt kẳ v t sau õ lĐy Ôo hm (2.11) vợi ngoÔi v = ut , ta ữủc 1 (x)|v|2 ≤ l||v||2L2 (Ω) + ||σ (t)||2L2 (Ω) + ||v||2L2 (Ω) 2 Ω Z 1d 1 ||v||2L2 (Ω) ≤ (l + )||v||2L2 (Ω) + ||σ (t)||2L2 (Ω) dt 2 Tø (2.15) v (2.16) , ta câ Z t+1 ||ut ||2L2 (Ω) ≤ C, t vợi t ừ p dửng bĐt ng thực Gronwall ·u, ta ÷đc Z |ut |2 dx ≤ C, Ω t ừ lợn, õ C ởc lêp vợi B 39 v lợn nh lỵ 2.4.7 trẳnh [1] Vỵi c¡c i·u ki»n {Uσ (t, τ )}σ∈Σ Lq (Ω)) - hót ·u bà ch°n cõa v sinh bði b i to¡n (2.11) câ mët tªp A, L2 (Ω) (H1), (H21 ) compact theo tæpæ cõa D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) (H32 ), hå c¡c qu¡ (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ v hót måi tªp Hìn núa, A = ωτ,Σ (B0 ), â B0 l mët tªp Chùng minh Gåi B0 (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) l tªp ch cƯn ch rơng vợi bĐt kẳ l tiÃn compact chùng minh minh cho - h§p thư ·u uτn ∈ B0 , σn ∈ Σ, tn → ∞, {Uσn (tn , τn )Uτn } D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) {Uσn (tn , τn )uτn } - h§p thư ·u, ta Theo ành l½ (2.4.5) , ta ch¿ c¦n l ti·n compact D01 (Ω, ρ) Ta chùng {Uσn (tn , τn )uτn } l d¢y Cauchy D01 (Ω, ρ) Gi£ sû {Uσn (tn , τn )uτn } l dÂy Cauchy L2 () Kẵ hiằu un (tn ) = Uσn (tn , τn )uτn , ta câ ||un (tn ) − um (tm )||2D01 (Ω,ρ) = hAun (tn ) − Aum (tm ), un (tn ) − um (tm )i = −h∂t un (tn ) − ∂t um (tm ), un (tn ) − um (tm )i − hf (un (tn )) − f (um (tm )), un (tn ) − um (tm )i + hσn (tn ) − σm (tm ), un (tn ) − um (tm )i ≤ ||∂t un (tn ) − ∂t um (tm )||L2 (Ω) ||un (tn ) − um (tm )||L2 (Ω) + l||un (tn ) − um (tm )||2L2 (Ω) + ||σn (tn ) − σm (tm )||L2 (Ω) ||un (tn ) − um (tm )||L2 (Ω) Theo Bê · (2.4.6) , ta câ i·u ph£i chùng minh 40 Kát luên cừa luên vôn Trong luên vôn ny, chúng tổi  trẳnh by mởt số nởi dung chẵnh sau Ơy: Trẳnh by mởt số kián thực và khổng gian hm, têp hút ton cửc v sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc, số chiÃu fractal cừa têp hút ton cửc, têp hút Ãu quĂ trẳnh ỡn tr v têp hút Ãu nỷa quĂ trẳnh a tr Ch sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu, sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu v mởt số kát quÊ và têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm 41 Ti li»u tham kh£o [1] C.T.Anh, N.D.Binh and L.T.Thuy (2012), On uniform global attractors for a class of non-autonomous degenerate parabolic equations, Int.J.Dynamical Systems and Differential Equation, Vol 4, Nos 1/2, 35-55; invited paper on the special issue Degenerate anh Singular Parabolic and Elliptic Equations [2] C.T.Anh, N.M.Chuong and T.D.Ke (2010),Global attractors for the m-semiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equation, J Math Anal Appl 363, 444-453 [3] J.M Arrieta, A.N Carvalho and A Rodiriguez-Bernal (2000), Upper semicontinuity for attractors of parabolic problems with localized large diffusion and nonlinear boundary conditions, J Differential Equations 168, 533-559 [4] C T Anh and L T Thuy (2012), Global attractors for a class of semi-linear degenerate parabolic equations on RN , Bull Pol Acad Math Sci., accepted for publication [5] C.T Anh and N.V Quang (2011) , Uniform attractors for nonautonomous parabolic equation involving Grushin operator, Acta Math.Vietnm 36, no 1, 19-33 42 [6] V.L Carbone, A.N Carvalho and K Schiabel-Silva (2008), Continuity of attractors for parabolic problems with localized large diffusion, Nonlinear Anal.68, 515-535 [7] G.X Chen and C.K Zhong (2008), Uniform attractors for nonautonomous p-Laplacian equations, Nonlinear Anal 68, 3349-3363 [8] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (2002), Global Attractors for Equations of Mathematical Physics, Amer Math Soc Colloq Publ., Vol 49, Amer Math Soc., Providence, RI [9] T.D Ke and N.-C Wong (2011), Long-time behaviour for a model of porous-medium equations with variable coefficients, Optimization 60, No 4-6, 709-724 [10] J.-L Lions (1969), Quelques M²thodes de Resolution des Probl±mes aux Limites Non Lin²aires, Dunod, Paris [11] S.S Lu, H.Q Wu and C.K Zhong (2005), Attractors for nonautonomous 2D Navier-Stokes equations with normal external force, Dis-crete Contin Dyn Syst 23, 701-719 [12] L.A.F de Oliveria, A.L Pereia and M.C Pereia (2005), Continuity of attractors for a reaction-diffusion problem with respect to variations of the domain, Elec J Diff Equa 100, 1-18 [13] J.C Robinson (2011), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cam-brige University Press [14] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics,2nd edition, Springer-Verlag [15] C.K Zhong, M.H Yang and C Sun (2006), The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and appliction to the nonlinear reaction-difusion equations, J Differential Equa- tions 15, 367-399 43