Về phương trình hàm loại giá trị trung bình và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ DU VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM LOẠI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ DU VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM LOẠI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu Chương Về phương trình hàm loại giá trị trung bình 1.1 Mở đầu phương trình hàm 1.2 Tổng quan phương trình hàm loại giá trị trung bình 1.3 Phương trình hàm định lý giá trị trung bình Cauchy 12 Chương Về phương trình hàm nhiều biến loại giá trị trung bình 22 2.1 Định lý giá trị trung bình hàm hai biến 22 2.2 Phương trình hàm loại giá trị trung bình 23 2.3 Phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng 31 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Chúng ta biết mơn Tốn coi mơn "thể thao trí tuệ" giúp người học có nhiều hội rèn luyện, phát triển tư nghiên cứu cơng thức giải tốn độc đáo mẻ Trong nhiều năm qua, hầu hết kỳ thi quan trọng thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, toán liên quan đến phương trình, phương trình hàm chiếm vị trí đáng kể Phương trình hàm tốn sử dụng khai thác từ nhiều khía cạnh Tốn học Về bản, chương trình Tốn phổ thơng giải phương trình có nghiệm số cụ thể, cịn phương trình mà nghiệm hàm tốn học chưa trình bày, loại phương trình gọi phương trình hàm Tuy nhiên, khía cạnh Tốn ứng dụng, chẳng hạn phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng nghiệm chủ yếu hàm toán học Trong kỳ thi học sinh giỏi Tốn, tốn phương trình hàm ln khai thác, khơng dễ khai thác tính lạ dạng tốn, mà cịn có nhiều ý nghĩa ứng dụng Toán học đại Phương trình hàm loại giá trị trung bình thật đẹp từ nội dung đến ứng dụng nhiều góc độ giải tốn nên thu hút khơng quan tâm người học chuyên gia đầu ngành nghiên cứu Toán cách sâu sắc tồn diện Vì lí chúng tơi chọn đề tài luận văn "Về phương trình hàm loại giá trị trung bình áp dụng" Nội dung luận văn chia thành hai chương, tham khảo từ hai tài liệu [10] [12] Các nội dung tham khảo tác giả cố gắng trình bày chi tiết Cụ thể Chương luận văn, tác giả trình bày sơ lược phương trình hàm, tổng quan phương trình hàm loại giá trị trung bình, mối quan hệ phương trình hàm định lý giá trị trung bình Cauchy Trong Chương 2, tác giả trình bày phương trình hàm hai biến, nội dung xoay quanh phương trình hàm hai biến liên quan tới định lý giá trị trung bình số kết mở rộng Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Toán –Tin Với luận văn này, em mong muốn góp phần nhỏ cơng sức vào việc gìn giữ phát huy vẻ đẹp, hấp dẫn cho định lý toán học đẹp Đây hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể thầy cô giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên nói chung Khoa Tốn – Tin nói riêng, truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu thời gian em học viên trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT An Lão, An Lão, Hải Phịng tồn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học; cảm ơn anh chị em học viên lớp Cao học Toán K10B1 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo chủ nhiệm lớp Toán K10B1, TS Trần Xuân Quý quan tâm ân cần bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học viên lớp K10B1 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển nhiên thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương cha mẹ hai bên anh chị em cháu gia đình Xin chân thành cảm ơn tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2018 Học viên Bùi Thị Du Chương Về phương trình hàm loại giá trị trung bình 1.1 Mở đầu phương trình hàm Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ thời A.M Legendre người cố gắng tìm nghiệm phương trình hàm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R Việc nghiên cứu hệ thống phương trình hàm Cauchy cộng tính khởi xướng A.L Cauchy sách ông "Coursd d’Analyse" năm 1821 Các hàm cộng tính nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính Đầu tiên ta phải làm rõ hàm cộng tính gì? Sau ta bàn phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm cộng tính liên tục khả tích địa phương tuyến tính Ngồi ta nghiên cứu cách giải phương trình hàm khơng tuyến tính khơng liên tục chúng biểu diễn phương diện khác: Các đồ thị chúng trù mật mặt phẳng Các hàm cộng tính tìm thấy nhiều nơi sách Aczél (1966, 1987), Aczél Dhombres (1989) Smital (1988) Nghiệm tổng quát nhiều phương trình hàm với hai hay nhiều biến nhiều số hạng hàm cộng tính, nhân tính, hàm logarit hàm mũ Một vài phần quan trọng chương tìm Aczél (1965) Wilansky (1967) Cho hàm f : R → R thỏa mãn phương trình f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) với x, y ∈ R Phương trình hàm biết phương trình hàm Cauchy Phương trình hàm (1.1) nghiên cứu A.M Legendre (1791) C.F Gauss (1809) A.L Cauchy (1821) người tìm nghiệm liên tục tổng qt Phương trình (1.1) có vị trí quan trọng tốn học Hàm f gọi cộng tính thỏa mãn phương trình (1.1) Định lý 1.1.1 Cho f : R → R liên tục thỏa mãn phương trình (1.1) Khi f tuyến tính, nghĩa f (x) = cx c số tùy ý Tiếp theo, hàm cộng tính nhận giá trị thực Rn biểu diễn tổng n hàm cộng tính biến Phương trình (1.1) tổng qt sau: Xét hàm số f : Rn → R thỏa mãn f (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) = f (x1 , x2 , , xn ) + f (y1 , y2 , , yn ) với (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Xét trường hợp phương trình hàm cộng tính hai biến ta có khẳng định định lý sau Định lý 1.1.2 Nếu f : R2 → R cộng tính R2 tồn hàm cộng tính A1 , A2 : R → R cho f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ) (1.2) với x1 , x2 ∈ R Phương trình hàm có dạng f (x) + f (y) x+y = f 2 ! (1.3) với x, y ∈ R gọi phương trình hàm Jensen Hàm f thỏa mãn phương trình (1.3) gọi hàm Jensen Định lý 1.1.3 Hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện phương trình hàm Jensen f (x) + f (y) x+y = f 2 ! (JE) với x, y ∈ R f (x) = A(x) + a (1.4) với A : R → R hàm cộng tính a số 1.2 Tổng quan phương trình hàm loại giá trị trung bình Trong mục chúng tơi trình bày phương trình hàm loại giá trị trung bình, tức vấn đề phương trình hàm liên quan tới định lý giá trị trung bình Các kết trình bày mục lấy từ tài liệu [8, 10] P Kannappan cộng Định lý 1.2.1 Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục [a, b] khả vi (a, b) Khi tồn ξ ∈ (a, b) cho f (ξ) = f (b) − f (a) b−a Phương trình tiếp tuyến điểm (ξ, f (ξ)) y = (x − ξ)f (ξ) + f (ξ) Phương trình đường thẳng qua hai điểm (a, f (a)) (b, f (b)) f (b) − f (a)  y = (x − a) + f (a) b−a  Nếu đường thẳng song song với tiếp tuyến ξ f (ξ) = f (b) − f (a) b−a Đây định lý giá trị trung bình Lagrange, định lý có vai trị quan trọng phép tính vi phân Định lý đưa J L Lagrange (1736–1813) Nếu hàm f : R → R khả vi [a, b] đoạn bất kỳ, theo định lý giá trị trung bình tồn ξ ∈ (a, b) thỏa mãn f (b) − f (a) = f (ξ(x, y)), b−a (1.5) với ξ(x, y hàm phụ thuộc x, y Câu hỏi đặt ra, với hàm f để giá trị trung bình ξ(x, y) phụ thuộc vào x, y thỏa mãn phương trình cho Từ đẳng thức (1.5) xem phương trình hàm với f hàm chưa biết cho trước ξ(x, y) Hàm ξ(x, y) hàm tổng quát, tổ hợp tuyến tính phi tuyến x y, chẳng hạn x+y , √ ξ(x, y) = xy, ξ(x, y) = ξ(x, y) = v u p u p x t + yp (1.6) (1.7) (1.8) Trong phương trình (1.5) vế phải thay hàm chưa biết, chẳng hạn hàm h, phương trình (1.5) trở thành f (x) − f (y) = h(ξ(x, y)) x−y (1.9) Nếu chọn ξ(x, y) = (x + y)/2, ta thu phương trình hàm sau x + y f (x) − f (y) = (x − y)h với x, y ∈ R  (1.10) Huruki (1979) Aczél (1985) độc lập với tìm nghiệm phương trình hàm (1.10) Định lý 1.2.2 Cho f : R → R hàm thỏa mãn x + y f (x) − f (y) = (x − y)h với x, y ∈ R  (1.11) Khi tồn a, b, c ∈ R cho f (x) = ax2 + bx + c h(x) = 2ax + b 29 Cộng (2.33) vào (2.34) trừ phương trình (2.32), ta f (u + x, v + y) + f (u − x, v) + f (u, v − y) = f (u − x, v − y) + f (u + x, v) + f (u, v + y) (2.35) Nghiệm tổng quát phương trình (2.35) thu từ Bổ đề (2.2.3) f (x, y) = B(x, y) + φ(x) + ψ(y), (2.36) với B : R2 → R hàm song cộng tính, Φ, Ψ : R → R hàm tùy ý Tiếp theo, thay v = y = vào phương trình (2.24) ta f (u, 0) − f (x, 0) = (u − x)g1 (u + x, 0), u 6= x (2.37) Sử dụng Bổ đề (2.2.1) ta f (x, 0) = ax2 + bx + α1 , (2.38) với a, b, α1 số tùy ý Thay y = vào phương trình (2.36) so sánh với (2.38), nhận φ(x) = ax2 + bx + α2 , (2.39) với α2 số Tiếp theo, thay u = x = vào phương trình (2.24), ta nhận f (0, v) − f (0, y) = (v − y)g2 (0, v + y), v 6= y (2.40) Tiếp tục sử dụng Bổ đề (2.2.1) ta f (0, y) = cy + dy + α3 , (2.41) c, d, a3 số tùy ý Như trên, chọn x = phương trình (2.36) so sánh với (2.41), nhận ψ(y) = cy + dy + α4 , (2.42) 30 α4 số Từ (2.39), (2.42) (2.36) nghiệm phương trình (2.25), tức f (x, y) = B(x, y) + ax2 + bx + cy + dy + α với α = α2 + α4 Sử dụng định lý Kannappan Sahoo (1998) thiết lập thuộc tính sau hàm bậc hai với hai biến tương tự với Định lý 2.5 Chương Định lý 2.2.5 Nếu đa thức bậc hai f (x, y) = ax2 + bx + cy + dy + exy + α với 4ac − e2 6= nghiệm phương trình vi phân f (x + h, y + k) − f (x, y) = hfx (x + θh, y + θk) + kfy (x + θh, y + θk), (2.43) giả sử với x, y, h, k ∈ R với h2 + k 6= 0, θ = Ngược lại, hàm f thỏa mãn (2.43) với θ = , nghiệm (2.43) đa thức bậc hai Chứng minh Giả sử đa thức f (x, y) = ax2 + bx + cy + dy + exy + α nghiệm (2.43) Thay vào phương trình (2.43) ta 2ah2 θ + 2ck θ + 2ehkθ = ah2 + ck + ehk Vì 4ac2 − e 6= nên ta θ= Tiếp theo, chứng minh điều ngược lại Theo Định lý (2.2.4), nhận f (x, y) = B(x, y) + ax2 + bx + cy + dy + α (2.44) Vì f có đạo hàm riêng theo biến x y, B(x, y) có đạo hàm riêng theo biến x y Vì B(x, y) = exy, (2.45) 31 B(x, y) hàm song cộng tính Ở e số tùy ý Thay (2.45) vào (2.44), ta f đa thức bậc hai 2.3 Phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng Riedel Sahoo (1997) tìm nghiệm tổng quát phương trình hàm (2.4) η = sx + tu ξ = sy + tv với s t tham số thực cho trước Kết trình bày định lý sau Định lý 2.3.1 Các hàm f, g, h : R2 → R nghiệm phương trình f (u, v) − f (x, y) = (u − x)g(sx + tu, sy + tv) + (v − y)h(sx + tu, sy + tv), (2.46) với x, y, u, v ∈ R với (u − x)2 + (v − y)2 6= 0, f (x, y) = ax + by + c        g(x, y) = tùy ý với g(0, 0) = a s = t = 0, h(x, y) = tùy ý với h(0, 0) = (2.47)     b   f (x, y) = ax + by + c    g(x, y) = h(x, y) = a b  s = t = (t2 + s2 > 0), s2 6= t2 ,       (2.48) f (x, y) = (α − γ)x2 t + 2γxyt + δy t + ax + by + g(x, y) = h(x, y) = (α − γ)x + γy + a γx + δy + b   c     s = t 6= 0,       (2.49) 32   A(tx) B(ty)   + +c     t t     A(x) B(y) y   + − h(x, y)     x x x      tùy ý   f (x, y) = g(x, y) = h(x, y) =   cho x 6= 0; cho y 6= s = −t 6= 0,     A(tx) B(ty)    + +c     t t      tùy ý       A(y) B(x) x   + − g(x, y)   f (x, y) = g(x, y) = h(x, y) = y y y (2.50) A : R → R B : R → R hàm cộng tính, a, b, c, α, δ, γ số thực tùy ý Chứng minh Chúng ta chứng minh định lý cách xét trường hợp khác tham số s t Trường hợp Giả sử s = t = Khi (2.46) trở thành f (u, v) − f (x, y) = (u − x)a + (v − y)b, (2.51) với a = g(0, 0) b = h(0, 0) Từ (2.51) ta f (u, v) − au − bv = f (x, y) − ax − by, (2.52) với x, y, u, v ∈ R thỏa mãn (u − x)2 + (v − y)2 6= Do f (x, y) = ax + by + c, (2.53) c số Vì nghiệm (2.46) trở thành f (x, y) = g(x, y) = h(x, y) = ax + by + c        tùy ý với g(0, 0) = a  tùy ý với h(0, 0) = (2.54)     b. Trường hợp Giả sử t = s = (s2 + t2 > 0) Khơng tính tổng qt ta giả sử t = Khi đó, từ phương trình (2.46) ta có f (u, v) − f (x, y) = (u − x)g(sx, sy) + (v − y)h(sx, sy) (2.55) 33 Cho x = = y thay vào (2.55), ta nhận f (u, v) = au + bv + c, (2.56) a = g(0, 0), b = h(0, 0) c = f (0, 0) Thay vào (2.46), ta a(u − x) + b(v − y) = (u − x)g(sx, sy) + (v − y)h(sx, sy), (2.57) với x, y, u, v ∈ R với (u − x)2 + (v − y)2 6= Phương trình (2.57) tương đương với u [a − g(sx, sy)] + v [b − h(sx, sy)] − {x [a − g(sx, sy)] + y [b − h(sx, sy)]} = Sử dụng tính độc lập tuyến tính u, v, 1, có g(sx, sy) = a (2.58) h(sx, sy) = b, (2.59) với x, y ∈ R Do   g(x, y) = a, (2.60)  h(x, y) = b  Do nghiệm (2.46) f (x, y) = ax + by + g(x, y) = h(x, y) = a, b   c,     (2.61)       Trường hợp Giả sử s 6= 6= t Thay x = = y vào (2.46), ta f (u, v) = ug(tu, tv) + vh(tu, tv) + c, (2.62) c = f (0, 0) Thay (2.62) vào (2.46), ta ug(tu, tv) + vh(tu, tv) − xg(tx, ty) − yh(tx, ty) = (u − x)g(sx + tu, sy + tv) + (v − y)h(sx + tu, sy + tv) (2.63) 34 u v x , v , x , y t t s ! u v x tx ty y g(u, v) + h(u, v) − g , − h t t s s s s ! u x − g (x + u, y + v) + = t s Thay u y vào (2.63) ta s ! xt ty , s s! v y − h (x + u, y + v) , (2.64) t s với x, y, u, v ∈ R với (us − xt)2 + (vs − yt)2 6= Bây xét số trường hợp con: Trường hợp 3.1: Giả sử s = t 6= Thì từ phương trình (2.64) ta có ug(u, v) + vh(u, v) − xg (x, y) − yh (x, y) = (u − x) g (u + x, v + y) + (v − y) h (u + x, v + y) (2.65) Thay x −x, y −y vào (2.65), ta ug(u, v) + vh(u, v) + xg (−x, −y) + yh (−x, −y) = (u + x) g (u − x, v − y) + (v + y) h (u − x, v − y) (2.66) Từ phương trình (2.65) (2.66), ta có xg (−x, −y) + yh (−x, −y) + xg(x, y) + yh(x, y) = (u + x) g (u − x, v − y) + (v + y) h (u − x, v − y) − (u − x) g (u + x, v + y) − (v − y) h (u + x, v + y) (2.67) Cho u = −x, v = −y vào phương trình (2.65) ta xg (−x, −y) + yh (−x, −y) + xg(x, y) + yh(x, y) = 2ax + 2by, (2.68) a = g(0, 0), b = h(0, 0) Bây sử dụng (2.68) vào (2.67) ta 2ax + 2by = (u + x) g (u − x, v − y) + (v + y) h (u − x, v − y) − (u − x) g (u + x, v + y) − (v − y) h (u + x, v + y) (2.69) tương đương với a(x + u) − a(u − x) + b(v + y) − b(v − y) = (u + x)g(u − x, v − y) + (v + y)h(u − x, v − y) − (u − x)g(u + x, v + y) − (v − y)h(u + x, v + y) (2.70) 35 Vì vậy, ta có (u + x) [g(u − x, v − y) − a] + (v + y) [h(u − x, v − y) − b] = (u − x) [g(u + x, v + y) − a] + (v − y) [h(u + x, v + y) − b] (2.71) Thay u + x = l = v + y vào phương trình (2.71), ta g0 (u − x, v − y) + h0 (u − x, v − y) = α(u − x) + β(v − y), (2.72) g0 = g − a h0 = h − b Thay (2.72) vào (2.71), ta thấy [(v + y) − (u + x)] h0 (u − x, v − y) + β(u + x)(v − y) = [(v − y) − (u − x)] h0 (u + x, v + y) + β(u − x)(v + y), hay [(v + y) − (u + x)][h0 (u − x, v − y) − β(v − y)] = [(v − y) − (u − x)][h0 (u + x, v + y) − β(v + y)] (2.73) Cố định v + y u + x cho v + y 6= u + x tách biến ta h0 (u − x, v − y) − β(v − y) = α0 [(v − y) − (u − x)], (2.74) với α0 số Vì ta có h(u − x, v − y) = (α0 + β)(v − y) − α0 (u − x) + b, hay h(x, y) = δy + γx + b, (2.75) với γ, δ số Cho (2.75) vào (2.72) ta g(x, y) = (α − γ)x + (β − δ)y + a Sử dụng (2.75) (2.76) vào (2.62) ta f (x, y) = (α − γ)x2 t + (β − δ + γ)xyt + δy t + ax + by + c (2.76) 36 Vì ta có nghiệm 2 f (x, y) = (α − γ)x t + (β − δ + γ)xyt + δy t + ax + by + (α − γ)x + (β − δ)y + a g(x, y) = h(x, y) =   c     (2.77)       δy + γx + b Thay phần vào (2.46) với s = t 6= ta β − δ = γ (2.78) Khi (2.77) trở thành 2 f (x, y) = (α − γ)x t + 2γxyt + δy t + ax + by + g(x, y) = h(x, y) = (α − γ)x + γy + a γx + δy + b   c     (2.79)       Trường hợp 3.2: Giả sử s = −t 6= Khi phương trình (2.64) trở thành ug(u, v) + vh(u, v) + xg(−x, −y) + yh(−x, −y) = (u + x)g(u + x, v + y) + (v + y)h(u + x, v + y) (2.80) Thay u = = v vào phương trình (2.80) ta xg(−x, −y) + yh(−x, −y) = xg(x, y) + yh(x, y) (2.81) Sau đó, sử dụng (2.80) vào (2.81) ta ug(u, v) + vh(u, v) + xg(x, y) + yh(x, y) = (u + x)g(u + x, v + y) + (v + y)h(u + x, v + y) Cho y = v = vào (2.3), ta thấy ug(u, 0)+xg(x, 0) = (u+x)g(u+x, 0) Do ug(u, 0) = A(u), (2.82) với A hàm cộng tính tùy ý Tương tự, thay x = u = vào (2.3), ta vh(0, v) + yh(0, y) = (v + y)h(0, v + y) 37 Vì vh(0, v) = B(v), (2.83) B hàm cộng tính tùy ý Tiếp theo, thay x = = v vào (2.3) ta ug(u, 0) + yh(0, y) = ug(u, y) + yh(u, y) (2.84) Sử dụng (2.82) (2.83) vào (2.84), ta ug(u, y) + yh(u, y) = A(u) + B(y) (2.85) Sử dụng (2.85) vào (2.62), ta cho x 6=   A(tx) B(ty)   + +c  f (x, y) =     t t  A(x) B(y) y g(x, y) = + − h(x, y)    x x x      h(x, y) = tùy ý (2.86) Trường hợp 3.3: Giả sử 6= s2 6= t2 6= Đổi biến x với u y với v phương trình (2.63) ta có xg(tx, ty) + yh(tx, ty) − ug(tu, tv) − vh(tu, tv) = (x − u)g(tx + su, ty + sv) + (y − v)h(tx + su, ty + sv) Cộng phương trình (2.63) với (2.3) ta (x − u)g(sx + tu, sy + tv) + (y − v)h(sx + tu, sy + tv) = (x − u)g(tx + su, ty + sv) + (y − v)h(tx + su, ty + sv) (2.87) Thay tu + sx = = sy + tv vào (2.87) ta t2 − s t2 − s  t2 − s t2 − s    xg x, y + yh x, y = ax + by, t t t t    a = g(0, 0) b = h(0, 0) Thay x =  (2.88) tx ty y = vào t2 − s2 t2 − s2 (2.88), ta xg(x, y) + yh(x, y) = ax + by (2.89) 38 Sử dụng phương trình (2.89) vào (2.62), ta f (x, y) = ax + by + c (2.90) Thế (2.90) vào (2.46) au + bv − ax − by = (u − x)g(sx + tu, sy + tv) + (v − y)h(sx + tu, sy + tv) Xét v = x = 0, ta au − by = ug(tu, sy) − yh(tu, sy), cuối u (2.91) y u y nhân với ts, ta t s asu − bty = sug(u, y) − tyh(u, y) (2.92) Thay u x vào (2.92) kết hợp với (2.89) ta a(s + t)x = (s + t)xg(x, y), (2.93) g(x, y) = a, (2.94) s2 6= t2 nên ta có với x ∈ R\{0} y ∈ R Tương tự, ta có h(x, y) = b với x ∈ R y ∈ R\{0} Thay u = + x v = + y vào phương trình (2.46) từ phương trình (2.90), ta có a + b = g(t + x(s + t), t + y(s + t)) + h(t + x(s + t), t + y(s + t)) suy a + b = g(x, y) + h(x, y) với x, y ∈ R Tiếp theo, x = 0, ta a + b = g(0, y) + h(0, y) Vì h(x, y) = b với x ∈ R y ∈ R\{0}, nên ta g(0, y) = a với y ∈ R\{0} Hơn nữa, g(0, 0) = a, ta thấy (2.94) thỏa mãn với x, y ∈ R 39 Thế (2.94) (2.90) vào (2.46), ta h(x, y) = b, (2.95) với x, y ∈ R Vậy f (x, y) = ax + by + g(x, y) = h(x, y) = a b,   c     (2.96)       với x, y ∈ R, a, b, c số Từ Định lý 2.3.1 ta có hệ sau Hệ 2.3.2 Cho fx fy đạo hàm riêng f : R2 → R, cho trước s t, tham số thực Hàm f thỏa mãn phương trình hàm vi phân f (u, v) − f (x, y) = (u − x)fx (su + tx, sv + ty) + (v − y)fy (su + tx, sv + ty), với x, y, u, v ∈ R thỏa mãn (u − x)2 + (v − y)2 6= 0, hàm f có dạng    ax2 f (x, y) =    + by + cy + dy + exy + α s = =t ax + by + c ngược lại, a, b, c, d, e, α số tùy ý Khẳng định trường hợp mở rộng Định lý giá trị trung bình Cauchy Định lý 2.3.3 Với hàm f, g : R2 → R với đạo hàm riêng liên tục fx , fy , gx gy cho tất cặp riêng biệt (x, y) (u, v) ∈ R2 , tồn điểm trung gian (η, ξ) đoạn nối điểm (x, y) (u, v) cho [f (u, v) − f (x, y)][(u − x)gx (η, ξ) + (v − y)gy (η, ξ)] = [g(u, v) − g(x, y)][(u − x)fx (η, ξ) + (v − y)fy (η, ξ)] (2.97) 40 Chứng minh Chứng minh tương tự chứng minh cho trường hợp biến Ta xác định hàm bổ trợ Ψ(s, t) = [f (u, v) − f (s, t)][g(u, v) − g(x, y)] − [f (u, v) − f (x, y)][g(u, v) − g(s, t)], (2.98) Ψ(u, v) = Ψ(x, y) = 0, Ψ hàm khả vi với hàm f g, theo định lý giá trị trung bình cho hàm hai biến tồn (η, ξ) đoạn nối (x, y) (u, v), cho (u − x)Ψs − (η, ξ) + (v − y)Ψt (η, ξ) = (2.99) Từ phương trình (2.98) (2.99) ta có (u − x)gx (η, ξ)[f (u, v) − f (x, y)] − fx (η, ξ)[g(u, v) − g(x, y)] + (v − y){fy (η, ξ)[g(u, v) − g(x, y)] − gy (η, ξ)[f (u, v) − f (x, y)]} = (2.100) Ta có điều phải chứng minh 41 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: • Sơ lược phương trình hàm, định lý giá tri trung bình Lagrange mối quan hệ với phương trình hàm Phương trình hàm định lý giá trị trung bình Cauchy Một số toán áp dụng Nội dung lấy từ tài liệu [10] (chương 2) P K Sahoo, T Reidel báo [12] xuất năm 2016 Z M Balogh cộng • Về phương trình hàm định lý giá trị trung bình hai chiều: định lý giá trị trung bình hàm hai biến, phương trình hàm loại giá trị trung bình, phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng định lý giá trị trung bình hàm hai biến Nội dung lấy chủ yếu từ tài liệu [10] (chương 4) P K Sahoo, T Reidel số tài liệu liên quan 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Nho, Lê Hồnh Phị (2013), Tuyển tập Olympic tốn học nước Châu Á- Thái Bình Dương, NXB ĐH Quốc gia HN [3] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2001), Tuyển tập 40 năm Olympic Toán học quốc tế, NXB Giáo dục [4] Lục Trường Giang (2015), Một số dạng phương trình hàm xây dựng từ định lý giá trị trung bình, Luận văn Thạc sĩ Tốn học - Trường ĐH Khoa học - ĐHTN Tiếng Anh [5] J Aczél (1985), "A Mean Value Property of the Derivative of Quadratic Polynomials-without Mean Values and Derivatives", Mathematics Magazine, 58(1), pp 42-45 [6] J Aczél (2006), Lectures on Functional Equations and their applications, University of Waterloo, Canada [7] Christopher G Small (2007), Functional Equations and How to solve them, Springer 43 [8] P K Sahoo, P Kannappan (2011), Introduction to Functional Equations, Chapman & Hall/CRC [9] P Kannappan, T Riedel, P K Sahoo (1997), ”On a functional equation associated with Simpson’s rule”, Result Math, 31, pp 115-126 [10] P K Sahoo, T Reidel (1998), Mean Value Theorem and Functional Equations, World Scientific [11] Titu Andreescu, Iurie Boreico (2007), Functional Equations, Electronic Edition [12] Z M Balogh, O O Ibrogimov, B S Mityagin (2016), "Functional equations and the Cauchy mean value theorem", Aequationes mathematicae, 90(4), pp 683–697