SO GIAO DUC VA DAO TAO THANH HOA TRUONG THPT TRIEU SON 4
SANG KIEN KINH NGHIEM
REN LUYEN KĨ NĂNG CƠ BẢN VẺ PHƯƠNG TRÌNH
DUONG THANG TRONG KHONG GIAN CHO HOC SINH TRUNG BINH, YEU
Người thực hiện: Nguyễn Thị Huê
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn):: Tốn
THANH HĨA NĂM 2019
Trang 2MUC LUC Noi dung 1 Mở đầu 1.1 Lido chon đê tài L2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dung sang kién kinh nghiém 2.3 Các giải ' pháp đã sử dụng để giải quyết vấn để
2.3.1 Nhắc lại các kiến thức liên quan
2.3.2 Mơ tả các giải pháp sau khi cĩ sáng kiến kinh nghiệm 2.4 Hiệu quả của sáng kiến
3 Kết luận, kiến nghị
Trang
CO
Trang 31.MO DAU
1.1 Lí do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết hiện nay cơng nghệ thơng tin đang phát triển mạnh mẽ và cĩ những bước tiên nhảy vọt Khoảng cách giữa các phát minh khoa học - cơng nghệ và áp dụng vào thực tiễn ngày càng thu hẹp lại Kho tang tri thức nhân loại ngày càng phong phú, đa dạng và tăng nhanh Xu thế tồn cầu hĩa và hội nhập kinh tẾ ngày càng mở rộng Đề đáp ứng được những xu thế trên địi hỏi ngành Giáo dục cần đổi mới phương pháp dạy học nhằm đào tạo nên những con người khơng những giỏi về tri thức mà cịn cần cĩ kĩ năng sống tốt, kĩ năng giải quyết
cơng việc nhanh nhẹn và hiệu quả
Do vậy mơn Tốn nĩi chung và mơn tốn THPT nĩi riêng đứng trước một yêu cầu cấp bách là đổi mới về nội dung, mục tiêu và phương pháp dạy học
Trong Tốn học thì bài tập đĩng vai trị quan trọng Thơng qua việc giải các
bài tốn cụ thể, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp, những hoạt động
tốn học phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngơn ngữ Vì vậy trong dạy học Tốn, việc rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh là một vẫn đề quan trọng, là một trong những mục tiêu dạy học Tốn cần phải được tiến
hành cĩ kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bên bỉ và liên tục Thơng qua việc rèn
luyện kĩ năng, học sinh biết vận dung những kiến thức được học vào luyện tập, qua đĩ giúp học sinh hiểu sâu, năm vững kiến thức, đồng thời gĩp phân phát triển năng lực trí tuệ, những kĩ năng cần thiết cho cuộc sống
Trong chương trình tốn THPT, phương pháp tọa độ trong khơng gian nĩi chung, phương trình đường thăng nĩi riêng là một trong những nội dung quan
trọng Để làm tốt được nội dung này địi hỏi học sinh phải năm vững các kiến
thức về hình học khơng gian, quan hệ giữa điểm, đường thăng, mặt phăng va mat cau Đây là dạng tốn thường xuyên xuất hiện trong kì thi THPT quơc gia, do đĩ yêu cầu học sinh làm tốt các bài tốn liên quan là hết sức cần thiết
Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 qua các năm học, tơi thấy kĩ năng giải tốn vê phương trình đường thắng trong khơng gian của học sinh cịn yêu Học sinh cịn gặp khĩ khăn và dễ mắc sai lầm khi giải tốn Đa số học sinh đều cho rằng hình học là một mơn khĩ, chiếm tỉ lệ điểm thấp trong mơn Tốn nên một số em khơng chú ý học dẫn đến các kiến thức cơ bản liên quan đều khơng năm vững Hơn thế nữa từ năm 2017 trở lại đây, mơn Tốn lại thi theo hình thức trắc nghiệm nên một số bộ phận học sinh khơng chú ý học phần này mà các em cĩ tư tưởng khoan bừa hoặc dùng máy tính để bắm xác suất chọn phương án trả lời cho câu hỏi liên quan.Vì vậy việc hệ thống hĩa và phân dạng bài tập cơ bản cho số đơng học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình, yêu cĩ thé tiếp thu tốt và viết được phương trình đường thắng trong khơng gian là việc làm cần thiết
Xuất phát từ những lí do trên, tơi xin mạnh dạn đưa ra một kinh nghiệm nhỏ “ Rèn luyện kĩ năng cơ bản về ệ phương trình đường thắng trong khơng gian cho học sinh trung bình, yéu” nhăm rèn luyện cho các học sinh cĩ kĩ năng xác
Trang 4định được phương trình đường thắng và các bài tốn liên quan một cách nhanh
nhất
1.2 Mục đích nghiên cứu
Thơng qua đề tài này để xây dựng hệ thống bài tốn và đưa ra một số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng, giúp học sinh phát huy được khả năng tìm lời giải nhanh gọn nhất của những bài tốn liên quan đến phương trình đường thắng trong khơng gian, từ đĩ hình thành hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và linh hoạt khi giải quyết cơng việc
Giúp học sinh thấy được tốn học cĩ nhiều ứng dụng trong thực tế, qua đĩ kích thích đam mê, hứng thú học tập mơn tốn nĩi chung và phân mơn hình học, nhất là hình học khơng gian nĩi riêng ở học sinh
1.3 Đối tượng nghiên cứu
+) Cách viết phương trình đường thắng trong khơng gian
+) Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài
1.4 Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
+ Phương pháp nghiên cứu điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin + Phương pháp thống kê, xử lí số liệu
2 NOI DUNG SANG KIEN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khĩa XI về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo cũng đã khăng định: “Tiếp tục đối mới mạnh mẽ phương pháp dạy
và học theo hướng hiện đại, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tao va van
dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lỗi truyén thu ap dat mét chiéu, ghỉ nhớ máy mĩc Tap rung day cach hoc, cach nghi, khuyén khich tu hoc, tao cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực ” Trong học tập mơn Tốn, tư duy giải bài tập là hoạt động chủ đạo và thường xuyên, thơng qua đĩ rèn luyện kĩ năng, phát triển trí tuệ và nâng cao tính tích cực,
chủ động của học sinh
Thực tế giảng dạy các tiết tại Trường THPT Triệu Sơn 4 qua những năm đảm nhiệm dạy lớp 12 tơi thấy kĩ năng việt phương trình đường thăng trong khơng gian của học sinh cịn yêu Các em gặp khĩ khăn và dễ nhằm lẫn khi giải bài tốn dạng này với bài tốn viết phương trình mặt phẳng, nhằm lẫn với phương trình đường thăng trong mặt phẳng Hơn nữa trong sách giáo khoa Hình học lớp 12 chỉ đưa ra cách viết phương trình đường thăng trong khơng gian một cách chung chung chưa phân dạng cụ thể, khi gặp một bài tốn liên quan học sinh chưa định hướng được nên thực hiện như thế nào Vì vậy việc hệ thong hoa va phan cac dang bai tap co ban dé cho học sinh cĩ học lực trung bình, yêu cĩ thể tiếp thu và vận
dụng được là việc làm cần thiết
Các dạng viết phương trình đường thắng trong khơng gian ở các tài liệu tham
khảo thì cĩ rất nhiều Tuy nhiên đối với đa số học sinh, khi kiến thức cơ bản cịn
Trang 5em khơng thích mơn hình học, dẫn đến việc chọn bừa một đáp án theo suy đốn
của các em là “Số đẹp”
2.2 Thực trạng của vẫn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương III hình học 12 nội dung sách giáo khoa cĩ đề cập đến hai dạng phương trình của đường thăng: Phương trình tham số và phương trình chính tắc
Đề viết được một trong hai dạng phương trình nĩi trên hoặc cần xác định một
vài yếu tơ theo yêu cầu bài tốn thì học sinh cần phải xác định được: +) Một điểm mà đường thắng đi qua
+) Một véc tơ chỉ phương của đường thắng
Nam hoc 2018 - 2019 tơi được phân cơng giảng dạy lớp 12B3 và 12B8 là hai lớp cĩ chất lượng tương đương nhau Khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tơi da tiễn hành cho các em làm bài kiểm tra với nội dung kiến thức và kĩ năng cơ bản cần
phải nắm được sau khi học xong bài “Phương trình đường thắng trong khơng gian”.Kết quả đạt được như sau: Lớp | Số Giỏi Khá TB Yếu, kém HS | SL | Tilệ| SL | Tilệ | SL | Tilệ SL Tỉ lệ % % % % 12B3 | 37 | 0 0 7 |1892| 13 |35,14 17 45,94 12B8 | 41 | 0 0 6 |1463| 12 | 29,27 23 56,1
Két qua dat được qua thap, tơi đã tiên hành kiểm tra nhanh kiến thức của học sinh bằng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm dạng nhận biết và thơng hiểu và thấy đa số học sinh ngộ nhận và mắc phải những sai lầm như:
+ Hai đường thắng vuơng gĩc trong khơng gian thì học sinh cũng thừa nhận luơn vuơng gĩc tức là cắt nhau
+ Trong khơng gian, hai đường thắng cùng vuơng gĩc với một đường thăng thì song song với nhau
+ Hai đường thắng thuộc hai mặt phăng vuơng gĩc thì vuơng gĩc với nhau + Goc giữa hai đường thắng bằng gĩc giữa hai véc tơ chỉ phương tương ứng của hai đường thăng đĩ
Về phía bản thân khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, mặc dù tơi đã cố găng tìm hiểu năm vững chuẩn kiến thức, kĩ năng về phương trình đường thang trong khơng gian và truyền đạt cho học sinh theo đúng chuẩn kiến thức, kĩ năng nhưng:
+ Dé dam bảo về thời gian theo phân phối chương trình(3 tiết) thì cĩ nhiều kĩ năng giáo viên chưa thể rèn luyện và khắc sâu được cho học sinh, đặc biệt là đối với các kĩ năng cĩ liên quan đến kiến thức đã học từ trước
+ Sau khi dạy xong lí thuyết giáo viên hướng dẫn và giao bài tập cho học sinh
trong sách giáo khoa( các bài l(a, c, d);3a, 4, 6,9) nhưng chưa tơng quát thành
các dạng tốn liên quan một cách hệ thống, bài tập chưa sắp xếp khoa học từ dễ đến khĩ cũng như chưa cĩ điểm nhẫn về kiến thức và phương pháp cần chú ý
Trang 6+ Một số dạng tốn khơng được đề cập cụ thể trong sách giáo khoa nên chỉ được giáo viên hướng dẫn sơ sơ, chưa đưa ra được phương pháp cụ thể cũng như chưa đưa ra được hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng giải các phương trình dạng này
Hạn chế: Học sinh tiếp thu kiến thức thụ động, chưa cĩ phương pháp học tập tích cực, hạn chế phương pháp tự học, kĩ năng giải bài tập cịn yêu, thường chỉ làm được một số dạng bài tập ngay sau khi cĩ sự hướng dẫn của giáo viên mà chưa cĩ cái nhìn tổng quan về một số dạng tốn viết phương trình đường thắng trong khơng gian Khi gặp một dạng tốn mới thường hay lúng túng, chưa định hướng được cách giải Một số học sinh đề cao tầm quan trọng của máy tính cầm tay và cho răng chỉ cân cĩ máy tính là làm hết được các câu trắc nghiệm đề ra dẫn đên kêt quả các bài kiêm tra cị thâp
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản
2.3.1.1 Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thắng:
* + #0 va cé giá song song hoặc trùng với đường thăng d thi u la vectơ chỉ phương của đường thắng d
* + là chỉ phương của d thì ku cũng là chỉ phương của d(k # 0) _ 2.3.1.2 Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng:
*n # 0 vacé giá vuơng goc với mặt phẳng (œ) thì là VTPT của (œ)
*n là VTPT của (œ) thì kn cũng là VTPT của (œ), k # 0
2.3.1.3 Phương trình tơng quát của mặt phẳng: * Phương trình tổng quát của (z) cĩ dạng : Ax + By + Cz + D =0 với A2 + Bˆ + C2 z 0 * Nếu (œ) cĩ phương trình: Ax + By + Cz+D=0 thì VTPT của (œ)là n= (A;B;C) * Nếu (œ) đi qua điểm M(xa;yạ;zạ) và nhận n= (A;B;C) làm VTPT thì phương trình của (œ) là :
A(x — Xo) + Bly - Yo) + C(z- Zo) = 0
©Ax + By + Cz + D =0, với D =- Axạ - Byạ - CZạ,
* Nếu (œ) chứa hay song song với giá của hai vectơ khơng cùng phương
VỚI a = (a,;a5;a3), b = (b,;b,;b3) thì VTPT của (œ) là
n= [a,b] = (azbạ - asb;asbạ ayba;a+b; - a;b)
*Néu (a) cat các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)
thi (a) cĩ phương trình là : ˆ +¿ + - = 1 (điều kiện a.b.c # 0)
( phương trình trên gọi là phương trình mặt phăng theo đoạn chắn ) 2.3.1.4 Phương trình của đường thăng :
Trang 7X = Xp + at * Phương trình tham số của đường thắng d là: {y = Yọ + bt t€R Z=Z, + ct z X-Xẹ Y-Yo 2-2 * Phuong trinh chinh tac cua d la: —— = =— voi a.b.c # 0 2.3.1.5 Các kiến thức khác:
* Cho A(xasyqiZa) va diém B(xp;ypiZp)- ta cĩ:
+) Vecto AB = (Xp - XqsVp — YaiZp — Za)-
+) Toạ độ trung điểm | cua AB là: te 5 a = 5 * * Tích cĩ hướng của a và b là một vectơ ký hiéu la [a,b] Nếu a= (a,;a5;a3), b= (b,;b,;b3) thi [a,b] = (a,b - agby;a3b, - a,b3;a,b, — ayb,) Chú ý: +) [ab] La, +) [ab] 1b +) a và b cùng phương [a,b] = 0
2.3.1.6 Cách sử dụng máy tính Casio fxŠ70 hoặc máy tính Vịinacall: q) Tính tích vơ hướng của hai véc tơ
Bước 1: Nhắn mode 8: nhấn 1 , nhấn 1 sau đĩ Nhập véc tơ A
Bước 2: Nhấn Shift 5 nhấn 1, nhân 2, nhân 1 nhập véc tơ B
Bước 3: Nhắn AC, nhẫn shift, nhắn 5, nhắn 3 đề chọn vec tơ A
Nhấn shift 5, nhẫn 7(dot) Tiếp tục nhấn shift 5, nhắn 4 để chọn véc tơ B
Nhắn “=” cho ta kết quả
b) Tính tích cĩ hướng của hai véc tơ
Bước 1: Nhắn mode 8: nhấn 1 , nhắn 1 sau đĩ Nhập véc tơ A
Bước 2: Nhắn Shift, 5 bấm 1, bấm 2, bấm 1 nhập véc tơ B
Bước 3: Nhấn AC, nhẫn shift, nhắn 5, nhắn 3 đề chọn vec tơ A
Tiếp tục nhẫn shift 5, nhắn 4 để chọn véc tơ B
Nhắn “=” cho ta kết quả
2.3.1.7 Cách sử dụng may tinh Casio fx580 VNX : a) Tinh tích vơ hướng của hai véc tơ
Bước 1: Nhấn Menu 5 chon 1, an 3 rồi nhập véc to A
Nhắn OPTN nhẫn 1, nhấn 2, nhấn 3 rồi nhập véc tơ B Bước 2: Nhắn OPTN, bấm 3 Nhẫn OPTN, bắm 3 dé chon véc to A Nhan OPTN, bam phím xuống, chọn 2 Nhắn OPTN bắm 4 chọn véc tơ B Nhắn “ = ” cho ta kết quả b) Tính tích cĩ hướng cua hai véc to |
Bước 1: Menu Š chọn 1, nhân 3 rơi nhập véc to A
Nhắn OPTN nhẫn 2, nhấn 1, chọn 3 rồi nhập véc tơ B
Trang 8
Bước 2: Nhân OPTN, bấm 3
Nhắn OPTN, bắm 3 dé chon véc to A
Nhắn OPTN bắm 4 chọn véc tơ B
Bam “=” cho ta kết quả
2.3.2 Mơ tả các giải pháp sau khi cĩ sáng kiến kinh nghiệm
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 12 Kiến thức cơ bản về đường thắng trong khơng gian lớp I1 Nhằm khắc phục những thiếu sĩt và sai lầm trên, tơi thực
hiện theo các giải pháp sau: Giải pháp 1:
Bước 1: Hệ thống hĩa các dạng phương trình đường thẳng, sắp xếp một cách cĩ hệ thơng theo hướng từ dễ đến khĩ,trong đĩ cĩ đưa ra những kiến thức và phương pháp giải phù hợp để học sinh cĩ thể nắm được bản chất, tính chất hình
học bằng cách kết hợp giữa đại số và hình học trong giải tốn
Bước 2: Nội dung được xây dựng và sắp xếp cơ bản theo thứ tự: Kiến thức cơ bản, ví dụ mình họa, phương pháp giải, bài tập tương tự rèn luyện cho từng dạng
cụ thể
Giải pháp 2:
Xây dựng một số biện pháp rèn luyện cho học sinh những kĩ năng cơ bản để giải quyết lớp bài tốn về phương trình đường thẳng trong khơng gian
Về phương pháp dạy học: Phân tích các bài tốn mẫu để hình thành thuật giải,
luyện tập các bài tốn cùng dạng, lồng ghép củng cĩ các kiến thức cơ bản là cách
thức rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh được đề xuất và minh họa, xây dựng
trong sáng kiến nhằm giúp học sinh nhận dạng bài tập và xác định phương pháp
giải dễ dàng
Dựa trên các giải pháp trên cùng với việc tìm hiểu và khai thác các kiến thức liên quan qua đồng nghiệp và các tài liệu trên mạng internet, tơi xin trình bày nội dung đề tài của minh thơng qua các dạng tốn sau:
Dạng 1: Viễt phương trình đường thẳng biết một điểm mà nĩ đi qua và biết
phương của đường thắng
Phương pháp giải: Nếu đường thắng đi qua điểm M(ạ; yạ; Zạ)ed và cĩ véc tơ chỉ phương là u = (a;b;c) thì :
X =X, tat
* Phương trình tham số của dudng thang dla:: (y=Yot+bt teR
Z=Z)+ct
` DA VÉ cv Ị X-X§p VY, Z-Zg „,
* Phương trình chính tắc của d là: ——=—+—=7c— với a.b.c # 0
Ví dụ 1: Phương trình tham số của đường thăng đi qua điểm M3; - 1;2) và cĩ
Trang 9x=4+3/ x=-4+3( x=3+4í x=-34+4t
A.jy=5-t B {y=-5-t C 4 y=-14+5t D J y=14+5t
z=-7+2t z=7+2t z=2-Tt Z=-~2- Tí
( Dé thi KSCL lan 1 Sé GD&PT Quảng Nam năm học 2017 — 2018)
Theo đê bài ra các em chọn ngay được đáp án C
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thang A di qua điểm
MQ@;0; -1) và cĩ vectơ chỉ phương ư = (4; - 6;2) Phương trình tham số của A là: x=-2+4t x=-2+ 2t x=4+2t x=2+2t A =-Ĩt_., B.| =-3t C.{y=-6-3¢ D,| =- 3t z=1+2t z=1+t z=2+t z=-1+t
- (Đà thi KSCL Sở GD& ĐT Nam Định năm học 2017 — 2018)
Nướng dân giải: Vì đường thắng A cĩ VTCP u = (4; — 6;2) nên nĩ cũng nhận véc tơ —> re 1 ` v = (2; - 3;1) (voi v = 5u) lam VTCP x=2+2t Do d6 phuong trinh tham sé cua dudng thang A 1a:{ y=-3t ,teER z=-1+t Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(3; - 2;1) Đường thắng nào sau đây đi qua A ? x-3 y+2 z+1 x-3 yt2 2-1 xX + yt Zz— X~— y- Z- C 1 = 1 = 2° D 4 — _2 = -1
Nhận xét: Thơng qua các ví dụ trên giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: + Mỗi đường thẳng khơng phải chỉ cĩ một phương trình tham số, chỉ cần chỉ rõ điểm mà nĩ đi qua và một véc tơ chỉ phương sẽ cho ta một phương trình tham số của đường thẳng miễn là các véc tơ chỉ phương đĩ cùng phương, để khắc sâu kiến thức “Mơi đường thẳng cĩ vơ số các véc tơ chỉ phương và các véc tơ đĩ cùng phương với nhau `”
+ Kì thi THPT quốc gia, các bài tốn cho dưới hình thức trắc nghiệm nên khơng phải câu hỏi nào cũng yêu câu viết phương trình đường thẳng mà cĩ thể xác định yếu tơ liên quan đến PT đường thẳng Chăng hạn:
Trang 10Vĩ dụ 6: Trong khơng gian Oxyz cho vécto u= (1;3;1), đường thăng nào dưới
đây nhận u là véctơ chỉ phương?
x=1+2t x=1+2t x=2+t x=2+t
afyas tae B.|y= 2-3 cẬy =3 at b[y =3 rất
z=1-4t z=2-4t z=-4+t z=-4-3t
(SGD&ĐT' Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện
cho trước
Phương pháp chung:
Bước 1: Tim một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
Bước 2: Viết PT đường thắng theo phương trình (1) hoặc phương trình (2) Tuy nhiên ở mỗi bài tốn cụ thể thì việc tìm véc tơ chỉ phương lại khác nhau tùy theo đữ liệu bài cho Cụ thể ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(- 1;2;0) và mặt phẳng (œ) :2x - 3y +z~— 2= 0 Viết phương trình đường thắng qua M và vuơng gĩc với mặt phang (a)? x=1+2t x=-1+2t c.|'y=2-3e x=2-t A {y =- 2 - 3t B.{ y=2-3¢ .{y=2-3t D.|y5-3 xát z=-t z=t z=-2t z=-2t Hướng dẫn giải: Chọn B Cách ï: Ta cĩ: Nag) = (2; - 3;1)
Vì đường thắng A vuơng gĩc với mặt phăng (z) nên A song song hoặc trùng với giá của véctơ pháp tuyến của mặt phang(a) Vay A nhan nụ a) làn véctơ chỉ
x=-1+2t
phương > Phương trình dạng tham sơ của A là: | y=2-3t teER
z=t
Cach 2: Vi duéng thắng A vuơng gĩc với mặt phẳng (a) nén A la tập hợp các
điểm N(x;y;z) sao cho:
"na .ợ x+1=2t =-1+2t
[MN EO ely -2 = Btes y=2-3t (tcR)()
tER Z=t z=t
Hé (1) 1a phuong trinh dang tham s6 cia dudng thang A
Ví dụ 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2; - 3) Viết phương
trình đường thắng A đi qua điểm M và vuơng gĩc với mặt phẳng (Oxy)
x=1 x=1+t x=1 x=1+t
A y=2 BỊ y=2 C.‡y=2+t D.|y=2+¿2t
Z=-3- 2t Z=- 3 Z=- 3 z=-3-3t
Trang 11Mặt phẳng (Oxy) cĩ véc to phap tuyén k = (0;0;1)
Học sinh cĩ thể giải theo một trong hai cách trên và chỉ ra được véc tơ chỉ
phương của A can tim 1a u, = (0;0; - 2)
Nhận xét: + Thơng qua các ví dụ trên cần nhấn mạnh cho học sinh nắm vững kiến thức: “Nếu một đường thẳng vuơng gĩc với một mặt phẳng thì nĩ nhận véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đĩ làm véc tơ chỉ phương ”
+ Mặt phăng (Oxy);(Oyz) và (Oxz) cĩ các vée to pháp tuyến lần lượt là k; Ùj (là các véc to đơn vị của các trục tọa độ z Oz;x 0x;y Oy Do đĩ khi viết phương
trình đường thắng vuƠng gĩc với các mặt phẳng tọa độ thì chỉ viết được phương trình tham số mà khơng viết được dạng chính tắc, để học sinh khơng mắc phải sai lâm khi gặp bài tốn dạng này x=1-2t Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thắng d:| y=t Z=-3+2t Phương trình chính tắc của đường thắng A đi qua điểm A(3;1; - 1) và song song voi d la: A.⁄†13_J+!_z-I B.š3-J-1_Z+! —2 1 2 —2 1 2 C.*z†+2-z-l_Z-2 D.2= 2 _y+l_ z12 3 1 =1, 3 1 -I Hướng dán giải Cach 1: Ta co: Ug = (- 23132) Vi A || dnén dudng thang A nhan véc to chi i phuong cua d lam véc to chi phuong = Phương trình chính tắc của A là: “ 5 a =***
Các; 2: Vì đường thắng A song song với đường thắng d nên A là tập hợp các
điêm M(x;y;z) sao cho:
> x-3=-2t
ng he y-1=t eS ar
CER z+1=t
Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số của đường thang di qua điểm M(1;3;4) và song song với trục hồnh là
x=l*+í x=l x=l x=1
A.4y=3_ B.4y=3+¿ C.iy=3 D.4y=3
y=4 y=4 y=4-t y=4+t
Giáo viên định hướng học sinh cách giải quyết bài tốn bằng hệ thơng câu hỏi liên quan,đề học sinh phát hiện được véc tơ chỉ phương của đường thắng cần lập là véc to don vi i ( hoặc cùng phương với j ) va chon dap 4n A
Nhận xét:
+ Hai đường thẳng song song thì cĩ cùng véc tơ chỉ phương
Trang 12+ Trong trường hợp đặc biệt:
e Nếu d song song hoặc trùng với trục Ox thì d cĩ vectơ chỉ phương là Ug =j= (1;0;0) e Néu d song song hoặc trùng với trục Oy thi d co vecto chi phuong la Ug = j = (0;1;0) e Nếu d song song hoặc trùng bới trục Oz thì d cĩ vectơ chỉ phương là Ug =Ï= (0;0;1) Đối với trường hợp đặc biệt này ta chỉ viết được phương trình tham số của đường thăng Ví dụ L1:Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phăng: (œ):x - 2y + 2z + 3 = 0 và (B):3x - 5y - 2z - 1 = 0 Phương trình đường thẳng A đi qua điểm M(1;3; - 1), song song với hai mặt phẳng (œ),(B) là: x=14+14t x=-14+14t x=-l+t x=-l+t A.+y=3+8/ B.4y=3+8/ ŒC.4y=3+8/ D.4 y=3-t z=-l+t z=-l+t z=l+t z=l+t Cach giai: Chon A Ta cĩ: Ny = (1; 2;2)› nụạy = (3; - 5; - 2) Do A || (a) va A || (B) nên đường thăng d cĩ một chỉ phương U = [Nagy] = (14;8;1) x=l+l4¿ => Phương trình tham sơ của d là: 4y=3+8: (f là tham sơ) z=-l+t
Qua ví dụ 11 ta thấy nếu một đường thẳng song song với hai mặt phẳng cắt nhau thì nĩ nhận véc fØ tụ = [my] làm véc tơ chỉ phương Tuy nhiên với mơi bài tốn cụ thể nêu cho trước phương trình của hai mặt phẳng học sinh nên nhận dang vị trí trơng đổi của hai mặt phăng trước khi thực hiện giải tộn
Ví dụ II: Trong khơng gian với hệ tọa độ xyz, cho mặt phăng
(z):2x-y+2z-3=0 Phương trình đường thắng d đi qua điểm
A(2;-3;—1), song song với hai mặt phẳng (z),(yz) là
x=2-f x=2 x=2 x =2t
A.+y=-3 B.4y=-3+2t ŒC.4 y=-3- 21 D.4y=2-3i
Trang 13Ví dụ 12: Trong khơng gian với hệ toạ độ Øxyz, cho điểm A⁄ (I;—-3;4), đường
thang d: = -— == và mặt phẳng (P): 2x+z—2=0 Viết phương trình
đường thắng A qua M vuơng gĩc với đ và song song với (P) x-l_ y+3 2-4 x-l_ y+3 zZ-4 A A: B A: 1 —l —2 —l —] —2 C A: X-l_y+3_z-4 D A:z-1_y+3_z+4 es es es Gs Aaưeạ (THPT Lé Hong Phong-HCM-HK2-2018) Loi giai
Duong thang d cé vecto chi phuong uy a= (3;5; - 1) Mat phang (P) cĩ vectơ pháp tuyến = (2;0;1)
Duong thang A qua vuơng gĩc với đ và song song với (P) nên cĩ vectơ chỉ phương u = |uạn| = (— 5; - 5;10) hay u = (1;1; - 2) x-l_yt3_2z-4 1 20 Bài tập tương tự: (THPT Lê Quý Đơn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) Trong x+l yp-l z-2 = = và _„ ị “2 1 3
mặt phăng (P):x-y-z-1=0 Việt pt đường thăng (A) di qua diém A(;1;—2), biết (A)/⁄/(P) và (A) cắt 4
Vậy phương trình đường thăng A là:
khơng gian với hệ tọa độ Øxyz cho đường thắng (2): A.Z-1_y-l_Z+Z B.šT1.y-1_Z+2 lL -—I -] 2 1 3 C x-l_y-l_z+2 D x-l_y-l_z+2 8 3 5 2 1 1 Vi dụ 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho diém A(1;0;2) và đường x-l y z+tl thang bi =: Duong thang A di qua 4, vuơng gĩc và cắt đ cĩ phương trình là: A.A:Z-2-=z-1„Z-1, B.A:Z-1-2-#?—Z, l l —l l l l C A:X=2.-z-l_z-l D x-=l_ y _Z-2 2 2 1 TƠ T1 73 1 (Đê KSCL Lớp 12 THPT năm học 2018 —- 2019 SỞ GD&ĐT THANH HĨA) Hướng dẫn giải: Chọn A
Đường thắng d cĩ véc tơ chỉ phương Uy = (1;1;2)
Gọi B là giao điểm của d và A>B(1 + t;t; - 1 + 2t)
Ta cĩ: AB = (tt; - 3 + 2t)
Vì A L dâđu.AB = 0ât = 12AB = (1;1; - 1)
Trang 14Đường thắng A cần lập nhận 4B làm véc tơ chỉ phương nên đối chiếu các đáp án
trên ta chọn A
Dạng 3: Viết phương trình đường thăng thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Đê viết được phương trình (L) hoặc phương trình (2) ở trên thì ở dạng tốn nay can dựa vào những yêu tơ đê cho đề:
+ Xác định một điêm mà đường thăng đi qua ˆ + Xác định một véc tơ chỉ phương cua đường thăng
Bài tốn 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz gọi 4 là giao tuyến của hai mặt
phẳng (z):x—3y+z=0 và (Ø):x+ y—z+4=0=0.Viết phương trình của đường
thắng A là giao tuyến của hai mặt phăng trên Hướng dẫn giải
Cách í: Cho y = 0 Thay vào PT của(ø) và (6) tìm được x =- 2;z = 2
Khi đĩ A đi qua điểm M( - 2;0;2)
mặt phẳng (œ) cĩ véc tơ pháp tuyến Na) = (1; - 3;1) mat phang (6) cĩ véc tơ pháp tuyến ng) = (1;1; - 1) Đường thẳng A cĩ véc tơ chỉ phương 1 = [ram] = (2;2;4)
, x=-2+2t
=> Phương trình tham sơ của đường thăng là: y=2t ,teER
z=2+4t
Cách 2: Đường thăng cần lập là tập hợp các điểm M (x;y;z) là nghiệm của hệ:
x-3y+z=0 ol yot ter
x+y-z+4=0 zz2+2tẺ
Nhận xét: Mỗi bài tốn cĩ cách giải khác nhau,tùy từng bài cụ thể mà ta lưa chọn cách giải phù hợp.Đơi với cách thức tơ chức kì thi như hiện nay, thì giáo viên nên
hướng cho học sinh thực hiện các bài tốn dạng này theo cách 2 đê tiết kiệm thời
gian hơn
Bai tap ap dung:
Trong khơng gian với hệ toa dé Oxyz, cho duong thang A 1a giao tuyên của hai
mặt phẳng (a):x-2y—z+1=0 va (Ø):2x+2y—3z—4=0 Phương trình đường
Trang 153 uu uu LAI
d di qua diém M(1;-1;0) va cé vecto chi phuong là a, = | n„„n R = (8;1;6)
x-l y+l_ z
1 6
Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thăng
a:X-12-#~=2 -=—, và mat thing (P):3x+5y-z-2=0 Goi d'la hinh chiéu
Trang 16đ đi qua điểm 8(12;9;1) và cĩ vectơ chỉ phương a, = (4;3;1)
(P) cĩ vectơ pháp tuyến n„ = (3;5;—1)
, Liu uu Ul
(Q) qua B(12;9;1) c6 vecto phap tuyến nạ = |a,.n, | =(-8;7;11)
(@):8x—7y—11z—22=0
e d' la giao tuyén cua (Q) va (P)
Tìm một điểm thuộc d' › bằng cách cho y=0 3x—z=2 = => §x-llz=22 “|y=-2 đ' đi qua điểm M (0;0;—2)và cĩ vectơ chỉ phương Luu a, ={npsmo |= (62;-25;61) Ta cĩ hệ => M (0;0;-2)ed' x =62t Vậy phương trình tham số của d' 1a / y=-25¢ z=-—-2+6lí Bài tập tự luyện x=l+2/ Bài 1 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thăng đ:{y=-l+f, z=2+t Hình chiếu vuơng gĩc của đ lên mặt phẳng (0xy) cĩ phương trình là x=1+2t x=-l+2/ x=-l+2/ A y=-l+t B.4 y=-lit C.4y=l+/ D z=0 z=0 z=0 x=0 y=-l-t z=0 x=l+2/ Bài 2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thắng đ:4y=~2+3/, z=3+t Hình chiếu vuơng gĩc của d lên mặt phẳng (Oxz) cĩ phương trình là x=-142t x=0 x=142t x=l+2/ A.4 y=0 Bay=0 ŒC.4y=0 D.4 y=0 z=3+t z=3+t z=3+t z=-—3+t
Trang 17Trong qua trinh thuc hién sang kién nay , toi da tiến hành thực nghiệm tại
lớp 12B3 và lớp đối chứng là lớp 12B8(thực hiện theo cách truyền thống), tơi nhận thấy ở lớp 12B3:
- Các em học sinh chăm chú nghe giảng, tìm hiểu bài tốn và giải bài tập, bước đầu hình thành nên lối tư duy khoa học hơn, sâu sắc hơn
- Các bài tốn được các em tích cực tìm cách giải tốn hơn, khơng cịn chọn đáp án đúng theo dự đốn cuả bản thân nên số các phương án trả lời đúng tăng lên đáng kẻ
- Một số học sinh khá cịn sáng tạo thêm các bài tập dựa vào bài tốn gốc cho cả lớp cùng làm, phong trào thi đua học tập của lớp ngày một nâng cao
Kết quả đĩ cịn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra khi tơi tiễn hành dạy đề tài ở lớp 12B3 So sánh giữa lớp chưa học (12B8 )với lớp đã được học đề
tài (12B3), cho thấy hiệu quả của đề tài và tính thiết thực trong việc đổi mới
phương pháp dạy học
Sau khi thực hiện quá trình hướng dẫn học sinh tìm lời giải và cho các em
tự luyện tập ở nhà tơi tiến hành cho học sinh 2 lớp làm bài kiểm tra 45 phút (với mức độ đề tương đương ) Kết quả làm bài của học sinh được thống kê ở bảng sau Lớp | Số Giỏi Khá TB Yếu, kém HS | SL | Tilé| SL | Tilệ | SL | Tilé SL Tilé % % % % 12B3 | 37 | 3 | 8,12 | 15 | 40,54) 17 | 45,95 2 5,39 12B8 | 41 | 0 0 9 | 21,95| 12 | 29,27 20 48,78
Bản thân tơi và đồng nghiệp nhận thấy khi áp dụng sáng kiến dạy học bài tập hiệu quả giảng dạy giảng dạy của giáo viên được nâng lên từ đĩ gĩp phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục của các lớp mà mình phụ trách nĩi riêng và của nhà trường nĩi chung
3 KÉT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ
- Kết luận
Bài tốn viết phương trình đường thăng trong khơng gian là bài tốn mà học sinh hay gặp trong kì thi THPT Việc phân loại bài tốn theo mức độ từ dễ đến khĩ đã giảm bớt được sự khĩ khăn của học sinh khi gặp các bài tốn này Tuy nhiên trong khuơn khổ của chuyên đề này, tơi chưa trình bày được hết các bài tốn về viết phương trình đường thắng mà mới chỉ dừng lại ở những bài tốn hay gặp
nhất Các bài tốn ở mức độ khĩ hơn, hoặc các cách giải khác vẫn chưa được đề
cập tới do học sinh lớp tơi trực tiếp giảng dạy các em mới ở mức trung bình khá Hy vọng rằng với sự gĩp ý của các bạn đồng nghiệp thì đề tài này sẽ được nghiên cứu và khai thác sâu hơn
- Kiến nghị
Việc viết và báo cáo SKKN trong quá trình dạy học sẽ tạo điều kiện để giáo
viên được trau dơi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm để cĩ giải pháp tốt hơn trong
Trang 18quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy, giáo dục Đây thực sự là việc làm bồ ích
đối với mỗi giáo viên Do vậy trong những năm học tiếp theo, mặc dù khơng phải
là nhiệm vụ bắt buộc nhưng các trường THPT và Sở GD&ĐT Thanh Hĩa vẫn nên tiếp tục triển khai và khuyến khích giáo viên viết sáng kiến kinh nghiệm để chia sẻ những kinh nghiệm bổ ích trong mà mình đã tích lũy được với đồng nghiệp cùng nhau thực hiện tốt cơng việc của mình từ đĩ nâng cao chất lượng giáo dục
Đề tài được tích luỹ nhiều năm trực tiếp giảng dạy tại các lớp12 của trường THPT Triệu Sơn 4, các ví dụ được chọn lọc, tham khảo từ nhiều nguơn tài liệu khác nhau trong một số đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường THPT, tạp chí Tốn học tuổi trẻ, các diễn đàn dạy học tốn trên mạng internet Mặc dù cơ găng tìm tịi, nghiên cứu song chắc chắn đề tài khơng tránh khỏi những hạn chế Rât mong được sự đĩng gĩp quý báu của bạn đọc, đơng nghiệp
Tơi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hĩa, ngày 10 tháng 5 năm 2019
ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của người khác
Người viết
Trang 19TAI LIEU THAM KHAO 1 Sách giáo khoa hình học 12 - NXB GIAO DUC 2 Sách giáo viên hình học 12 - NXB GIÁO DỤC
3 Đề thi thử khảo sát chất lượng lớp 12 của một số trường THPT trong tỉnh
Thanh Hĩa - nhĩm TỐN THPT THANH HĨA
4 Đề thi thử khảo sât chất lượng của một số trường THPT trên cả nước năm
2018 được tong hop trong file “SAN PHAM HOAN CHINH”
5 Một số đề thi thử THPT Quốc Gia cac nim trén trang “DIEN DAN GIAO VIEN TOAN”
6 Dé thi thir THPT Quoc gia trén trang web: “ Toanmath.com”