Về phương pháp newton

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐINH THỊ HIỀN VỀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐINH THỊ HIỀN VỀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Đinh Nho Hào THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Các khái niệm giải tích hàm 1.1 Khơng gian Euclide 1.2 Khơng gian Banach tốn tử liên tục 1.2.1 Không gian Banach 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên tục 1.3 Đạo hàm theo nghĩa Fréchet Lịch sử phương pháp Newton 2.1 Phương pháp Newton 2.1.1 Phương pháp Viète 2.1.2 Phương pháp dây cung 11 2.1.3 Phương pháp Newton- Công thức 13 2.1.4 Các phương pháp khác cho phương trình phi tuyến 15 2.1.5 Cơng thức Raphson 16 2.2 Phương pháp Newton không gian hữu hạn chiều 17 2.2.1 Trường hợp biến 17 2.2.2 Trường hợp nhiều biến 18 Phương pháp Newton- Kantorovich 20 ii 3.1 Kết hội tụ cho phương trình trơn 21 3.2 Sai số ước lượng cho phương pháp Newton 27 3.3 Sự hội tụ đơn điệu 29 3.4 Phương pháp Newton cho phương trình không xác định 30 3.5 Phương pháp Newton điểm suy biến 34 3.6 Phương pháp Newton liên tục 36 3.7 Phương pháp Newton cho phương trình khơng trơn 38 3.8 Sự hội tụ phân kì phương pháp Newton 39 3.9 Phân tích sai số 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Đinh Nho Hào Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K11C (khóa 2017-2019), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Mở đầu Isaac Newton (1642 − 1727) nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên nhà toán học vĩ đại người Anh Ơng xây dựng cơng thức giải phương trình phi tuyến f (x) = viết năm 1671 công bố lần vào năm 1685 Newton tính tốn chuỗi đa thức sau ơng đưa đến nghiệm xấp xỉ phương trình Joseph Raphson (1648−1715) coi phương pháp Newton hoàn toàn phương pháp đại số giới hạn việc sử dụng cho đa thức biến Tuy nhiên Raphson mô tả phương pháp thơng qua dãy xấp xỉ thay chuỗi đa thức phức tạp Newton Cách giải thích Raphson xem đơn giản Newton ông công bố vào năm 1690 Ngày gọi phương pháp Newton (hay phương pháp Newton – Raphson) tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến f (x) = việc xây dựng dãy lặp hội tụ tới nghiệm phương trình Phương pháp Newton – Raphson đóng vai trò quan trọng khoa học kĩ thuật, đặc biệt ngành Tốn học nói chung phương pháp số nói riêng Trong thực tế có khả ứng dụng lớn Sau phương pháp Newton – Raphson đời, việc giải phương trình phi tuyến phát triển mạnh mẽ có ứng dụng nhiều lĩnh vực Giải tốn có ý nghĩa thực tế quan trọng, đặc biệt giai đoạn với hỗ trợ máy tính điện tử việc trở nên có hiệu lực Điều thu hút nhiều nhà khoa học tìm hiểu sâu phương pháp Dựa sở phương pháp Newton – Raphson có, nhiều báo đăng tạp chí tiếng giới nói cách xây dựng phương pháp cải tiến giải xấp xỉ phương trình phi tuyến với tốc độ hội tụ cao, thực máy tính điện tử Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương "Các khái niệm giải tích hàm" Chương " Lịch sử phương pháp Newton" Chương " Phương pháp Newton Kantorovich" Chương Các khái niệm giải tích hàm 1.1 Khơng gian Euclide Định nghĩa 1.1 Cho E không gian vectơ trường số thực R, tích vơ hướng E ánh xạ : E × E → R (x, y) →< x, y > thỏa mãn điều kiện sau < x, y >=< y, x >, < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, < λx, y >= λ < x, y >, < x, x >≥ ∀x ∈ E < x, x >= ⇔ x = Định nghĩa 1.2 Không gian vectơ E trường số thực R gọi không gian vectơ Euclide E có tích vơ hướng Định nghĩa 1.3 Độ dài vectơ x khơng gian vectơ Euclide E với tích vơ hướng xác định bởi: kxk = √ < x, x > Định nghĩa 1.4 Đối với hai vectơ x y khơng gian vectơ Euclide ta gọi góc ϕ x y xác định công thức: < x, y > cos ϕ = kxkkyk 1.2 Khơng gian Banach tốn tử liên tục 1.2.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.5 (Không gian định chuẩn) Một khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P (P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, gọi chuẩn ký hiệu k.k thỏa mãn tiên đề sau: (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không θ); (∀x ∈ X) , (∀α ∈ P ), kαxk = |α|.kxk; (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk Số kxk gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu khơng gian định chuẩn X Các tiên đề (1), (2), (3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.6 (Sự hội tụ không gian định chuẩn) Dãy điểm {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim kxn − xk = Kí hiệu lim xn = x hay xn → x n→∞ n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.7 (Dãy bản) Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi dãy lim kxn − xm k = n,m→∞ Định nghĩa 1.8 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Ví dụ 1.1 Xét khơng gian véc tơ k - chiều Rk , vớiqmỗi x ∈ Rk , x = (x1 , x2 , , xk )trong Pk xi ∈ R, i = 1, 2, , k Đặt kxk = i=1 |xi | Khi Rk khơng gian Banach Ví dụ 1.2 Cho khơng gian véc tơ C[a,b] Đối với hàm số xt ∈ C[a,b] , ta đặt kxk = max[a,b] |xt | Khi C[a,b] khơng gian Banach 1.2.2 Tốn tử tuyến tính liên tục Cho X, Y hai không gian định chuẩn Định nghĩa 1.9 (Tốn tử tuyến tính) Một tốn tử A : X → Y gọi toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện sau (∀x, y ∈ X)A(x + y) = A(x) + A(y); (∀x ∈ X)(∀α ∈ P )A(αx) = αA(x) Ta viết Ax thay cho A(x) Nếu X ≡ Y ta nói A tốn tử X Ta kí hiệu ImA = {y ∈ Y |y = Ax, ∀x ∈ X} miền giá trị toán tử A KerA = {x ∈ X|Ax = 0} hạch (hạt nhân) toán tử A 2 − ∗ S = x kx − x k < 2B ∗ K ∗ Giá trị cho bán kính S ∗ tốt Suy yếu điều kiện C2 F (x) đến điều kiện Holder kF (x) − F (y)k ≤ Kkx − ykα , (x, y ∈ D0 ), (3.8) < α ≤ số Kết ông cải thiện tái khám phá số tác giả người khác Một số kết điển hình dạng sau: Định lí 3.5 (Janko’- Coroian) Cho F : S(x0 , R) ⊂ X → Y ánh xạ phi tuyến cho, giả sử rằng: kF (x) − F (y)k ≤ Kkx − ykα (x, y ∈ S(x0 , r), < α ≤ 1), (1 + α)1/α [(1 + α)1/α h]1−(1/α) r= η, (1 + α)(1/α) − h = BKη α ≤ α 1+α Khi đó, có nghiệm x∗ S(x0 , r) {xk } hội tụ đến x∗ với tốc độ: k [(1 + α)1/α h](1+h) −(1/α) kx − xk k ≤ η [(1 + α)(1/α) − 1](1 + α)(k−1)/α ∗ 26 Các kết tương tự với định lí Newton- Mysovskikh, số sau: Định lí 3.6 (Janko’) Cho F : X → Y ánh xạ phi tuyến cho trước cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) Toán tử tuyến tính Γ(x) = [F (x)]−1 tồn với x ∈ S(x0 , T η), đó: ((1+α)j −1)/α ∞  X h , ≤ α ≤ 1; T = + α j=0 (ii) kΓ(x0 )F (x0 )k ≤ η; (iii) kΓ(x)[F (y) − F (z)]k ≤ Kkx − ykα (x, y, z ∈ S(x0 , T η)); (iv) h = Kη α < + α phương trình 3.2 có nghiệm x∗ ∈ S(x0 , T η) mà phương pháp Newton với điểm ban đầu x0 hội tụ Tốc độ hội tụ cho bởi: h
((1+α)k −1)/α , (k = 0, 1, 2, ) kx∗ − xk k ≤ T η 1+α Giả sử toán tử F giải tích, Smale, Rheinboldt Wang, Han đưa kết hội tụ mà sử dụng thông tin điểm ban đầu Biểu thị F (j) (x) đạo hàm Fréchet thứ j F điểm x Một kết điển hình dạng sau: Định lí 3.7 (Rheinboldt) Cho F : X → Y giải tích số tập mở S X cho: 1/(j−1) −1 (j) −1 [F (x)] F (x) β(x) = k[F (x)] F (x)k, γ(x) = sup j! j>1 Xét điểm x0 S F (x0 ) khả nghịch √ √ Cho ρ(≈ 0, 16842669) gốc dương khối ( − 1)(1 − ρ)3 − 2ρ = √ Nếu α(x0 ) = β(x0 )γ(x0 ) ≤ ρ/ 2(≈ 0, 11909565) khối cầu S(x0 , r0 ) với 27 bán kính r0 = ρ/γ(x0 ) chứa S, phép lặp Newton xk hội tụ đến nghiệm x∗ phương trình 3.2 Hơn nữa, hội tụ R bậc hai R2 với hệ số 3.2 Sai số ước lượng cho phương pháp Newton Có số sai số ước lượng cho phương pháp Newton Định lí Kantorovich sở cho nhiều số Trong định lí giả sử điều kiện định lí Tapia Gragg Tapia thêm giới hạn sai số tối ưu vào định lí Định lí 3.8 (Gragg- Tapia) kx∗ − xk k ≤  p  (1 − 2h) h k θ2 kx1 1−θ2k − x0 k 2h < 21−k kx − x k (3.9) 2h = Và 2kx − xk k p k+1 ≤ kx∗ − xk k ≤ θ2k−1 kxk − xk−1 k, k ≥ 1, 2k 2k + + 4θ /(1 + θ ) √ √ θ = (1 − − 2h)/(1 + + 2h) Miel đưa chứng minh cho định lí cách sử dụng kĩ thuật Ortega Một bất biến affin phiên định lí đưa Deuflhard Heindl Miel xây dựng riêng sai số giới hạn cho phương pháp Newton Định lí 3.9 (Miel) Cho số Ak , Bk Ck đệ quy bởi: A1 = η1 B1 , Ak+1 = Ak (2 − ∆Ak ), ∆ = B1 = θ, Bk+1 = Bk2 , θ = (1 − √ √ 2η 1−2h , h − 2h)/(1 + √ + 2h), 28 C1 = B1 , Ck+1 = Ck2 2Ck +∆/η sai số giới hạn: kx∗ − xk k ≤ Ak kxk − xk−1 k2 ≤ Bk kxk − xk−1 k ≤ Ck kx1 − x0 k, phù hợp tốt Định lí 3.10 (Miel) √ √ √ Cho ∆ = (2η − 2h)/h θ = (1 − − 2h)/(1 + + 2h) 2kxk+1 − xk k − θ2 ∗ p ≤ kx −xk ≤ kxk −xk−1 k2 2k 2k ∆ + + (4/∆)(1 − θ )/(1 + θ )kxk+1 − xk k 2h < và: 2kxk+1 − xk k 1+ p + (2k /η)kxk+1 − xk k ≤ kx∗ − xk k ≤ 2k − kxk − xk−1 k2 η 2h = Định lí 3.11 (Potra- Pta’k) √ Cho a = η − 2h/h γ(r) = (a2 + 4r2 + 4r(a2 + r2 )1/2 )1/2 − (r + (a2 + r2 )1/2 ) Khi γ(kxk+1 − xk k) ≤ kxk − x∗ k ≤ (a2 + kxk − xk−1 k2 )1/2 − a Yamamoto ước lượng Gragg-Tapia phát sinh quan hệ lặp Kantorovich Potra- Pta’k ước lượng Miel hồn thiện lý thuyết Gragg- Tapia Ơng hai kết sau theo định lý Kantorovich ban đầu, kết Miel cải tiến so với Potra Pta’k Yamamoto đưa phương pháp tìm sai số giới hạn cho phương pháp Newton sau giả thuyết định lý Kantorovich Bài báo Yamamoto, tìm thấy so sánh giới hạn tiếng nhất, nguồn tốt 29 để ước lượng tối ưu lý thuyết phương pháp Newton Dạng ước lượng tối ưu khác đưa Neumaier với hai vectơ x, y ∈ RN cho x ≤ y, xi ≤ yi với ∀i Hơn nữa, cho m×n |A| = [|aij |]m,n i,j=1 cho A ∈ R Định lí 3.12 (Neumaier) Cho F : D ⊂ Rn → Rn liên tục, x0 ∈ D, A ∈ Rm×n khơng suy biến δ0 = A−1 F (x0 ) Giả sử có số κ > cho: S(x0 , κkδ0 k) ⊂ D vectơ không âm c ∈ Rn cho, với hàm đơn điệu định chuẩn k.k |F (x) − F (x0 ) − A(x − x0 )| ≤ kδ0 kc (x ∈ S(x0 , κkδ0 k)) Nếu vectơ b = |A−1 |c thỏa mãn điều kiện kbk < κ − F (x) có nghiệm S(x0 , κkδ0 k) nghiệm xˆ thỏa mãn (2 − κ)kδ0 k ≤ kˆ x − x0 k ≤ κkδ0 k Miền bao gồm S(x0 , r) định lí Kantorovich dễ dàng làm theo để lựa chọn tỉ lệ l∞ định chuẩn A = F (x0 ) 3.3 Sự hội tụ đơn điệu Phương pháp Newton thể hội tụ đơn điệu theo thứ tự phần Chúng ta sử dụng phần riêng tự nhiên thứ tự cho vectơ ma trận; A ≤ B(A, B ∈ Rm×n ) aij ≤ bij (i, j = 1, , n) Hàm số F : Rn → Rn gọi lồi tập lồi D ⊆ Rn F (λx + (1 − λ)y) ≤ λF (x) + (1 − λ)F (y) (3.10) với ∀x, y ∈ D λ ∈ [0, 1] Giả sử F : Rn → Rn khả vi tập lồi D F sai số D F (y) − F (x) ≥ F (x)(y − x) (3.11) 30 với ∀x, y ∈ D Định lí 3.13 (Baluev) Giả sử F : Rn → Rn khả vi liên tục lồi Rn F (x) không suy biến [F (x)]−1 ≥ với ∀x ∈ Rn F (x) = có nghiệm x∗ Khi đó, x∗ phương pháp lặp Newton xk hội tụ đến x∗ với x0 Hơn nữa, x∗ ≤ xk+1 ≤ xk (k = 1, 2, ) 3.4 Phương pháp Newton cho phương trình khơng xác định Cho phương trình khơng xác định có dạng: F (x) = (F : Rn → Rm , n ≥ m) (3.12) phần mở rộng phép lặp Newton yêu cầu nghiệm F (x) + F (x)(x+ − x) = (3.13) Nếu n > m xấp xỉ x+ khơng xác định Có nhiều cách khác để xác định x+ Kết dạng Ben- Israel mà sử dụng nghịch đảo Moore- Penrose để xác định: x+ = x − F (x)+ F (x) Định lí 3.14 (Ben- Israel) Cho F : Rn → Rm hàm số, x0 ∈ Rn r > cho F ∈ C (S(x0 , r)) Cho M, N số dương cho ∀x, y ∈ S(x0 , r) với y ∈ R(F (y)T ): kF (x) − F (y) − F (y)(x − y)k ≤ M kx − yk, kF (x)+ − F (y)+ F (y)k ≤ N kx − yk 31 M kF (x)+ k + N = γ < (x ∈ S(x0 , r)), kF (x0 )+ kkF (x0 )k < (1 − γ)r dãy xk+1 = xk − F (xk )+ F (xk ) (k = 0, 1, 2, ) (3.14) hội tụ nghiệm F (x)T F (x) = mà nằm S(x0 , r) Điều kiện F (x)T F (x) = tương đương với F (x)+ F (x) = Thuật tốn (3.14) gọi thuật tốn dịng chuẩn tắc Thuật ngữ xuất phát từ trường hợp n = m + 1, bước lặp −F (xk ) + F (xk ) bình thường với đa tạp {y ∈ Rn |F (y) = F (xk )} Walker nghiên cứu dạng thuật toán sau dạng chuẩn Jacobian tăng cường xác định sau Đối với thiết lập V ∈ Rk×n nghiệm gần xk cho, xác định xk+1 bởi: xk+1 = xk + s F (xk )s = −F (xk ) V s = Walker đưa định lí hội tụ địa phương theo giả thuyết sau Giả thuyết dòng chuẩn tắc : F khả vi, F hạng đầy đủ m tập mở lồi D có: (i) Tồn K ≥ α ∈ (0, 1] cho kF (x) − F (y)k ≤ Kkx − ykα với ∀x, y ∈ D (ii) Có số B mà kF (x)+ k ≤ B với ∀x ∈ D Giả thuyết Jacobian mở rộng : F khả vi " # F (x) V khơng suy biến tập mở D, có: (i) Tồn K ≥ α ∈ (0, 1]sao cho kF (x) − F (y)k ≤ Kkx − ykα với ∀x, y ∈ D 32 (ii) Có số B mà " F (x)−1 V # ≤ Bvới ∀x ∈ D Hơn nữa, với η > có: Dη = {x ∈ D| kx − yk < η ⇒ y ∈ D Định lí 3.15 (Walker) Cho F thỏa mãn giả thuyết dòng chuẩn tắc giả sử Dη đưa số η > 0, ta có số ε > phụ thuộc K, α, B, η cho x0 ∈ Dη kF (x0 )k < ε phép lặp {xk }∞ k=0 xác định thuật tốn dịng chuẩn tắc xác định hội tụ điểm x∗ ∈ D cho F (x∗ ) = Hơn nữa, có hàm số mà: kxk+1 − x∗ k ≤ βkxk − x∗ k1+α , k = 0, 1, 2, Định lí 3.16 (Walker) Cho F thỏa mãn giả thuyết Jacobian tăng cường giả sử Dη cho trước cho số η > Khi đó, có số ε > phụ thuộc K, α, B, η cho x0 ∈ Dη kF (x0 )k < ε phép lặp {xk }∞ k=0 xác định thuật toán Jacobian tăng cường xác định hội tụ điểm x∗ ∈ D cho F (x∗ ) = Hơn nữa, có số β mà: kxk+1 − x∗ k ≤ βkxk − x∗ k1+α , k = 0, 1, 2, Thực tế, định lý sau hệ định lý trước Thuật toán Jacobian tăng cường cho F tương đương với dạng thuật tốn dịng chuẩn tắc áp 33 dụng cho: " F¯ (x) = F (x) # V (x − x0 ) Nghịch đảo Moore-Penrose khả để tạo bước Newton trường hợp không xác định Nashed Chen đề nghị sử dụng nghịch đảo bên thiết lập Cho X Y không gian Banach cho L(X, Y ) biểu thị tập hợp tất tốn tử tuyến tính giới hạn từ X vào Y Cho A ∈ L(X, Y ) Một tốn tử tuyến tính B : Y → X gọi nghịch đảo ngoài, BAB = B Nghịch đảo ngồi A kí hiệu là: A# Vì vậy, phương pháp Newton đưa dạng: xk+1 = xk − F (xk )# F (xk ), k = 0, 1, 2, (3.15) Kết sau đúng: Định lí 3.17 (Nashed-Chen) Cho F : D ⊂ X → Y khả vi Fréchet Giả sử tồn tập lồi mở D0 D, x0 ∈ D0 , giới hạn nghịch đảo bên F (x0 )# F (x0 ) số η, K > cho ∀x, y ∈ D0 có điều kiện sau: kF (x0 )# F (x0 )k ≤ η, kF (x0 )# (F (x) − F (y))k ≤ Kkx − yk, h := Kη ≤ 12 , S(x0 , t∗ ) ⊂ D0 √ t∗ = (1 − − 2h)/K (i) dãy {xk } xác định 3.15 với F (xk )# = [I + F (x0 )# (F (xk ) − F (x0 ))]−1 F (x0 )# (3.16) nằm S(x0 , t∗ ) hội tụ nghiệm x∗ ∈ S(x0 , t∗ ) F (x0 )# F (x) = 0; (ii) phương trình F (x0 )# F (x) = có nghiệm trong: S˜ ∩ {R(F (x0 )# ) + x0 } 34  S(x0 , t∗ ) ∩ D0 S˜ = S(x , t∗∗ ) ∩ D 0 h = h < (3.17) R(F (x0 )# ) + x0 = {x + x0 |x ∈ R(F (x0 )# )} Và t∗∗ = (1 + √ − 2h)/K; (iii) Tốc độ hội tụ phương trình bậc hai: kx∗ − xk+1 k ≤ K ∗ kx − xk k2 , (k = 0, 1, 2, ) ∗ − Kt Cuối đề cập đến Tapia chứng minh hội tụ phương pháp Newton nghịch đảo trái F (x) sử dụng Bằng cách mở rộng kết Gragg- Tapia Paardekooper cho dạng Kantorovich miền bao cho nghiệm F (x) = (F : X → Y ) X Y không gian Hilbert nghịch đảo F sử dụng 3.5 Phương pháp Newton điểm suy biến Cho X không gian Banach F : X → Y Giả sử F (x∗ ) = Jacobian F (x∗ ) suy biến Nghiệm x∗ gọi bội, kì dị khơng lập Những tình vậy, xảy ra, ví dụ, phương pháp Bairstow Trường hợp nhiều nghiệm nghiên cứu Rall Sau đó, Reddien tìm thấy kết việc nghiên cứu chuyên sâu điểm kì dị Ở nhắc lại kết Reddien Giả sử F C F (x∗ ) có khơng gian n chiều khơng giới hạn N phạm vi đóng R cho X = N ⊕ R Cho PN biểu thị hình chiếu lên N song song với R cho PR = I − PN Tập suy biến F (x) gần x∗ dao động từ điểm đến điểm mã hóa đa tạp trơn thơng qua x∗ Do đó, tính khơng suy biến F chọn lân cận 35 x∗ Thêm vào đó, khó khăn phép lặp Newton phải miền lựa chọn khả khả nghịch F Tập sau thỏa mãn tất yêu cầu: Wρ,θ = {x ∈ X|0 < kx − x∗ k ≤ ρ, kPR (x − x∗ )k ≤ θkPN (x − x∗ )k} (3.18) Định lí 3.18 (Reddien) Giả sử (i) dim(N ) = (ii) F 00 (x∗ )(N, N ) ∩ R = {0} (iii) Có c > cho ∀φ ∈ N, x ∈ X, kF 00 (x∗ )(φ, x)k ≥ ckφkkxk Khi đó, cho ρ θ đủ nhỏ, F (x)−1 tồn cho x ∈ Wρ,θ , ánh xạ G(x) = x − F (x)−1 F (x) lấy Wρ,θ có c1 > cho kF (x)−1 k ≤ c1 kx − x∗ k−1 với ∀x ∈ Wρ,θ Hơn nữa, x0 ∈ Wρ,θ xk = G(xk−1 ) với k ≥ dãy xk hội tụ x∗ có: kPR (xk − x∗ )k ≤ c2 kxk−1 − x∗ k2 , lim kPN (xk − x∗ )k/kPN (xk−1 − x∗ )k = k→∞ Ngoài ra, x∗ nghiệm phương trình F (x) = hình cầu S(x∗ , ρ) Kết Reddien vùng hội tụ quanh x∗ phải có cấu trúc đặc biệt Griewank xây dựng miền giống mở điểm ban đầu Từ đó, mà phương pháp Newton hội tụ tuyến tính đến x∗ Griewank cung cấp khảo sát tồn diện kết điểm kì dị 36 3.6 Phương pháp Newton liên tục Gavurin người xem xét tương tự liên tục tương tự phương pháp Newton x0 (t) = −[F (x)]−1 F (x), x(0) = x0 (3.19) Gọi x(t, x0 ) biểu thị nghiệm 3.19 cho x(0, x0 ) = x0 Chúng ta giả sử x(t, x0 ) xác định khoảng cực đại [0, M ) Nghiệm thỏa mãn tích phân F (x(t, x0 )) = exp(−t)F (x0 ) Do đó, hình ảnh quỹ đạo di chuyển theo hướng F (x0 ) phía gốc thời gian tiến hành Dọc theo đường cường độ F (x) giảm theo cấp số nhân Nếu nghiệm tồn khoảng [0, ∞) thì: lim F (x(t, x0 )) = t→∞ Do đó, mong đợi nghiệm dẫn đến tập V = {x|F (x) = 0} Chúng ta hy vọng hành động từ nghiệm số (3.19) Nếu phương pháp Newton tường minh áp dụng lưới {tk+1 |tk+1 = tk + hk , hk > 0, k = 0, 1, 2, , t0 = 0}, có đệ quy: xk+1 = xk − hk [F (xk )]−1 F (xk ) (k = 0, 1, 2, ), Trở thành phương pháp Newton "rời rạc" với hk = 1(k ≥ 0) Đây lí phương trình vi phân (3.5) gọi phương pháp Newton liên tục tổng quát Ta có hai câu hỏi sau: a) Dưới điều kiện x(t, x0 ) tiến đến nghiệm x∗ phương trình (3.2) t → ∞? b) Phương pháp rời rạc sau mà đường dẫn nghiệm x(t, x0 ) tới vô cùng?