17 hsg9 đắk nông 22 23

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 A Câu Cho biểu thức: Tỉnh Đắk Nông x x   x x1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị tham số m để A  x  m có nghiệm Câu a) Giải phương trình x  x   x  x   x  b) Cho m , n hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh mn  m  n  1192 Câu Một xe tải có chiều rộng 2,4m chiều cao 2,5m muốn qua cổng hình Parabol Biết khoảng cách hai chân cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng tới chân cổng 5m (bỏ qua độ dày cổng) P : y  x a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi Parabol   với a  hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh a  b) Hỏi xe tải có qua cổng khơng? Tại sao? Câu Cho a, b, c số dương thỏa mãn: ab  bc  ca 3 Chứng minh 1 1    2  a  b  c   b  c  a   c  a  b  abc Câu Một tháp xây dựng bên bờ sông, từ điểm đối diện với tháp bờ bên người ta nhìn thấy đình tháp với góc nâng 60 Từ điểm khác cách điểm ban đầu 20m người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 30 Tính chiều cao tháp bề rộng sơng CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 AB  AC  Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Vẽ đường trịn tâm K đường kính BC , cắt cạnh AB AC điểm F E Gọi H giao điểm BE CF a) Chứng minh AF AB  AE AC b) Từ A vẽ tiếp tuyến AM AN với đường tròn ( K ) (với M , N hai tiếp điểm; N thuộc cung EC ) Chứng minh ba điểm M , H , N thẳng hàng -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI    Giáo viên góp đề: Nguyễn Ngọc Duy + 036 391 2472 Giáo viên góp đề: Võ Thị Liễu + 094 147 2411 Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực A Câu Cho biểu thức: x x   x x1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị tham số m để A  x  m có nghiệm Lời giải a) Điều kiện xác định: x 0; x 1 A  x x x      x x1 x 1 x1 x 1 x  x 3 x  3 x    x1  x 1 b) Ta có: A  x  m   x  x 1   x1 x1  x m  x 1   x1    x 1  x1       x  1  x 1 x 1  x1 x 1  x 1    x  1 x m x1  x x1    x 1 x x   x 1  x  x  x  m x  m  x  m x  m  0 Yêu cầu toán tương đương với phương trình:  t  mt  m  0 có nghiệm khơng âm khác Nếu phương trình có nghiệm  m.1  m  0  2m  0  m   t 0 t  t 0    t 1 (thỏa ycbt) Nhận m  Thay ngược lại vào phương trình ta được: Nếu m  để phương trình có nghiệm khơng âm ta có trường hợp: Trường hợp 1: 1 m  1 0  m  m   m  1 0    m  m   Trường hợp 2:  m  4m  0  m    1 m   2   m   8  m  2 Ta có: m  4m  0  m  2 m   2  m 2  m 2  2   CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang   Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Từ  1  2 ta được: m    m 2  2 Do đó: Để phương trình có nghiệm khơng âm m 2  2 m  Vậy, để A  x  m có nghiệm m 2  2 Câu a) Giải phương trình x  x   x  x  x  b) Cho m , n hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh mn  m  n  1192 Lời giải    71 2  x    0 4  x  x  0     2  x  x  0 1   x    0     a) Điều kiện xác định: (luôn đúng) Đặt:  a  x  x   b  x  x  Khi ta có: Suy ra:  a, b   a  b 2  x   a b   a  b   a  b   a  b 2 a2  b2  a b  2 (vì a, b  ) x  x   x  x  2  Khi đó: x2  x   x2  x 1   x  x  2 x  x    x  x   x  4 x  x   x  2 x  x   x   x      2 x  x 0  x   x  x       Vậy phương trình có nghiệm x 0 x  x 0   x 8   m  2k  1  k     n  2k  3 b) Vì m , n hai số phương lẻ liên tiếp nên  Khi đó: mn  m  n   2k  1  2k   2   2k  1   2k   1 24 k  k  1  k  2 2 | k  k  1  2 |  k  1  k   26 | 24 k  k  1  k   Ta thấy:  nên Mặt khác: | k  k  1  k   CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Do đó: 192 2 | mn  m  n  (đpcm) Câu Một xe tải có chiều rộng 2,4m chiều cao 2,5m muốn qua cổng hình Parabol Biết khoảng cách hai chân cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng tới chân cổng 5m (bỏ qua độ dày cổng) P : y  x a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi Parabol   với   hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh   b) Hỏi xe tải có qua cổng không? Tại sao? Lời giải a) Theo yêu cầu toán, ta gắn hệ trục tọa độ sau: Trong đó: A   2; m  , B  2; m  , O  0;0  với m  Vì khoảng cách từ đỉnh cổng tới chân cổng 5m nên OB 2  Do đó: 22  m 2  m 16  m  B  2;   Suy ra:        (đpcm) b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải vào cổng Ta có:  2,5  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Xét đường thẳng d : y   P Xét phương trình hồnh độ giao điểm  P Khi Ta có:  2,  d cắt C , D và d : CD 2  x   x  2  19  12  144 125  19     5    6 25 25 25  5 Suy ra: 2,  Vì xe tải có chiều rộng 2, 4m  6m chiều cao 2,5m  4m nên xe tải qua cổng Câu Cho a, b, c số dương thỏa mãn: ab  bc  ca 3 Chứng minh 1 1    2  a  b  c   b  c  a   c  a  b  abc Lời giải Từ giả thiết ta có: Nên ta có: ab  bc  ca 3  abc   abc 1 1 1     a  b  c  abc  a  b  c  a  ab  bc  bc  3a 1 1  ;   b  c  a  3b  c  a  b  3c Chứng minh tương tự ta có: CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 1 1  1  ab  bc  ca         2 1 a  b  c 1 b  c  a 1 c  a  b  a b c  abc Do đó: (đpcm) Câu Một tháp xây dựng bên bờ sông, từ điểm đối diện với tháp bờ bên người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60 Từ điểm khác cách điểm ban đầu 20m người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 30 Tính chiều cao tháp bề rộng sông Lời giải Xét ABC vuông B có: Xét ABD vng B có: tan ACB  tan ADB  BD  BC CD  AB  Ta có: BC  AB AB AB  BC   BC tan 60 AB AB  BD   AB BD tan 30 AB   20  AB   20  AB 10  20  AB 3  AB 10  10 tan 60 Vậy, chiều cao tháp 10 m bề rộng sông 10m AB  AC  Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Vẽ đường trịn tâm K đường kính BC , cắt cạnh AB AC điểm F E Gọi H giao điểm BE CF a) Chứng minh AF AB  AE AC b) Từ A vẽ tiếp tuyến AM AN với đường tròn ( K ) (với M , N hai tiếp điểm; N thuộc cung EC ) Chứng minh ba điểm M , H , N thẳng hàng Lời giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  O  nên AEF  ABC a) Từ giác BCEF nội tiếp   BAC chung  AEF  ABC AEF ABC  g  g  Xét AEF ABC có:  nên AE AF   AF AB  AE AC Suy ra: AB AC (đpcm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 b) Xét ABC có BE , CF đường cao suy H trực tâm ABC Kẻ đường cao AP  P  BC  ABC Khi M , N , P thuộc đường trịn đường kính AK  AMN  APN (góc nội tiếp cung AN )   Mà AMN  ANM ( AMN cân A theo tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)    1 Nên: ANM  APN  K  nên AN  AE AC Mặt khác: AN tia phân giác AEH APC  g  g   AP AH  AE AC Suy ra: AN  AP AH  AN AP   APN ANH  c  g  c  AH AN  ANH  APN   Từ  1  2   suy ANH  ANM  M , N , H thẳng hàng (đpcm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 