Mã cyclic có độ dài 7ps và khoảng cách của chúng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THIÊN ÂN MÃ CYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 7P S VÀ KHOẢNG CÁCH CỦA CHÚNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2023 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THIÊN ÂN MÃ CYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 7P S VÀ KHOẢNG CÁCH CỦA CHÚNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn PGS.TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng - 2023 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số khái niệm 1.1.1 Vành iđêan 1.1.2 Môđun 10 Mã đại số 11 1.2.1 Đa thức 11 1.2.2 Mã đại số 12 1.2.3 Mã cyclic 15 Chương Mã cyclic có độ dài 7ps vành Fpm khoảng cách mã 17 2.1 Cấu trúc mã cyclic có độ dài 7ps 17 2.2 Về khoảng cách mã có độ dài 7ps vành Fpm 20 2.2.1 Trường hợp 1: ≤ j ≤ i ≤ ps 23 2.2.2 Trường hợp 2: ≤ i ≤ j ≤ ps 25 KẾT LUẬN 28 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu khóa luận trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Trần Thiên Ân MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết mã hóa nghiên cứu thuộc tính mã tảng chúng cho ứng dụng cụ thể Như mã sử dụng để nén liệu, mật mã, sửa lỗi gần mã hóa mạng Năm 1948, báo mang tính bước ngoặt Claude Shannon toán quỹ liên lạc, cho thấy mã tốt tồn tại, đánh dấu khởi đầu Lý thuyết thông tin Lý thuyết mã hóa Từ đến nay, lý thuyết góp phần quan trọng vấn đề thơng tin liên lạc kỹ thuật Nó ứng dụng nhiều thông tin điện tử, thu phát thanh, Đầu tiên, lý thuyết mã nghiên cứu trường hữu hạn Sau đó, nhà tốn học mở rộng nghiên cứu mã vành hữu hạn Năm 1957, mã cyclic trường hữu hạn nghiên cứu lần Prange ([13]) Lớp mã sau nhà nghiên cứu quan tâm cấu trúc đại số tốt chúng ứng dụng vào việc xây dựng mã tốt thực tiễn Nhiều mã tốt biết tới mã BCH, mã Kerdock, mã Golay, mã Reed-Muller, mã Preparata, mã Hamming nhị phân; chúng mã cyclic mã xây dựng từ cấu trúc mã cyclic Có hai lý mã cyclic lớp mã quan trọng lý thuyết mã hóa Trước hết, mã cyclic mã hóa hiệu cách sử dụng ghi dịch chuyển, điều giải thích vai trị ưa thích họ lĩnh vực kỹ thuật Ngoài ra, mã cyclic dễ dàng đặc trưng iđêan vành F[x] với đa thức có hệ hxn − 1i số bảng chữ thuộc trường F Đó đặc điểm làm cho mã cyclic phù thương, cụ thể vành thương vành đa thức hợp với nhiều loại tổng quát khác Tất khái niệm dễ dàng mở rộng sang trường hợp bảng chữ thuộc vành hữu hạn cách thay trường hữu hạn F vành hữu hạn R định nghĩa Những khái niệm đó, R vành chuỗi (chain ring), nhận nhiều ý, chúng nghiên cứu nhiều nhà nghiên cứu 20 năm qua Chính ứng dụng quan trọng phong phú mã cyclic với hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trương Công Quỳnh tơi chọn đề tài: “MÃ CYCLIC CĨ ĐỘ DÀI 7P S VÀ KHOẢNG CÁCH CỦA CHÚNG” cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục tiêu đề tài: Nghiên cứu tính chất cấu trúc lớp mã cyclic có độ dài 7ps vành hữu hạn Tính toán khoảng cách Hamming lớp mã Phát triển hướng nghiên cứu khác đề tài Nhiệm vụ đề tài: - Nêu khái niệm liên quan đến lý thuyết mã ứng dụng lý thuyết mã; - Nghiên cứu cấu trúc tính chất lớp mã cyclic vành hữu hạn; - Tính tốn khoảng cách mã cyclic Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu lớp mã cyclic λ-constacyclic vành chuỗi hữu hạn mã đối ngẫu Khoảng cách mã cyclic - Phạm vi nghiên cứu: Khoá luận luận nghiên cứu cấu trúc lớp mã cyclic với điều kiện nghiệm đơn nghiệm lặp vành hữu hạn khoảng cách chúng số trường hợp Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tìm hiểu tài liệu liên quan đến mã cyclic có độ dài nguyên tố trường, vành hữu hạn - Phân tích, hệ thống tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc nội dung cần thiết đưa vào khoá luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn đồng nghiệp - Chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận logic sở kết công bố phản biện Ngồi cịn sử dụng phương pháp so sánh, tổng quát hóa, phân loại vấn đề xuất tài liệu, báo để tới giải vấn đề đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Khóa luận nghiên cứu vấn đề quan tâm ngành lý thuyết mã khoảng cách lớp mã, xây dựng lớp mã, kiểm tra điều kiện lớp mã, Bài báo cáo tổng kết khố luận làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Cấu trúc khố luận Nội dung khóa luận trình bày chương Ngồi ra, báo cáo cịn có Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận & kiến nghị Danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kiến thức lý thuyết vành, môđun lý thuyết mã Chương bao gồm phần: Phần thứ dành cho việc trình bày khái niệm tính chất lý thuyết vành Phần thứ hai giới thiệu khái niệm số tính chất lý thuyết mã: Đa thức, biểu diễn đa thức mã, mã cyclic, độ dài, khoảng cách mã, số kết sử dụng chứng minh phần sau Chương Gồm hai mục Mục đưa kết cấu trúc mã cyclic có độ dài 7ps trường hữu hạn có pm phần tử, trường hợp pm ≡ 3(mod 7) pm ≡ 5(mod 7) cấu trúc mã đối ngẫu mã cyclic trường hợp Mục trình bày khoảng cách Hamming mã với độ dài 7ps có cấu trúc nghiên cứu phần đầu Chương Bằng việc sử dụng mối quan hệ mã cyclic nghiệm đơn mã cyclic nghiệm lặp, tác giả nghiên cứu khoảng cách Hamming cấu trúc mã cyclic có độ dài 7ps trường hữu hạn Fq hai trường hợp chia thành hai phần mục 2.2 Các kết Khố luận tốt nghiệp viết báo ([1]), báo chấp nhận đăng Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Quảng Bình CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương tác giả trình bày số kiến thức đại số liên quan đến việc nghiên cứu lớp mã cyclic trường, vành hữu hạn Các kết chương chủ yếu tham khảo từ các tài liệu [3], [4], [6], [12],[11],[10] 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Vành iđêan Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi vành tập hợp R với hai phép tốn hai ngơi cho R kí hiệu theo thứ tự dấu + · gọi phép cộng phép nhân cho điều kiện sau thoả mãn: (1) R với phép cộng nhóm aben; (2) R với phép nhân nửa nhóm; (3) Phép nhân phân phối với phép cộng: x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx với phần tử tuỳ ý x, y, z ∈ R Định nghĩa 1.1.2 (1) Một vành R gọi giao hoán phép nhân định nghĩa vành có tính hốn vị, nghĩa a.b = b.a (2) Vành R gọi vành hữu hạn vành R có hữu hạn phần tử Ví dụ 1.1.3 Tập hợp Z số nguyên với phép cộng phép nhân thông thường vành giao hốn có đơn vị gọi vành số nguyên Ví dụ 1.1.4 Tập hợp số nguyên bội số nguyên n > cho trước vành với phép cộng phép nhân thơng thường Vành giao hốn khơng có đơn vị Định nghĩa 1.1.5 Tập A khác rỗng vành R gọi vành R A ổn định với phép tốn hai ngơi R với hai phép tốn vành Ví dụ 1.1.6 (1) Tập hợp gồm phần tử {0} R vành R (2) Cho phần tử a ∈ R Tập hợp A = {n.a|n ∈ Z} vành R Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành, tập A khác rỗng R Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) A vành R; (2) Với x, y ∈ A, ta có xy ∈ A x − y ∈ A Mệnh đề 1.1.2 Giao họ vành R vành R Định nghĩa 1.1.7 Ta gọi iđêan trái (phải) vành R, vành I R thoả mãn điều kiện xa ∈ I (tương ứng, ax ∈ I ), với a ∈ I x ∈ R Một vành I vành R gọi iđêan R I vừa iđêan trái vừa iđêan phải R Định lý 1.1.3 Một phận A khác rỗng vành R iđêan R điều kiện sau thoả mãn: (1) a − b ∈ A với a, b ∈ A; (2) Cho x = (x0 , x1 , , xn−1 ), y = (y0 , y1 , , yn−1 ) ∈ Rn R vành giao hốn hữu hạn, khoảng cách Hamming x, y (kí hiệu dH (x, y)) số cặp xi , yi mà xi 6= yi Khi đó, dH (x, y) := {i|xi 6= yi } Hơn nữa, dH (x, y) = wt(x − y) (3) Tỉ lệ khoảng cách Hamming x, y ∈ Rn δ(x,y) = dH (x, y) = {i|xi 6= yi } n n (4) Khoảng cách Hamming tối thiểu mã C d(C) = min{dH (x, y)|x, y ∈ C, x 6= y} Khoảng cách Hamming khoảng cách sử dụng lý thuyết mã, khoảng cách Hamming tối tiểu thường gọi khoảng cách mã Ví dụ 1.2.9 Mã Hamming hệ thống sửa lỗi phát sửa lỗi liệu lưu trữ truyền Xét ENC (Encoding Error) mã Hamming cho ánh xạ EN C từ {0, 1}4 vào {0, 1}7 xác định EN C(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 , x2 , x3 , x4 , x2 +x3 +x4 , x1 +x3 +x4 , x1 +x2 +x4 )(mod2) 14 C = Im(EN C) ví dụ cho mã Hamming với độ dài khoảng cách Một cách khác để xem cấu trúc mã C  0  0   EN C(x) = 0  0  1 1 0 1 0 1    0  x 0     x  1   mod2 = Gxmod2  x3  1  x4 1 G gọi ma trận sinh (Generator matrix) Định nghĩa 1.2.10 Cho vành R giao hốn hữu hạn mã tuyến tính C có độ dài n R Tích hai từ mã x = (x0 , x1 , , xn−1 ) y = (y0 , y1 , , yn−1 ) C định nghĩa sau: x.y = x0 y0 + x1 y1 + + xn−1 yn−1 Định nghĩa 1.2.11 Hai từ mã x, y gọi trực giao x.y = Mã đối ngẫu mã C kí hiệu C ⊥ tập hợp từ mã mà chúng trực giao với tất từ mã C C ⊥ = {x ∈ Rn |x.y = 0, ∀y ∈ C} • C gọi tự đối ngẫu C = C ⊥ • C gọi tự trực giao C ⊆ C ⊥ • C gọi tự độc lập C ⊥ ⊆ C • C gọi mã LCD (linear with complementary dual code - mã tuyến tính với đối ngẫu bổ sung) C ∩ C ⊥ = {0} 15 1.2.3 Mã cyclic Định nghĩa 1.2.12 Cho ánh xạ σ : Rn −→ Rn , R vành giao hốn hữu hạn Một mã có độ dài n gọi cyclic mã bất biến qua ánh xạ cyclic σ cho σ(c0 , c1 , , cn−1 ) = (cn−1 , c0 , c1 , , cn−2 ) hay với từ mã c = (c0 , c1 , , cn−1 ) ∈ C qua ánh xạ cyclic trở thành (cn−1 , c0 , c1 , , cn−2 ) thuộc C Cho ánh xạ ν : Rn −→ Rn , R vành giao hốn hữu hạn Một mã có độ dài n gọi tựa k -cyclic (hay mã quasi-cyclic với số k ) mã bất biến qua toán tử ν cho ν(c0 , c1 , , cn−k , cn−k−1 , cn−k−2 , , cn−2 , cn−1 ) = (cn−k , cn−k−1 , cn−k−2 , , cn−2 , cn−1 , c0 , c1 , , cn−k+1 ) Hơn mã cyclic có độ dài n R xác định iđêan vành thương R[x]/hxn − 1i thông qua đẳng cấu môđun sau: φ : Rn −→ R[x]/hxn − 1i (c0 , c1 , , cn−1 ) 7−→ c0 + c1 x + + cn−1 xn−1 + hxn − 1i Mệnh đề 1.2.4 Cho C mã cyclic khác không C 6= Fpm [x]/hxn −1i Khi dH (C) ≥ Định nghĩa 1.2.13 Giả sử λ phần tử khả nghịch vành R (với R vành giao hoán hữu hạn), ánh xạ τλ : Rn −→ Rn (c0 , c1 , , cn−1 ) 7−→ (λcn−1 , c0 , c1 , , cn−2 ) gọi toán tử λ−constacyclic Rn Một mã C gọi mã λ-constacyclic τλ (C) = C , nghĩa C đóng 16 toán tử τλ Trong trường hợp λ = 1, mã λ-constacyclic gọi mã cyclic Trong trường hợp λ = −1, mã λ-constacyclic gọi mã negacyclic Mệnh đề 1.2.5 Đối ngẫu mã λ-constacyclic mã λ−1 -constacyclic Mệnh đề 1.2.6 Giả sử λ phần tử khả nghịch F (với F trường hữu hạn), cho λ2 = 1, nghĩa λ = λ = −1 Giả sử C mã λ-constacyclic có độ dài n F Khi đó, mã đối ngẫu C ⊥ C ann∗ (C) Với từ mã (c0 , c1 , , cn−1 ) thường định nghĩa thông qua cách biểu diễn c(x) = c0 + c1 x + c2 c2 + + cn−1 xn−1 mã C xác định tập biểu diễn tất từ mã Khi vành R[x] hxn −λi , xc(x) tương ứng với toán tử λ-constacyclic c(x) Định nghĩa 1.2.14 Mã λ − constacyclic trường hữu hạn có độ dài n gọi mã nghiệm đơn (simple-root cyclic codes) n không chia hết cho đặc số p trường hữu hạn Trong trường hợp p ước n gọi mã nghiệm lặp (repeated-root codes) KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương 1, trình bày vấn đề sau đây: - Các khái niệm tính chất vành, trường, iđêan, môđun, mối quan hệ vành chuỗi giao hoán hữu hạn vành iđêan chính, địa phương - Các khái niệm mã cyclic, từ mã, mã đối ngẫu, mã λ-constacyclic,độ dài mã, khoảng cách mã, 17 CHƯƠNG MÃ CYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 7P S TRÊN VÀNH FP M VÀ KHOẢNG CÁCH CỦA MÃ Trong chương tác giả đưa kết cấu trúc mã cyclic có độ dài 7ps trường hữu hạn có pm phần tử, trường hợp pm ≡ 3(mod 7) pm ≡ 5(mod 7) với p số nguyên tố lớn 7, m số nguyên dương cấu trúc mã đối ngẫu mã cyclic trường hợp Bằng cách sử dụng mối liên hệ mã nghiệm đơn nghiệp lặp, kết khoảng cách Hamming mã với độ dài 7ps có cấu trúc vừa thu được đưa chương 2.1 Cấu trúc mã cyclic có độ dài 7ps Cho p > số nguyên tố m số nguyên dương thỏa mãn điều kiện pm ≡ 3(mod 7) pm ≡ 5(mod 7) Trong phần nghiên cứu cấu trúc mã cyclic có độ dài 7ps trường Fpm Các kết chương tham khảo tài liệu ([1]) Mã cyclic có độ dài 7ps vành Fpm iđêan vành R= Fpm [x] hx7ps − 1i s Đầu tiên ta phân tích nhân tử hóa x7p − thành tích đa thức đơn bất khả quy Trên trường Fpm , ta có: s s s x7p − = (x7 − 1)p = [(x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)]p Bổ đề 2.1.1 ([2]) Cho f (x) = Pn i=0 ci x i ∈ K[x] đa thức có bậc dương Khi đó, tồn trường phân rã F f (x) K Hơn nữa, ρ : K → K đẳng cấu trường F trường phân rã đa thức 18 g(x) = Pn i i=0 ρ(ci )x K tồn đẳng cấu trường ϕ : F → F cho ϕ(a) = ρ(a) với a ∈ K Bổ đề 2.1.2 ([2]) Cho E/K mở rộng trường α ∈ E phần tử đại số K Giả sử p(x) ∈ K[x] đa thức bất khả quy nhận α làm nghiệm Khi đó, K(α) = K[α] [K(α) : K] = deg(p(x)) Hơn nữa, deg(p(x)) = n S = {1, α, α2 , , αn−1 } sở K -không gian vectơ K(α) Mệnh đề 2.1.3 Với số nguyên tố p > φ7 (x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + đa thức chia đường tròn Fpm Nếu pm ≡ 3(mod 7) pm ≡ 5(mod 7), φ7 (x) bất khả quy Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.1, tồn trường F chứa Fpm cho φ7 (x) phân rã F Trước hết ta khẳng định α ∈ K nghiệm φ7 (x) αn 6= với n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} α7 = Thật vậy, rõ ràng x7 − = (x − 1)φ7 (x) Do đó, α nghiệm x7 − Suy α7 = Nếu α = 1, thay vào φ7 (x) = ∈ Fpm bội pm điều mâu thuẫn với giả thiết p số nguyên tố lớn Nếu α2 = = α7 = (α2 )3 α = α, điều vơ lí Nếu α3 = = α7 = (α3 )2 α = α, vơ lí Nếu α4 = = α7 = α4 α3 = α3 , vơ lí Nếu α5 = = α7 = α5 α2 = α2 , vơ lí Nếu α6 = = α7 = α6 α = α, vơ lí Như αn 6= với n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} α7 = Khẳng định chứng minh Giả sử φ7 (x) khả quy Fpm Vì deg(φ7 (x)) = nên φ7 (x) có nhân tử bất khả quy bậc d với d ∈ {1, 2, 3} Nếu φ7 (x) có nhân tử bậc φ7 (x) có nghiệm α ∈ Fpm Vì φ7 (0) = 6= nên α 6= Do đó, α ∈ F∗pm Theo khẳng định trên, phần tử α có cấp nhóm nhân F∗pm Vì F∗pm có cấp pm − nên theo Định lý Lagrange, ước pm − Điều mâu thuẫn với giả thiết p 19 Giả sử φ7 (x) có nhân tử bất khả quy q(x) ∈ Fpm [x] với deg(q(x)) = Lấy α ∈ F nghiệm q(x) Đặt T = Fpm [α] = {g(α)|g(x) ∈ Fpm [x]} Theo Bổ đề 2.1.2, T trường chứa Fpm {1, α} sở Fpm -không gian vectơ T Vì T có p2m phần tử Vì α 6= nên α ∈ T ∗ Từ khẳng định phần đầu chứng minh ta suy cấp α nhóm nhân T ∗ Theo Định lí Lagrange, ước cấp nhóm nhân T ∗ Chú ý T ∗ có cấp p2m − Tuy nhiên p2m − khơng chia hết cho theo giả thiết ta suy p2m − ≡ 3(mod 7) p2m − ≡ 1(mod 7) Điều vơ lí, φ7 (x) khơng có nhân tử bậc Giả sử φ7 (x) có nhân tử bất khả quy q(x) ∈ Fpm [x] với deg(q(x)) = Lấy α ∈ F nghiệm q(x) Đặt T = Fpm [α] = {g(α)|g(x) ∈ Fpm [x]} Theo Bổ đề 2.1.2, T trường chứa Fpm {1, α, α2 } sở Fpm -khơng gian vectơ T Vì T có p3 phần tử Vì α 6= nên α ∈ T ∗ Từ khẳng định phần đầu chứng minh ta suy cấp α nhóm nhân T ∗ Theo Định lí Lagrange, ước cấp nhóm nhân T ∗ Chú ý T ∗ có cấp p3m − Nghĩa là ước p3m − hay pm ≡ 6(mod 7) Tuy nhiên p3m − không chia hết cho theo giả thiết ta suy p3m − ≡ 5(mod 7) Điều vơ lí, φ7 (x) khơng có nhân tử bậc Vậy trường hợp φ7 (x) bất khả quy Định lý 2.1.4 Nếu pm ≡ 3(mod 7) pm ≡ 5(mod 7), mã cyclic có độ dài 7ps Fpm iđêan C = h(x − 1)i (φ7 (x))j i ∈ R, ≤ i, j ≤ ps Mỗi mã C = h(x − 1)i (φ7 (x))j i thu pm(7p từ mã, đối ngẫu s s C ⊥ = h(x − 1)p −i (φ7 (x))p −j i s −i−6j)