Khoảng cách tới tính dừng của các xích markov thuần nhất

0 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC KHOẢNG CÁCH TỚI TÍNH DỪNG CỦA CÁC XÍCH MARKOV THUẦN NHẤT Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC KHOẢNG CÁCH TỚI TÍNH DỪNG CỦA CÁC XÍCH MARKOV Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.06 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN TRUNG HÒA Người thực hiên: NGUYỄN THỊ HƯỜNG NGHỆ AN, 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xích Markov hữu hạn 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Biểu diễn ánh xạ ngẫu nhiên 1.1.3 Mệnh đề 1.2 Tính tối giản tính khơng tuần hồn 1.2.1 Bổ đề 1.2.2 Mệnh đề 10 1.2.3 Di động ngẫu nhiên đồ thị 11 1.3 Các phân phối dừng 12 1.3.1 Định nghĩa 12 1.3.2 Các thời điểm chạm quay lại 14 1.3.3 Sự tồn phân phối dừng 15 1.3.4 Tính phân phối dừng 17 1.3.5 Tính khả nghịch đảo ngược thời gian 19 Chương XÍCH MARKOV VÀ PHÂN PHỐI DỪNG 22 2.1 Khoảng cách biến thiên tồn phần ghép đơi 22 2.1.1 Khoảng cách biến thiên toàn phần hai phân phối 22 2.1.2 Ghép hai phân phối xác suất khoảng cách biến thiên toàn phần 26 2.2 Định lý hội tụ 31 2.2.1 Định lý hội tụ 31 2.2.2 Chuẩn hóa khoảng cách tới tính dừng 32 2.3 Thời điểm hòa nhập thời gian đảo ngược 35 2.3.1 Thời điểm hòa nhập 35 2.3.2 Thời điểm hòa nhập thời gian đảo ngược 36 2.4 Định lý Ergodic 41 2.4.1 Định lý Ergodic 41 2.4.2 Chú ý 45 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Luận văn bao gồm hai chương Chương định nghĩa xích Markov đề cập đến điều kiện cần thiết cho tồn phân phối dừng thông qua khái niệm ánh xạ ngẫu nhiên, biểu diễn ánh xạ ngẫu nhiên, tính tối giản tính khơng tuần hồn; Di động ngẫu nhiên đồ thị; Các phân phối dừng; Tính khả nghịch đảo ngược thời gian Chương chứng minh rằng, số điều kiện định, xích Markov hội tụ tới phân phối dừng chúng Kết khẳng định thông qua định nghĩa khoảng cách biến thiên tồn phần thời điểm hịa nhập, cơng cụ mấu chốt để lượng hóa hội tụ Xét thời điểm hòa nhập mối liên hệ với thời gian đảo ngược; Định lý Ergodic Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xích Markov hữu hạn Một xích Markov hữu hạn q trình chuyển động số phần tử tập hữu hạn theo cách sau: Khi chọn tương ứng với phân phối xác suất xác định , vị trí Một cách chi tiết hơn, ta có định nghĩa sau 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa có ý nghĩa :xác suất có điều kiện việc thay đổi từ trạng thái x tới trạng thái y, không phụ thuộc mà phụ thuộc trạng thái x Dòng thứ x P ký hiệu Ma trận P gọi ma trận ngẫu nhiên, phần tử dịng khơng âm ∑ Chú ý Xích Markov định nghĩa bao hàm tính nhất, nghĩa xác suất chuyển trạng thái từ thời thời điểm đến thời điểm không phụ thuộc vào thân thời điểm Ví dụ Một ếch sống ao hai sen, phía đơng phía tây, ngày tìm hai đồng xu đáy ao đưa đồng xu lên sen Mỗi buổi sang ếch định liệu có nhảy để dịch chuyển sang Hình 1.1 Một bước nhảy ếch Cho tới mặt sấp, nhảy từ sang sen việc tung đồng xu lên sen thời Nếu đồng xu tung lên cho kết sấp nhảy sang sen Nếu đồng xu ngửa lại sen cũ { Bây ta coi } đặt ( ) dãy sen mà ếch ngày Chủ Nhật, Thứ Hai,… Ta giả thiết đồng xu sen phía đơng có xác suất p để nhận mặt sấp, đồng xu sen phía tây có xác suất q để nhận mặt sấp quy tắc nhảy ếch đơn giản sau: ( ( ) ( ) (1.2) ) xích Markov với ma trận chuyển P để ý dòng P phân phối có điều kiện hai P phân phối có điều kiện cho cho , dòng thứ , Giả thiết ếch ngày Chủ Nhật sen phía đơng, thức dậy vào sáng Thứ Hai có xác suất p để chuyển sang sen phía tây có xác suất { để lại sen phía đơng, là: | } { | } Cái xảy ngày Thứ Ba? Bằng việc xét hai khả cho (1.3) , ta thấy { | } (1.4) { | } (1.5) Ta lưu thơng tin phân phối ta véc tơ dòng { | } { | } Giả thiết ếch bắt đầu sen phía đơng viết , (1.3) trở thành Bằng việc nhân P vào bên phải ta cập nhật phân phối bước (1.6) thay phân phối ban đầu ta có (1.7) Hình 1.2 Xác suất theo thời điểm (a) p=q=1/2; (b) p=0.2, q=0.1; (c) p=0.95, q=0.7 Các xác suất giới hạn tương ứng 1/2, 1/3, 14/33 Làm để hình dung phân phối Hình 1.2 gợi ý vào p q) mãn có giới hạn khoảng thời gian dài, (mà giá trị phụ thuộc , phân phối giới hạn kiểu thỏa , điều ngụ ý rằng, giới hạn Thật vậy, Nếu ta định nghĩa với định nghĩa dãy cần thỏa mãn ( ) (1.8) ta kết luận nên Vậy (1.9) phân phối ban đầu Như Những tính tốn mà vừa làm xích hai trạng thái khái quát cho xích Markov hữu hạn trạng thái Nói riêng phân phối thời điểm xác định phép nhân ma trận xích Markov hữu hạn trạng thái với không gian trạng thái ma trận chuyển trạng thái P giả sử véc tơ dòng { }, với phân phối : Từ điều kiện phụ thuộc vào kết có thể có bước trước bước thứ ∑ { } , ta thấy ∑ Viết lại điều dạng véc tơ, đưa đến (1.10) Vì thường xét xích Markov với ma trận chuyển trạng thái khác trạng thái ban đầu, giới thiệu ký hiệu xác suất kỳ vọng với trạng thái ban đầu { Thông } Như thế, xác suất để chuyển t bước từ x đến y cho phần tử dòng ma trận , ta gọi phần tử xác suất chuyển t bước Nhận xét Cách để ta xây dựng ma trận P buộc ta phải coi phân phối véc tơ dịng Nói chung, xích có phân phối thời điểm có phân phối thời điểm t Việc nhân dịng với bên phải đưa từ phân phối thời tới phân phối tương lai ∑ { ∑ } ( ) Thế phần tử thứ x Pf có nghĩa giá trị kỳ vọng hàm f trạng thái kế tiếp, cho có trạng thái thời x Việc nhân véc tơ cột với P vào bên trái đưa ta từ hàm không gian trạng thái tới giá trị kỳ vọng hàm tương lai 1.1.2 Biểu diễn ánh xạ ngẫu nhiên Định nghĩa Một biểu diễn ánh xạ ngẫu nhiên ma trận chuyển không gian trạng thái , với biến ngẫu nhiên – hàm giá trị Z, thỏa mãn { Ta thấy, } dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Z, X0 có phân phối µ, dãy xác định xích Markov với ma trận chuyển P phân phối ban đầu µ Với ví dụ di động ngẫu nhiên đơn giản chu trình, đặt có phân phối , { }, cho biểu diễn ánh xạ ngẫu nhiên 1.1.3 Mệnh đề Mọi ma trận chuyển không gian trạng thái hữu hạn có biểu diễn ánh xạ ngẫu nhiên Để ý rằng, không ma trận chuyển, Biểu diến ánh xạ ngẫu nhiên không Các biểu diễn ánh xạ ngẫu nhiên chủ yếu để mơ xích lớn Chúng đường thích hợp để mơ tả xích Chúng ta thường đưa quy tắc để xử lý xích chuyển từ trạng thái tới trạng thái nào, sử dụng thêm ngẫu nhiên để xác định đâu bước tiếp theo; Cuối cùng, biểu diễn ánh xạ ngẫu nhiên cung cấp đường để kết nối hai nhiều xích thành phần, sử dụng cách đơn giản dãy biến ngẫu nhiên phụ để dị tìm thay đổi Kỹ thuật áp dụng nói thành phần xích Markov ghép đơi, nơi khác 1.2 Tính tối giản tính khơng tuần hồn Một xích P gọi tối giản với hai trạng thái tồn số nguyên t (có thể phụ thuộc vào x y) cho { } tập thời điểm để xích Markov quay trở lại điểm xuất phát Chu kỳ trạng thái xác định ước chung lớn 1.2.1 Bổ đề Nếu P tối giản, Như vậy, với xích tối giản, chu kỳ xích định nghĩa chu kỳ chung trạng thái Xích gọi khơng tuần hồn trạng thái có chu kỳ Nếu xích khơng phải khơng tuần hồn, ta gọi tuần hồn 33 ‖ Ta thấy ‖ (2.23) cực đại (lấy không gian trạng thái ) tất khoảng cách biến thiên toàn phần từ phân phối tập trạng thái xích Markov sau bước tới phân phối dừng Mối liên hệ d thỏa mãn tính chất sau: Bổ đề Nếu d(t) xác định (2.22) (2.23) tương ứng (2.24) Chứng minh: Từ bất đẳng thức tam giác khoảng cách biến thiên toàn phần suy ̅ ̅ (t), Để với tập ∑ dừng, ta có đối Từ ta có ‖ ‖ | | [ |∑ ]| Ta sử dụng bất đẳng thức tam giác tính chất cực đại tổng khơng vượt q tổng cực đại hạng tử để hạn chế phải bởi: ∑ | | | ∑ ∑ ‖ | ‖ (2.25) Vì trung bình có trọng số tập số không vượt phần tử lớn 34 ‖ nên vế phải (2.25) bị chặn ̅ thỏa mãn Bổ đề Hàm số ̅ ‖ ̅ ̅ (tính chất gọi submultiplicative) Chứng minh Cố định cặp tối ưu giả sử mà tồn đảm bảo Mệnh đề mục 2.1.2 Vì ‖ Vì ‖ ma trận tích { } phân phối ∑ { ∑ , ta có } ( ) (chú ý tới nhận xét cuối mục 1.1.1) (2.26) ( Kết hợp điều với đồng thức tương tự ) cho phép ta viết ( ) ( ( ) ) (2.27) Chúng ta kết hợp kỳ vọng định nghĩa không gian xác suất áp dụng Mệnh đề Mục 2.1.1 Việc lấy tổng (2.27) theo rằng: ‖ ‖ ∑| ( )| (2.28) Vế phải nhỏ 35 ( ∑| |) (2.29) Áp dụng Mệnh đề Mục 2.1.1 lần nữa, ta thấy lượng bên dấu kỳ vọng khoảng cách ‖ ‖ , khoảng cách không Hơn khoảng cách bị chặn ̅ Điều cho thấy ‖ ‖ Cuối cùng, ‖ ̅ ( { } (2.30) cặp tối ưu nên xác suất vế phải ‖ Việc cực tiểu hóa theo Ta thấy ̅ ̅ }) { hồn thành chứng minh khơng tăng theo Từ điều Bổ đề số nguyên không âm, ta có ̅ ̅ (2.31) 2.3 Thời điểm hịa nhập thời gian đảo ngược 2.3.1 Thời điểm hòa nhập Việc định nghĩa tham số để xác định thời điểm cần thiết để khoảng cách từ đến phân phối dừng xích Markov đủ nhỏ có ích Ta gọi thời điểm thời điểm hòa nhập Với số thực { } , xét (2.32) Thời điểm hòa nhập xác định công thức ( ) (2.33) 36 Như thời điểm hòa nhập thời điểm để khoảng cách từ phân phối tập trạng thái xích Markov sau bước tới phân phối dừng không 1/4 Bổ đề Mục 2.2.2 (2.31) cho thấy l số nguyên không âm, ̅ Đặc biệt, với ̅ (2.34) bất đẳng thức (2.35) [ ] (2.36) Như vậy, chọn 1/4 bất thường theo định nghĩa tmix, giá trị nhỏ 1/2 cần thiết để bất đẳng thức (2.34) không tầm thường đạt bất đẳng thức dạng (2.36) 2.3.2 Thời điểm hòa nhập thời gian đảo ngược Ta nhớ nhóm tập với phép tốn hai ngơi có tính kết hợp, phần tử trung hòa cho với , (i) (ii) Tồn phần tử nghịch đảo nhóm , Ta định nghĩa di với phân phối tăng xích Markov với Cho phân phối xác suất động ngẫu nhiên nhóm khơng gian trạng thái ngẫu nhiên ứng với dịch chuyển phép nhân bên trái phần tử với trạng thái (hiện thời) Tương đương, với có phần tử cho với xác suất chọn tương ma trận chuyển xích 37 Ví dụ ( -chu trình) Giả sử xác định bới xác suất 1/2 cho 1, { 1) nhóm cộng xiclic (- } Di động ngẫu nhiên đơn giản -chu trình giới thiệu Ví dụ Mục 1.1.2 di động ngẫu nhiên với phân phối tăng Tương tự, phân phối , trọng số 1/2 cho di động ngẫu nhiên 1/4 cho hai phần tử lười -chu trình trình bày Ví dụ cuối Mục 1.2.2 di động ngẫu nhiên Mệnh đề Giả sử hữu hạn xác định trọng số với phân phối tăng ma trận chuyển di động ngẫu nhiên nhóm phân phối giả sử Thế phân phối dừng phân phối tăng di động ngẫu nhiên Với Chứng minh Giả sử , ∑ | | (vì đặt ∑ | | | | Ta gọi phân phối xác suất với ∑ ) nhóm phân phối đối xứng Mệnh đề Di động ngẫu nhiên nhóm hữu hạn G với phân phối tăng khả nghịch Chứng minh Giả sử đối xứng phân phối Với | | , ta có | | Với phân phối nhóm , phân phối ngược ̂ định 38 nghĩa ̂ Giả sử ma trận chuyển di động ngẫu nhiên với phân phối tăng Khi di động ngẫu nhiên với phân phối tăng ̂ xích với thời gian đảo ngược có ma trận chuyển ̂ (được định nghĩa (1.33)) Bổ đề Giả sử P ma trận chuyển di động ngẫu nhiên nhóm giả sử ̂ ma trận chuyển di động ngẫu nhiên với phân phối tăng với phân phối tăng ̂ Giả sử phân phối , , ta có ‖ ‖̂ ‖ Chứng minh: Giả sử ‖ xích Markov với ma trận chuyển trạng thái ban đầu id Ta viết phần tử chọn độc lập theo phân phối Tương tự, giả sử ngẫu nhiên xích với ma trận chuyển ̂ với mức tăng lựa chọn độc lập từ ̂ Với phần tử cố định { } Xác suất { } theo định nghĩa ̂ , việc lấy tổng tất chuỗi cho dẫn tới ̂ Vì ∑| | | | ∑| ̂ | | | ∑| ̂ | | | Và cơng thức với Mệnh đề Mục 2.1.1 khẳng định đẳng thức cần chứng minh Hệ Nếu ̂ thời điểm hòa nhập di động ngẫu nhiên nhóm thời điểm hịa nhập di động ngược ̂ Ví dụ Có khả việc đảo ngược xích Markov thay đổi cách 39 đáng kể thời điểm hòa nhập “Khoảng thắng cuộc” ví dụ Ở ta hạn chế xét thời điểm hịa nhập thời gian ngược Hãy hình dung việc tung đồng xu cân đối lặp lại nhiều lần cố gắng ghi lại (lưu vết) lần gieo (cuối cùng) mặt sấp vào thẻ nhớ với nhớ có độ dài bị chặn Nếu có nhiều nhớ lần sấp dịng thẻ nhớ chúng, trạng thái thời xích ta số nhỏ hai số độ dài số lần sấp nhận cuối Một cách tương đương, xét sổ với chiều rộng chuyển động sang bên phải theo chuỗi hữu hạn gồm bit độc lập, giả sử độ dài khối bao gồm bit xuất phát từ điểm tận bên phải cửa sổ Thế xích Markov với khơng gian trạng thái { } xác suất chuyển khác cho (2.37) Thời điểm t Thời điểm t+1 Thời điểm t+2 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 Hình 2.3 Khoảng thắng với n=5 Ở 𝑋𝑡 Thời điểm t Thời điểm t+1 Thời điểm t+2 𝑋𝑡 𝑋𝑡 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 40 Hình 2.4 Thời gian ngược khoảng thắng với n=5 Ở 𝑋̂𝑡 𝑋̂𝑡 𝑋̂𝑡 Hình 2.5 Các đồ thị chuyển động (a) Khoảng thắng xích với n=5 (b) Khoảng thắng thời gian đảo ngược Xem hình 2.3 2.5 Kiểm tra trực tiếp , dừng với (2.38) kiểm tra trực tiếp thời gian đảo ngược có thành phần khác ̂ ̂ ̂ (2.39) Thể tung đồng xu “khoảng thắng cuộc” minh họa thời gian ngược Hãy hình dung cửa sổ với chiều rộng chuyển động bên trái theo chuỗi bit ngẫu nhiên độc lập Như dãy với độ dài ( ̂ ) khối tận bên phải gồm bit cửa sổ phiên “khoảng thắng cuộc” ngược xích Xem hình 2.4 2.5 Thời gian ngược khoảng hỗn hợp có tính chất đáng ý sau: Sau bước phân phối dừng bất chấp phân phối ban đầu Thật vậy, trước 41 tiên thấy ̂ ̂ , phân phối ̂ Nếu ̂ dừng , phép chuyển xác định phụ thuộc vào , xích dừng t > k Nếu ̂ , vị trí ̂ vào thời gian xich tồn điểm n trước hòa nhập Với xác suất phụ thuộc , xích có thời điểm, chuyển sang thời điểm thứ việc chiếm Trong trường hợp ̂ , ̂ Cũng , Cuối phân phối ban đầu khơng tập trung trạng thái đơn phân phối thời điểm n hòa nhập phân phối từ trạng thái ban đầu dừng Đối với cận dưới, để ý xích bắt đầu dịch chuyển thời điểm ̂ sau cần đạt trạng thái Vì Định nghĩa khoảng cách biến thiên toàn phần cho thấy | | Ta kết luận xích “khoảng thắng cuộc” ngược, với số dương 2.4 Định lý Ergodic Nếu hàm giá trị thực xác định phân phối xác suất ta định nghĩa ∑ 2.4.1 Định lý Ergodic Định lý Giả sử f môt hàm giá tri thực xác định xích 42 Markov tối giản với phân phối ban đầu { bất kỳ, xác suất ∑ } (2.40) Chứng minh Giả thiết xích bắt đầu x Định nghĩa { } Vì xích “khởi động lại” thời điểm nhận x, khối độc lập đơi Như vậy, ∑ ∑ Thì dãy (Yk) mật độ xác suất (i.i.d) Nếu ∑ dựa theo luật mạnh số lớn (Định lý A.8), { Cũng luật mạnh số lớn, } ∑ ( ) viết đơn giản với { ( )} Vì { } (2.41) 43 Chú ý (∑ ) ∑ (∑ (∑ ∑ { }) }) { Sử dụng (1.25), ( ) (2.42) Kết hợp (2.41) (2.42) cho thấy { Ta biết } dãy bị chặn với dãy số ngun thỏa mãn (2.40) , phân phối xác suất với trọng số đơn vị x Việc lấy trung bình trạng thái ban đầu hoàn thiện chứng minh Việc lấy { } Định lý 2.4.1 44 { ∑ { } } tỉ lệ tiệm cận thời gian tồn trạng thái x xích Bổ đề Giả sử ma trận chuyển xích Markov với khơng gian trạng thái , Giả sử ̂ ma trận chuyển xích với thời gian ngược nó, giả sử phân phối Thế ‖̂ ‖ ‖ ‖ Chứng minh Vì xích liên thơng, với cặp chuyển thành Với ∑| (2.44) tồn song ánh bảo tồn xác suất chuyển bất kỳ, | | | ∑| ( ) | | | (2.45) ∑| | | | (2.46) Lấy trung bình hai vế theo ∑| cho ta | | | | | ∑ ∑| | | | (2.47) Vì đều, ta có ̂ , ̂ Suy vế phải | | ∑ ∑| ̂ | | | | | ∑ ∑| | | | 45 (2.48) Theo kết biết trước, ̂ liên thông, nên (2.47) thay ̂ (và đổi vai trò cho ) Ta kết luận ∑| | | | ∑| | | | (2.49) Chia cho áp dụng Mệnh đề Mục 2.1.1 ta có điều phải chứng minh 2.4.2 Chú ý Ý nghĩa định lý Ergodic xích Markov chỗ coi “trung bình theo thời gian trung bình theo không gian” Các Bổ đề Mục 2.3.2 Mục 2.4.1 chung kết luận Tuy nhiên chứng minh Bổ đề Mục 2.3.2 thiết lập tương ứng xác qũy đạo tiến lùi (nghĩa theo thời gian), chứng minh Bổ đề cuối Mục 2.4.1 khẳng định việc lấy trung bình qua khơng gian trạng thái (nghĩa theo không gian) KẾT LUẬN uận văn tìm hiểu trình bày ết sau Trình bày theo hướng thực tế khái niệm xích Markov, ví dụ để làm rõ xích Markov khơng gian trạng thái hữu hạn đặc trưng không gian trạng thái, ma trận xác suất chuyển trạng thái (ma trận chuyển) phân phối ban đầu Trình bày khái niệm phân phối dừng khoảng cách biến thiên tồn phần hai phân phối khơng gian mẫu Chứng minh định lý hội tụ: xích Markov hữu hạn hội tụ tới phân phối dừng 46 chúng Kiểm tra tác động phân phối ban đầu đến khoảng cách tới phân phối dừng; định nghĩa thời điểm hòa nhập xích, xét tình liên quan trường hợp xích có chung thời điểm hịa nhập Chứng minh phiên định lý Egodic xích Markov Hướng mở uận văn Tiếp tục nghiên cứu xích Markov ứng dụng Sự phân lớp trạng thái mối liên hệ với chu kỳ trạng thái xích tối giản Biểu diễn tắc ma trận xác suất chuyển… 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aldous, D and J Fill Reversible Markov chains and random walks on graphs http://www.stat.berkeley.edu/~aldous/RWG/book.html 1999 [2] Aldous, D Random walks on finite groups and rapidly mixing Markov chains, Seminar on probability, XVII, Lecture Notes in Math., vol 986, Springer, Berlin, pp 243–297 ↑60, 218 1983 [3] Basharin, G P., A N Langville, and V A Naumov The life and work of A A Markov, Linear Algebra Appl 386, 3–26 ↑20 2004 [4] David A L., Yuval P., Elizabeth L W., Markov Chains and Mixing Times http://pages.uoregon.edu/dlevin/MARKOV/markovmixing.pdf American Mathematical Society AMS bookstore 2008 [5] Lov´asz, L and P Winkler Mixing times, Microsurveys in discrete probability (Princeton, NJ, 1997), DIMACS Ser Discrete Math Theoret Comput Sci., vol 41, Amer Math Soc., Providence, RI, pp 85–133 ↑60, 83, 85, 264 1998 [6] Montenegro, R and P Tetali Mathematical aspects of mixing times in Markov chains, Vol ↑xvi, 60 2006 ... đến khoảng cách tới tính dừng, định nghĩa thời điểm hịa nhập xích, xét tình liên quan trường hợp xích có chung thời điểm hịa nhập, chứng minh phiên định lý Egodic xích Markov 2.1 Khoảng cách. .. Định nghĩa khoảng cách (2.1) cực đại lấy tất tập , nên việc sử dụng định nghĩa chưa phải cách thuận tiện để ước lượng khoảng cách Ta đưa ba đặc trưng thay có ích Mệnh đề quy khoảng cách hai phân... thị; Các phân phối dừng; Tính khả nghịch đảo ngược thời gian Chương chứng minh rằng, số điều kiện định, xích Markov hội tụ tới phân phối dừng chúng Kết khẳng định thông qua định nghĩa khoảng cách