Lý thuyết mã cyclic và negacyclic có độ dài

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NĂM 2020 – 2021 Tên đề tài : LÝ THUYẾT MÃ CYCLIC VÀ NEGACYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 𝟐𝒑𝒔 TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Sinh viên thực hiện: PHẠM THỊ GIÁNG QUỲNH_17ST Người hướng dẫn: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng, tháng năm 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NĂM 2020 – 2021 Tên đề tài : LÝ THUYẾT MÃ CYCLIC VÀ NEGACYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 𝟐𝒑𝒔 TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Sinh viên thực hiện: PHẠM THỊ GIÁNG QUỲNH_17ST Người hướng dẫn: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng, tháng năm 2020 LỜI CAM ĐOAN Báo cáo hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, hướng dẫn PGS TS Trương Công Quỳnh Tôi xin cam đoan cơng trình riêng tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào báo cáo Sinh viên Phạm Thị Giáng Quỳnh LỜI CẢM ƠN Bài luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, hướng dẫn khoa học PGS TS Trương Công Quỳnh Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy PGS TS Trương Cơng Quỳnh, người đặt tốn định hướng nghiên cứu cho em Thầy tận tình bảo tạo điều kiện để em học tập hồn thành báo cáo Cảm ơn thầy ln chia sẻ, động viên em trình học tập nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán học trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện để em hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình người bạn thân thiết chia sẻ, giúp đỡ, động viên em trình nghiên cứu Phạm Thị Giáng Quỳnh MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC .5 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .5 1.1 Một số kiến thức vành trường 1.2 Một số kiến thức mã tuyến tính 1.3 Kết luận Chương 11 CHƯƠNG 12 MÃ NEGACYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 2𝑠 TRÊN VÀNH GALOIS 12 2.1 Cấu trúc mã negacyclic 12 2.2 Khoảng cách Hamming 14 2.3 Tổng kết chương 18 CHƯƠNG 19 MÃ CYCLIC VÀ NEGACYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 2𝑝 𝑠 TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN 𝔽𝑝𝑚 19 3.1 Mã cyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝔽𝑝𝑚 19 3.2 Mã negacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝔽𝑝𝑚 20 3.3 Tổng kết chương 23 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ……………………………….… …………23 DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng Các mã negacyclic có độ dài 16 ℤ𝟒 , với kích thước khoảng cách Hamming chúng 18 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG BÁO CÁO Kí hiệu Ý nghĩa 𝑎𝑛𝑛(𝐶) Linh hóa tử tập hợp 𝐶 𝐶⊥ Mã đối ngẫu mã 𝐶 𝑓∗ Đa thức đảo 𝑓 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết mã negacyclic cyclic hình thành ngày đầu Berkrlamp vào năm 1968 Trải dài theo thời đại lịch sử, đến nay, lý thuyết góp phần quan trọng vấn đề thông tin liên lạc kỹ thuật Nó ứng dụng nhiều thơng tin điện tử, thu phát thanh,… Đầu tiên, lý thuyết mã nghiên cứu trường hữu hạn Sau đó, nhà tốn học mở rộng nghiên cứu mã vành hữu hạn Mã cyclic trường hữu hạn tập trung nghiên cứu từ cuối năm 1950 Kể từ năm 1990, có nhiều nghiên cứu mã ℤ4 [11] Các cơng trình Nechaev [10] Hammons cộng [5] cơng nhận vềtính khả thi nghiên cứu Năm 2007, D Q Hai xây dựng cơng thức tính khoảng cách tất mã negacyclic độ dài 2𝑠 ℤ2𝛼 Tuân theo dòng nghiên cứu, luận văn tiếp tục với mã negacyclic có độ dài 2𝑠 vành Galois 𝔾𝑅(2𝑎 , 𝑚) Đồng thời, với số nguyên tố lẻ, đề tài mở rộng mã cyclic negacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝔽𝑝𝑚 Với mục đích nghiên cứu mã negacyclic cyclic, em lựa chọn đề tài nghiên cứu là: “Lý thuyết mã cyclic negacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 trường hữu hạn” Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu với mục đích đưa cấu trúc đại số theo thuật ngữ tạo đa thức mã negacyclic cyclic Đặc biệt, em liệt kê tất mã negacyclic có độ dài 16 ℤ4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài báo cáo thuộc lĩnh vực khoa học ngành toán học Do đó, em chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận logic sở kết biết trước Bước đầu, em nghiên cứu tài liệu chuyên môn với số báo lĩnh vực nghiên cứu Sau đó, em sử dụng phương pháp khái quát hóa, so sánh, phân loại để đề xuất vấn đề nghiên cứu báo cáo Đối tượng nghiên cứu - Mã negacyclic có độ dài 2𝑠 GR(2a , 𝑚) - Mã cyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝔽𝑝𝑚 - Mã negacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝔽𝑝𝑚 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu cấu trúc mã negacyclic có độ dài 2𝑠 vành Galois GR(2a , 𝑚) Ngồi ra, cịn nghiên cứu mã negacyclic mã cyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝔽𝑝𝑚 số tính chất loại mã Ý nghĩa khoa học thực tiễn Trong năm trở lại đây, lĩnh vực thông tin điện tử phát triển cách nhanh chóng khơng ngừng Cho nên, nghiên cứu vấn đề đem lại ứng dụng cho lĩnh vực có ý nghĩa đáng Bài báo cáo nghiên cứu trường 𝔽𝑝𝑚 thu số kết cấu trúc mã negacyclic có độ dài 2𝑠 GR(2a , 𝑚) Bài báo cáo đạt số kết mã constacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 vành chuỗi giao hoán hữu hạn, có kết nhà toán học khác D Q Hai, Y Cao… với cách chứng minh khác đơn giản Bài báo cáo làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tổng quan cấu trúc báo cáo 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến báo cáo Trong lý thuyết mã, lớp mã constacyclic đóng vai trị quan trọng Trong có hai loại mã quan tâm mã cyclic mã negacyclic Các mã cyclic mã hóa cách hữu hiệu việc sử dụng cách ghi luân phiên, điều giải thích vai trị tích cực chúng cơng nghệ Bên cạnh đó, hầu hết nghiên cứu tập trung trường hợp độ dài n mã có liên quan đến đặc số p trường F Trong trường hợp đó, cho mã 𝜆 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑐𝑦𝑐𝑙𝑖𝑐 có độ dài n iđêan ⟨ f ( x )⟩ vành thương 𝐹[𝑥] ⟨ 𝑥 𝑛 −λ⟩ , với 𝑓(𝑥) ước ⟨ 𝑥 𝑛 − λ⟩ Nếu độ dài n mã chia hết cho đặc số p trường F mã gọi mã nghiệm lặp Ngược lại, mã gọi làm mã nghiệm đơn Đó nghiên cứu từ năm 1967 S D Berman [9] Những năm sau, mã nghiệm lặp nghiên cứu cách tổng quát nhiều nhà toán học khác J L Massey [7], G Falkner [3], R M Roth G Seoussi [8]… Vì thế, việc tìm thêm tính chất thú vị khác mã cyclic nghiệm lặp điều khả thi động lực thúc đẩy nhà toán học khác nghiên cứu nhiều vấn đề Cho 𝒜 bảng chữ gồm q ký tự Một tập C 𝒜n gọi mã có độ dài n 𝒜 Mỗi phần tử c thuộc C gọi từ mã mã C Các nhà toán học trang bị cấu trúc đại số cho tập 𝒜 Bước đầu, họ xét 𝒜 trường hữu hạn Khi 𝒜𝑛 trở thành không gian vectơ 𝒜 Nếu thêm điều kiện 𝐶 không gian vectơ 𝒜𝑛 𝐶 gọi mã tuyến tính có độ dài n 𝒜 Sau đó, nhà toán học tiếp tục xem xét 𝒜 vành giao hốn hữu hạn Khi đó, họ nhìn nhận 𝒜𝑛 𝒜 − môđun Nếu C mơđun 𝒜 − mơđun 𝒜𝑛 C gọi mã tuyến tính độ dài n vành giao hoán hữu hạn 𝒜 Tiếp theo, nhà toán học đưa khái niệm mã cyclic, mã negacyclic tổng quát mã 𝜆 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑐𝑦𝑐𝑙𝑖𝑐 với 𝜆 phần tử khả nghịch 𝒜 7.2 Cấu trúc báo cáo Nội dung báo cáo trình bày chương Ngồi ra, báo cáo cịn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận kiến nghị, Danh mục cơng trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan trực tiếp đến luận án danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kiến thức vành, trường mã tuyến tính để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương bao gồm mục: Mục dành cho việc trình bày khái niệm tính chất vành, trường hữu hạn Mục 1.2 giới thiệu khái niệm số tính chất mã tuyến tính vành giao hốn hữu hạn như: tích trong, trực giao, mã tự đối ngẫu,… số kết hướng nghiên cứu, sử dụng chứng minh phần sau 11 1.3 Kết luận Chương Trong chương 1, em trình bày vấn đề sau đây: - Các khái niệm tính chất vành, trường, iđêan, mơđun, mối quan hệ vành chuỗi giao hốn hữu hạn vành iđêan chính, địa phương - Các khái niệm mã tuyến tính, từ mã, mã đối ngẫu 12 CHƯƠNG MÃ NEGACYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 𝟐𝒔 TRÊN VÀNH GALOIS 2.1 Cấu trúc mã negacyclic 2.1.1 Bổ đề Với số nguyên dương n, tồn đa thức ∝𝑛 (𝑥) ∈ ℤ[𝑥] mà 𝑛 𝑛 (𝑥 + 1)2 = 𝑥 + + ∝𝑛 (𝑥), ∝𝑛 (𝑥) khả nghịch ℛ(𝑎, 𝑚) Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp n Với 𝑛 = 1, (𝑥 + 1)2 = 𝑥 + + 2𝑥, 𝛼1 (𝑥) = 𝑥 rõ ràng 𝛼1 (𝑥) = 𝑥 khả nghịch ℛ(𝑎, 𝑚) Giả sử 𝑛 > kết luận cho tất số nguyên dương nhỏ n Tức là, 𝑛 (𝑥 + 1)2 = [(𝑥 + 1)2(𝑛−1) ] 2 = [𝑥 2(𝑛−1) + + 2𝛼𝑛−1 (𝑥)] 𝑛 ( ) = 𝑥 + + 4𝛼𝑛−1 𝑥 + 2𝑥 2(𝑛−1) + 4𝛼𝑛−1 (𝑥) + 4𝑥 2(𝑛−1) 𝛼𝑛−1 (𝑥) = 𝑥 + + 2𝛼𝑛 (𝑥) ( ) Với 𝛼𝑛 (𝑥) = 2𝛼𝑛−1 𝑥 + 𝑥 2(𝑛−1) + 2𝛼𝑛−1 (𝑥) + 2𝑥 2(𝑛−1) 𝛼𝑛−1 (𝑥) Để thể 𝛼𝑛 (𝑥) khả nghịch ℛ(𝑎, 𝑚), kí hiệu x phần tử khả nghịch 𝑥 2(𝑛−1) khả nghịch ℛ(𝑎, 𝑚) Với lũy linh ℛ(𝑎, 𝑚), cho thấy 𝛼𝑛 (𝑥) có dạng 𝛼𝑛 (𝑥) = 𝑥 2(𝑛−1) (1 + 𝑦), với y lũy linh ℛ(𝑎, 𝑚) Chọn k số nguyên lẻ mà 𝑦 𝑘 = 0, ta có = + 𝑦 𝑘 = (1 + 𝑦)(1 − 𝑦 + 𝑦 − ⋯ + 𝑦 𝑘−1 ) Nghĩa + 𝑦 khả nghịch ℛ(𝑎, 𝑚), đó, 𝛼𝑛 (𝑥) = 𝑥 2(𝑛−1) (1 + 𝑦) khả nghịch ℛ(𝑎, 𝑚) 2.1.2 Mệnh đề Phần tử 𝑥 + lũy linh với số lũy linh 2𝑠 𝑎 𝑠 𝑠 Chứng minh Theo Bổ đề 3.1, (𝑥 + 1)2 = 𝑥 + + ∝𝑠 (𝑥), với ∝𝑠 (𝑥) phần 𝑠 tử khả nghịch ℛ (𝑎, 𝑚), (𝑥 + 1)2 = ∝𝑠 (𝑥) Kết kéo theo số lũy linh ℛ (𝑎, 𝑚) a Như vậy, mệnh đề chứng minh Xét trường hợp đặc biệt 𝑎 = 1, ta có 𝐺𝑅(2, 𝑚) = 𝐺𝐹 (2𝑚 ), mà Mệnh đề 3.1.2 ngụ ý 𝑥 + lũy linh ℛ (1, 𝑚) = 𝐺𝐹(2𝑚 )[𝑥] 𝑠 〈𝑥 +1〉 với số lũy linh 2𝑠 Dễ thấy 13 〈𝑥 + 1〉 iđêan tối đại ℛ (1, 𝑚) Ta có, ℛ (1, 𝑚) vành chuỗi Bây giờ, ta chứng minh điều với giá trị a 2.1.3 Mệnh đề Vành ℛ (𝑎, 𝑚) vành chuỗi với iđêan tối đại 〈𝑥 + 1〉 trường thặng dư GF(2𝑚 ) Chứng minh Cho I iđêan ℛ (𝑎, 𝑚) Tập 𝐼# gồm phần tử I quy modul iđêan ℛ (1, 𝑚) Từ ℛ (1, 𝑚) vành chuỗi chuỗi với iđêan tối đại 〈𝑥 + 1〉, với số lũy linh 𝑥 + 2𝑠 Điều cho thấy 𝐼# = 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉 ℛ (1, 𝑚), với 𝑖 ∈ {0,1, … , 2𝑠 } Vì thế, với phần tử 𝑟(𝑥) ∈ 𝐼, tồn 𝛽 (𝑥), 𝛾 (𝑥)𝜖 ℛ (𝑎, 𝑚) mà 𝑠 𝑟(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑖 𝛽 (𝑥) + 2𝛾(𝑥) Từ Bổ đề 3.1.1, 2𝛾 (𝑥) ∈ 〈(𝑥 + 1)2 〉, với I chứa iđêan 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉 ℛ (𝑎, 𝑚), ≤ 𝑗 ≤ 2𝑠 𝑎 Chọn k phần tử lớn 𝑗 𝜖 {0, 1, … , , 2𝑠 𝑡 } mà 𝐼 ⊆ 〈(𝑥 + 1)𝑗 〉 Tồn 𝜃(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑘 𝜗(𝑥), với 𝜗(𝑥)𝜖 ℛ (𝑎, 𝑚) mà (𝑥 + 1, 𝜗(𝑥)) = Vì (𝑥 + 1) bất khả nghịch ℛ (𝑎, 𝑚), nên xảy trường hợp 𝜗(𝑥) khả nghịch ℛ (𝑎, 𝑚) Vì thế, (𝑥 + 1)𝑘 = 𝜃 (𝑥)[𝜗(𝑥)]−1 𝜖𝐼, kéo theo 𝐼 = 〈(𝑥 + 1)𝑘 〉 Khi I chọn iđêan tùy ý ℛ (𝑎, 𝑚), cho thấy iđêan ℛ (𝑎, 𝑚) 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉, ≤ 𝑖 ≤ 2𝑠 𝑎 Cho nên, ℛ (𝑎, 𝑚) vành chuỗi với iđêan tối đại 〈𝑥 + 1〉 trường thặng dư GF(2𝑚 ) 2.1.4 Định lí Mã negacyclic có độ dài 2𝑠 vành Galois GR(2a , 𝑚) xác 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉, ≤ 𝑖 ≤ 2𝑠 𝑎 Chứng minh Vì mã negacyclic có độ dài 2𝑠 vành Galois GR(2a , 𝑚) iđêan ℛ (𝑎, 𝑚), kết định lí dựa vào Mệnh đề 3.1.3 2.1.5 𝑠 Chú thích Bổ đề 3.1.1 cho thấy rằng, ℛ (𝑎, 𝑚), 〈(𝑥 + 1)2 〉 = 〈2〉 Vì thế, mã negacyclic có độ dài 2𝑠 vành Galois GR(2a , 𝑚) viết 〈2𝑗 (𝑥 + 1)𝑘 〉, ≤ 𝑗 ≤ 𝑎 − 1, ≤ 𝑘 ≤ 2𝑠 − 14 2.1.6 Định lí Cho C negacyclic có độ dài 2𝑠 vành Galois GR(2a , 𝑚) Khi đó, ta có định lí sau 𝑠 𝑎−𝑖) (i) 𝐶 = 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉, ≤ 𝑖 ≤ 2𝑠 𝑎 số lượng từ mã C |𝐶 | = 2𝑚(2 (ii) Mã kép C 𝐶 ⊥ = 〈(𝑥 + 1)2 𝑠 𝑎−𝑖 〉 số lượng từ mã 𝐶 ⊥ |𝐶 ⊥ | = 2𝑚𝑖 Chứng minh Vì C mã negacyclic có độ dài 2𝑠 vành Galois GR(2a , 𝑚) Theo Định lí 3.1.4, tồn số nguyên 𝑖 ∈ {0, 1, … , 2𝑠 𝑎} mà 𝐶 = 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉 Vì thế, 𝑠 𝑎−𝑖) iđêan ℛ (𝑎, 𝑚), |𝐶 | = 2𝑚(2 , (i) chứng minh Mặt khác, |𝐶 | ∙ 𝑠 𝑎𝑚 |𝐶 ⊥ | = |ℛ (𝑎, 𝑚)| = 22 Ta được, |𝐶 ⊥ | = 𝑠 22 𝑎𝑚 𝑠 2𝑚(2 𝑎−𝑖) = 2𝑚𝑖 Vì 𝐶 ⊥ mã negacyclic, nên tồn 𝑠 𝑎−𝑗) 𝑗 ∈ {0,1, … 2𝑠 𝑎} mà 𝐶 ⊥ = 〈(𝑥 + 1)𝑗 〉 |𝐶 ⊥ | = 2𝑚(2 𝑠 𝑎−𝑖 Đặt 𝑖 = 2𝑠 𝑎 − 𝑗, vậy, 𝐶 ⊥ = 〈(𝑥 + 1)2 2.2 〉 Khoảng cách Hamming 2.2.1 Định lí.[6] Cho C negacyclic có độ dài 2𝑠 vành Galois GR(2a , 𝑚), tức 𝐶 = 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉 ⊆ ℛ (𝑎, 𝑚), với 𝑖 ∈ {0, 1, … 2𝑠 𝑎} Đặt 𝑑(𝐶) kí hiệu khoảng cách Hamming C Khi =0 =1 𝑑 (𝐶 ) { =2 ≥2 𝑖 = 2𝑠 𝑎 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑠 (𝑎 − 1) 2𝑠 (𝑎 − 1) < 𝑖 ≤ 2𝑎 𝑠 (𝑎 − 1) + 2𝑠−1 2𝑠 (𝑎 − 1) + 2𝑠−1 < 𝑖 ≤ 2𝑠 𝑎 − 2.2.2 Hệ Với 𝑠 = Cho C mã negacyclic có độ dài ℤ2𝑎 Khi đó, 𝐶 = 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉 ⊆ ℤ2𝑎 [𝑥] , 𝑖 ∈ {0,1, 4𝑎} 〈 𝑥 + 1〉 Và =0 =1 𝑑 (𝐶 ) { =2 =4 𝑖 = 4𝑎 ≤ 𝑖 ≤ 4𝑎 − 𝑖 = 4𝑎 − 𝑖 = 4𝑎 − 𝑖 = 4𝑎 − 2.2.3 Hệ Với 𝑠 = Cho C mã negacyclic có độ dài ℤ2𝑎 Khi đó, 15 𝐶 = 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉 ⊆ ℤ2𝑎 [𝑥] , 𝑖 ∈ {0,1, 8𝑎} 〈 𝑥 + 1〉 Và =0 =1 ( ) 𝑑 𝐶 =2 =4 { =8 𝑖 = 8𝑎 ≤ 𝑖 ≤ 8𝑎 − 8𝑎 − ≤ 𝑖 ≤ 8𝑎 − 𝑖 = 8𝑎 − 𝑖 = 8𝑎 − 𝑖 = 8𝑎 − 2.2.4 Hệ Với 𝑠 = Cho C mã negacyclic có độ dài 16 ℤ4 Khi đó, 𝐶 = 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉 ⊆ ℤ4 [𝑥] , 𝑖 ∈ {0,1, 32} 〈𝑥 16 + 1〉 Và =0 =1 = 𝑑 (𝐶 ) =4 =8 { = 16 𝑖 = 16𝑎 ≤ 𝑖 ≤ 16𝑎 − 16 16𝑎 − 15 ≤ 𝑖 ≤ 16𝑎 − 16a − ≤ i ≤ 16a − 𝑖 = 16𝑎 − 𝑖 = 16𝑎 − 𝑖 = 16𝑎 − Để liệt kê tất mã negacyclic có độ dài 16 ℤ4 , em xây dựng bảng sau: Khoảng i Khai triển mã Độ dài cách (𝑥 + 1)0 = 232 1 (𝑥 + 1)1 = 𝑥 + 231 (𝑥 + 1)2 = 𝑥 + 2𝑥 + 230 (𝑥 + 1)3 = 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 229 (𝑥 + 1)4 = 𝑥 + 2𝑥 + 228 (𝑥 + 1)5 = 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 + 227 16 (𝑥 + 1)6 = 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 + 226 225 (𝑥 + 1)7 = 𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 + (𝑥 + 1)8 = 𝑥 + 2𝑥 + 224 (𝑥 + 1)9 = 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 223 222 (𝑥 + 1)10 = 𝑥 10 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 10 + 2𝑥 + (𝑥 + 1)11 = 𝑥 11 + 3𝑥 10 + 3𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 11 + 2𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 221 12 (𝑥 + 1)12 = 𝑥 12 + 2𝑥 10 + 3𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 + 220 219 218 217 (𝑥 + 1)13 = 𝑥 13 + 𝑥 12 + 2𝑥 11 + 2𝑥 10 + 3𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 13 +𝑥+1 (𝑥 + 1)14 = 𝑥 14 + 2𝑥 13 + 3𝑥 12 + 𝑥 10 + 2𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 14 + 2𝑥 + (𝑥 + 1)15 = 𝑥 15 + 3𝑥 14 + 𝑥 13 + 3𝑥 12 + 𝑥 11 + 3𝑥 10 + 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 15 + 3𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 + 16 (𝑥 + 1)16 = 2𝑥 216 17 (𝑥 + 1)17 = 2𝑥 + 28 215 17 18 (𝑥 + 1)18 = 2𝑥 10 + 2𝑥 214 19 (𝑥 + 1)19 = 2𝑥 11 + 2𝑥 10 + 2𝑥 + 2𝑥 213 20 (𝑥 + 1)20 = 2𝑥 12 + 2𝑥 212 21 (𝑥 + 1)21 = 2𝑥 13 + 2𝑥 12 + 2𝑥 + 2𝑥 211 22 (𝑥 + 1)22 = 2𝑥 14 + 2𝑥 12 + 2𝑥 + 2𝑥 210 29 (𝑥 + 1)23 = 2𝑥 15 + 2𝑥 14 + 2𝑥 13 + 2𝑥 12 + 2𝑥 11 23 + 2𝑥 10 + 2𝑥 + 2𝑥 24 (𝑥 + 1)24 = 2𝑥 + 28 25 (𝑥 + 1)25 = 2𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 27 26 (𝑥 + 1)26 = 2𝑥 10 + 2𝑥 + 2𝑥 + 26 25 24 23 22 21 16 (𝑥 + 1)27 = 2𝑥 11 + 2𝑥 10 + 2𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 27 28 + 2𝑥 + 2𝑥 + (𝑥 + 1)28 = 2𝑥 12 + 2𝑥 + 2𝑥 + (𝑥 + 1)29 = 2𝑥 13 + 2𝑥 12 + 2𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 29 + 2𝑥 + 2𝑥 + (𝑥 + 1)30 = 2𝑥 14 + 2𝑥 12 + 2𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 30 + 2𝑥 + 2𝑥 + (𝑥 + 1)31 = 2𝑥 15 + 2𝑥 14 + 2𝑥 13 + 2𝑥 12 + 2𝑥 10 + 2𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 31 + 2𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 18 (𝑥 + 1)32 = 32 Bảng Các mã negacyclic có độ dài 16 ℤ𝟒 , với kích thước khoảng cách Hamming chúng 2.3 Tổng kết chương Ở chương này, kết trình bày bao gồm: - Cấu trúc mã negacyclic có độ dài 2𝑠 vành Galois - Khoảng cách Hamming, hệ bảng liệt kê cụ thể khai triển, kích thước khoảng cách loại mã 19 CHƯƠNG MÃ CYCLIC VÀ NEGACYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 𝟐𝒑𝒔 TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN 𝔽𝒑𝒎 Chương hình thành dựa báo mã constacyclic nghiệm lặp tham khảo tài liệu [4] Các cấu trúc đại số theo thuật ngữ tạo đa thức tất mã constacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 trường hữu hạn 𝔽𝑝𝑚 thiết lập Trong kết khác, tất mã negacyclic tự kép có độ dài 2𝑝 𝑠 , 𝑝 ≡ 1(mod 4) (m bất kỳ), p ≡ (mod 4), m cho, cung cấp Nó cho thấy khơng tồn mã negacyclic tự kép có độ dài p ≡ (mod 4), m số lẻ mã tuần hồn tự kép có độ dài 2𝑝 𝑠 , cho số nguyên tố lẻ p Mã cyclic có độ dài 𝟐𝒑𝒔 𝔽𝒑𝒎 3.1 Mã cyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝐹𝑝𝑚 iđêan vành iđêan 𝑅2 = 𝐹𝑝 𝑚 [𝑥 ] 〈𝑥 2𝑝𝑠 − 1〉 𝑠 Những iđêan tạo hệ số 𝑥 2𝑝 − Không giống mã negacyclic, với 𝑝, 𝑥 − ln ln phân tích thành (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) Vì 𝑠 vậy, phân tích 𝑥 2𝑝 − với tích hệ số tối giản 𝐹𝑝𝑚 [𝑥] 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑥 2𝑝 − = (𝑥 − 1)𝑝 = (𝑥 − 1)𝑝 (𝑥 + 1)𝑝 Cũng dễ dàng để nhìn thấy (𝑥 + 1)∗ = 𝑥 + (𝑥 − 1)∗ = −(𝑥 − 1) Do đó, lập luận tương tự phần 2.2 đưa danh sách tất mã tuần hồn vậy, kích thước chúng mã kép 3.1.1 Định lý Mã cyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝔽𝑝𝑚 〈(𝑥 − 1)𝑖 (𝑥 + 1)𝑗 〉 ⊆ 𝑅2 , với ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑝 𝑠 Mỗi mã 𝐶𝑖,𝑗 = 〈(𝑥 − 1)𝑖 (𝑥 + 1)𝑗 〉 chứa 𝑝𝑚(2𝑝 ⊥ 𝐶𝑖,𝑗 = 〈(𝑥 − 1)𝑝 𝑠 −𝑖 (𝑥 + 1)𝑝 𝑠 −𝑗 〉 𝑠 −𝑖−𝑗) từ mã, mã đối ngẫu 20 Một kéo theo trực tiếp mã cyclic tự đối ngẫu có độ dài 2𝑝 𝑠 𝐹𝑝𝑚 không tồn Để mã cyclic 〈(𝑥 − 1)𝑖 (𝑥 + 1)𝑗 〉 tự đối ngẫu, 𝑖 = 𝑝 𝑠 − 𝑖, 𝑗 = 𝑝 𝑠 − 𝑗 tức 𝑝 𝑠 = 2𝑖 = 2𝑗, điều 3.1.2 Hệ Với số ngun tố 𝑝 lẻ, khơng có mã cyclic tự đối ngẫu có độ dài 2𝑝 𝑠 𝔽𝑝𝑚 Mã negacyclic có độ dài 𝟐𝒑𝒔 𝔽𝒑𝒎 3.2 Như thảo luận phần 2.1, mã âm có độ dài 2𝑝 𝑠 𝔽𝑝𝑚 iđêan vành 𝑅1 = 𝔽𝑝 𝑚 [ 𝑥 ] 〈𝑥 2𝑝𝑠 + 1〉 Ta biết 𝑅1 vành iđêan với iđêan tạo thành nhân tử 𝑠 𝑠 𝑥 2𝑝 + Vì vậy, trước tiên ta thu nhân tử 𝑥 2𝑝 + thành nhân ttối giản 𝐹𝑃𝑚[𝑥] 𝑠 Vì 𝐹𝑝𝑚 trường hữu hạn với đặc số 𝑝, 𝑥 2𝑝 + = (𝑥 + 1)𝑝 Giả sử 𝜉 nghiệm phương tình 𝔽𝑝𝑚 = {0, 𝜉, … , 𝜉 𝑝 Rõ ràng, 𝜉 𝑝𝑚 −1 𝑚 −2 , 𝜉𝑝 𝑚 −1 𝑚 = −1 Vậy, 4 (𝑝 − 1) , (𝜉 = 1} 𝑝𝑚 −1 ) = −1 Mặt khác, ∤ (𝑝𝑚 − 1), khơng có ngun tố 𝛾 𝐹𝑝𝑚 cho 𝛾 = −1, tức 𝑥 + bất khả quy 𝐹𝑝𝑚 [𝑥] Lưu ý 4 (𝑝𝑚 − 1), tức 𝑝𝑚 ≡ (𝑚𝑜𝑑 4), 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 bất kỳ) 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 chẵn) Chúng em tóm tắt điều mệnh đề 3.2.1 Mệnh đề Giả sử 𝑝 số nguyên tố lẻ (i) Nếu 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 bất kỳ) 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 chẵn), tồn 𝛾 ∈ 𝐹𝑝𝑚 𝑠 cho 𝛾 = −1, phép phân tích 𝑥 2𝑝 + trở thành nhân tử bất khả quy 𝐹𝑝𝑚 [𝑥] 𝑠 𝑠 𝑥 2𝑝 + = (𝑥 − 𝛾 )𝑝 (𝑥 + 𝛾 )𝑝 𝑠 21 (ii) Nếu 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) 𝑚 số lẻ, 𝑥 + bất khả quy 𝐹𝑝𝑚 [𝑥], phép 𝑠 phân tích 𝑥 2𝑝 + trở thành nhân tử bất khả quy 𝐹𝑝𝑚 [𝑥] 𝑠 𝑥 2𝑝 + = (𝑥 + 1)𝑝 𝑠 Bây giờ, liệt kê tất mã negacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝐹𝑝𝑚 , tức iđêan vành 𝑅1 , kích thước chúng đối ngẫu: 3.2.2 Định lý.(i) Nếu p ≡ 1(mod 4) (m bất kỳ) p ≡ 3(mod 4) (m chẵn), mã negacyclic có độ dài 2ps Fpm 〈(x − γ)i (x + γ)j 〉 ⊆ R1 , với Mỗi mã Ci,j = 〈(x − γ)i (x + γ)j 〉 chứa pm(2p Cps −j,ps −i = 〈(x − γ)p s −j (x + γ )p s −i s −i−j) ≤ i, j ≤ ps ⊥ từ mã, mã đối ngẫu Ci,j = 〉 (ii) Nếu p ≡ 3(mod 4) (m lẻ), mã negacyclic có độ dài 2ps Fpm 〈(x + 1)i 〉 ⊆ R1 , với ≤ i ≤ ps Mỗi mãCi = 〈(x + 1)i 〉 chứa p2m(p ⊥ mã đối ngẫu Ci,j = Cps −i = 〈(x + 1)p s −i s −i) từ mã, 〉 Chứng minh 𝑠 Danh sách mã negacyclic đề xuất từ phép phân tích 𝑥 2𝑝 + thành tích hệ số khơng thay đổi Mệnh đề 2.2.1 Với mã đối ngẫu, thấy 𝑎𝑛𝑛(𝐶𝑖,𝑗 ) = 〈(𝑥 − 𝛾 )𝑝 𝑠 −𝑖 (𝑥 + 𝛾 )𝑝 𝑠 −𝑗 〉, 𝑎𝑛𝑛(𝐶𝑖 ) = 〈(𝑥 + 1)𝑝 𝑠 −𝑖 〉 Hơn nữa, (𝑥 − 𝛾 )∗ = −𝛾𝑥 + = −𝛾(𝑥 + 𝛾 ); (𝑥 + 𝛾 )∗ = 𝛾𝑥 + = 𝛾 (𝑥 − 𝛾 ); (𝑥 + 1)∗ = 𝑥 + Do đó, 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 bất kỳ) 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 chẵn) ⊥ 𝐶𝑖,𝑗 = 𝑎𝑛𝑛∗ 𝐶𝑖,𝑗 = 〈(𝑥 − 𝛾 )𝑝 = 〈[(𝑥 − 𝛾 )𝑝 𝑠 −𝑖 (𝑥 + 𝛾 )𝑝 𝑠 −𝑗 ∗ 〉 𝑠 −𝑖 ∗ = 〈[𝑥 − 𝛾 ]𝑝 ] [(𝑥 + 𝛾 )𝑝 𝑠 −𝑖 = 〈[−𝛾 (𝑥 + 𝛾 )]𝑝 = 〈(𝑥 − 𝛾 )𝑝 [𝑥 + 𝛾 ]𝑝 𝑠 −𝑖 𝑠 −𝑗 𝑠 −𝑗 ∗ 𝑠 −𝑗 ]〉 〉 [𝛾(𝑥 − 𝛾 )]𝑝 (𝑥 + 𝛾 )𝑝 𝑠 −𝑖 〉 𝑠 −𝑗 〉 22 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 lẻ), 𝐶𝑖⊥ = 𝑎𝑛𝑛∗ (𝐶𝑖 ) = 〈(𝑥 + 1)𝑝 = 〈[(𝑥 + 1)𝑝 𝑠 −𝑖 ∗ 〉 𝑠 −𝑖 ∗ ]〉 = 〈[(𝑥 + 1)∗ ]𝑝 = 〈(𝑥 + 1)𝑝 𝑠 −𝑖 𝑠 −𝑖 〉 〉 Định lý chứng minh Blackford [2] thu điều kiện cần đủ mã negacyclic tự đối ngẫu nghiệm đơn giản Định lý 2.2.2 cho danh sách mã negacyclic tự đối ngẫu nghiệm lặp có độ dài 2𝑝 𝑠 sau: 3.2.3 Hệ Nếu 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 lẻ), mã negacyclic tự đối ngẫu có độ dài 2𝑝 𝑠 𝐹𝑝𝑚 không tồn Nếu với 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 bất kỳ) 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 chẵn), có xác 𝑝 𝑠 + mã negacyclic tự đối ngẫu có độ dài 2𝑝 𝑠 𝐹𝑝𝑚 , cụ thể 〈(𝑥 − 𝛾 )𝑖 (𝑥 + 𝛾 )𝑝 𝑠 −𝑖 〉, với ≤ 𝑖 ≤ 𝑝 𝑠 Chứng minh Đầu tiên, cho 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 lẻ) Theo định lý 2.2.2, mã negacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝐹𝑝𝑚 có dạng 𝐶𝑖 = 〈(𝑥 + 1)𝑖 〉, mã đối ngẫu 𝐶𝑖⊥ = 〈(𝑥 + 1)𝑝 𝑠 −𝑖 〉 Vậy 𝐶𝑖 tự đối ngẫu 𝑖 = 𝑝 𝑠 − 𝑖, tức 𝑝 𝑠 = 2𝑖, điều Bây giả sử 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 bất kỳ) 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) (𝑚 chẵn) Khi đó, theo định lý 2.2.2, mã negacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 𝐹𝑝𝑚 có dạng 〈(𝑥 − 𝛾 )𝑖 (𝑥 + 𝛾 )𝑗 〉, mã đối ngẫu ⊥ 𝐶𝑖,𝑗 = 〈(𝑥 − 𝛾 )𝑝 ⊥ Vì thế, 𝐶𝑖,𝑗 = 𝐶𝑖,𝑗 𝑖 + 𝑗 = 𝑝 𝑠 𝑠 −𝑗 (𝑥 + 𝛾 )𝑝 𝑠 −𝑖 〉 𝐶𝑖,𝑗 = 23 3.3 Tổng kết chương Ở chương này, kết đạt bao gồm: - Cấu trúc mã cyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 trường hữu hạn hệ - Cấu trúc tích chất, hệ mã negacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 trường hữu hạn 24 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Bài nghiên cứu lý thuyết mã cyclic negacyclic Các kết tổng quan khóa luận sau: Chỉ tính chất trường 𝔽𝑝𝑚 , phân loại phần tử khả nghịch nó; Tính tốn đại lượng số lượng từ mã, mã đối ngẫu điều kiện để tồn mã tự đối ngẫu, công thức xác định khoảng cách Hamming Chỉ cấu trúc mã negacycyclic có độ dài 2𝑠 vành Galois, khoảng cách Hamming liệt kê mã negacyclic có độ dài 16 ℤ4 Chỉ tính chất mã negacyclic cyclcic có độ dài 2𝑝 𝑠 trường hữu hạn 𝔽𝑝𝑚 Kiến nghị Trong thời gian tới, em mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu mã cyclic negacyclic có độ dài 3𝑝 𝑠 trường 𝔽𝑝𝑚 Tiếp tục tính chất mã constacyclic tính toán đại lượng liên quan khoảng cách Hamming, lượng Hamming Tiếp tục nghiên cứu điều kiện để mã tuyến tính mã constacyclic nghiệm bội 25 Tài liệu tham khảo [1] G K Bakshi., M Raka, A Sharma, Idempotent generators of irreducible cyclic codes, in: Number Theory & Discrete Geometry, in: Ramanujan Math Soc Lect Notes Ser., vol 6, 2008, pp 13–18 [2] T V Blackford., Negacyclic duadic codes, Finite Fields Appl 14 (2008) 930–943 [3] S D Berman (1967S.K Arora, M Pruthi, Minimal cyclic codes of length 2𝑝𝑛 , Finite Fields Appl (1999) 177–187 [4] H Q Dinh (2009), On linear codes over finite rings and modules, East West J of Mathematics, Vol.11, No 1, - 149 [5] G Falkner, B Kowol, W Heise, E Zehendner (1979), On the existence of cyclic optimal codes, Atti Sem Mat Fis Univ Modena 28, 326-341 [6] Roth and G Seroussi R M (1986), On cyclic MDS codes of length q over GF(q), IEEE Trans Inform Theory 32, 284-285 [7] J L Massey, D J Costello and J Justesen (1973), Polynomial weights and code constructions, IEEE Trans Information Theory 19, 101-110 [8] F.J MacWilliams, N.J.A Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, 10th impression, North-Holland, Amsterdam, 1998 [9] W.C Huffman, V Pless, Fundamentals of Error - Correcting Codes, Cambridge University Press, Cambridge, 2003 [10] Semisimple cyclic and Abelian codes II, Kibernetika (Kiev) 3, 21-30 (Russian) English translation: Cybernetics 3, 17-23 [11] C.E Shannon (1948), A mathematical theory of communication, Bell System Tech J 27, 379-423 [12] Pless and W C Huffman (1998), "Handbook of coding theory", Elsevier, Amsterdam ... nghiên cứu - Mã negacyclic có độ dài 2