Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 48 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN THÀ H lu an n va p ie gh tn to PH N TCH A THÙC THNH CC A THÙC BT KH QUY X Y DÜNG CC M CYCLIC TRN TR×ÍNG HÚU HN d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi LUN VN THC S TON HÅC z m co l gm @ an Lu THI NGUYN, 8/2020 n va ac th si I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN THÀ H lu an n va p ie gh tn to PH N TCH A THÙC THNH CC A THÙC BT KH QUY X Y DÜNG CC M CYCLIC TRN TR×ÍNG HÚU HN d oa nl w LUN VN THC S TON HÅC Chuy¶n ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số: 46 01 13 nf va an lu z at nh oi lm ul NGìI HìẻNG DN KHOA HC: TS NGUYN TRNG BC z m co l gm @ an Lu n va Th¡i Nguy¶n, 8/2020 ac th si Mưc lưc Mởt số kián thực chuân b 1.1 Trữớng hỳu hÔn 1.2 Vnh a thực trản trữớng hỳu hÔn lu an 1.3 a thùc b§t kh£ quy 13 n va 2.1 PhƠn tẵch a thực xn thnh cĂc a thực bĐt khÊ quy trản p ie gh tn to PhƠn tẵch a thực thnh cĂc a thực bĐt khÊ quy xƠy dỹng cĂc m cyclic trản trữớng hỳu hÔn 18 trữớng hỳu hÔn 18 w 2.1.1 PhƠn tẵch a thùc xn − tr¶n Fq (n, q) = 18 oa nl 2.1.2 PhƠn tẵch a thực xn trản Fq (n, q) 6= 23 d 2.2 M¢ cyclic 25 lu nf va an 2.3 XƠy dỹng m cyclic trản trữớng hỳu hÔn 32 2.3.1 XƠy dỹng m cyclic trản trữớng hỳu hÔn (n, q) = 32 z at nh oi lm ul 2.3.2 XƠy dỹng m cyclic trản trữớng hỳu hÔn (n, q) 6= 36 z m co l gm @ an Lu n va ac th si LI NI U Lỵ thuyát m xuĐt hiằn lƯn Ưu tiản vo nôm 1948 bi mởt cổng trẳnh cừa C E Shannon và lỵ thuyát toĂn hồc cho lắnh vỹc truyÃn thổng Tứ õ án nay, lỵ thuyát ny  v ang õng gõp giÊi quyát nhiÃu vĐn à quan trồng lu thổng tin liản lÔc Nõ ữủc ựng dửng nhiÃu cĂc lắnh vỹc nhữ: thổng an tin iằn tỷ, thu phĂt thanh, bÊo mêt va n Lỵ thuyát m hâa l mët ng nh cõa to¡n håc v khoa håc iằn toĂn nhơm tn to giÊi quyát tẳnh trÔng lội xÊy quĂ trẳnh truyÃn thổng số liằu trản cĂc ie gh kảnh truyÃn cõ ở nhiạu cao, dũng nhỳng phữỡng phĂp tinh xÊo khián phƯn p lợn cĂc lội xÊy cõ th ữủc chnh sỷa Lỵ thuyát m cỏn xỷ lỵ nhỳng c nl w tẵnh cừa m v vêy phũ hủp vợi nhỳng ựng dửng cử th oa Lỵ thuyát m hõa l mët nhúng l¾nh vüc quan trång cõa to¡n håc, d cõ Ênh hững án rĐt nhiÃu lắnh vỹc khoa hồc-cổng nghằ v kinh tá-x hởi lu nf va an Thỹc tá cho thĐy lỵ thuyát m hõa  vổ quan trồng tứ xa xữa Thới nay, vợi sỹ ph¡t triºn r§t nhanh cõa cỉng ngh» thỉng tin, v mÔng internet thẳ lm ul m hõa thổng tin cng õng vai trỏ quan trồng M hõa l mởt phữỡng ph¡p z at nh oi b£o v» thỉng tin, b¬ng cĂch chuyn ời thổng tin tứ dÔng ró (thổng tin cõ th dng ồc hiu ữủc) sang dÔng mớ (thổng tin  b che i, nản khổng th ồc hiu ữủc, ồc ữủc ta cƯn phÊi giÊi m nâ) Nâ gióp ta câ thº b£o v» z @ thỉng tin, º nhúng k´ ¡nh cp thỉng tin, dị câ ÷đc thỉng tin cõa chóng l gm ta, cụng khổng th hiu ữủc nởi dung cừa nõ M hõa s mang lÔi tẵnh an co ton cao hỡn cho thổng tin, c biằt l thới Ôi internet ng y nay, m m thæng tin ph£i i qua nhiÃu trÔm trung chuyn trữợc án ữủc ẵch an Lu Sau ¥y, chóng tỉi ch¿ mët v i ùng dưng cõa mët sè m¢ cư thº ac th n va M¢ ISBN (International Standard Book Number) l m¢ số tiảu chuân quốc si tá cõ tẵnh chĐt thữỡng mÔi nhĐt xĂc nh ữủc cĂc thổng tin v· mët quyºn s¡ch b§t ký (ngỉn ngú cõa cn sĂch, quốc gia xuĐt bÊn, lắnh vỹc cừa sĂch, ) M BCH (BoseChaudhuriHocquenghem codes) l mởt loÔi m cyclic v l loÔi m sỷa lội quan trồng, cõ khÊ nông sỷa ữủc nhiÃu lội v ữủc ựng dửng rởng rÂi Lợp m BCH cõ lợp l m BCH nh phƠn v m BCH khổng nh phƠn Trong số nhỳng m BCH khổng nh phƠn ny, lợp quan trồng nhĐt l m Reed - Solomon M Reed - Solomon ữủc Reed v Solomon giợi thiằu lƯn Ưu tiản vo nôm 1960, l mởt m sỷa sai thuởc loÔi m tuyán tẵnh M Reed - Solomon ữủc sỷ dửng º sûa c¡c léi nhi·u h» thèng thæng tin lu số v lữu trỳ, bao gỗm: CĂc thiát b lữu trỳ (bông tứ, ắa CD, VCD, ), an va thổng tin di ởng hay khổng dƠy ( iằn thoÔi di ëng, c¡c ÷íng truy·n Viba), n thỉng tin v» tinh, truy·n h¼nh sè DVB, c¡c modem tèc ë cao nhữ: ADSL, gh tn to VDSL M Reed - Solomon °c bi»t quan trång vi»c sûa c¡c bit lội ie xÊy gƯn M BCH ữủc dũng cho c¡c c¥y ATM, h» thèng giao p dàch cừa cĂc ngƠn hng, nl w M Hadamard ữủc dũng viằc truyÃn thổng tin v hẳnh Ênh tø c¡c oa t u vơ trư, c¡c v» tinh v· TrĂi Đt Trong mổi trữớng nhiạu loÔn khổng khẵ d lợn thẳ thổng tin v hẳnh Ênh s b bõp m²o, thay êi ÷đc truy·n lu nf va an mổi trữớng nhiạu loÔn khổng khẵ, vẳ thá vai trỏ cừa m Hadamard l rĐt quan trồng viằc khĂm phĂ vụ trử CĂc lợp m cyclic ữủc dũng quƠn lm ul ởi cừa cĂc quốc gia  õng gõp lợn tợi viằc bÊo mêt thổng tin v truyÃn Ôt z at nh oi thổng tin tứ quốc gia tợi quƠn ởi M lữủng tỷ ữủc giợi thiằu lƯn Ưu tiản vo nôm 1996 bi Shor [6] Trong z mĂy tẵnh thổng thữớng, dỳ liằu ch ữủc lữu dữợi dÔng v 1, cỏn mĂy tẵnh gm @ l÷đng tû sû dưng qubits (quantum bits) cho ph²p m¡y tẵnh ghi dỳ liằu nhiÃu l trÔng thĂi cịng lóc (v½ dư câ thº l 0, câ thº l ho°c câ thº cịng lóc l co v 1), iÃu ny cho php mĂy tẵnh lữủng tỷ xỷ lỵ ữủc nhỳng php tẵnh phực m tÔp hỡn Ngữới ta tẵnh toĂn rơng cĂc mĂy tẵnh lữủng tỷ s giÊi quyát cĂc vĐn an Lu à phực tÔp nhanh hỡn bĐt ký mĂy tẵnh cờ in no MĂy tẵnh lữủng tỷ cỡ n va ac th si b£n khai th¡c c¡c quy tc cõa cì håc l÷đng tỷ ở tẵnh toĂn Viằc xƠy dỹng mởt mĂy tẵnh lữủng tỷ văn l mởt nhiằm vử khõ khôn bữợc Ưu  cõ nhỳng thnh cổng tứ cĂc têp on lợn trản thá giợi nhữ Intel, IBM, Microsoft, v Google Cho án nay, mĂy tẵnh lữủng tỷ khổng ch dứng lÔi l cuởc cÔnh tranh và cổng nghằ giỳa cĂc têp on cổng nghằ lợn m nõ cỏn l cuởc cÔnh tranh giỳa cĂc cữớng quốc phửc vử cho hoÔt ởng tẳnh bĂo nõi riảng v quèc pháng nâi chung Sü íi cõa m¡y tẵnh lữủng tỷ s lm cho cĂc hằ mêt nời tiáng nhữ DES (the Data Encryption Standard), RSA, s b phĂ tữỡng lai gƯn Mêt m DES cõ thº xem l tuy»t èi an to n v¼ º gi£i ữủc nõ cƯn phÊi lu an kim tra mởt danh sĂch rĐt lợn cĂc chẳa khoĂ m tiÃm nông Vẵ dư n¸u chóng n va ta sû dưng mët m¡y tẵnh cờ in vợi 64 bits, õ s cõ 264 trÔng thĂi Vợi tn to mởt mĂy tẵnh cờ in, cự cho l mội giƠy kim tra ữủc t trÔng thĂi thẳ cụng gh cƯn khoÊng 300 nôm chÔy mĂy liản tửc mợi chÔy ữủc hát 264 trÔng th¡i- â p ie l mët kho£ng thíi gian phi thüc tiạn Trong õ, mởt mĂy tẵnh lữủng tỷ dũng thuêt toĂn lữủng tỷ Grover cõ th dng ho n t§t vi»c n y thíi nl w gian phút Thuêt toĂn m hõa cổng khai RSA ang ữủc ựng dửng rởng rÂi d oa ngƠn hng, giao dch trỹc tuyán v rĐt nhiÃu ựng dửng an ninh mÔng an lu khĂc Sỹ an ton cừa m RSA nơm chộ mĂy tẵnh truyÃn thống khổng th nf va phƠn tẵch nhanh mởt số nỷa nguyản tố (semiprime) lợn n thnh tẵch cừa số lm ul nguyản tè lỵn p v q (n = pq) V· m°t toĂn hồc Ơy l mởt bi toĂn phực tÔp, chng hÔn phƠn tẵch mởt số ch gỗm 129 chỳ số thẳ 600 mĂy tẵnh cờ in z at nh oi  phÊi hủp lỹc lm viằc liản tửc vi thĂng Tuy nhiản, mởt mĂy tẵnh lữủng tỷ dũng thuêt toĂn lữủng tỷ Shor cõ th phƠn tẵch mởt số lợn hỡn cÊ z triằu lƯn khoÊng thới gian ngn hìn cơng c£ tri»u l¦n @ gm Trong lắnh vỹc sinh hồc, khĂi niằm m DNA ữủc ữa lƯn Ưu tiản vo l nôm 2003, nhơm giúp nhên diằn cĂc mău vêt M DNA sỷ dửng mởt trẳnh tỹ m co DNA ngưn nơm bở gene cừa sinh vêt nhữ l mởt chuội kỵ tỹ nhĐt an Lu giúp phƠn biằt hai loi sinh vêt vợi Nhữ vêy m DNA l mởt phữỡng phĂp nh danh m nõ sỷ dửng mởt oÔn DNA chuân ngưn nơm bở gene n va ac th si cừa sinh vêt ang nghiản cựu nhơm xĂc nh sinh vêt õ thuởc và loi no M vÔch DNA rĐt hỳu ẵch viằc tẳm mối quan hằ giỳa cĂc mău mc dũ chúng hƯu nhữ khổng giống và hẳnh thĂi M vÔch DNA cụng ữủc ựng dửng tÔi hÊi quan nhơm hộ trủ viằc xĂc nh nguỗn gốc cừa sinh vêt sống hoc hng nhêp khâu, ngôn cÊn sỹ vên chuyn trĂi php cĂc loi thỹc vêt v ởng vêt quỵ hiám qua biản giợi M DNA giúp kim soĂt tĂc nhƠn gƠy hÔi nỉng nghi»p, gióp ành danh nhanh chèng c¡c lo i g¥y bằnh giai oÔn tiÃm ân (giai oÔn Đu trũng), hộ trủ chữỡng trẳnh kim soĂt sƠu bằnh bÊo vằ cƠy trỗng Ngoi ra, m DNA giúp xĂc nh vêt chừ trung gian gƠy bằnh, bÊo vằ loi nguy cĐp v kim tra chĐt lữủng nữợc lu Qua mởt số vẵ dử và cĂc lợp m cyclic  nảu trản, giúp thĐy an va ữủc phƯn no vai trá quan trång cõa m¢ cyclic cuëc sèng, khoa n hồc kắ thuêt gh tn to Ưu tiản, lỵ thuyát m ữủc nghiản cựu trản trữớng hỳu hÔn v cĂc kát ie quÊ cỡ bÊn  ữủc óc k¸t hai quyºn s¡ch cõa Huffman v Berlekamp p [5] Sau â, c¡c nh to¡n håc ¢ mð rởng nghiản cựu và m trản cĂc vnh hỳu nl w hÔn HƯu hát cĂc nghiản cựu têp trung trữớng hủp ở di cừa m cõ liản oa quan án c số cừa trữớng Náu ở di cừa m chia hát cho c số cừa trữớng d thẳ m ữủc gồi l m nghiằm lp Náu ở di cừa m khổng chia hát cho c lu nf va an số cừa trữớng thẳ m õ ữủc gồi l m nghiằm ỡn Nghiản cựu và m trản vnh giao hoĂn hỳu hÔn, c biằt l m nghiằm lp lm ul trản lợp cĂc vnh chuội hỳu hÔn cụng ữủc nhi·u nh to¡n håc quan t¥m v z at nh oi cĂc nh toĂn hồc cụng  ữa ữủc nhiÃu kát quÊ tốt Trong luên vôn ny, chúng tổi sỷ dửng cĂc kát quÊ cừa ToĂn hồc xƠy dỹng v nghiản cựu m cyclic trản trữớng hỳu hÔn z gm @ Nởi dung chẵnh cừa luên vôn l: trẳnh by sỹ phƠn tẵch a thực thnh cĂc a thực bĐt khÊ quy trản trữớng hỳu hÔn Sau õ sỷ dửng kát quÊ cừa sỹ l co phƠn tẵch ny xƠy dỹng cĂc m cyclic trản trữớng hỳu hÔn Luên vôn gỗm m chữỡng: an Lu Trong chữỡng 1, chúng tổi trẳnh by nh nghắa trữớng hỳu hÔn, cĐu trúc ac th n va cừa trữớng hỳu hÔn Sau õ chúng tổi trẳnh by vnh a thực trản trữớng hỳu si hÔn Cuối chữỡng chúng tổi ữa mởt số kián thực và a thực bĐt khÊ quy Trong chữỡng 2, chúng tổi trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn l: phƠn tẵch a thực thnh cĂc a thực bĐt khÊ quy trản trữớng hỳu hÔn, m cyclic, xƠy dỹng cĂc m cyclic trản trữớng hỳu hÔn tẳm tĐt cÊ cĂc m cyclic trản trữớng hỳu hÔn Fq , õ q = pm (p l số nguyản tố bĐt kẳ) chúng tổi i tẳm nhỳng i ảan cừa vnh Rn = Fq [X]/ hxn − 1i Nëi dung nghi¶n cùu cõa luên vôn gưn liÃn vợi toĂn sỡ cĐp, c biằt l bi toĂn phƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ rĐt ữủc quan tƠm bêc hồc phờ thổng Luên vôn ny ữủc thỹc hiằn tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản v hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa Tián sắ Nguyạn Trồng Bưc Tổi lu xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc tợi ngữới hữợng dăn khoa an va hồc cừa mẳnh n Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban giĂm hiằu Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi gh tn to håc Th¡i Nguy¶n, Ban chõ nhi»m khoa ToĂn Tin cĂc giÊng viản  ie tham gia giÊng dÔy,  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt tổi hồc têp v nghiản p cựu nl w Tỉi cơng xin ch¥n th nh c£m ìn Sð Gi¡o dửc v o tÔo tnh ThĂi Nguyản, oa Ban GiĂm hiằu v cĂc ỗng nghiằp trữớng THPT Hong Quốc Viằt, huyằn Vó d Nhai, tnh ThĂi Nguyản  tÔo iÃu ki»n cho tỉi ho n th nh tèt nhi»m vư håc lu nf va an têp v cổng tĂc cừa mẳnh Cuối tổi xin gỷi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh thƠn yảu, cÊm ỡn nhỳng ngữới lm ul bÔn thƠn thiát  giúp ù ởng viản khẵch lằ tổi suốt quĂ trẳnh nghiản z at nh oi cựu Xin chƠn thnh cÊm ỡn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 z T¡c gi£ m co l gm @ an Lu Nguy¹n Thà H n va ac th si Chữỡng Mởt số kián thực chuân b lu 1.1 Trữớng hỳu hÔn an nh nghắa 1.1 Trữớng l mởt têp hủp F vợi hai php toĂn: +, ữủc va n gåi l cëng, v ÷đc gåi l nhƠn thọa mÂn mởt số tiản à Têp F l nhõm p ie gh tn to khổng v ữủc kẵ hi»u l 0; Tªp F∗ = F\{0} cơng l nhâm giao hoĂn vợi php nhƠn cõ phƯn tỷ ỡn v l mởt v kẵ hiằu l 1; v php nhƠn phƠn phối vợi php cởng Mởt trữớng l hỳu hÔn náu số phƯn tỷ cừa F l hỳu hÔn; Số phƯn tỷ cừa F ữủc gồi l cĐp cừa F giao hoĂn vợi php cởng cõ phƯn tỷ ỡn v l w nl V½ dư 1.1 d oa (i) Têp hủp cĂc số nguyản Z khổng l mởt trữớng v¼ ∈ Z khỉng an lu kh£ nghàch nf va (ii) C¡c tªp hđp sè húu t¿ Q, sè thüc R, sè phùc C cịng vỵi ph²p cëng v lm ul nhƠn, tÔo thnh mởt trữớng z at nh oi √ √ (iii) Tªp hđp Q[ 2] = {a + b : a, b ∈ Q} âng k½n vợi php cởng v nhƠn thổng thữớng, v vợi hai php toĂn ny, Q[ 2] l mởt trữớng, ph¦n √ √ tû khỉng l + 2, ph¦n tû ìn l + 2, ph¦n tû èi cõa ph¦n √ √ √ √ tû a + b l −a − b v n¸u x = a + b 6= + th¼ nghàch £o √ a b cõa x l − a − 2b2 a2 − 2b2 z l gm @ m co Vẵ dử 1.2 Trữớng hỳu hÔn F2 vợi hai phƯn tỷ {0, 1}, php cëng v ph²p nh¥n an Lu n va ac th si ÷đc thüc hi»n nh÷ sau: + 0 1 0 1 ¥y cơng l v nh cõa cĂc số nguyản modulo Vẵ dử 1.3 Trữớng hỳu hÔn F3 vợi ba phƯn tỷ {0, 1, 2}, php cởng v php lu nhƠn ữủc cho bi php cởng v ph²p nh¥n modulo 3: an n va + 2 1 2 p ie gh tn to nl w d oa 0 0 2 (i) N¸u K l mởt trữớng cừa E thẳ ta gồi E l mët lm ul ành ngh¾a 1.2 nf va an lu 1 trữớng m rởng cừa K, kẵ hi»u l E/K z at nh oi (ii) Gi£ sû E/K l mët mð rëng tr÷íng Xem E l mët khổng gian vc tỡ trản K Náu E l K - khổng gian vc tỡ hỳu hÔn chiÃu thẳ ta nõi E l z m rởng bêc hỳu hÔn cừa trữớng K Náu dim K E = n thẳ n ữủc gồi l bêc cừa m rởng E/K v ữủc k½ hi»u l [E/K] l gm @ f (x) = a(x − α1 ) (x n ) an Lu phƠn r trản E náu m thùc bªc n ≥ Ta nâi f (x) co ành ngh¾a 1.3 Gi£ sû E/K l mët mð rëng tr÷íng v f (x) ∈ K[x] l a n va ac th si Chùng minh Cho g(x) l a thực monic cõ bêc nhọ nhĐt C Tứ C l khĂc khổng nản a thực g(x) luổn tỗn tÔi Náu c(x) C, theo nh lẵ chia vợi d÷ Fq [x], c(x) = g(x)h(x) + r(x), â ho°c r(x) = ho°c deg f (x) < deg g(x) Vẳ C l i ảan Rn , r(x) ∈ C v g(x) l a thùc câ bªc nhä nh§t C suy r(x) = Tø r(x) = ta cõ (i) v (ii) Bơng nh lẵ chia vợi dữ, ta cõ xn = g(x)h(x) + r(x), â r(x) = ho°c deg f (x) < deg g(x) Fq [x] V¼ xn − ựng vợi tứ m C v C l i ¶an Rn , ta câ r(x) ∈ C, Ơy l mởt mƠu thuăn trứ r(x) = Suy a thực sinh g(x) l ữợc cừa xn − Gi£ sû r¬ng deg g(x) = n − k Tứ (ii) v (iii), náu c(x) C vợi c(x) = lu ho°c deg c(x) < n th¼ c(x) = g(x)f (x) Fq [x] N¸u c(x) = 0, thẳ f (x) = an va Náu c(x) 6= v deg c(x) < n, i·u n y ch¿ rơng deg g(x) < k vẳ deg c(x) = n deg(x) + deg f (x) Do â gh tn to C = {f (x)g(x)|f (x) = ho°c deg f (x) < k} ie v h» {g(x), xg(x), , xk−1 g(x)} l h» sinh Tø h» sinh cõa C ta th§y câ k a p thùc câ bªc kh¡c v chóng ëc lªp Fq [x], i·u n y ch¿ (iv), (v) nl w v (vi) d oa p dửng nh lỵ 2.3, chúng tổi trẳnh by mởt số vẵ dử minh håa cư thº nf va an lu 2.3 X¥y düng m cyclic trản trữớng hỳu hÔn lm ul 2.3.1 XƠy dỹng m cyclic trản trữớng hỳu hÔn (n, q) = số trữớng hỳu hÔn z at nh oi Sau Ơy luên vôn trẳnh by cĂch xƠy dỹng m cyclic cõ ở di trản mởt z Vẵ dử 2.7 XƠy dỹng m cyclic cõ ở di trản trữớng hỳu hÔn F2 a thực @ gm x7 = (1 + x)(1 + x + x3 )(1 + x2 + x3 ) Suy câ m¢ cyclic ở di tữỡng co l ựng vợi a thùc sinh sau ¥y: m (i) = an Lu (ii) + x = + x n va ac th 32 si (iii) + x + x3 = + x + x3 (iv) + x2 + x3 = + x2 + x3 (v) (1 + x) + x + x3 = + x2 + x3 + x4 (vi) (1 + x) + x2 + x3 = + x + x2 + x4 (vii) + x + x3 + x2 + x3 = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 (viii) (1 + x) + x + x3 + x2 + x3 = + x7 a thùc sinh g(x) = s sinh m cyclic chẵnh F72 a thùc sinh g(x) = 1+x7 lu s³ sinh m¢ cyclic ch gỗm phƯn tỷ l {0000000} an a thùc sinh g(x) = + x s³ sinh m cyclic C(7, 6) Ma sinh cừa m va n cyclic n y l ie gh tn to p G6×7 1 0 0 oa nl w 0 0 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 d 0 0 1 lu nf va m¢ cyclic n y l an a thùc sinh g(x) = + x + x3 s³ sinh m¢ cyclic C(7, 4) Ma trªn sinh cõa lm ul 1 0 z at nh oi G4×7 0 1 0 = 0 1 0 1 z a thùc sinh g(x) = + x2 + x3 s³ sinh m¢ cyclic C(7, 4) Ma trªn sinh cõa @ 1 0 l 1 0 1 0 0 1 m co G4×7 an Lu 0 = 0 gm m¢ cyclic n y l n va ac th 33 si a thùc sinh g(x) = + x2 + x3 + x4 s³ sinh m¢ cyclic C(7, 3) Ma sinh cừa m cyclic ny l G3ì7 1 1 0 = 0 1 1 0 0 1 1 a thùc sinh g(x) = + x + x2 + x4 s³ sinh m cyclic C(7, 3) Ma sinh cừa m cyclic ny l G3ì7 lu an 1 1 0 = 0 1 1 0 0 1 1 va n a thùc sinh g(x) = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s³ sinh m¢ cyclic C(7, 1) gh tn to Ma trªn sinh cõa m cyclic ny l p ie G1ì7 = 1 1 1 nl w Vẵ dử 2.8 XƠy dỹng m cyclic cõ ở di trản trữớng hỳu hÔn F3 a thực oa x7 − = (2 + x)(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ) Suy câ m¢ cyclic ë d i d tữỡng ựng vợi a thực sinh sau Ơy: nf va z at nh oi lm ul (ii) + x = + x an lu (i) = (iii) + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 (iv) (2 + x) + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = + x7 z @ gm a thùc sinh g(x) = s sinh m cyclic chẵnh F73 a thùc sinh g(x) = 2+x7 l s³ sinh m cyclic ch gỗm phƯn tỷ l {0000000} m co a thùc sinh g(x) = + x s³ sinh m cyclic C(7, 6) Ma sinh cừa m¢ an Lu n va ac th 34 si cyclic n y l G6×7 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a thùc sinh g(x) = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s sinh m cyclic C(7, 1) Ma sinh cừa m cyclic ny l lu G1ì7 = 1 1 1 an Vẵ dử 2.9 XƠy dỹng m cyclic cõ ở di trản trữớng hỳu hÔn F5 a thực n va tữỡng ựng vợi a thực sinh sau Ơy: gh tn to x7 − = (4 + x)(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ) Suy câ m¢ cyclic ë d i p ie (i) = oa nl w (ii) + x = + x d (iii) + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 lu nf va an (iv) (4 + x) + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = + x7 lm ul a thùc sinh g(x) = s sinh m cyclic chẵnh F75 a thùc sinh g(x) = 4+x7 z at nh oi s sinh m cyclic ch gỗm phƯn tû l {0000000} a thùc sinh g(x) = + x s sinh m cyclic C(7, 6) Ma sinh cõa m¢ cyclic n y l 0 0 z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m co l gm @ G6×7 an Lu 0 0 = 0 0 n va ac th 35 si a thùc sinh g(x) = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s sinh m cyclic C(7, 1) Ma sinh cừa m cyclic ny l G1ì7 = 1 1 1 2.3.2 X¥y düng m cyclic trản trữớng hỳu hÔn (n, q) 6= PhƯn tiáp theo cừa luên vôn, chúng tổi s xƠy dỹng cĂc m cyclic cõ ở di n = ps trản trữớng Fpm GiÊ sỷ l mởt phƯn tỷ khĂc cừa Fpm Chúng ta  Fpm [x] biát rơng m constacyclic l nhỳng i ảan cừa vnh ps ( nh lỵ 2.1) hx i Bơng thuêt toĂn chia, tỗn tÔi nhỳng số nguyản khổng Ơm uq v ur cho (uq +1)m−s lu s = uq m + ur v ≤ ur ≤ m − °t λ0 = λp s (uq +1)m an λp0 = λp m−ur = λp Khi â ta câ = λ Tø i·u n y chóng ta câ k¸t qu£ sau: va M»nh · 2.6 x − λ0 l lơy linh hxFpp −[x]λi vỵi ch¿ sè lơy linh l ps t minh Chựng Ưu tiản ta thĐy rơng vợi i p thẳ p l ữợc cừa m n s gh tn to p ie pt pt m , â = Fpm [x] V¼ th¸ v nh Fps [x] ta câ: hxp − λi i i t pX −1 t t pt t pt pt pt (−λ0 )p −i xi = xp − λp0 (x − λ0 ) = x − λ0 + i i=1 d oa nl w lu ps s s s nf va an Khi t = s, ta câ (x − λ0 ) = xp − λp0 = xp − λ = Do â x − λ l lơy Fpm [x] vỵi ch¿ sè lôy linh l ps linh v nh ps hx i lm ul i ảan chẵnh náu nõ ữủc sinh bi mởt phƯn tỷ Vnh R ữủc gồi l vnh i ảan chẵnh náu tĐt cÊ cĂc i ảan cừa nõ Ãu l i ảan chẵnh R ữủc gồi l vnh a phữỡng náu R cõ nhĐt mởt i ảan tối Ôi Vnh R ữủc gồi l vnh chuội náu têp z at nh oi Cho R l v nh giao ho¡n hỳu hÔn Mởt i ảan I cừa R ữủc gồi l z @ gm hủp tĐt cÊ cĂc i ảan cừa R l mët chuéi sp thù tü theo quan h» bao h m Tø co l â ta suy r¬ng mởt vnh chuội l mởt vnh i ảan chẵnh m CĂc iÃu kiằn sau l tữỡng ữỡng vợi lợp cĂc vnh chuội giao hoĂn hỳu hÔn an Lu Mằnh à 2.7 Cho R l vnh giao hoĂn hỳu hÔn Khi õ c¡c ph¡t biºu sau l ac th 36 n va tữỡng ữỡng: si l vnh a phữỡng v i ảan tối Ôi M cừa R l vnh chẵnh; (i) R (ii) R (iii) R l vnh i ảan chẵnh a phữỡng; l v nh chuéi Chùng minh (i) ⇒ (ii): Gåi I l mởt i ảan cừa vnh R - Náu I = R thẳ I ữủc sinh bi phƯn tỷ - Náu I R th¼ I ⊂ M Theo (i) M ữủc sinh bi mởt phƯn tỷ, ta t M = hai Khi â I = hak i vỵi k l số nguyản dữỡng no õ Suy R l vnh i ảan chẵnh a phữỡng (ii) (iii) GiÊ sỷ R l vnh i ảan chẵnh a phữỡng vợi i ảan tối Ôi lu an M = hai v A, B l hai i ¶an thüc sü cõa R Ta câ A, B ⊆ M Khi õ tỗn tÔi n va cĂc số nguy¶n k, l cho A = hak i, B = hal i (l, k nhä hìn ch¿ sè lơy linh cõa (iii) ⇒ (i) Gi£ sû R l v nh chuội giao hoĂn hỳu hÔn, ró rng R l vnh gh tn to a) Suy A ⊆ B ho°c B ⊆ A Vªy R l v nh chuéi p ie a phữỡng (vẳ tỗn tÔi nhĐt mởt i ảan tối Ôi theo quan hằ bao hm) ch rơng i ảan tối Ôi cừa R l chẵnh, giÊ sỷ ngữủc lÔi, M ữủc nl w sinh bi nhi·u hìn mët ph¦n tû v b, c l hai phƯn tỷ sinh cừa M , vợi b khổng d oa thuởc cR ỗng thới c cụng khổng thuởc bR Khi â hbi * hci v hci * hbi m¥u an lu thuăn vợi giÊ thiát R l vnh chuội Vêy M l i ảan chẵnh nf va Tiáp theo s³ ch¿ r¬ng v nh Fpm [x] l mët v nh chuéi v c¡c hxps − λi z at nh oi lm ul Fpm [x] ữủc biu diạn nhữ sau: hxps − λi D E D E D E D E ps −1 ps (x − λ0 ) ⊃ (x − λ0 ) ⊃ · · · ⊃ (x − λ0 ) ⊃ (x − λ0 ) = h0i i ảan cừa vnh z Xt mởt phƯn tỷ b§t ký f (x) = a0 + a1 (x) + · · · + aps −1 xp s −1 , â l cho f (x) câ thº biu diạn nhữ sau: gm @ a0 , a1 , , aps −1 ∈ Fpm Khi â chóng ta câ c¡c ph¦n tû b0 , b1 , , bps −1 ∈ Fpm s −1 m co f (x) = b0 + b1 (x − λ0 ) + · · · + bps −1 (x − λ0 )p an Lu N¸u b = 0, â f (x) = (x − λ0 )g(x) v vªy f (x) = (x − λ0 i N¸u b 6= 0, ac th 37 n va thẳ f (x) ữủc biu diạn dữợi dÔng f (x) = b0 + (x − λ0 )g(x) Ta câ f (x) l si Fpm [x] th¼ ta câ i·u kh¯ng hxps − λi Fpm [x] ành sau: ho°c f (x) l kh£ nghàch ho°c f (x) ∈ hx − λ0 i Do â ps l hx − λi Fpm [x] mởt vnh a phữỡng vợi i ảan tối Ôi hx i Vẳ vêy ps l mởt vnh hx − λi chuéi Tø ch¿ sè lôy linh cõa x − λ0 l ps ta câ i·u ph£i chùng minh khÊ nghch, tực l vợi bĐt kẳ phƯn tỷ f (x) ∈ H» qu£ 2.1 Vỵi λ = 1, ta câ hxFpp −[x]1i l mët v nh chuéi v c¡c i ảan cừa m s vnh hxFpp [x]1i cõ dÔng sau: m s D lu (x − 1) E D ⊃ (x − 1) E D ⊃ · · · ⊃ (x − 1) ps −1 E D E ps ⊃ (x − 1) = h0i an n va V½ dư 2.10 X²t p = 19; s = 1; m = 2, λ = Ta câ c¡c i ¶an cõa v nh gh tn to Tø h» qu£ tr¶n, thĐy rơng cĂc m cyclic cõ ở di ps tr¶n Fpm l Ci = (x − 1)i â i = 0, , ps p ie F192 [x] j l (x − 1) , â ≤ j ≤ 19, v j Z Khi õ, ta thĐy rơng hx19 1i cĂc m cyclic cõ ở di 19 trản F192 l Ci = h(x − 1)j i â ≤ j ≤ 19, v oa nl w j Z d Vẵ dử 2.11 XƠy dỹng m cyclic cõ ở di trản trữớng hỳu hÔn F3 a thùc an lu a thùc sinh sau ¥y: nf va x3 − = (x − 1)3 = (2 + x)3 Suy câ m¢ cyclic ë d i tữỡng ựng vợi (ii) + x = + x z (iii) (2 + x) = + x + x2 z at nh oi lm ul (i) = gm @ (iv) (2 + x) = + x3 l an Lu s sinh m cyclic ch gỗm phƯn tû l {000} m co a thùc sinh g(x) = s sinh m cyclic chẵnh F33 a thùc sinh g(x) = 2+x3 n va ac th 38 si a thùc sinh g(x) = + x s³ sinh m cyclic C(3, 2) Ma sinh cừa m cyclic ny l G2ì3 = 0 a thùc sinh g(x) = + x + x2 s³ sinh m¢ cyclic C(3, 1) Ma sinh cừa m cyclic ny l G1ì3 = 1 Vẵ dö 2.12 Ta câ x9 − = (x − 1)9 = (2 + x)9 Suy câ 10 m¢ cyclic ở di tữỡng ựng vợi 10 a thực sinh sau ¥y: lu (i) = an n va (ii) + x = + x gh tn to (iii) (2 + x) = + x + x2 p ie (iv) (2 + x) = + x3 nl w (v) (2 + x) = + 2x + 2x3 + x4 d oa (vi) (2 + x) = + 2x + 2x2 + x3 + x4 + x5 lu nf va an (vii) (2 + x) = + x3 + x6 lm ul (viii) (2 + x) = + x + 2x3 + x4 + 2x6 + x7 (x) (2 + x) = + x9 z at nh oi (ix) (2 + x) = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 z a thùc sinh g(x) = s³ sinh m cyclic chẵnh F93 a thực sinh g(x) = @ gm + x9 s³ sinh m¢ cyclic ch gỗm phƯn tỷ l {000000000} m co l a thùc sinh g(x) = + x s³ sinh m cyclic C(9, 8) Ma sinh cừa m¢ an Lu n va ac th 39 si cyclic n y l G8×9 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a thùc sinh g(x) = + x + x2 s sinh m cyclic C(9, 7) Ma sinh cõa lu m¢ cyclic n y l an n va gh tn to p ie G7×9 d oa nl w 0 0 = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 lu nf va an a thùc sinh g(x) = + x3 s³ sinh 0 0 G6×9 = 0 0 0 z at nh oi lm ul m¢ cyclic C(9, 6) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z gm @ m co l a thùc sinh g(x) = + 2x + 2x3 + x4 s³ sinh m¢ cyclic C(9, 5) Ma trªn an Lu n va ac th 40 si sinh cừa m cyclic ny l G5ì9 0 = 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 a thùc sinh g(x) = + 2x + 2x2 + x3 + x4 + x5 s³ sinh m¢ cyclic C(9, 4) lu Ma sinh cừa m cyclic ny 0 G4×9 = 0 l an n va 2 1 0 2 1 0 2 1 0 0 2 1 gh tn to a thùc sinh g(x) = + x3 + x6 s³ sinh m¢ cyclic C(9, 3) Ma sinh p ie cừa m cyclic ny l nl w d oa G3×7 1 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 an lu nf va a thùc sinh g(x) = + x + 2x3 + x4 + 2x6 + x7 s³ sinh m¢ cyclic C(9, 2) z at nh oi lm ul Ma sinh cừa m cyclic n y l 2 G2×9 = 2 a thùc sinh g(x) = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 s³ sinh m¢ z = 1 1 1 1 co l G1×9 gm @ cyclic C(9, 1) Ma sinh cừa m cyclic ny l m Vẵ dử 2.13 XƠy dỹng m cyclic cõ ở di trản trữớng hỳu hÔn F5 Ta câ an Lu x5 − = (x − 1)5 = (x + 4)5 Suy câ m cyclic ở di tữỡng ựng vợi ac th 41 n va a thùc sinh sau ¥y: si (i) = (ii) + x = + x (iii) (4 + x) = + 3x + x2 (iv) (4 + x) = + 3x + 2x2 + x3 (v) (4 + x) = + x + x2 + x3 + x4 (vi) (4 + x) = + x5 a thùc sinh g(x) = s³ sinh m cyclic chẵnh F55 a thực sinh g(x) = 4+x5 lu s sinh m cyclic ch gỗm ph¦n tû l {00000} an a thùc sinh g(x) = + x s³ sinh m¢ cyclic C(5, 4) Ma sinh cừa m va n cyclic ny l gh tn to p ie G4×5 0 0 0 0 w 0 = 0 oa nl a thùc sinh g(x) = + 3x + x2 s sinh m cyclic C(5, 3) Ma sinh d cõa m¢ cyclic n y l nf va an lu G3×5 lm ul 1 0 = 0 0 0 z at nh oi a thùc sinh g(x) = + 3x + 2x2 + x3 s³ sinh m¢ cyclic C(5, 2) Ma sinh cừa m cyclic ny l z gm @ G2×5 = co l a thùc sinh g(x) = + x + x2 + x3 + x4 s³ sinh m¢ cyclic C(5, 1) Ma m sinh cừa m cyclic ny l an Lu G1×5 = 1 1 n va ac th 42 si Vẵ dử 2.14 XƠy dỹng m cyclic cõ ở di trản trữớng hỳu hÔn F7 a thực x7 = (x 1)7 Suy câ m¢ cyclic ë d i tữỡng ựng vợi a thực sinh sau Ơy: (i) = (ii) −1 + x = −1 + x (iii) (−1 + x) = + 5x + x2 (iv) (−1 + x) = −1 + 3x + 4x2 + x3 (v) (−1 + x) = + 3x − x2 + 3x3 + x4 lu an (vi) (−1 + x) = −1 + 5x + 4x2 + 3x3 + 2x4 + x5 va n (vii) (−1 + x) = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 gh tn to (viii) (−1 + x) = −1 + x7 p ie a thùc sinh g(x) = s sinh m cyclic chẵnh F77 a thùc sinh g(x) = −1 + x7 s³ sinh m cyclic ch gỗm phƯn tỷ l {0000000} cyclic n y l oa nl w a thùc sinh g(x) = −1 + x s³ sinh m¢ cyclic C(7, 6) Ma sinh cừa m d 1 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 = nf va an lu lm ul G6×7 0 −1 0 0 −1 0 0 z at nh oi −1 z a thùc sinh g(x) = + 5x + x2 s³ sinh m¢ cyclic C(7, 5) Ma trªn sinh cõa n ac th 43 va 0 an Lu 0 m 0 0 0 co 0 l G5×7 0 0 0 = 0 0 gm @ m¢ cyclic n y l si a thùc sinh g(x) = −1 + 3x + 4x2 + x3 s³ sinh m¢ cyclic C(7, 4) Ma sinh cừa m cyclic ny l G4×7 −1 −1 = 0 −1 0 −1 0 0 0 a thùc sinh g(x) = + 3x − x2 + 3x3 + x4 s³ sinh m¢ cyclic C(7, 3) Ma lu sinh cừa m cyclic ny l 0 1 −1 G3×7 = 0 −1 0 0 −1 an n va tn to a thùc sinh g(x) = −1 + 5x + 4x2 + 3x3 + 2x4 + x5 s³ sinh m¢ cyclic C(7, 2) p ie gh Ma sinh cừa m cyclic ny l −1 G2×7 = −1 oa nl w d a thùc sinh g(x) = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s³ sinh m¢ cyclic C(7, 1) nf va an lu Ma sinh cừa m cyclic ny l G1×7 = 1 1 1 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 44 si Kát luên "PhƠn tẵch a thực thnh cĂc a thực bĐt khÊ quy xƠy dỹng cĂc m cyclic trản trữớng hỳu hÔn"  Ôt ữủc nhỳng kát Luên vôn quÊ sau: lu an Trẳnh by lÔi mởt số khĂi niằm cỡ bÊn và trữớng hỳu hÔn, vnh a thực n va trản trữớng hỳu hÔn trữớng hỳu hÔn ie gh tn to Trẳnh by mởt số nh lẵ và tẵnh bĐt khÊ quy cừa mởt số a thực trản p PhƠn tẵch a thực dÔng xn thnh cĂc a thực bĐt khÊ quy trản trữớng oa nl w hỳu hÔn Fq (n, q) = v (n, q) 6= d Trẳnh by mởt số kát quÊ và m cyclic trản trữớng hỳu hÔn lu nf va an XƠy dỹng cĂc m cyclic trản trữớng hỳu hÔn z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 45 si Ti liằu tham khÊo Tiáng Viằt [1] Lả Th Thanh Nhn (2015), Lỵ thuyát a thực, NXB Ôi håc quèc gia H Nëi lu an [2] Nguy¹n Ch¡nh Tú (2006), Lỵ thuyát m rởng trữớng v Galois, giĂo trẳnh va n online, trữớng Ôi hồc sữ phÔm Huá p ie gh tn to Ti¸ng Anh [3] J MacWilliams and N J A Sloane, The Theory of Error - Correcting oa nl w Codes, 10th impression, North Holand, Amsterdam, 1998 d [4] W Peterson and E J Weldon, Error-Correcting Codes, Revised, 2nd Edi- lu nf va an tion, Cambridge, Mass, 1972 sterdam, 1998 [6] P W Shor, Fault-Tolerant Handbook of Coding Theory, Elsevier, Am- z at nh oi lm ul [5] V Pless and W C Huffman, quantum computation, Proc 37th IEEE Symp on Foundations of Computer Science., pp 56-65, 1996 z m co l gm @ an Lu n va ac th 46 si