ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HÀ LINH ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thái Ngun – 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✶ ✷ ➜❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✺ ✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤❛ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷ ➜❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✸ ❚r➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ▼ét sè ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ①Ðt tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ ✷✵ ✷✳✶ ◆❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ tû ✈➭ tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ ✸ Q Q ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✷✳✷ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞ï♥❣ ❇ỉ ➤Ị ●❛✉ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞ï♥❣ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❊✐s❡♥st❡✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✹ ❘ót ❣ä♥ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ❚Ý♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ tr➢ê♥❣ ✸✹ Zp Z∗p ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ Zp ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✸✳✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ ✸✳✷ ❚Ý♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ tr➢ê♥❣ ❑Õt ❧✉❐♥ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✶ 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❚➠✐ ①✐♥ ❣ö✐ ❧ê✐ ❜✐Õt ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ♥❤✃t ➤Õ♥ P●❙✳❚❙ ▲➟ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥✳ ❈➠ ➤➲ ❞➭♥❤ r✃t ♥❤✐Ò✉ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈➭ t➞♠ ❤✉②Õt tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t➠✐✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ ❤➠♠ ♥❛②✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❝đ❛ t➠✐ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❝ò♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ♥❤ê sù ♥❤➽❝ ♥❤ë✱ ➤➠♥ ➤è❝✱ sù ❣✐ó♣ ➤ì ♥❤✐Ưt t×♥❤ ❝đ❛ ❈➠✳ ❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ö✉✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ ✈➭ P❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ ✲ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ◗✉❛♥ ❤Ư q✉è❝ tÕ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✳ ❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t tì trề t ữ ế tứ q✉ý ❜➳✉ ❝ị♥❣ ♥❤➢ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ♥❤✃t ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➠✐ ①✐♥ t tỏ ò ết ế ì ữ ộ ỗ trỵ ✈➭ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tèt ♥❤✃t ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❚r♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ➤❛ t❤ø❝✱ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ➤ã♥❣ ♠ét ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤➢ ✈❛✐ trß ❝đ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè tr♦♥❣ t❐♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✳ ◆Õ✉ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❙è ❤ä❝ ❝❤♦ ♣❤Ð♣ ❝♦✐ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤➢ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ✈✐➟♥ ❣➵❝❤ ①➞② ♥➟♥ t❐♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ t❤× ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ✈✐➟♥ ❣➵❝❤ ①➞② ♥➟♥ t❐♣ t✃t ❝➯ tứ ì ỗ tứ ❝❤✉➮♥ ✭tø❝ ❧➭ ❤Ư sè ❝❛♦ ♥❤✃t ❜➺♥❣ 1✮ ✈í✐ ❤Ư sè tr➟♥ ♠ét tr➢ê♥❣ ➤Ị✉ ✈✐Õt ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝đ❛ ❤÷✉ ❤➵♥ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❞➵♥❣ ❝❤✉➮♥ ✈➭ sù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤ã ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥Õ✉ ❦❤➠♥❣ ❦Ĩ ➤Õ♥ t❤ø tù ❝➳❝ ♥❤➞♥ tư✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ①Ðt tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ♣❤ø❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ t❤ù❝ C ✈➭ R ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❣✐➯✐ q✉②Õt tõ ➤➬✉ t❤Õ ❦Ø ✶✾✱ ❦❤✐ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝❤ø♥❣ ợ ị ý ủ số ụ t❤Ó✱ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ C ❧➭ ✈➭ ❝❤Ø ❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ♥❤✃t❀ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ R ❧➭ ✈➭ ❝❤Ø ❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ♥❤✃t ❤♦➷❝ ❜❐❝ ❤❛✐ ✈í✐ ❜✐Ưt t❤ø❝ ➞♠✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ ❜➭✐ t♦➳♥ ①Ðt tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ❤÷✉ tû tr➢ê♥❣ t❤➷♥❣ ❞➢ Q ❤♦➷❝ tr➟♥ Zp ✭✈í✐ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè✮ ✈➱♥ ➤❛♥❣ t❤ö t❤➳❝❤ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ tr➟♥ t❤Õ ❣✐í✐✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ ♠ét tr➢ê♥❣✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ tr➟♥ tr➢ê♥❣ Q ✈➭ tr➢ê♥❣ Zp ✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❞ù❛ t❤❡♦ ❝✉è♥ s➳❝❤ ❵❵▲ý t❤✉②Õt ●❛❧♦✐s✧ ❝ñ❛ ❏✳ ❘♦t♠❛♥ ❬❘♦t❪✱ ❝✉è♥ s➳❝❤ ❵❵➜❛ t❤ø❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✧ ❝ñ❛ ❆✳ ❙❝❤✐♥③❡❧ ❬❙❝❪✱ ❜➭✐ ❜➳♦ ❵❵❚Ý♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝✧ ➤➝♥❣ tr➟♥ ❚➵♣ ❝❤Ý ➜➵✐ sè ❝ñ❛ ■✳ ❙❡r❡s ❬❙❪ ✈➭ ❜➭✐ ❜➳♦ ❵❵❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝✧ ➤➝♥❣ tr➟♥ t➵♣ ❝❤Ý ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ❆♥♥✳ ▼❛t❤ ❝ñ❛ ❍✳ ▲✳ ❉♦r✇❛rt ✲ ❖✳ ❖r❡ ❬❉❖❪✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈Ò ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✈➭ sư ❞ơ♥❣ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ ❧ý ❑r♦♥❡❝❦❡r ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷✮ ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝đ❛ ●❛❧♦✐s ✈Ị sù tồ t ột trờ ó ữ tử ị ❧ý ✶✳✸✳✺✮✳ ❈❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ①Ðt tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ Q tì ệ ữ tỷ ❞ï♥❣ ❇ỉ ➤Ị ●❛✉ss✱ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❊✐s❡♥st❡✐♥ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ rót ❣ä♥ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ sư ❞ơ♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ❑r♦♥❡❝❦❡r ✈Ị sù tå♥ t➵✐ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡ ✈Ị ❝✃♣ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ữ ị ý tí t q ủ ♠ét sè ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ Zp ✭✈í✐ p ❧➭ ột số tố ợ trì tr 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ➜❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❚r➢í❝ ❦❤✐ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ị ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ tr×♥❤ ❜➭② ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈Ò ➤❛ t❤ø❝✳ ✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➤❛ t❤ø❝ ✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ▼ét t❐♣ F ❝ï♥❣ ✈í✐ ❤❛✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥✱ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tr➢ê♥❣ ♥Õ✉ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥ ✭✐✮ ❑Õt ❤ỵ♣✿ a + (b + c) = (a + b) + c ✈➭ (ab)c = a(bc) ✈í✐ ♠ä✐ a, b, c ∈ F ✭✐✐✮ ●✐❛♦ ❤♦➳♥✿ a + b = b + a ✈➭ ab = ba ✈í✐ ♠ä✐ a, b ∈ F ✭✐✐✐✮ ▲✉❐t ♣❤➞♥ ♣❤è✐✿ a(b + c) = ab + ac ✈í✐ ♠ä✐ a, b, c ∈ F ✭✐✈✮ ❚å♥ t➵✐ ♣❤➬♥ tử ị t tử ỗ ∈ F s❛♦ ❝❤♦ a1 = 1a = a ✈í✐ ♠ä✐ a ∈ F ∈ F s❛♦ ❝❤♦ a + = + a = a ✈í✐ ♠ä✐ a ∈ F a ∈ F ✱ tå♥ t➵✐ ♣❤➬♥ tö ➤è✐ −a ∈ F s❛♦ ❝❤♦ a + (a) = ỗ = a F ✱ tå♥ t➵✐ ♣❤➬♥ tư ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ a−1 ∈ F s❛♦ ❝❤♦ aa−1 = ✶✳✶✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ t❤ø❝ ❝ã ❞➵♥❣ f (x) t❤ø❝ ❈❤♦ F ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ a0 , a1 , , am ∈ F ✳ ▼ét ❜✐Ó✉ = am xm +am−1 xm−1 + .+a1 x+a0 ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ➤❛ ♠ét ❜✐Õ♥ x✳ ❚❐♣ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ư sè tr➟♥ F ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ F [x] ◆Õ✉ ✺ 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ am = t❤× t❛ ♥ã✐ ❜❐❝ ❝đ❛ f (x) ❧➭ m ✈➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ deg f (x) = m ❍Ư sè am ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤Ư sè ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛ f ✳ ◆Õ✉ am = tì f (x) ợ ọ tứ ❍❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ❧➭ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ♥Õ✉ ♥ã ❝ã ❝ï♥❣ ❞➵♥❣ ❝❤✉➮♥ ❜❐❝ ✈➭ ❝➳❝ ❤Ö sè t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉✳ ❱í✐ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ bi xi ✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tỉ♥❣ f (x) + g(x) = g(x) = f (x)g(x) = ck xk ✱ tr♦♥❣ ➤ã ck = i+j=k f (x) = xi (ai + bi )xi ✈➭ tÝ❝❤ b j ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tr➟♥ t❛ ❝ã ♥❣❛② ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤➞②✳ ✶✳✶✳✸ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ ✭✐✮ f (x), g(x), h(x) ∈ F [x] ❑❤✐ ➤ã deg(f (x) + g(x)) ✭✐✐✮ ◆Õ✉ max{deg f (x), deg g(x)} f (x) = ✈➭ g(x) = t❤× f (x)g(x) = ✈➭ deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x) ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ f (x) = ✈➭ f (x)g(x) = f (x)h(x) t❤× g(x) = h(x) ✶✳✶✳✹ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ f (x), g(x) ∈ F [x] ◆Õ✉ f (x) = q(x)g(x) ✈í✐ q(x) ∈ F [x] t❤× t❛ ♥ã✐ r➺♥❣ g(x) ❧➭ ➢í❝ ❝ñ❛ f (x) ❤❛② f (x) ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ g(x) ✈➭ t❛ ✈✐Õt g(x)|f (x)✳ ❚❐♣ ❝➳❝ ❜é✐ ❝ñ❛ g(x) ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ (g)✳ ❚❛ ❝ã ♥❣❛② ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ❣✐➯♥ s❛✉ ➤➞②✳ ✶✳✶✳✺ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✳ ✭✐✮ ❱í✐ c∈F ✭✐✐✮ ◆Õ✉ ✈➭ k ❧➭ sè tù ♥❤✐➟♥ t❛ ❝ã f (x) ∈ F [x] ✈➭ c ∈ F (x − c)|(xk − ck ) t❤× tå♥ t➵✐ q(x) ∈ F [x] s❛♦ ❝❤♦ f (x) = q(x)(x − c) + f (c) ✶✳✶✳✻ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ♠ét tr➢ê♥❣ ❝❤ø❛ ♥Õ✉ ❈❤♦ f (x) = am xm + + a0 ∈ F [x]✳ ●✐➯ sö K ❧➭ F ✳ ▼ét ♣❤➬♥ tư c ∈ K ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) f (c) = am cm + + a0 = 0✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② t❛ ❝ị♥❣ ♥ã✐ c ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ f (x) = 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ✶✳✶✳✼ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ ✭✐✮ f (x) ∈ F [x] ✈➭ c ∈ F ❑❤✐ ➤ã c ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ f (x) ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ x − c ✭✐✐✮ ❙è ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✶✳✶✳✽ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ f (x) ❦❤➠♥❣ ✈➢ỵt q✉➳ deg f (x)✳ ✭❚❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢✮✳ ❈❤♦ f (x), g(x) ∈ F [x] ✈í✐ g(x) = 0✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ❝➷♣ ➤❛ t❤ø❝ q(x), r(x) ∈ F [x] s❛♦ ❝❤♦ f (x) = q(x)g(x) + r(x) tr♦♥❣ ➤ã r(x) = ❤♦➷❝ deg r(x) < deg g(x) ✶✳✶✳✾ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ▼ét t❐♣ ❝♦♥ I = ∅ ❝đ❛ F [x] ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ F [x] ♥Õ✉ ♥ã t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ✭✐✮ ◆Õ✉ ✭✐✐✮ ◆Õ✉ f (x), g(x) ∈ I t❤× f (x) + g(x) ∈ I ❀ f (x) ∈ I ✈➭ q(x) ∈ F [x] t❤× q(x)f (x) ∈ I ✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ t❐♣ ❝♦♥ ✈➭ I = ∅ ❝ñ❛ F [x] ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ f − g ∈ I f h ∈ I ✈í✐ ♠ä✐ f (x), g(x) ∈ I ✈➭ h(x) ∈ F [x]✳ ✶✳✶✳✶✵ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ◆Õ✉ I = {0} ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ tr♦♥❣ F [x] ✈➭ d(x) = ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❜❐❝ ❜Ð ♥❤✃t tr♦♥❣ I t❤× I = (d) = {d(x)q(x) | q(x) ∈ F [x]} ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➤ã ❈❤♦ ➤❛ t❤ø❝ f (x) ∈ I ❱✐Õt f (x) = d(x)q(x) + r(x) tr♦♥❣ r(x) = ❤♦➷❝ deg r(x) < deg d(x) ❱× f (x), d(x) ∈ I ♥➟♥ t❛ ❝ã r(x) = f (x) − d(x)q(x) ∈ I ✳ ❉♦ ➤ã r(x) = t❤❡♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ d(x)✳ ❙✉② r❛ f (x) = d(x)q(x) ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ✈× d(x) ∈ I ♥➟♥ d(x)q(x) ∈ I ✈í✐ ♠ä✐ q(x) ∈ F [x]✳ ✶✳✶✳✶✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❝❤✉♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ ▼ét ➤❛ t❤ø❝ ❞➵♥❣ ❝❤✉➮♥ d(x) ∈ F [x] ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➢í❝ f (x), g(x) ∈ F [x] ♥Õ✉ d(x)|f (x)✱ d(x)|g(x) ✈➭ ♥Õ✉ h(x)|f (x) ✈➭ h(x)|g(x) t❤× h(x)|d(x) ❚❛ ❦Ý ❤✐Ư✉ ➢í❝ ❝❤✉♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t ❝đ❛ 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽ f (x) ✈➭ g(x) ❧➭ gcd(f (x), g(x))✳ ◆Õ✉ gcd(f (x), g(x)) = t❤× t❛ ♥ã✐ f (x) ✈➭ g(x) ❧➭ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉✳ ❚õ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✶✵ t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉✳ ✶✳✶✳✶✷ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ◆Õ✉ t❤× f (x), g(x) ❧➭ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❜➺♥❣ gcd(f (x), g(x)) ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ✈➭ ❧➭ tỉ ❤ỵ♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝đ❛ f (x) ✈➭ g(x)✱ tø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ a(x), b(x) ∈ F [x] s❛♦ ❝❤♦ gcd(f (x), g(x)) = a(x)f (x) + b(x)g(x) ✶✳✶✳✶✸ ❍Ö q✉➯✳ ❈❤♦ ✈➭ p(x), f (x), g(x) ∈ F [x]✳ ◆Õ✉ gcd(p(x), f (x)) = p(x)|f (x)g(x) t❤× p(x)|g(x) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ = p(x)a(x) + f (x)b(x) ❙✉② r❛ g(x) = p(x)a(x)g(x) + f (x)b(x)g(x) ❉♦ p(x) ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ë ✈Õ ♣❤➯✐ ♥➟♥ p(x)|g(x) ❱í✐ = g(x) ∈ F [x]✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ g ∗ (x) = g(x)/an tr♦♥❣ ➤ã an ❧➭ ❤Ư sè ❝❛♦ ♥❤✃t ❝đ❛ g(x)✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ g ∗ (x) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❞➵♥❣ ❝❤✉➮♥✳ ➜Ĩ t×♠ ➢í❝ ❝❤✉♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t t❛ ❝ã t❤✉❐t t♦➳♥ s❛✉✿ ✶✳✶✳✶✹ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ t❤ø❝ ✭❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ t×♠ ➢í❝ ❝❤✉♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t✮✳ ❈❤♦ ❤❛✐ ➤❛ f (x), g(x) ∈ F [x] ✈í✐ g(x) = 0✳ ◆Õ✉ g(x)|f (x) tì gcd(f (x), g(x)) = g (x) ế ợ ❧➵✐✱ ❝❤✐❛ ❧✐➟♥ t✐Õ♣ t❛ ➤➢ỵ❝ f (x) = q(x)g(x) + r(x), r(x) = 0, deg r(x) < deg g(x) g(x) = q1 (x)r(x) + r1 (x), r1 (x) = 0, deg r1 (x) < deg r(x) rn−2 (x) = qn (x)rn−1 (x) + rn (x), rn (x) = 0, deg rn (x) < deg rn−1 (x) rn−1 (x) = qn+1 (x)rn (x) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾ ❑❤✐ ➤ã gcd(f (x), g(x)) = rn∗ (x)✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝✉è✐ t❛ ❝ã rn (x)|rn−1 (x) ❚❤❛② ✈➭♦ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø ❤❛✐ tõ ❞➢í✐ ❧➟♥ t❛ ❝ã rn (x)|rn−2 (x) ❈ø t✐Õ♣ tơ❝ ❧❐♣ ❧✉❐♥ ✈í✐ ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tõ ❞➢í✐ ❧➟♥ tr➟♥ t❛ s✉② r❛ rn (x)|g(x) ✈➭ rn (x)|f (x)✳ ❉♦ ➤ã rn∗ (x)|f (x) ✈➭ rn∗ (x)|g(x)✳ ●✐➯ sö h(x)|f (x) ✈➭ h(x)|g(x)✳ ❚õ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤➬✉ t✐➟♥ t❛ ❝ã h(x)|r(x) ❚õ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø ❤❛✐ t❛ ❝ã h(x)|r1 (x) ❈ø t✐Õ♣ tô❝ ❧❐♣ ❧✉❐♥ tr➟♥ ✈í✐ ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tõ tr➟♥ ①✉è♥❣ ❞➢í✐ t❛ ❝ã h(x)|rn (x) ❉♦ ➤ã h(x)|rn∗ (x) ✶✳✷ ➜❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✶✳✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ▼ét ➤❛ t❤ø❝ f (x) ∈ F [x] ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ♥Õ✉ deg f (x) > ✈➭ f (x) ❦❤➠♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝đ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❜❐❝ ❜Ð ❤➡♥✳ ◆Õ✉ ❤➡♥ t❤× t❛ ♥ã✐ deg f (x) > ✈➭ f (x) ❧➭ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❜❐❝ ❜Ð f (x) ❧➭ ❦❤➯ q✉②✳ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✳ ✶✳✷✳✷ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✳ ✭✐✮ ➜❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ♥❤✃t ❧✉➠♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✳ ✭✐✐✮ ◆Õ✉ f (x) ❜❐❝ ❧í♥ ❤➡♥ ✈➭ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ F ✭✐✐✐✮ ➜❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ f (x) ❦❤➯ q✉②✳ ✈➭ ❜❐❝ ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❝ã F ✭✐✈✮ ➜❛ t❤ø❝ f (x) ❝ã ❜❐❝ ❞➢➡♥❣ ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ f (x + a) ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✈í✐ ♠ä✐ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ t❤× a ∈ F ✭✐✮ ❘â r➭♥❣ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ♥❤✃t ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❧➭ tÝ❝❤ ❝đ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ t❤✃♣ ❤➡♥✳ ✭✐✐✮ ◆Õ✉ tr♦♥❣ ➤ã deg f (x) > ✈➭ f (x) ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ x = a ∈ F t❤× f = (x − a)g deg g = deg f − ≥ ❱× t❤Õ f ❦❤➯ q✉②✳ 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ỗ số tố p í ❤✐Ö✉ ∈ Zp ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ♠➠➤✉♥ p ✭❤❛② ❧í♣ t❤➷♥❣ ❞➢ ❝đ❛ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ p✮✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ f (x) := an xn + + a1 x + a0 ∈ Zp [x] ✷✳✹✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈❤♦ f (x) ∈ Z[x] ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè p s❛♦ ❝❤♦ deg f (x) = deg f (x) tr➟♥ f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② ●✐➯ sö f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr♦♥❣ Zp [x] ✈➭ deg f (x) = deg f (x)✳ ✈➭ f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp t❤× Q ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❑❤✐ ➤ã deg f (x) > 0✳ ❙✉② r❛ deg f (x) > ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ ●❛✉ss✱ Q✳ ●✐➯ sö f (x) ❦❤➠♥❣ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Q ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị f (x) ❝ã sù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ f (x) = g(x)h(x) tr♦♥❣ ➤ã g(x), h(x) ∈ Z[x]✱ deg f (x) > deg g(x) ✈➭ deg f (x) > deg h(x) ❈❤ó ý r➺♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ sè a, b t❛ ❝ã ab = a b ✈➭ a + b = a + b✳ ❱× t❤Õ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❦✐Ĩ♠ ♥❣✉②➟♥ tr❛ ➤➢ỵ❝ f (x) = g(x)h(x) ❉♦ ➤ã deg f (x) = deg g(x) + deg h(x) ❱× deg f (x) = deg f (x)✱ deg g(x) ≥ deg g(x) ✈➭ deg h(x) ≥ deg h(x) ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ deg g(x) = deg g(x) ✈➭ deg h(x) = deg h(x)✳ ❱× t❤Õ f (x) ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝đ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ g(x), h(x) ❝ã ❜❐❝ t❤✃♣ ❤➡♥✱ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ ✷✳✹✳✷ ❈❤ó ý✳ ●✐➯ t❤✐Õt Zp ❝ñ❛ f (x)✳ deg f (x) = deg f (x) tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✳✶ ❧➭ ❝➬♥ t❤✐Õt✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ①Ðt ➤❛ t❤ø❝ f (x) = 5(x − 1)9 + (x − 1) ∈ Z[x] ➜❛ t❤ø❝ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Q ✈× ♥ã ❝ã ➢í❝ t❤ù❝ sù ❧➭ x − 1✳ ❚❛ ❝ã f (x) = x − ∈ Z5 [x]✳ ❱× f (x) ❝ã ❜❐❝ ♥➟♥ râ r➭♥❣ ♥ã ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Z5 ✷✳✹✳✸ ❱Ý ❞ô✳ ✭✐✮ ❳Ðt tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Q ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ s❛✉✳ 5x2 + 10x + 4❀ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ 3x3 + 7x2 + 10x − 5❀ 11x4 − 5x3 + 21x2 − 9x + 6✳ 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✷ ●✐➯✐✳ ✭✐✮ ➜❛ t❤ø❝ f (x) = 5x2 + 10x + ∈ Z[x]✳ ❈❤ä♥ p = 3✱ t❛ ❝ã f (x) = 2x2 + x + ∈ Z3 [x]✳ ➜❛ t❤ø❝ f (x) ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ Z3 ♥➟♥ ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✳ ❱× ➤❛ t❤ø❝ deg f (x) = = deg f (x) ♥➟♥ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✳✶ f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Q✳ ✭✐✐✮ ❘ót ❣ä♥ tr♦♥❣ trë t❤➭♥❤ Z2 [x]✱ ➤❛ t❤ø❝ f (x) = 3x3 + 7x2 + 10x − ∈ Z[x] f (x) = x3 + x2 − ∈ Z2 [x]✳ ➜❛ t❤ø❝ f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Z2 ✈× ♥ã ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ tr ị ý tứ Z2 ì deg f (x) = = deg f (x) ♥➟♥ t❤❡♦ f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Q✳ ✭✐✐✐✮ ❘ót ❣ä♥ tr➟♥ Z5 ✱ ➤❛ t❤ø❝ f (x) trë t❤➭♥❤ tr➟♥ = 11x4 −5x3 +21x2 −9x+6 ∈ Z[x] f (x) = x4 + x2 + x + ∈ Z5 [x] ❉Ơ t❤✃② f (x) ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ Z5 ♥➟♥ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❤➞♥ tö ❜❐❝ ♠ét✳ ●✐➯ sö ♥Õ✉ f (x) ❦❤➯ q✉② tr♦♥❣ Z5 [x] t❤× f (x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) ✈í✐ a, b, c, d ∈ Z5 ✳ ➜å♥❣ ♥❤✃t ❤Ö sè ë ❤❛✐ ✈Õ ❝đ❛ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ ➤➢ỵ❝ a + c = 0, b + ac + d = 1, ad + bc = 1, bd = ì bd = trò ủ b, d ❧➭ ♥❤➢ ♥❤❛✉ ♥➟♥ ❦❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t t❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt (b, d) = (1, 1) ❤♦➷❝ (b, d) = (2, 3) ❤♦➷❝ (b, d) = (4, 4)✳ ◆Õ✉ (b, d) = (1, 1) t❤× a + c = 0, ac = −1, a + c = 1✱ ✈➠ ❧Ý✳ ◆Õ✉ (b, d) = (2, 3) t❤× a + c = 0, ac = −4, 3a + 2c = 1✳ ❙✉② r❛ a = 1, c = −1 ♥❤➢♥❣ t❤❛② ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ac = −4 t❛ ➤➢ỵ❝ −1 = −4✱ ✈➠ ❧Ý✳ ◆Õ✉ (b, d) = (4, 4) t❤× a + c = 0, ac = −7, a + c = ✱ ✈➠ ❧Ý✳ ❱❐② f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Z5 ✳ ❱× deg f (x) = = deg f (x) ♥➟♥ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✳✶ ➤❛ t❤ø❝ f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Q✳ ✷✳✹✳✹ ❈❤ó ý✳ P❡t❡r ❈❛♠❡r♦♥ ➤➲ sư ❞ơ♥❣ ❇ỉ ➤Ị ●❛✉ss ✈➭ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ rót ❣ä♥ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè ➤Ó ➤➢❛ r❛ ♠ét ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➳❝ ❝❤♦ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❊✐s❡♥st❡✐♥ ♥❤➢ s❛✉✿ ●✐➯ sư ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ư sè ♥❣✉②➟♥ ✈➭ f = gh, tr♦♥❣ ➤ã g, h ❧➭ deg g = m < n, deg h = k < n ●ä✐ at , t = 0, 1, , n❀ bi , i = 0, 1, , m ✈➭ cj , j = 0, 1, , k t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✸ ❝➳❝ ❤Ư sè ❝đ❛ f ✱ g ✈➭ h ❱× ❝➳❝ ❤Ư sè a0 , , an−1 ❝đ❛ f ➤Ị✉ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p ♥➟♥ t❛ ❝ã f (x) = an xn ❈❤ó ý r➺♥❣ n = m + k ✈➭ an = bm ck ❉♦ an ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ p t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥➟♥ bm ✈➭ ck ➤Ị✉ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❜é✐ ❝đ❛ p✳ ❱× t❤Õ g(x) = bm xm + ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ t❤✃♣ ❤➡♥ ∈ Zp [x], h(x) = ck xk + ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ t❤✃♣ ❤➡♥ ∈ Zp [x] ❚❛ ❝ã t❤Ĩ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ ý r➺♥❣ f (x) = g(x)h(x)✳ ❉♦ ➤ã an xn = g(x)h(x) ❈❤ó an xn ❝❤Ø ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➢í❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❧➭ x ❱× t❤Õ g(x) ✈➭ h(x) ❝ị♥❣ ❝❤Ø ❝ã ➤ó♥❣ ♠ét ➢í❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❧➭ x ❉♦ ➤ã g(x) = bm xm ✈➭ h(x) = ck xk ❉♦ ➤ã bi = ✈➭ cj = ✈í✐ ♠ä✐ i < m ✈➭ j < k ➜➷❝ ❜✐Öt✱ c0 ✈➭ b0 ➤Ò✉ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p ❉♦ ➤ã a0 ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p2 , ✈➠ ❧Ý✳ 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✸ ❚Ý♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ tr➢ê♥❣ Zp ▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ①Ðt tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝đ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ Zp ✈í✐ p ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ♥❣♦➭✐ ✈✐Ư❝ sư ❞ơ♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ❑r♦♥❡❝❦❡r ✈Ị sù tå♥ t➵✐ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝đ❛ ♠ét ➤❛ t❤ø❝✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➬♥ ❝❤✉➮♥ ❜Þ t❤➟♠ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ị ❧ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ ✸✳✶ Z∗p ✳ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ ✸✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ◆❤ã♠ ❧➭ ♠ét t❐♣ Z∗p G ❝ï♥❣ ✈í✐ ♠ét ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ✭❦Ý ❤✐Ư✉ t❤❡♦ ❧è✐ ♥❤➞♥✮ t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✐✮ P❤Ð♣ t♦➳♥ ❝ã tÝ♥❤ ❦Õt ❤ỵ♣✿ ✭✐✐✮ a(bc) = (ab)c ✈í✐ ♠ä✐ a, b, c ∈ G G ❝ã ➤➡♥ ✈Þ✿ ∃e ∈ G s❛♦ ❝❤♦ ex = xe = x ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ G ✭✐✐✐✮ ▼ä✐ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ G ➤Ị✉ ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤✿ ỗ x s G, tồ t x1 ∈ G xx−1 = x−1 x = e ▼ét ♥❤ã♠ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥ ❧➭ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ tø❝ ❧➭ ♥❤ã♠ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✭❤❛② ♥❤ã♠ ❆❜❡❧✮ ♥Õ✉ ♣❤Ð♣ ab = ba ✈í✐ ♠ä✐ a, b ∈ G✳ ◆Õ✉ G ❝ã ữ tử tì số tử ủ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝✃♣ ❝đ❛ G✳ ◆Õ✉ G ❝ã ✈➠ ❤➵♥ ♣❤➬♥ tư t❤× t❛ ♥ã✐ ● ❝ã ❝✃♣ ✈➠ ❤➵♥✳ ✸✳✶✳✷ ❱Ý ❞ô✳ ❈❤♦ m > ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥✳ ❱í✐ a, b ∈ Z✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✹ 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✺ a = b ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ a − b ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ m ❑Ý ❤✐Ö✉ Zm = {a | a ∈ Z} ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ♠➠➤✉♥ ❤✐Ö✉ Z∗m = {a ∈ Zm | (a, m) = 1} ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ♠➠➤✉♥ m ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉ ✈í✐ ❤♦➳♥ ❝✃♣ t❤× m ✭❤❛② t❐♣ ❝➳❝ ❧í♣ t❤➷♥❣ ❞➢ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ m✮✳ ❑Ý m✳ ❑❤✐ ➤ã Z∗m ✈í✐ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ a b = ab ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ❣✐❛♦ ϕ(m)✱ tr♦♥❣ ➤ã ϕ ❧➭ ❤➭♠ ❊✉❧❡r✱ tø❝ ❧➭ ϕ(1) = ✈➭ ❦❤✐ m > ϕ(m) ❧➭ sè ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ♥❤á ❤➡♥ m ✈➭ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉ ✈í✐ m✳ P❤➬♥ tư ➤➡♥ ✈Þ ❝đ❛ Z∗m ❧➭ ❘â r➭♥❣ ♥Õ✉ m ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè t❤× ❝✃♣ ❝đ❛ Z∗m ❧➭ m − ✸✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❚❐♣ ❝♦♥ H ❝đ❛ ♠ét ♥❤ã♠ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝đ❛ G ♥Õ✉ e ∈ H ✱ a−1 ∈ H ✈➭ ab ∈ H ✈í✐ ♠ä✐ a, b ∈ H ❈❤♦ ➜➷t G ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ✈í✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❦Ý ❤✐Ư✉ t❤❡♦ ❧è✐ ♥❤➞♥✳ ❈❤♦ a ∈ G (a) = {an | n ∈ Z} ❑❤✐ ➤ã (a) ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝ñ❛ G ❚❛ ❣ä✐ (a) ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ①②❝❧✐❝ s✐♥❤ ❜ë✐ ♣❤➬♥ tư a✳ ❈✃♣ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ❝♦♥ (a) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝✃♣ ❝đ❛ a✳ ✸✳✶✳✹ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ G ột ó ị e ỗ a ∈ G✱ ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ a ❝ã ❝✃♣ n✳ ✭✐✮ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❜Ð ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ an = e an = e ✈➭ ♥Õ✉ ak = e t❤× k ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❞➢➡♥❣ t❛ ❝ã ❧➭ ❜é✐ ❝đ❛ n ✈í✐ ♠ä✐ k ∈ Z ✭✐✮⇒✭✐✐✮✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ tå♥ t➵✐ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ k s❛♦ ❝❤♦ ak = e ●✐➯ sư ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ✈í✐ ♠ä✐ ❝➷♣ sè tù ♥❤✐➟♥ k < k ak −k = e ❙✉② r❛ ak = ak ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá (a) ❝ã ❝✃♣ ✈➠ ❤➵♥✱ ✈➠ ❧Ý ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ✭✐✮✳ ❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ♥❤÷♥❣ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ k s❛♦ ❝❤♦ ak = e ●ä✐ r ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❜Ð ♥❤✃t ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ar = e ❚❛ t❤✃② r➺♥❣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư = aj ✈í✐ i e, a, a2 , , ar−1 ❧➭ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ j < r t❤× aj−i = e ✈➭ 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên j − i < r, ❞♦ ➤ã t❤❡♦ ❝➳❝❤ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✻ ❝❤ä♥ ❝ñ❛ ❘â r➭♥❣ ❱✐Õt r t❛ ❝ã i = j ✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ G = {e, a, a2 , , ar−1 } G ⊇ {e, a, a2 , , ar−1 } ❈❤♦ b ∈ G ❑❤✐ ➤ã b = ak ✈í✐ k ∈ Z k = rq + s tr♦♥❣ ➤ã q, s ∈ Z ✈➭ r − ❚❛ ❝ã s b = ak = arq+s = (ar )q as = as ∈ {e, a, a2 , , ar−1 } ❱× t❤Õ G = {e, a, a2 , , ar−1 } ❧➭ ♥❤ã♠ ❝✃♣ r ❙✉② r❛ r = n ✈➭ ✭✐✐✮ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✐✮⇒✭✐✐✐✮✳ ●✐➯ sö ♥➟♥ ak = e ❱✐Õt k = nq + r ✈í✐ r < n ❱× an = e e = ak = anq ar = ar ❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ n t❛ ♣❤➯✐ ❝ã r = 0, s✉② r❛ k ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ n✳ ✭✐✐✐✮⇒✭✐✮✳ ●ä✐ r ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❜Ð ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ ar = e ❚❤❡♦ ✭✐✐✐✮✱ r ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ n✳ ❉♦ ➤ã n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❜Ð ♥❤✃t t❤á❛ ♠➲♥ an = e ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✐✮⇒✭✐✐✮ t❛ s✉② r❛ ❝✃♣ ❝đ❛ ✸✳✶✳✺ ❱Ý ❞ơ✳ ❳Ðt ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ ①②❝❧✐❝ s✐♥❤ ❜ë✐ Z∗7 ✳ ❈✃♣ ❝ñ❛ Z∗7 ❧➭ ϕ(7) = 6✳ ◆❤ã♠ ❝♦♥ ❧➭ (2) = {1, 2, 4} ❉♦ ➤ã ❝✃♣ ❝ñ❛ tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ Z∗7 ❧➭ 3✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❜Ð ♥❤✃t t❤á❛ ♠➲♥ (2)3 = ∈ Z7 ✳ ❱× t❤Õ t❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị tr➟♥ t❛ ❝ị♥❣ s✉② r❛ ❝✃♣ ❝đ❛ ✸✳✶✳✻ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❧è✐ ♥❤➞♥✳ ❱í✐ ❈❤♦ ❧➭ 3✳ H ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝đ❛ G ✈í✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❦Ý ❤✐Ö✉ t❤❡♦ a ∈ G, ❦Ý ❤✐Ö✉ Ha = {ha | h ∈ H} ❈❤ó ý r➺♥❣ Ha = Hb ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ab−1 ∈ H ❚❛ ❣ä✐ Ha ❧➭ ❧í♣ ❣❤Ð♣ tr➳✐ ❝đ❛ H tr♦♥❣ G ø♥❣ ✈í✐ ♣❤➬♥ tư a✳ ❑❤✐ ❝đ❛ a ❧➭ n✳ H ỉ ó ữ é tr tì số ❧í♣ ❣❤Ð♣ tr➳✐ H ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝❤Ø sè ❝đ❛ H tr♦♥❣ G✳ ✸✳✶✳✼ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭▲❛❣r❛♥❣❡✮✳ ❚r♦♥❣ ♠ét ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ❝✃♣ ✈➭ ❝❤Ø sè ❝đ❛ ♠ét ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ ❝✃♣ ❝đ❛ t♦➭♥ ♥❤ã♠✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❝✃♣ ●✐➯ sö G ❧➭ ♥❤ã♠ ❝ã ❝✃♣ n ✈➭ H ó ủ G ó m ỗ a ∈ G t❛ ❝ã a = ea ∈ Ha ❱× tế ỗ tử ủ G 37S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✼ ➤Ị✉ t❤✉é❝ ♠ét ❧í♣ ❣❤Ð♣ tr➳✐ ❝đ❛ H ●✐➯ sư Ha ∩ Hb = ∅ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ h, h ∈ H s❛♦ ❝❤♦ = h b ❙✉② r❛ a = h−1 h b ❈❤♦ xa ∈ Ha, tr♦♥❣ x ∈ H ❑❤✐ ➤ã xa = (xh−1 h )b ∈ Hb ❙✉② r❛ Ha ⊆ Hb ❚➢➡♥❣ tù✱ ➤ã Hb ⊆ Ha ✈➭ ❞♦ ➤ã Ha = Hb ❱❐② ❤❛✐ ❧í♣ ❣❤Ð♣ tr➳✐ ❜✃t ❦× ❝đ❛ H ♥Õ✉ tì rờ ỗ a G, râ r➭♥❣ ➳♥❤ ①➵ f : H → Ha ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ f (h) = ❧➭ ♠ét s♦♥❣ ì tế ỗ é tr ủ H ề ❝ã ➤ó♥❣ m ♣❤➬♥ tư✳ ●ä✐ ❝❤Ø sè ❝đ❛ H ❧➭ s ❚õ ❝➳❝ ❧❐♣ ❧✉❐♥ tr➟♥ t❛ s✉② r❛ n = sm✳ ❱× t❤Õ s ✈➭ m ➤Ị✉ ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ n ✸✳✶✳✽ ❱Ý ❞ơ✳ ❳Ðt ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ Z∗7 ✳ ❈✃♣ ❝ñ❛ Z∗7 ❧➭ 6✳ ❈✃♣ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ❝♦♥ (2) = {1, 2, 4} ❧➭ 3✳ ❚❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡✱ ❝❤Ø sè ❝đ❛ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ✸✳✷ {1, 2, 4} ❧➭ : = ❚Ý♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ tr➢ê♥❣ ❚r♦♥❣ s✉èt t✐Õt ♥➭②✱ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt Zp p ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❑❤✐ ➤ã Zp ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ♠➠➤✉♥ p✳ ➜Ĩ t❤✉❐♥ t✐Ư♥✱ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❤✐Ĩ✉ ❤❛✐ ♣❤➬♥ tư ●✐➯ sư Zp ✈➱♥ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ♥❤➢ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ tr♦♥❣ ➤ã t❛ a, b ∈ Zp ❧➭ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ a − b ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ p✳ f (x) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ư sè ♥❣✉②➟♥✳ ❈♦✐ f (x) ♥❤➢ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ Zp [x]✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤✐ ❜❐❝ ❝đ❛ f (x) ❦❤➠♥❣ ❧í♥ ✈➭ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤á t❤× t❛ ❝ã t❤Ĩ ❦✐Ĩ♠ tr❛ tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ f (x) tr➟♥ Zp trù❝ t✐Õ♣ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✳ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ ✸✳✷✳✶ ❱Ý ❞ô✳ ➜❛ t❤ø❝ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö x4 + x + ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Z2 ✳ f (x) = x4 + x + ❦❤➠♥❣ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Z2 ✳ ❱× f (x) ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ Z2 ♥➟♥ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❤➞♥ tư ❜❐❝ ♥❤✃t✳ ❱× t❤Õ ♥ã ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝đ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❤❛✐✿ ✈í✐ f (x) = g(x)h(x) g(x), h(x) ∈ Z2 [x] ✈➭ deg g(x) = deg h(x) = ❈➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❤❛✐ 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✽ tr♦♥❣ Z2 [x] ❧➭ x2 , x2 + x, x2 + 1, x2 + x + 1✳ ❉Ô t❤✃② ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❤❛✐ ❞✉② ♥❤✃t tr♦♥❣ Z2 [x] ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ Z2 ❧➭ x2 + x + 1✳ ❱× f (x) ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ ❉♦ ➤ã Z2 ♥➟♥ g(x) ✈➭ h(x) ❝ị♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ Z2 g(x) = h(x) = x2 + x + 1✳ ❘â r➭♥❣ x4 + x + ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ x2 + x + 1✱ tø❝ ❧➭ f (x) ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ g(x)✱ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ❱❐②✱ x4 + x + ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Z2 ✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ tỉ♥❣ q✉➳t✱ ❦❤✐ tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ tr➢ê♥❣ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❜✃t ❦×✱ ệ ể tr Zp ì tự ệ ợ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ t✐Õt ♥➭② ❧➭ sư ❞ơ♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ❑r♦♥❡❝❦❡r ✈Ị tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷✮ ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✼✮ ➤Ĩ ①Ðt tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ ✸✳✷✳✷ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ➜❛ t❤ø❝ tè x2 + ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ p t❤á❛ ♠➲♥ p ≡ 3(mod 4)✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè t❤á❛ ♠➲♥ p ❦❤➠♥❣ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❙✉② r❛ r❛ Zp tr♦♥❣ ♠ét sè tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt✳ ≡ 3(mod 4)✳ ●✐➯ sö x2 +1 Zp ✳ ❑❤✐ ➤ã x2 + ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝đ❛ 1✳ ❉♦ ➤ã x2 + ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ α ∈ Zp ✳ ❱× t❤Õ α2 = −1✳ α4 = 1✳ ❉♦ p ≡ 3(mod 4) ♥➟♥ p = ❱× t❤Õ = −1 ∈ Zp ❙✉② α = ±1 ✈➭ α2 = ❚❛ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ α3 = ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ α3 = t❤× α2 α = ❉♦ ➤ã −α = ❤❛② α = −1 ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ❱❐② αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, ✈➭ α4 = ❈❤ó ý r➺♥❣ α = ✈× ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ x2 + 1✳ ❉♦ ➤ã α ∈ Z∗p ✳ ❚❤❡♦ ❇æ ➤Ị ✸✳✶✳✹✱ ❝✃♣ ❝đ❛ ♣❤➬♥ tư α tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ Z∗p ❧➭ 4✳ ❱× p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥➟♥ ❝✃♣ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ Z∗p ❧➭ p − 1✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡✱ ❝✃♣ ❝đ❛ ➤ã α ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ ❝✃♣ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ Z∗p ✳ ❉♦ ❧➭ ➢í❝ ❝ñ❛ p − ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ t❛ ❝ã p − ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ 4✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ❱❐② x2 + ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp ✳ ✸✳✷✳✸ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ➜❛ t❤ø❝ ♥❣✉②➟♥ tè x2 + x + ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp ✈í✐ ♠ä✐ sè p t❤á❛ ♠➲♥ p ≡ 2(mod 3)✳ 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✾ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè t❤á❛ ♠➲♥ p ≡ 2(mod 3)✳ ●✐➯ sö f (x) = x2 + x + ❦❤➠♥❣ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp ✳ ❑❤✐ ➤ã f (x) ❧➭ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ 1✳ ❉♦ ➤ã ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ α ∈ Zp ✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ f (x)✳ ❱× t❤Õ α = ✈➭ ❞♦ ❞ã α ∈ Z∗p ✳ ❱× x3 − = (x − 1)(x2 + x + 1) = (x − 1)f (x), ✈➭ ✈× α ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) ♥➟♥ α ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ x3 − ❙✉② r❛ α3 = 1✳ ❚❛ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x)✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ f (x) t❤× + + = ∈ Zp ✈➭ ❞♦ ➤ã ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ p✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ p ≡ 2(mod 3)✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ❱❐② ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) ✈➭ ❞♦ α = ◆Õ✉ α2 = t❤× = α3 = α2 α = α, ➤✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ◆❤➢ ➤ã ✈❐②✱ αn = ✈í✐ n = 1, ✈➭ α3 = ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✶✳✹✱ ❝✃♣ ❝đ❛ α tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ Z∗p ❧➭ 3✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ Z∗p ❝ã ❝✃♣ ❧➭ p − ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ 3✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡✱ ➤ã✱ x2 + x + ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp ✳ ✸✳✷✳✹ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ➜❛ t❤ø❝ Zp ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ p − 1✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ✈➠ ❧Ý✳ ❉♦ ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ p t❤á❛ ♠➲♥ p = ✈➭ p ≡ ±1(mod 5) p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè t❤á❛ ♠➲♥ p = ✈➭ p ≡ ±1(mod 5) ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷ ✭❑r♦♥❡❝❦❡r✮✱ tå♥ t➵✐ ♠ét tr➢ê♥❣ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ K ❝❤ø❛ Zp ✈➭ ❝❤ø❛ f (x)✳ ●ä✐ α ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x)✳ ❘â r➭♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ f (x)✱ ✈× tế = ã ị n = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, 3, ✈➭ α5 = ❚❤❐t ✈❐②✱ râ r➭♥❣ x5 − = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = (x − 1)f (x)✳ ❉♦ ➤ã α ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ x5 − 1✳ ❙✉② r❛ α5 = ◆Õ✉ α = t❤× = ∈ Zp ✈➭ ❞♦ ➤ã ❧➭ ❜é✐ ❝đ❛ p✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt p = 5✳ ❙✉② r❛ α = ◆Õ✉ t❤× α2 = t❤× = α5 = (α2 )2 α = α, ➤✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ◆Õ✉ α3 = 1 = α5 = α3 α2 = α2 , ✈➠ ❧Ý✳ ◆Õ✉ α4 = t❤× = α5 = α4 α = α, ✈➠ 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✵ ❧Ý✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, 3, = ị ợ ứ ã ị f (x) ó tö ❜❐❝ ♥❤✃t tr♦♥❣ Zp [x]✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö f (x) ❝ã ♥❤➞♥ tö ❜❐❝ ♥❤✃t✳ ❑❤✐ ➤ã f (x) ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ α ∈ Zp ✳ ❱× α = α ∈ Z∗p ❚❤❡♦ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✶✱ αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, 3, ✈➭ α5 = ♥➟♥ ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✶✳✹✱ ❝✃♣ ❝ñ❛ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡✱ α tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ Z∗p ❧➭ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ ❝✃♣ ❝đ❛ Z∗p ✳ ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ Z∗p ❝ã ❝✃♣ p − ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ 5✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ í ã ị f (x) ó tö ❜❐❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ Zp [x]✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö f (x) ❝ã ♥❤➞♥ tö ❜❐❝ ❤❛✐✳ ❑❤✐ ➤ã f (x) = q(x)r(x)✱ tr♦♥❣ ➤ã q(x), r(x) ∈ Zp [x] ✈➭ deg q(x) = deg r(x) = ❈❤ó ý r➺♥❣ q(x), r(x) ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ ♥❤✃t ✈➭ ó ị Zp ì ế ợ t❤× q(x) ❤♦➷❝ r(x) ❝ã ♥❤➞♥ tư ❜❐❝ f (x) ❝ã ♥❤➞♥ tư ❜❐❝ ♥❤✃t✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❑❤➻♥❣ α ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) ♥➟♥ ♥ã ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ q(x) ❤♦➷❝ r(x) ❑❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t✱ t❛ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈➭ α ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ q(x)✳ ➜➷t F = Zp T = {a + bα | a, b ∈ Zp } ❘â r➭♥❣ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ➤ã♥❣ ❦Ý♥ tr♦♥❣ T ✳ ❈❤♦ u = a + bα, v = c + dα ∈ T ❱✐Õt q(x) = a0 + a1 x + a2 x2 ✈í✐ a0 , a1 , a2 ∈ Zp ❉♦ α ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ q(x) ♥➟♥ a0 + a1 α + a2 α2 = ▲➵✐ ❞♦ q(x) ❝ã ❜❐❝ ❤❛✐ ♥➟♥ a2 = ❱× t❤Õ α2 = −a−1 (a0 + a1 α) ❉♦ ➤ã uv = ac + bdα2 + (ad + bc)α −1 = ac − bda0 a−1 + (ad + bc − bda1 a2 )α ∈ T ❱× t❤Õ T ➤ã♥❣ ❦Ý♥ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥✳ ❉Ơ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝đ❛ tr➢ê♥❣ K ✳ ❳Ðt T ♥❤➢ F −❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡✳ ❘â r➭♥❣ {1, α} ❧➭ ♠ét ❤Ư s✐♥❤ ❝đ❛ F −❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ T ✳ ●✐➯ sö a.1 + bα = ✈í✐ a, b ∈ F ✳ ◆Õ✉ b = t❤× a = ◆Õ✉ b = t❤× α = −ab−1 ∈ F = Zp , ✈➠ ❧Ý ✈í✐ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✷✳ ❉♦ ➤ã ✈Ð❝ t➡ {1, α} ❧➭ ♠ét ❝➡ së ❝ñ❛ F −❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ T ✱ ✈➭ ✈× t❤Õ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♥➭② ❧➭ 2✳ ❉♦ F ❝ã p ♣❤➬♥ tö ✈➭ 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✶ dimF T = ♥➟♥ T ❝ã p2 ♣❤➬♥ tö✳ ❙✉② r❛ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ T ∗ = T \ {0} ❝ã ❝✃♣ ❧➭ p2 − = (p − 1)(p + 1)✳ ❱× α = ♥➟♥ α ∈ T ∗ ❚❤❡♦ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✶ t❛ ❝ã αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, 3, ✈➭ α5 = ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✶✳✹✱ ❝✃♣ ❝đ❛ α tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ T ∗ ❧➭ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡✱ ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ (p − 1)(p + 1)✳ ❱× p ≡ ±1(mod 5) t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥➟♥ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ (p − 1)(p + 1)✱ ✈➠ ❧Ý✳ ❱❐② f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp ✳ ✸✳✷✳✺ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ➜❛ t❤ø❝ ❦❤➯ q✉② tr➟♥ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ Zp f (x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❈❤♦ ❧➭ ❜✃t p ≡ 3(mod 7) ❤♦➷❝ p ≡ 5(mod 7)✳ p ≡ 3(mod 7) ❤♦➷❝ p ≡ 5(mod 7) ✈í✐ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷ ✭❑r♦♥❡❝❦❡r✮✱ tå♥ t➵✐ ♠ét tr➢ê♥❣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ K ❝❤ø❛ Zp ✈➭ ❝❤ø❛ f (x)✳ ●ä✐ α ∈ K ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x)✳ ❘â r➭♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x)✱ ✈× t❤Õ α = 0✳ • ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✶✿ αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, 3, 4, 5, ✈➭ α7 = ❚❤❐t ✈❐②✱ râ r➭♥❣ x7 − = (x − 1)f (x)✳ ❉♦ ➤ã α ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ x7 − 1✳ ❙✉② r❛ α7 = ◆Õ✉ α = t❤× = ∈ Zp ✈➭ ❞♦ ➤ã ❧➭ ❜é✐ ❝đ❛ p✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈Ị p✳ ◆Õ✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ◆Õ✉ α2 = t❤× = α7 = (α2 )3 α = α, ➤✐Ị✉ α3 = t❤× = α7 = (α3 )2 α = α, ✈➠ ❧Ý✳ ◆Õ✉ α4 = t❤× = α7 = α4 α3 = α3 , ✈➠ ❧Ý✳ ◆Õ✉ α5 = t❤× = α7 = α5 α2 = α2 , ✈➠ ❧Ý✳ ◆Õ✉ α6 = t❤× = α7 = α6 α = α, ✈➠ ❧Ý✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, 3, 4, 5, = ã ị f (x) ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❤➞♥ tö ❜❐❝ ♥❤✃t tr♦♥❣ Zp [x]✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ f (x) ❝ã ♥❤➞♥ tö ❜❐❝ ♥❤✃t t❤× f (x) ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ α ∈ Zp ✳ ❚❤❡♦ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✶✱ αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, 3, 4, 5, ✈➭ α7 = 1✳ ❱× α = ♥➟♥ α ∈ Z∗p ❉♦ ➤ã ❝✃♣ ❝ñ❛ α tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ Z∗p ❧➭ 7✳ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ Z∗p ❝ã ❝✃♣ p − 1✱ tr♦♥❣ ➤ã p − ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ ❤♦➷❝ ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ 7✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡✱ ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ p − 1✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ã ị f (x) ó tö ❜❐❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ Zp [x]✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö f (x) ❝ã ♥❤➞♥ tö q(x) ∈ Zp [x] ❜❐❝ ❤❛✐✳ ❚❤❡♦ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✷✱ f (x) ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❤➞♥ tư ❜❐❝ ♥❤✃t✳ ❱× t❤Õ q(x) ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❤➞♥ tư ❜❐❝ ♥❤✃t✳ ❙✉② r❛ q(x) ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp ✳ ▲✃② α ∈ K ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ q(x)✳ ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✹✱ t❛ s✉② r❛ t❐♣ ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝ñ❛ K ✱ tr➢ê♥❣ ♥➭② ❝ã p2 ♣❤➬♥ tư✳ ❱× α = ♥➟♥ α ∈ T ∗ ❚❤❡♦ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✶✱ t❛ ❝ã ❱× t❤Õ ❝✃♣ ❝đ❛ T = {a + bα | a, b ∈ Zp } αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, 3, 4, 5, ✈➭ α7 = 1✳ α tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ T ∗ ❧➭ 7✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡✱ ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ ❝✃♣ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ T ∗ ✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ T ∗ ❝ã ❝✃♣ p2 − ❚✉② ♥❤✐➟♥ p2 − ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✈× ♥ã ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ ❤♦➷❝ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ 7✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② í ã ị f (x) ❝ã ♥❤➞♥ tö ❜❐❝ ❜❛ tr♦♥❣ Zp [x]✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö f (x) ❝ã ♥❤➞♥ tö ❜❐❝ ❜❛ q(x) ∈ Zp [x]✳ ❚❤❡♦ ❝➳❝ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✷✱ ✸✱ ➤❛ t❤ø❝ q(x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✸✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ t❐♣ T = {a + bα + cα2 | a, b, c ∈ Zp } ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝đ❛ K ✱ tr➢ê♥❣ ♥➭② ❝ã p3 ♣❤➬♥ tư✳ ❱× α = ♥➟♥ α ∈ T ∗ ị t ó ì tế ủ αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, 3, 4, 5, ✈➭ α7 = 1✳ α tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ T ∗ ❧➭ 7✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡✱ ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ ❝✃♣ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ T ∗ ✳ ◆❤ã♠ ♥❤➞♥ T ∗ ❝ã ❝✃♣ p3 − 1✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ p3 − ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✈× ♥ã ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ 7✱ ✈➠ ❧Ý✳ ❱❐② f (x) ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❤➞♥ tö ❜❐❝ ♠ét✱ ❜❐❝ ❤❛✐ ❤❛② ❜❐❝ ❜❛✱ ❞♦ ➤ã ♥ã ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp ✳ ✸✳✷✳✻ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ➜❛ t❤ø❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ Zp ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ f (x) = x10 + x9 + + x + ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❈❤♦ ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② p s❛♦ ❝❤♦ p ≡ 2, 6, 7, (mod 11)✳ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè s❛♦ ❝❤♦ p ≡ 2, 6, 7, (mod 11)✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ❑r♦♥❡❝❦❡r✱ tå♥ t➵✐ ♠ét tr➢ê♥❣ K ❝❤ø❛ Zp ✈➭ ❝❤ø❛ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✸ f (x)✳ ●ä✐ α ∈ K ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x)✳ ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✺✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, , 10 ✈➭ α11 = ❘â r➭♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x)✱ ❞♦ ➤ã α = ❈❤♦ ●ä✐ d ∈ {1, 2, 3, 4, 5} ●✐➯ sö f (x) ❝ã ♥❤➞♥ tö q(x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❜❐❝ d✳ α ∈ K ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ q(x)✳ ➜➷t d−1 αi | ∈ Zp , ∀i T = i=0 ❉♦ deg q(x) = q ♥➟♥ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ❳Ðt T ♥❤➢ ♠ét Zp −❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡✳ ❉♦ q(x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② ♥➟♥ t❛ ❝ã t❤Ó ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ {1, α, , αd−1 } ❧➭ ♠ét T ✳ ❉♦ ➤ã dimZp T = d ✈➭ ✈× t❤Õ T ❝ã pd ♣❤➬♥ tö✳ ❉♦ α = ♥➟♥ ❝➡ së ❝đ❛ α ∈ T ∗ ✳ ❱× αn = ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, , 10 ✈➭ α11 = ♥➟♥ α ❝ã ❝✃♣ 11 tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ T ∗ ✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡✱ 11 ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ pd − 1✳ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ t❛ ❝ã ✭✐✮ p − ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ ♠ét tr♦♥❣ ❝➳❝ sè 1, 5, 6, t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ 11✳ ✭✐✐✮ p2 − ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ ♠ét tr♦♥❣ ❝➳❝ sè 3, 2, 4, t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ 11✳ ✭✐✐✮ p3 − ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ ♠ét tr♦♥❣ ❝➳❝ sè 7, 6, 1, t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ 11✳ ✭✐✐✐✮ p4 − ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ ♠ét tr♦♥❣ ❝➳❝ sè 4, 8, 2, t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ 11✳ ✭✐✈✮ p5 − ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ 11✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ pd − ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❜é✐ ❝đ❛ ❝ã ♥❤➞♥ tư ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❜❐❝ 11 ✈í✐ ♠ä✐ d d ✈í✐ ♠ä✐ d 5✳ ❙✉② r❛ f (x) ❦❤➠♥❣ ❱× t❤Õ f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Zp ✳ 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✹ ❑Õt ❧✉❐♥ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ♥é✐ ❞✉♥❣ s❛✉ ➤➞② ✈Ò ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t q tr ột trờ ã rì ột số ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈Ò ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✳ • ❙ư ❞ơ♥❣ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❑r♦♥❡❝❦❡r ✈Ị sù tå♥ t➵✐ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝đ❛ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷✮ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝đ❛ ●❛❧♦✐s ✈Ị sù tå♥ t➵✐ ♠ét trờ ữ ị ý ã r ột sè ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ①Ðt tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ ➤❛ tứ tr Q tì ệ ữ tỷ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞ï♥❣ ❇ỉ ➤Ị ●❛✉ss ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶✮✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞ï♥❣ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❊✐s❡♥st❡✐♥ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✶✮ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ rót ❣ä♥ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè ✭➜Þ♥❤ ý ã ụ ị ý rr ề trờ ♣❤➞♥ r➲ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷✮ ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲❛❣r❛♥❣❡ ✈Ị ủ ó ữ ị ý ể ét tÝ♥❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ ♠ét ✈➭✐ ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ Zp ✈í✐ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬❇♦❪ ◆✳ ❈✳ ❇♦♥❝✐♦❝❛t✱ ❯♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢❛❝t♦rs ❢♦r ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ r❛t✐♦♥❛❧ ❝♦❡❢❢✐❝✐❡♥ts✱ ❆❝t❛ ❆r✐t❤♠❡t✐❝❛✱ ✭✷✮ ✶✶✸ ✭✷✵✵✹✮✱ ✶✼✺✲✶✽✼✳ ❬❈❪ ◆❣✉②Ơ♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ➜➵✐ sè ❤✐Ư♥ ➤➵✐✱ t❐♣ ✶✱ ◆❳❇ ➜❍◗●❍◆✱ ✷✵✵✶✳ ❬❉❖❪ ❍✳ ▲✳ ❉♦r✇❛rt ❛♥❞ ❖✳ ❖r❡✱ ❈r✐t❡r✐❛ ❢♦r t❤❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ ♣♦❧②♥♦✲ ♠✐❛❧s✱ ❆♥♥✳ ▼❛t❤✱ ✭✷✮ ✸✹ ✭✶✾✸✹✮✱ ✽✶✲✾✹✳ ❬●❪ P✳ ●❛rr❡tt✱ ❆❜str❛❝t ❆❧❣❡❜r❛✱ ❈❤❛♣♠❛♥ ✲ ❍❛❧❧✴❈❘❈✱ ✷✵✵✼✳ ❬❘♦t❪ ❏✳ ❘♦t♠❛♥✱ ●❛❧♦✐s ❚❤❡♦r②✱ ❙♣r✐♥❣❡r ✭✷✵✵✶✮✱ ❙❡❝♦♥❞ ❊❞✐t✐♦♥✳ ❬❙❝❪ ❆✳ ❙❝❤✐♥③❡❧✱ P♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ s♣❡❝✐❛❧ r❡❣❛r❞s t♦ r❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②✱ ❈❛♠✲ ❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✷✵✵✵✳ ❬❙❪ ■✳ ❙❡r❡s✱ ■rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✷ ✭✶✾✻✺✮✱ ✷✽✸✲✷✽✻✳ ✹✺ 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn