Một số dạng toán về giải hệ phương trình theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ~~~~~~*~~~~~~ Đề tài: Một số dạng tốn giải hệ phương trình theo chương trình giáo dục phổ thơng 2018 Sinh viên thực : Lê Thị Hà Lớp : 19ST2 Mã sinh viên : 3110119019 Giáo viên hướng dẫn : ThS.Ngơ Thị Bích Thủy Đà Nẵng, tháng năm 2023 Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, cho phép gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Ngơ Thị Bích Thủy, người trực tiếp hướng dẫn suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn ý kiến quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, bạn bè, bạn lớp 19ST2 q trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp Do thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến độc giả để khóa luận hồn thiện Trân trọng cảm ơn! Đà Nẵng, tháng năm 2023 Sinh viên Lê Thị Hà SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp Mục Lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 5 Bố cục khóa luận CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Các lý thuyết hệ phương trình 1.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 1.1.2 Hệ phương trình bậc ba ẩn 1.1.3 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình khác 1.1.4 Hệ đối xứng loại I 1.1.5 Hệ đối xứng loại II 1.1.6 Hệ có yếu tố đẳng cấp 1.2 Một số yêu cầu cần đạt hệ phương trình theo CTGDPT 2018 1.2.1 Các yêu cầu cần đạt hệ phương trình bậc hai ẩn (lớp 9) 1.2.2 Các yêu cầu cần đạt hệ phương trình bậc ba ẩn (chuyên đề lớp 10) CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THƠNG 2018 11 2.1 Dạng Giải hệ phương trình 11 2.1.1 Phương pháp đồ thị hàm số 11 2.1.2 Phương pháp 13 2.1.3 Phương pháp cộng đại số 14 2.1.4 Quy tắc Crame (Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính) 15 2.1.5 Phương pháp Gauss 17 2.1.6 Dùng máy tính cầm tay 18 2.1.7 Bài tập vận dụng 22 2.2 Dạng Một số dạng hệ phương trình khác 23 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp 2.2.1 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình khác 23 2.2.2 Hệ đối xứng loại I 24 2.2.4 Hệ có yếu tố đẳng cấp 29 2.2.5 Bài tập vận dụng 32 2.3 Dạng Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 33 2.3.1 Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 33 2.3.2 Bài tập vận dụng 36 2.4 Dạng Giải hệ phương trình chứa tham số 37 2.4.1 Giải biện luận hệ phương trình 37 2.4.2 Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước 38 2.4.3 Tìm mối liên hệ (x; y) không phụ thuộc vào tham số m 40 2.4.4 Bài tập vận dụng 41 2.5 Dạng Giải toán cách lập hệ phương trình 42 2.5.1 Tốn tìm số gồm hai, ba chữ số 42 2.5.2 Toán chuyển động 43 2.5.3 Toán chung, riêng 44 2.5.3 Toán suất - % 45 2.5.4 Tốn có nội dung hình học 47 2.5.5 Các dạng toán khác 48 2.5.6 Bài tập vận dụng 51 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Viết đầy đủ Chương trình giáo dục phổ thơng Học sinh Chữ viết tắt CTGDPT HS Học sinh giỏi HSG Trung học phổ thông THPT SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học bản, có vai trị quan trọng đời sống ứng dụng rộng rãi thực tiễn Đây mơn khoa học tương đối khó, mang tính tư cao, địi hỏi người học phải chịu khó tìm tịi, khám phá niềm say mê nghiên cứu Kiến thức hệ phương trình chương trình tốn nội dung quan trọng Bởi tảng giúp người học tiếp cận đến nội dung khác chương trình tốn, vật lý, hố học sinh học Chính vậy, học sinh cần nghiên cứu kỹ nội dung để có kiến thức kỹ phục vụ cho việc học tập trường làm tốt thi Đối với nhiều học sinh, hệ phương trình chuyên đề khó, em khó nắm bắt hướng tiếp cận để tìm kiếm lời giải Do vậy, việc phân dạng đưa phương pháp giải giúp học sinh khắc phục khó khăn giải hệ phương trình yêu cầu cần thiết Vì chủ đề hệ phương trình chủ đề thuận lợi cho việc rèn luyện hoạt động trí tuệ phát triển lực tư cho học sinh Ngồi hệ phương trình có phương pháp giải sẵn, gặp hệ phương trình khơng đơn giản địi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo Là sinh viên ngành sư phạm trường, với mong muốn nâng cao lực cho thân dạy học toán liên quan đến hệ phương trình, tơi chọn “Một số dạng tốn giải hệ phương trình theo chương trình giáo dục phổ thơng 2018” để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Đưa số dạng toán giúp học sinh nhìn nhận có hướng giải tốt cho tốn liên quan đến hệ phương trình theo chương trình giáo dục phổ thông 2018 Đối tượng nghiên cứu Các tốn hệ phương trình theo chương trình giáo dục phổ thông 2018 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu số tài liệu liên quan tới chuyên đề hệ phương trình nhằm hiểu rõ dạng tốn để từ rút phương pháp giải SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp - Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với số giáo viên THPT dạy chuyên đề hệ phương trình giáo viên chun luyện thi HSG, ơn thi vào lớp 10 để tham khảo kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán Bố cục khóa luận Khố luận bao gồm chương sau: Chương Cơ sở lý luận 1.1 Một số lý thuyết hệ phương trình 1.2 Các yêu cầu cần đạt hệ phương trình theo CTGDPT 2018 Chương Một số dạng tốn giải hệ phương trình theo CTGDPT 2018 2.1 Dạng Giải hệ phương trình 2.2 Dạng Một số dạng hệ phương trình khác 2.3 Dạng Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 2.4 Dạng Giải hệ phương trình chứa tham số 2.5 Dạng Giải tốn cách lập hệ phương trình SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Các lý thuyết hệ phương trình 1.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn -Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: ax  by  c I   a ' x  b ' y  c ' Trong a, b, c, a ', b ', c ' số thực cho trước; x, y ẩn số -Gọi (d ), (d ) đường thẳng a1 x  b1 y  c1 a2 x  b2 y  c2 tập nghiệm hệ phương trình biểu diễn tập hợp điểm chung ( d ) (d ) Khi đó: + Nếu ( d ) cắt (d ) hay a1 b1  hệ có nghiệm b1 b2 + Nếu ( d ) song song với (d ) hay + Nếu ( d ) trùng với (d ) hay a1 b1 c1   hệ vơ nghiệm b1 b2 c2 a1 b1 c1   hệ vơ số nghiệm b1 b2 c2 Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình ( I ) số giao điểm hai đường thẳng a1 x  b1 y  c1 (d ) a2 x  b2 y  c2 (d ) 1.1.2 Hệ phương trình bậc ba ẩn Hệ phương trình bậc ba ẩn hệ phương trình có dạng: ax+by  cy  d  a'x+b ' y  c ' y  d ' a''x+b '' y  c '' y  d ''  Trong a, b, c, d , a ', b ', c ', d ', a ", b ", c ", d " số thực cho trước không đồng thời 0; x, y, z ẩn số SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp 1.1.3 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình khác ax  by  c  Hệ phương trình có dạng   f  x, y   Trong x, y ẩn, f  x, y  biểu thức hai biến x, y 1.1.4 Hệ đối xứng loại I   f  x, y     g  x, y   Hệ phương trình có dạng  Trong f  x, y   f  y, x  g  x, y   g  y, x  Nhận dạng: Khi ta hốn đổi vị trí x y f  x, y  g  x, y  khơng thay đổi Tính chất: Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ  y0 ; x0  nghiệm 1.1.5 Hệ đối xứng loại II  F  x; y    F  y; x   Hệ đối xứng loại II hệ có dạng  Trong F  x; y  biểu thức không đối xứng Nhận dạng: Khi ta đổi vai trò x, y cho phương trình biến thành phương trình Tính chất: Nếu  x0 ; y0  nghiệm hệ  y0 ; x0  nghiệm hệ 1.1.6 Hệ có yếu tố đẳng cấp  f k  x, y   c - Là hệ có dạng  k , f  x, y  , g  x, y  đa thức bậc k x  g  x, y   c '     y  k  ,1, 2,3,  không chứa thành phần nhỏ k - Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp - Ta thường gặp dạng đẳng cấp bậc hình thức như: ax  bxy  cy  d  2  ex  gxy  hy  k + SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp 2 ax  bxy  cy  dx  ey + 2  gx  hxy  ky  lx  my 2 ax  bxy  cy  d + 2  gx  hx y  kxy  ly  mx  ny … 2 ax  bx y  cxy  dy  e -Đẳng cấp bậc  2 a ' x  b ' x y  c ' xy  d ' y  e ' … 1.1.7 Hệ phương trình chứa tham số - Là hệ phương trình bậc hai ẩn có tham số - Trong hệ phương trình, ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số chữ xem số gọi tham số 1.2 Một số yêu cầu cần đạt hệ phương trình theo CTGDPT 2018 1.2.1 Các yêu cầu cần đạt hệ phương trình bậc hai ẩn (lớp 9) - Nhận biết khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn - Nhận biết khái niệm nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn - Giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn - Tính nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn máy tính cầm tay - Giải số vấn đề thực tiễn gắn với hệ hai phương trình bậc hai ẩn 1.2.2 Các yêu cầu cần đạt hệ phương trình bậc ba ẩn (chuyên đề lớp 10) - Nhận biết khái niệm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn - Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss - Tìm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn máy tính cầm tay - Vận dụng cách giải hệ phương trình bậc ba ẩn vào giải số tốn Vật lí (tính điện trở, tính cường độ dịng điện dịng điện khơng đổi, ), Hố học (cân phản ứng, ), Sinh học (bài tập nguyên phân, giảm phân, ) SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp 2.4.3 Tìm mối liên hệ (x; y) không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: - Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m - Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số phương pháp làm tham số m kết luận  x  y  3m  x  y  Ví dụ 2.4.3.1 Cho hệ phương trình  Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Khi đó, hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m Phân tích Hệ số trước x hai phương trình nên ta trừ phương trình thứ với phương trình hai Sau triệt tiêu ẩn x, ta cần tính tốn đơn giản tìm y Cuối thay y tìm vào phương trình để tìm x Bài giải Dễ dàng thấy, phương trình có nghiệm với m 1  2   x  y  3m  3 y  3m   y  m   y  m 1    x  m      x  y  x  y  x  y   Ta có:   y  m 1  y  m 1  y  2m    hay   x  2m    x  2m  x  2m  x  y  2m  2m   x  y   x  y   Vậy x  y   hệ thức không phụ thuộc vào m mx  y  1  x  y  m Ví dụ 2.4.3.2 Cho hệ phương trình  Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Khi đó, hệ thức liên hệ x  x   y không phụ thuộc vào m Phân tích Nhẩm sơ sơ ta thấy giải hệ thơng thường x số y cịn dính m Mà u cầu đề tìm hệ thức khơng phụ thuộc vào m Nên ta rút m vào phương trình cịn lại Bài giải 40 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp 1  y  mx  y  1 m  x  Ta có:   x  y  m  x  y  m 1  Thế m  1  y vào 1 ta x x y  1  y  x  xy   y  x  xy   y  x Vậy x  xy   y  hệ thức không phụ thuộc vào m 2.4.4 Bài tập vận dụng Bài 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh BÌNH DƯƠNG năm 2021) 3x  y  10 ( m tham số) 2 x  y  m Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình cho m  b) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa x  0, y  Bài 2: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh CÀ MAU năm 2021) Cho phương trình x  ( 2m  )  m  4m   (m tham số) a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt Bài 3: Với giá trị m đường thẳng (d ) : (m  2) x  y  m  qua giao điểm hai đường thẳng (d1 ) : x  y   (d ) : x  y  Bài 4: Với giá trị m ba đường thẳng (d1 ) : x  y  , (d ) : x  (m  1) y  m (d3 ) : x  y  đồng quy Bài 5: Xác định m để đường thẳng (d ) : y  x  đường thẳng (d ) : x  (2m  3) y   cắt điểm a) Nằm trục hoành; b) Nằm trục tung; c) Thuộc góc phần tư thứ nhất; d) Nằm đường thẳng (d1 ) : x  y   41 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp Bài 6: Tìm giao điểm hai đường thẳng (d ) : ay  bx  đường thẳng (d ) : x  (2b  1) y  a   biết d qua điểm A(2; 1) (d ) qua điểm B(1; 2) 2mx  (n  2) y  Tìm giá trị m, n để hệ có nghiệm (m  3) x  2ny  Bài 7: Cho hệ phương trình  (3; 1) 2 x  my  4 mx  y  Bài 8: Cho hệ phương trình:  Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m 2 x  3ay  Tìm tham số 5 x  y  2a  Bài 9: Cho hệ phương trình  a để hệ thỏa mãn: a) Có nghiệm nhất; b) Vô nghiệm; c) Vô số nghiệm 2.5 Dạng Giải tốn cách lập hệ phương trình Phương pháp chung - Bước 1: Lập hệ phương trình Chọn ẩn đại lượng chưa biết Dựa ý nghĩa đại lượng chưa biết, đặt điều kiện cho ẩn Dựa vào liệu toán, lập hệ phương trình với ẩn - Bước 2: Giải hệ phương trình - Bước 3: Kiểm tra điều kiện nghiệm kết luận 2.5.1 Tốn tìm số gồm hai, ba chữ số - Kiến thức cấu tạo số: + Số có hai chữ số có dạng: ab  10a  b Điều kiện: a, b  N ,  a  9,  b  + Số có ba chữ số có dạng: abc  100a  10b  c Điều kiện: a, b, c  N ,  a  9,  b, c  42 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp - Gọi ẩn x chữ số hàng đơn vị (hàng chục, …) dùng mối liên hệ chữ số để viết chữ số hàng lại Ví dụ 2.5.1.1 Tìm hai số tự nhiên 12 đơn vị 20 lần số lớn cộng với lần số bé 708 Phân tích Đây giải tốn cách lập hệ phương trình loại nói quan hệ số Bài giải Gọi x số tự nhiên lớn, y số tự nhiên bé ( x, y  , x  y) Vì số lớn số bé 12 nên ta có phương trình x  y  12 1 Vì 20 lần số lớn cộng lần số bé 708 nên ta có phương trình 20 x  y  708    x  y  12 20 x  y  708 Từ 1   ta có hệ phương trình  Giải hệ phương trình tìm x= 30, y = 18 Kết luận: Vậy hai số tự nhiên cần tìm 30, 18 2.5.2 Tốn chuyển động Quãng đường = Vận tốc x Thời gian (S = v.t) Chú ý: + Nếu quãng đường AB chia thành nhiều đoạn đường với vận tốc tương ứng, tthực tế tổng thời gian ứng với đoạn đường + Nếu có nghỉ đường thời gian thực tế từ A đến B gồm thời gian nghỉ + Thời gian xe lăn bánh đường khơng tính thời gian nghỉ + Nếu chuyển động thuyền (ca nơ) có vận tốc dịng nước thì: Vận tốc xi dịng = vận tốc riêng ca nơ + vận tốc dịng nước Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng ca nơ – vận tốc dịng nước Ví dụ 2.5.2.1 Một ô tô từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu người tăng vận tốc thêm 20 km/h đến B sớm dự định Nếu người giảm vận 43 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp tốc 10 km/h đến B muộn Tính vận tốc, thời gian dự định độ dài quãng đường AB Phân tích Đây giải tốn cách lập hệ phương trình loại nói chuyển động Ta có: s  v.t v vận tốc, t thời gian s quãng đường Vận tốc Quãng đường Thời gian Dự định x x.y y Thực tế x  20  x  20 y  1 y 1 Thực tế x  10  x  10  y  1 y 1 Lưu ý - Dù chuyển động nhanh hay chậm qng đường (khơng đổi) - Nếu tăng cộng vào Ngược lại giảm trừ - Đến sớm trừ Ngược lại đến muộn cộng vào Bài giải Gọi vận tốc thời gian dự định x (km/h); y (h) (ĐK: x  10 ; y  ) Quãng đường ô tô dự định từ A đến B xy (km/h) Quãng đường người tăng vận tốc thêm 20 km/h đến B sớm dự định :  x  20  y  1 Quãng đường người giảm vận tốc 10 km/h đến B muộn là:  x  10  y  1 Vì quãng đường từ A đến B không đổi nên ta có hệ phương trình : ( x  20)( y  1)  xy  x  20 y  20  x  40    ( x  10)( y  1)  xy  x  10 y  10  y  Vậy, vận tốc dự định 40 km/h, thời gian dự định giờ, quãng đường AB 120 km 2.5.3 Toán chung, riêng Ví dụ 2.5.3.1 ChatGPT hay với tên gọi đầy đủ Chat Generative Pre-training Transformer - Một sản phẩm OpenAI, công ty chuyên lĩnh vực trí tuệ nhân 44 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp tạo (AI) Chat GPT trả lời câu hỏi phức tạp nhiều lĩnh vực cách mạch lạc, thẳng vào vấn đề câu hỏi Mặc dù vậy, theo đánh giá chuyên gia người dùng Chat GPT gặp phải số lỗi Để khắc phục điều cơng ty giao cho hai phận kĩ thuật xử lý 12 ngày Nếu phận A làm ngày phận B làm 10 ngày hồn hành cơng việc Hỏi làm riêng phận hồn thành cơng việc bao lâu? Biết thời gian phận ngày nhau) Phân tích Đây giải tốn cách lập hệ phương trình loại nói cơng việc làm chung làm riêng Ta có: x ngày công việc ngày 1.1  (công việc) x x Bài giải Gọi số ngày phân A làm riêng hoàn thành x (ngày) Gọi số ngày phân B làm riêng hoàn thành y (ngày) Điều kiện: x  y  12 Trong ngày phận A làm (cơng việc) x Trong ngày phận B làm (cơng việc) y 12 12  x  y 1  Theo đề ta có hệ phương trình:    10   x y  x  36  y  18 Giải hệ phương trình ta  Vậy làm riêng phận A hồn thành cơng việc 36 ngày Bộ phận B hồn thành cơng việc 18 ngày 2.5.3 Toán suất - % - Khối lượng cơng việc = Năng suất Thời gian hồn thành 45 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp - Tổng sản phẩm dự định làm = Số sp dự định làm ngày(giờ) X t/gian hoàn thành - Tổng sản phẩm thực tế làm = Số sp thực tế làm ngày(giờ) X t/gian hoàn thành - Nếu ngày thực tế làm nhiều so với dự định K sản phẩm thì: Số sản Phẩm làm ngày = Số sản phẩm dự định làm ngày + K - Nếu thực tế làm số sản phẩm nhiều dự định K sản phẩm thì: Tổng sản phẩm thực tế làm = Tổng sản phẩm dự định + K - Nếu tháng II vượt mức a% so với tháng I thì: Số sản phẩm tháng II = Số sản phẩm tháng I + a% (Số sản phẩm tháng I) - Tổng sản phầm & Số sản phẩm dự định thực tế làm ngày Lập bảng sau: Tổng Số sản phẩm Thời gian sản (1 ngày – giờ) hồn thành phẩm Dự định Thực tế Ví dụ 2.5.3.1 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021) Theo kế hoạch, tổ xưởng may phải may xong 8400 trang thời gian quy định Do tình hình dịch bệnh Covid-19 diễn biến phức tạp, tổ định tăng suất nên ngày tổ may nhiều 102 trang so với số trang phải may ngày theo kế hoạch Vì vậy, trước thời gian quy định ngày, tổ may 6416 trang Hỏi số trang mà tổ phải may ngày theo kế hoạch bao nhiêu? Phân tích: Tổng sản Số sản phẩm Thời gian phẩm (1 ngày – giờ) hoàn thành 46 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp Dự định 8400 x 8400 x Thực tế 6416 y 6416 y Bài giải Gọi số trang mà tổ phải may ngày theo kế hoạch thực tế x , y (chiếc) ĐK: x , y  * Vì xưởng phải may 8400 trang nên thời gian để may xong 8400 (ngày) x Vì sau tăng suất nên ngày tổ may nhiều 102 trang so với số trang phải may ngày theo kế hoạch nên thực tế ngày tổ mai y = x  102 (chiếc) (1) Thời gian tổ may 6416 trang theo thực tế là: 6416 (ngày) y Vì tổ may trước thời gian quy định ngày, tổ may đực 6416 trang nên ta có phương trình: 8400 6416   (2) x y  y  x  102  Từ 1 ,   ta có hệ phương trình  8400 6416  x  y 4   x  700  y  802 Giải hệ phương trình ta  Vậy số trang mà tổ phải may ngày theo kế họach 700 2.5.4 Tốn có nội dung hình học Diện tích hình chữ nhật: Shcn = a.b (a: chiều dài ; b: chiều rộng) Diện tích hình vng cạnh a là: Shv = a2 Diện tích tam giác (có đường cao h ứng với cạnh đáy a) là: S∆ = a.h Chu vi hình chữ nhật là: Chcn = 2(a + b) 47 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp Chu vi hình vng cạnh a là: Chv = 4a Chu vi tam giác ABC là: CABC = AB + BC + AC Ví dụ 2.5.4.1 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh CAO BẰNG năm 2021) Nhà bạn Hồng có mảnh vườn hình chữ nhật, rộng m Diện tích mảnh vườn 216 m Tính chiều rộng chiều dài mảnh vườn nhà bạn Hoàng Bài giải Gọi chiều rộng, chiều dài mảnh vườn nhà bạn Hoàng là: x, y  m  ĐK: y  x  Vì chiều dài lớn chiều rộng 6m nên chiều dài mảnh vườn là: y  x   m 1 Do diện tích mảnh vườn 216m nên ta có phương trình: xy  216   y  x   xy  216 Từ 1 ,   ta có hệ phương trình   Chiều rộng mảnh vườn 12m chiều dài mảnh vườn là: 18m Vậy chiều rộng chiều dài mảnh vườn nhà bạn Hoàng 12 mét 18 mét 2.5.5 Các dạng tốn khác Ví dụ 2.5.5.1 Ba lớp 10A, 10B, 10C trồng 164 bạch đàn 316 thông Mỗi học sinh lớp 10A trồng bạch đàn thông; học sinh lớp 10B trồng bạch đàn thông; học sinh lớp 10C trồng thơng Hỏi lớp có học sinh? Biết số học sinh lớp 10A trung bình cộng số học sinh lớp 10B 10C Phân tích 10A 10B Cây bạch đàn cây/1 HS cây/1HS Cây thông cây/1HS cây/1 HS 10C cây/1 HS Bài giải Gọi số học sinh ba lớp 10A, 10B, 10C x; y; z (học sinh) với  x; y; z    * 48 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp Vì lớp 10A trồng bạch đàn, lớp 10B trồng bạch đàn số 164 bạch đàn nên ta có phương trình: 3x  y  z  164 1 Vì lớp 10A trồng thơng, lớp 10B trồng thông lớp 10C trồng thông số 316 thông nên ta có phương trình: x  y  z  316   Vì số học sinh lớp 10A trung bình cộng số học sinh lớp 10B 10C nên ta có phương trình: x  yz  3  3 x  y  z  164 3x  y  z  164   Từ 1 ,   ,  3 ta có hệ phương trình  x  y  z  316  2 x  y  z  316  2 x  y  z  yz  x   Dùng phương pháp để giải hệ phương trình bậc ba ẩn Ta nghiệm hệ  x; y; z    32;34;30  Vậy số học sinh ba lớp 10A, 10B, 10C lầ lượt 32, 34, 30 học sinh Ví dụ 2.5.5.2 Em Lan so sánh tuổi với chị Mai anh Nam Tuổi anh Nam gấp ba lần tuổi em Lan Cách bảy năm tuổi chị Mai nửa số tuổi anh Nam Ba năm tuổi anh Nam tổng số tuổi chị Mai em Lan Hỏi tuổi người bao nhiêu? Phân tích anh Nam gấp ba chị Mai nửa số anh Nam tổng lần tuổi em tuổi anh Nam (7 số tuổi chị Mai Lan năm trước) em Lan (3 năm sau) Anh Nam (x tuổi) x    y  3 z  3 x  3z Chị Mai (y tuổi) y7  x7 Em Lan (z tuổi) Lưu ý - Năm trước trừ - Năm sau cộng vào 49 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp Bài giải Gọi tuổi anh Nam, chị Mai em Lan x; y; z (tuổi) với  x; y; z   Vì tuổi anh Nam gấp ba lần tuổi em Lan nên ta có phương trình: x  3z 1 Vì cách bảy năm tuổi chị Mai nửa số tuổi anh Nam nên ta có phương trình: y   x7  2 Vì ba năm tuổi anh Nam tổng số tuổi chị Mai em Lan nên ta có phương trình: x    y  3 z  3 3  x  3z  x  3z   x7   Từ 1 ,   ,  3 ta có hệ phương trình  y     x  y  7   x  y  z   x    y  3 z  3 Dùng phương pháp để giải hệ phương trình bậc ba ẩn Ta nghiệm hệ  x; y; z    39; 23;13 Vậy anh Nam 39 tuổi, chị Mai 23 tuổi, em Lan 13 tuổi t0 Ví dụ 2.5.5.3 Cân phương trình phản ứng hoá học H  O2  H Phân tích Đây ứng dụng hệ phương trình bậc mơn Hố để cân phương trình phản ứng hố học Phản ứng hoá học cần xét số nguyên tử hydrogen oxygen hai vế phương trình Lưu ý - Nguyên tử hai vế phương trình phải Bài giải Gọi x, y, z ba số nguyên dương thoả mãn cân phản ứng t0 xH  yO2  zH Vì số nguyên tử hydrogen oxygen hai vế phải nên ta có hệ 2 x  z x  z   x  z  2y  2 y  z 2 y  z 50 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp Về mặt tốn học, hệ có vơ số nghiệm Tuy nhiên người ta thường chọn nghiệm nguyên dương nhỏ Cụ thể chọn y  ta x  z  2.1  t0 Từ ta phương trình cân H  O2  H 2.5.6 Bài tập vận dụng Bài 1: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước n lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng Bài 2: Hai đội xe chở cát để san lấp khu đất Nếu hai đội làm 18 ngày xong công việc Nếu đội thứ làm ngày, sau đội thứ hai làm tiếp ngày cơng việc Hỏi đội làm ngày? Bài 3: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày chở thêm 10 Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày? Bài 4: Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m Tính độ dài cạnh ruộng Biết tăng chiều rộng ruộng lên m giảm chiều dài ruộng m diện tích ruộng tăng thêm m Bài 5: Một người dự định sản xuất 120 sản phẩm thời gian định Do tăng suất sản phẩm giờ, nên hoàn thành sớm dự định Hãy tính suất dự kiến người đó? Bài 6: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh KOMTUM năm 2021) Để khuyến khích người lao động sử dụng cồn sát khuẩn rửa tay phòng ngừa dịch Covid19 Công ty A giảm giá mặt hàng lần tiên tiếp thời gian ngắn, lần giảm 10% giá ban đầu, lần giảm tiếp 15% giá bán Do mặt hàng đến tay người tiêu dùng với giá 15300 đồng/1chai sản phẩm Hỏi ban đầu công ty A bán chai sản phẩm giá Bài 7: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Thành Phố Đà Nẵng năm 2021) 51 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp Một địa phương lên kế hoạch xét nghiệm SARS-COV-2 cho 12000 người thời gian quy định Nhờ cải tiến phương pháp nên xét nghiệm thêm 1000 người Vì thế, địa phương hồn thành sớm kế hoạch 16 Hỏi theo kế hoạch, địa phương phải xét nghiệm thời gian giờ? Bài 8: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh TÂY NINH năm 2021) Một đoàn khách du lịch gồm 40 người dự định tham quan đỉnh núi Bà Đen, nhà Đơng Nam Bộ cáp treo (gồm lượt lên lượt xuống) Nhumg tới nơi có bạn trẻ muốn khám phá đường leo lên lúc xuống cáp treo để trải nghiệm nên bạn mua vé lượt xuống, đồn chi 9.450.000 đồng để mua vé Hỏi giá cáp treo giá vé lượt bao nhiêu? Biết giá vé lượt rẻ giá vé 110.000 đồng Bài 9: Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc xuôi dịng 30 km/h, sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng ca nô xi ngược dịng khơng đổi Bài 10: Trong phân tử M X có tổng số hạt  p, n, e  140 hạt, số hạt mang điện nhiều số hạt không mang điện 44 hạt Số khối nguyên tử M lớn số khối nguyên tử X 23 Tổng số hạt  p, n, e  nguyên tử M nhiều nguyên tử X 34 hạt Xác định công thức phân tử hợp chất M X 52 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu đề tài, làm vấn đề sau: - Liệt kê kiến thức hệ phương trình bậc hai ẩn Tốn hệ phương trình bậc ba ẩn chương trình Chuyên đề học tập Toán 10 (hiện hành) - Đưa dạng tốn giải hệ phương trình, qua trang bị phương pháp giải ví dụ minh hoạ 53 SVTH: Lê Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ban biên tập diễn đàn Boxmath.vn Tuyển tập hệ phương trình [2] Bộ Giáo dục đào tạo Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2018) (ban hành kèm theo Thơng tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 Bộ trưởng Bộ Giáo dục Đào tạo) [3] Bộ Giáo dục đào tạo (2013) Toán NXB Giáo dục [4] Diễn đàn Math.vn Tổng hợp 60 hệ phương trình [5] Đỗ Đức Thái – Phạm Xuân Chung – Nguyễn Sơn Hà – Nguyễn Thị Phương Loan – Phạm Sỹ Nam – Phạm Minh Phương – Phạm Hoàng Quân (2022) Chuyên đề học tập Toán 10 NXB Đại học Sư Phạm [6] Hà Huy Khoái - Cung Thế Anh - Trần Văn Tấn - Nguyễn Đạt Đăng - Phạm Hoàng Hà - Đặng Đình Hanh - Dương Anh Tuấn - Nguyễn Chu Gia Vương (2022) Chuyên đề học tập Toán 10 NXB Giáo dục Việt Nam [7] Megabook Tuyển tập 100 hệ phương trình hay gặp [8] Nguyễn Minh Tuấn Tuyển tập 410 hệ phương trình [9] Nguyễn Quốc Bảo Chuyên đề hệ phương trình đại số [10] Lê Hồnh Phị Tổng ơn tập chun đề phương trình hệ phương trình NXB Đà Nẵng [11] Tailieumontoan.com Chuyên đề hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi [12] Tailieumontoan.com Tuyển tập tốn phương trình, hệ phương trình phương trình nghiệm nguyên [13] Trần Nam Dũng - Trần Đức Huyền - Nguyễn Thành Anh – Đặng Văn Đoạt (2022) Chuyên đề học tập Toán 10 NXB Giáo dục Việt Nam 54 SVTH: Lê Thị Hà