Mục lục 1 Một số kiến thức cơ bản 5 1 1 Một số quy tắc cơ bản của phép đếm 5 1 1 1 Quy tắc cộng 5 1 1 2 Quy tắc nhân 5 1 1 3 Quy tắc bù trừ 6 1 1 4 Số phần tử của hợp hai hoặc ba tập hợp hữu hạn bất k[.]
Mục lục Một số kiến thức 1.1 Một số quy tắc phép đếm 1.1.1 Quy tắc cộng 1.1.2 Quy tắc nhân 1.1.3 Quy tắc bù trừ 1.1.4 Số phần tử hợp hai ba tập hợp hữu hạn Nguyên lý Dirichlet 1.2.1 Nguyên lý Dirichlet 1.2.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng 1.2.3 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp 1.2.4 Nguyên lý Dirichlet tập hợp mở rộng Hoán vị 1.3.1 Hốn vị khơng lặp 1.3.2 Hoán vị lặp 1.3.3 Hốn vị vịng quanh Chỉnh hợp 1.4.1 Chỉnh hợp không lặp 1.4.2 Chỉnh hợp có lặp Tổ hợp 10 1.5.1 Tổ hợp không lặp 10 1.5.2 Tổ hợp lặp 11 Nhị thức Newton 11 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Một số phương pháp giải toán tổ hợp 12 2.1 Dạng tốn liệt kê, sử dụng cơng thức chỉnh hợp, tổ hợp hoán vị 12 2.2 Dạng toán chỉnh hợp lặp - tổ hợp lặp 21 2.3 Dạng toán đánh số 24 2.4 Sử dụng nguyên lý Dirichlet 26 2.5 Bài tốn tơ màu 31 2.6 Sử dụng ma trận, định thức 34 2.7 Dạng tốn sử dụng phương trình, hệ phương trình 37 2.8 Sử dụng hàm sinh 42 2.9 Sử dụng công thức truy hồi 45 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Mở đầu Lý chọn đề tài Toán tổ hợp lĩnh vực tốn học nghiên cứu dựa cơng cụ hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Toán tổ hợp xuất từ lâu, nhiên thời gian gần đây, trước phát triển công nghệ thông tin vấn đề liên quan, toán tổ hợp ngày khẳng định vai trò chỗ đứng ngành tốn Trong xu phát triển, tốn tổ hợp khơng dừng lại lĩnh vực độc lập mà phát triển đan xen liên kết với lĩnh vực khác toán hình thành lĩnh vực tốn như: hình học tổ hợp, đại số tổ hợp, đại số giao hoán tổ hợp, Trước thay đổi phát triển tốn học nói chung, tốn tổ hợp nói riêng ngày trọng từ chương trình tốn bậc phổ thơng đến chương trình tốn bậc đại học Đặc biệt, tốn tổ hợp chủ đề khơng thể thiếu kì thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Vì vậy, em chọn vấn đề: "Một số dạng tốn tổ hợp qua kì thi Olympic sinh viên tồn quốc" làm đề tài cho khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu Tiếp cận toán tổ hợp số phương pháp bản, qua phân dạng tốn tổ hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Toán tổ hợp Phạm vi nghiên cứu: Toán tổ hợp qua kì thi Olympic sinh viên tồn quốc Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp lý thuyết phân dạng tập Tốn tổ hợp qua kì thi Olympic sinh viên toàn quốc Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Kết tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên ngành Toán Chương Một số kiến thức 1.1 Một số quy tắc phép đếm Trong mục này, trình bày quy tắc đếm bản, nhờ tính xác nhanh chóng số phần tử tập hợp mà không cần đếm trực tiếp cách liệt kệ 1.1.1 Quy tắc cộng Nếu A1 , A2 , , Ak tập hợp hữu hạn đôi rời nhau, tức Ai ∩ Aj = ∅ i 6= j Khi |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = |A1 | + |A2 | + + |Ak | (1.1) với |Aj | số phần tử tập hợp Ai , i = 1, 2, 3, k 1.1.2 Quy tắc nhân Nếu A1 , A2 , , Ak tập hợp hữu hạn A1 ×A2 × ×Ak tích Descartes tập |A1 × A2 × × Ak | = |A1 |.|A2 | |Ak | (1.2) Quy tắc cộng quy tắc nhân thường phát biểu dạng tương ứng đây: Quy tắc cộng: Giả sử công việc thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak Phương án Ai có ni cách thực (i = 1, 2, 3, k ) Khi cơng việc thực theo n1 + n2 + + nk cách Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc bao gồm k công đoạn A1 , A2 , , Ak Nếu cơng đoạn A1 làm theo n1 cách Với i ≥ với cách thực công đoạn A1 , A2 , , Ai−1 cơng đoạn Ai thực theo ni cách Khi cơng việc thực theo n1 n2 nk cách 1.1.3 Quy tắc bù trừ Cho X tập hữu hạn A ⊂ X Gọi A¯ = X \ A Khi đó, ta có ¯ = |X| − |A| |A| 1.1.4 (1.3) Số phần tử hợp hai ba tập hợp hữu hạn Định lý 1.1 (Cơng thức tính số phần tử hợp hai tập hợp bất kì) Cho A B hai tập hợp hữu hạn Khi đó, ta có |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| (1.4) Định lý 1.2 (Cơng thức tính số phần tử hợp ba tập hợp bất kì) Cho A, B, C ba tập hợp hữu hạn Khi đó, ta có |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C| (1.5) 1.2 Nguyên lý Dirichlet Nguyên lí lồng nhốt thỏ biết đến từ lâu Nguyên lí phát biểu nhà toán học người Đức Perter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859) 1.2.1 Nguyên lý Dirichlet Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ 1.2.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng Nếu nhốt n thỏ vào m ≥ chuồng tồn chuồng có [ n+m−1 m ] thỏ, kí hiệu [α] để phần nguyên số α Ta chứng minh nguyên lí Dirichlet mở rộng sau: Giả sử trái lại chuồng thỏ khơng có đến n+m−1 n−1 n−1 = +1 = +1 m m m con, số thỏ chuồng nhỏ [ n−1 m ] Từ suy tổng số thỏ không vượt m.[ n−1 m ] ≥ n − Điều vơ lí có n thỏ Vậy giả thiết phản chứng sai Nguyên lí Dirichlet mở rộng chứng minh Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, cơng cụ hiệu dùng để chứng minh nhiều kết sâu sắc toán học Đặc biệt ngun lí Dirichlet có nhiều áp dụng lĩnh vực khác tốn học Ngun lí nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh tồn mà không đưa phương pháp tìm vật cụ thể, thực tế nhiều toán ta cần tồn đủ Nguyên lí Dirichlet thực chất định lí tập hữu hạn Người ta phát biểu xác nguyên lí dạng sau 1.2.3 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B , tồn hai phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B Với cách diễn đạt vậy, nguyên lí Dirichlet mở rộng có dạng sau 1.2.4 Nguyên lý Dirichlet tập hợp mở rộng Giả sử A, B hai tập hợp hữu hạn S(A), S(B) tương ứng kí hiệu số lượng phần tử A B Giả sử có số tự nhiên k mà S(A) > k.S(B) ta có quy tắc cho tương ứng phần tử A với phần tử B Khi tồn k + phần tử A mà chúng tương ứng với phần tử B Chú ý: Khi k = 1, ta có lại ngun lí Dirichlet 1.3 Hốn vị 1.3.1 Hốn vị khơng lặp Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự (mỗi phần tử có mặt lần) gọi hốn vị n phần tử cho Kí hiệu số hoán vị n phần tử Pn Định lý 1.3 Số hoán vị n phần tử Pn = n! = n.(n − 1) 2.1 1.3.2 (1.6) Hốn vị lặp Định nghĩa 1.2 Hốn vị phần tử xuất lần gọi hoán vị lặp Định lý 1.4 Số hoán vị lặp n phần tử thuộc k loại khác nhau, mà phần tử loại i ( ≤ i ≤ k ) giống hệt nhau, xuất ni lần với n1 + n2 + + nk = n, kí hiệu P (n1 , n2 , , nk ) tính cơng thức P (n1 , n2 , , nk ) = n! n1 !n2 ! nk ! (1.7) 1.3.3 Hốn vị vịng quanh Hốn vị vịng quanh n phần tử cho cách xếp phần tử đường trịn Định lý 1.5 Số hốn vị vịng quanh n phần tử khác tính công thức Qn = (n − 1)! 1.4 1.4.1 (1.8) Chỉnh hợp Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa 1.3 Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên dương k với ≤ i ≤ k Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A) Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử kí hiệu Akn Từ định nghĩa, ta thấy hoán vị tập hợp A có n phần tử chỉnh hợp chập n A Định lý 1.6 Số chỉnh hợp chập k tập A có n phần tử tính cơng thức Akn = n.(n − 1) (n − k + 1) = 1.4.2 n! (n − k)! (1.9) Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa 1.4 Cho tập hợp hữu hạn A gồm n (n ≥ 1) phần tử Mỗi dãy có độ dài k (k ≥ 1) phần tử tập A, mà phần tử lặp lại nhiều lần xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử thuộc tập A Định lý 1.7 Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A, kí hiệu A¯k tính công thức n A¯kn = nk 1.5 Tổ hợp 1.5.1 Tổ hợp không lặp (1.10) Định nghĩa 1.5 Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên dương k với ≤ i ≤ k Mỗi tập có k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử tập A (gọi tắt tổ hợp chập k A) Số tổ hợp chập k tập hợp n có n phần tử kí hiệu Cnk k Định lý 1.8 Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử tính cơng thức k n n! = An = n.(n − 1) (n − k + 1) = k! k! k!.(n − k)! k n Định lý 1.9 (Hai tính chất số ) k (i) Cho số nguyên dương n số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi n n = k k−1 (1.11) (1.12) (ii) (Hằng đẳng thức Pascal) Cho số nguyên dương n số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi n n+1 n = + k k k−1 (1.13) 2 2 2 2 n n n 2n + + + = n n (1.14) (iii) 10 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ Điều bắt buộc người chơi thứ phải điền vào ô a21 bước để tránh định thức có hàng toàn phần tử