Một số dạng toán về đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ———————o0o——————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2021-2022 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Thuộc lĩnh vực khoa học: Khoa học tự nhiên Thanh Hóa, 4/2022 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Nguyễn Mạnh Cường tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho em suốt q trình thực khóa luận tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức, người truyền đạt kiến thức quý báu cho em suốt thời gian học tập vừa qua Sau em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè bạn sinh viên K21 - Đại học Sư phạm Tốn ln động viên, giúp đỡ em q trình làm khóa luận Do thời gian lực cịn hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót, mong thầy bạn đọc đóng góp, cho ý kiến để khóa luận hồn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng đề tài Em xin chân thành cảm ơn! Mục lục Mở đầu ĐA THỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT LIÊN QUAN 1.1 Vành đa thức biến 3 ĐA THỨC NGUYÊN VÀ ĐA THỨC NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN 2.1 Các định nghĩa tính chất 2.2 Một số tính chất đa thức nguyên 10 2.3 Tính khả quy bất khả quy đa thức nguyên 22 2.4 Một số toán đa thức nhận giá trị nguyên 32 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC 38 3.1 Đặc trưng hàm với đa thức tự 38 3.2 Xác định đa thức theo đặc trưng nghiệm 39 3.3 Đa thức xác định phép biến đổi số 43 3.4 Phép biến đổi vi phân hàm 44 3.5 Xác định đa thức theo đặc trưng số học 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu Lý chọn đề tài Đa thức có vị trí quan trọng tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm Đại số mà ngồi đa thức cơng cụ hữu hiệu giải tích lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết tối ưu Ngồi đa thức cịn ứng dụng nhiều nhiều lĩnh vực khác Toán học Đối với tốn học phổ thơng biết khái niệm đa thức, tính chất đa thức trình bày, đề cập từ bậc THCS Các toán đa thức phong phú từ đơn giản đến phức tạp, đặc biệt kết hợp với Giải tích Số học cho ta tốn hay đa thức Đa thức ln chủ đề trọng tâm kỳ thi chọn HSG, Olympic Toán Quốc gia, Quốc tế đa thức trở thành chuyên đề thiếu việc bồi dưỡng học sinh giỏi tốn phổ thơng Cũng em chọn đa thức để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp với mong muốn học hỏi, trao đổi để phục vụ việc dạy học sau này, khóa luận tập trung trình bày hệ thống số dạng toán đa thức đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Khóa luận kết mặt khoa học nổ lực thân bảo tận tình thầy giáo Qua cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy mơn: Giải tích PPDH Toán, Khoa KHTN, Trường Đại học Hồng Đức giao đề tài ân cần bảo để em hồn thành khóa luận Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống số dạng toán cụ thể đa thức - Giải toán đa thức dạng tốn nêu trên, từ rút số kỹ thuật giải toán đa thức Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Đa thức, vành đa thức, số dạng tập đa thức Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích, đặt vấn đề giải vấn đề - Thảo luận nhóm, liên hệ trao đổi nghiên cứu với Thầy cô giáo Chương ĐA THỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT LIÊN QUAN 1.1 Vành đa thức biến Định nghĩa 1.1.1 ([4]) Cho vành A vành giao hốn có đơn vị Ta gọi đa thức A bậc n biến x biểu thức có dạng: Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an ̸= 0) ∈ A gọi hệ số, an hệ số bậc cao a0 hệ số tự đa thức Nếu = 0, i = 1, 2, , n − (a0 ̸= 0) ta có bậc đa thức Nếu = 0, i = 0, 1, 2, , n ta coi bậc đa thức −∞ gọi đa thức không (nói chung người ta khơng định nghĩa bậc đa thức không) Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy vành A ký hiệu A[x] Khi A = K trường K[x] vành giáo hốn có đơn vị Ta thường xét A = Z, A = Q A = Q A = R A = C Khi ta có vành đa thức Z[x], Q[x], R[x], C[x] Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Cho hai đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , g(x) = b1 xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 Ta định nghĩa phép tính số học f (x) + g(x) = (an + bn )xn + (an−1 + bn−1 )xn−1 + · · · + (a1 + b1 )x + a0 + b0 , f (x) − g(x) = (an − bn )xn + (an−1 − bn−1 )xn−1 + · · · + (a1 − b1 )x + a0 − b0 , f (x).g(x) = c2n x2n + c2n−1 x2n−1 + · · · + c1 x + c0 Trong đó: ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 , k = 0, , n Định lý 1.1.1 ([4]) Giả sử A trường, f (x) g(x) khác hai đa thức vành A[x], có hai đa thức q(x) r(x) thuộc A[x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) ; deg r(x) < deg g(x) Nếu f (x) = ta nói f (x) chia hết cho g(x) Giả sử a phần tử tùy ý vành A, f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 đa thức tùy ý vành A[x], phần tử f (a) = an an + an−1 an−1 + · · · + a1 a + a0 có cách thay x a gọi giá trị f (x) a Nếu f (a) = ta gọi a nghiệm f (x) Định lý 1.1.2 ([4]) Giả sử A trường, a ∈ A, f (x) ∈ A[x] Dư phép chia f (x) cho (x − a) f (a) Định lý 1.1.3 ([4]) Số a nghiệm f (x) f (x) chia hết cho (x − a) Giả sử A trường, a ∈ A, f (x) ∈ A[x] m số tự nhiên lớn Khi a nghiệm bội cấp m f (x) f (x) chia hết cho (x − a)m f (x) không chia hết cho (x − a)m+1 Trong trường hợp m = ta gọi a nghiệm đơn cịn m = a gọi nghiệm kép Số nghiệm đa thức tổng số nghiệm đa thức kể bội nghiệm (nếu có) Vì vậy, người ta coi nghiệm đa thức có nghiệm bội cấp m đa thức có m nghiệm trùng Định lý 1.1.4 ([4]) Định lý Viete a) Giả sử phương trình an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0(an ̸= 0) (1) Có n nghiệm (thực phức) x1 , x2 , , xn thì:    E1 (x) :=        E2 (x) := x1 + x2 + · · · + xn = −an−1 an x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn = an−2 an (2)          E (x) := x x x = (−1)n a0 n n an b) Ngược lại số x1 , x2 , , xn thỏa mãn hệ chúng nghiệm phương trình (1) Hệ (2) có n thành phần vế trái thành phần thứ k có Cnk số hạng c) Các hàm E1 (x), E2 (x), , En (x) gọi hàm đối xứng sơ cấp Viete bậc 1, 2, , n tương ứng Định lý 1.1.5 ([4]) Mỗi đa thức thực bậc n không n nghiệm thực Hệ 1.1.1 ([4]) Đa thức có vơ số nghiệm đa thức Hệ 1.1.2 ([4]) Nếu hai đa thức có bậc nhỏ n mà nhận giá trị n + điểm khác đối số đa thức đa thức Hệ 1.1.3 ([4]) Hai đa thức có bậc nhỏ n mà nhận n+1 giá trị thỏa mãn n + giá trị khác đối số đồng Định lý 1.1.6 ([4]) Mọi đa thức f (x) ∈ C[x] bậc n có n nghiệm (tính bậc nghiệm) Định lý 1.1.7 ([4]) Mọi đa thức f (x) ∈ C[x] có bậc n hệ số (hệ số bậc cao nhất) phân tích thành nhân tử f (x) = an m Y (x − d1 ) i=1 s Y (x2 + bk x + ck ), k=1 với d1 , dk , ck ∈, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, m, n ∈ N∗ Định nghĩa 1.1.3 ([4]) Biến nghiệm 1/ Mọi nghiệm x0 đa thức Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an (ao ̸= 0), (3) đêù thỏa mãn n bất đẳng thức |xo | ≤ + A , A = max |ak | 1≤k≤n |a0 | 2/ Nếu am hệ số âm đa thức (3) số + q m B ao cận nghiệm dương đa thức cho, B giá trị lớn modun hệ số âm Định nghĩa 1.1.4 ([4]) (Ước, ước chung lớn nhất) Khi đa thức Pn (x) dạng (3) viết dạng Pn (x) = g(x).q(x) ; deg d > 0, deg g > Thì ta nói g ước Pn (x) ta viết g(x)|Pn (x) hay Pn (x) g(x) Nếu g(x)|Pn (x) g(x)|Qn (x) ta nói g(x) ước chung P (x) Q(x) Nếu hai đa thức P (x) Q(x) có ước chung đa thức bậc ta nói chúng nguyên tố Tính chất 1.1.1 ([4]) Nếu đa thức f (x) g(x) nguyên tố f (x) h(x) nguyên tố f (x) g(x).h(x) nguyên tố Tính chất 1.1.2 ([4]) Nếu đa thức f (x), g(x), h(x) thỏa mãn điều kiện f (x).h(x) chia hết cho g(x), g(x) h(x) nguyên tố f (x) chia hết cho g(x) Tính chất 1.1.3 ([4]) Nếu đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) h(x) với g(x) h(x) nguyên tố f (x) chia hết cho g(x).h(x) Tính chất 1.1.4 ([4]) Nếu đa thức f (x) g(x) nguyên tố [f (x)]m , [g(x)]n nguyên tố với m, n nguyên dương P (z) = an + an+1 + · · · + a1 + a0 ≥ an + an−1 − an−1 −· · ·− a0n ≥