Logic là một ngành khoa học tổng quát chuyên về suy luận. Logic thường được xếp vào trong ngành triết học. Khi George Boole (1854) dùng toán học để tìm hiểu cách suy luận, chúng ta có được logic toán. Logic là cách nghiên cứu các đối tượng và rút ra kết luận từ đó. Đối tượng trong logic Boole là mạnh để ngôn ngữ. Mỗi mệnh đã được biểu diễn bảng một tập con (trong một tập hợp lớn chứa nó). Nhắc lại rằng, lắp theo quan niệm của Kronecker (răng số học là nền tảng của toán học), nhóm Bourbaki nhấn mạnh rằng tập hợp mới là nền tảng của toán học. Logic Boole, dựa trên lý thuyết tập hợp, được khai triển chính xác nhờ phương pháp toán trên tập hợp. Vậy, mỗi logic phủ xác định rõ ràng: logic về đối tượng nào?
Trang 1HOE
Trang 2BERNADETTE BOUCHON - MEUNIER HO THUAN DANG THANH HA
LOGIC MO VA UNG DUNG
Trang 3MỤC LỤC
Thay lời trưa
Chương Ì
BIEU DIEN RE THOC BANG CACH DUNG CÁC TẬP CON MỜ
1 Cac khai niém co so
1 | Dinh nghia cdc tap con mo
] 2 Cac phép toan trén cac tap con ma
| 3 Cac tap con thơng thường liên kết với một tập con mờ | 4 Các tập con mờ lơi
| S Tich Descartes và hình chiếu của các tập con mờ 1 6 Nguyén ly khuéch
1 7 Tính đặc thù và tính chính xác của một tập con mờ
} 8 Chuan và đối chuan tam giác
2 Quan hệ mờ và đại lượng mờ 2 1! Quan hệ mờ 2 2 Các đại lượng mờ Phụ lục | Chứng minh mội số tính chất 2 Bai tap Chuong 2
LY THUYET KHA NANG VA CAC BIEN NGON NGU
1 Ly thuyét kha nang
| 1 Độ đo và phân bố khả nănp
1 2 Dodi npau pitta do do kha nang và độ đo cần thiết
1.3 Dé do ma
2 Bién ngĩn ngữ và mệnh đẻ mờ 2 1 Biến ngơn ngữ
2 2 Các mệnh đề mờ
3 Khả năng và càn thiết của các tập con mờ 3 1 Tri thức tiên quvết mờ |
3.2 Vyi thuc uén quyét kha nang Phu luc
J Chung minh mot số tính chất 2 Bar tip
Chương 3
IAP LUAN XAP XT
1 Lap luan theo logic mo
Trang 41 3 Modus ponens suy rộng [ 4 Xư lý các trí thức cĩ thang bậc I 5 Ket Juan
2 Lap luan theo logic kha nang
2 | Kha nang va can thiết của các mênh để mờ
2 2 Modus ponens va modus tallens kha nang
2 3 Phat bieu ma tran cua modus ponens khả nàng 2.4 Ket luan Phụ lục 1 Các chứng mình 2 Bat tap Chuang 4
UNG DUNG CUA LOGIC MO
1 Diéu kién va Linh vuc ung dung logic ma
1 | Dicu kién ting dung
( 2 Linh vue ump dung
2 Thu thập trì thức trong mơi trường mờ | Trich chon tri thie ti các nguồn sẵn cĩ
2 Trích chon tự động trị thức trong mĩi trường mờ 3 Hoe trong mot truong mé
ac linh vực áp dung chinh t Coso du lidu mo 3.2 Quyet định trone mơi Irường mơ lo he lo 3 ^^ a C hương Š HE MO DUA TREN TRE THUC 1 Mu dau 1 { Hlé chuven gia 1 2 Mang ngữ nghĩa
L 3 Suv luân từ các trường hợp cụ thể (case-based reasoning)
Lng đụng Jogie mờ trong hè chuyên gia L, I Lựa chọn phương pháp suy điền
Trang 5C hương 6 DIEU KHIEN MO 1 Đặc điểm của điều khien mờ J ! Lich sử ( 2 Tinh chat
1, 3 Cau hinh tong quat cua bộ điều khiến mờ 2 Nguyên lý của điệu khiển mo
2 † Tiếp cận tổng quát
2 2 Sư hình thức hố
2 3 Điệu khien mờ, bố xấp xí tơng quát 4$, Các phương pháp chính
3 Ì Cách tiệp can logic
+ 2 Phuong phap cua Mamdani va cua Larsen 3 3 Phương pháp dùng nội suy 4 Một sư ứng dụng 4 1 1.inh vực ứng dung + 2 Ví dụ * Kết luận Chương 7 CƠ SỞ DỈTLIỆU MỜ 1 - Thơng tin khong chính vác và khỏng chắc chắn 2 4 5 6 Mo dau 2 1 Sai số
Thơng tim khơng chính xác Thong tin khong chac chan I Tw le T ơng quan vé các mỏ hình dữ liều mừ 3 1 Các mỏ hình CSDL quan hệ mờ 3, 2 Các cau hỏi mờ 3 3 Thiết kế CSDL mờ
Các mỏ hình CSDL, mờ dựa trên quan hệ tương tự
Mo hinh CSDL mo dua trên lý thuyết khả năng
Kết luận
Trang 6Thay lời tra
Ì.opic là một ngành khoa học tổng quát chuyên vẻ suy luận Lopic thường được xếp vào trong ngành trict hoc Khi George Boole (1854) dùng tốn học để tìm hiểu cach suy luận, chúng tá cĩ được logic toan, L.ogic là cách nghiên cứu các đổi tượng và rút ra kết luận từ đĩ Đổi tượng trong logic Boole là menh đề ngơn ngữ, Mơi mệnh để dược biểu điện
bang mot tap con (trong mot tap hợp lớn chứa nĩ) Nhặc lại rằng trếp
theo quấn niềm của KroncvkKer (răng số học lạ nên tạng của tốn học) nhĩm Hourbaki nhấn manh rằng tập hợp mới là nên tảng của tốn học, Lòtc Boole, dựa trên lý thuyẻi tập hợp được khai triển chính xác nhữ phương pháp tốn trên tập hợp, Vậy, mỗi logic phú xác dịnh rõ ràng: lopic về đỏi tượng nào? Nếu ta đơi đối tương thì ta sẽ cĩ một }loelec khác
Cho dù ý cua Boole là tìm hiểu cách suy luận cua con người (0s of thought) mét ménh dé nhu “thời tiết hơm nay đẻ chịu” sẽ khơng được để cập tới vì khơng chính xác, nghĩa là khơng biểu điện được bằng một tập hợp tốn học logic về mệnh đẻ dĩ nhiên phải tùy thuộc vao ban chat mĩnh đẻ
Từ khi ước vọng chế tnáy thơng mình nghĩa là cĩ được Kha nàng suy
luận như bộ ĩc cịn người vấn để hồn tồn đơi khác rong lịch sử tiến
Trang 7Chúng tơi rất hân hoan viết vài dịng trên dé giới thiệu cudn sách nhỏ này của Tién si Bernadette Bouchon - Meunier Tién si Ho Thuan va Trén sf Ding Thanh Hã với độc pia Viet Nam, trong dé ‘Tien st Bouchon - Meunier là một khảo cứu gia đã đĩng gĩp rất nhiều trong sự phải triển của logic mờ và ứng dụng
Chúng tơi hy vọng ràng cuốn sách nhỏ này sẽ cưng cấp cho độc giá Việt Nam mơi nhập đẻ tường tận về logic mờ cũng như trình bày những inp dung quan trang cud 10
NGUYEN TRUNG HUNG
Giao su Toan hoc
Trang 8CHUONG | _
BIEU DIEN TRI THUC BANG CACH
DUNG CAC TAP CON MG
1 CÁC HIẾI NIÊM CƠ SỞ
Trang 91 CÁC KHÁI NIÊM CƠ SỞ
1.1 Dinh nehia cac tap con mo 1.I.1 Khúi nem tap con mo
Khar nici tấp con mờ được đưa vào dé trinh nhtng việc chuyển đội Npot từ một lớp này sane mới lớp khác (từ lợp đvn sane lớp trăng chẳng lan) và cho phép cĩ những phán từ khơng thuộc hồn tồn vào mội lớp não (cĩ mầu xám chàng hạn) hoạc thuộc một phần vào một lớp (với (noi đơ thuộc mạnh vào lớp den và một đọ thuộc yếu vào lớp tranp như trường hợp mủu xám đậm) Định nghĩa tập con mờ đáp ứng nhụ cầu biểu điện những trị thức khơng chính xác dỡ hộc chúng được diện đái trong nøon npữ tự nhiền bởi một người quan sát Khơng căm thấy cĩ nhụ câu cung cấp đỏ chính xác cao hơn ( ''cach bãi biên [DO m` là một đặc trưng được hiệt là pản đúng), hoặc khàne cĩ khả năng cung cấp đỏ chính xác cao hơn (ở gan bia bien”) hoac bot chung thu được tự những dụng cụ quản sắt sinh rủ những s.uú sơ đo (chẳng hàn trên mọt mát phẩng, người tà đồ ang chừng các khoang cách : “khoang 200 m`),
Dac tinh cấp độ của các tản con mờ ứng với ý tưởng cho ràng ching nào ta càng đi tới gản đặc trưng điển hình của mệt lớp thì sự thuộc vào lớp dé cane manh (chac chan là một ngơi nhà cách bãi biến 5Ĩ m là gản với bài biển: cách 200 m nĩ vẫn cịn gần nhưng khi khoảng cách càng lan hon 200 m thì ngơi nhà càng H1 thước lớp “gan bãi biển”: cách bãi bien Ì km, ngơi nhà khơng cịn thỏ nữa), Khát niệm tập cịn mở cho phép xứ lý : - những phạm trù với đường bièn kém xác định (như “trung tam thanh phố” hay "cđ`”), những 1ình huống trune gian giữa tát ca và khơng cĩ pì (hầu như là mau den’) ,
- _ Việc chuyên nhích dàn từ một tính chất này sang mội tính chất khác (từ Tpản” tới xa” tuy theo khoảng cách)
- _ những eld trị gan dung (“khoang 2 km”)
- nhting lớp bằng việc tránh sử dụng t1uv tiên những đường biên cứng
nhắc (khĩ cĩ thể nĩi răng một ngơi nhà cách bãi biển 200 m là gân,
cơn cách 310m là xa)
Trang 10được xem Xét đều là cỏ diển và được định nghĩa rõ ràng Thường ta hay dừng thuải ngữ tap mo thay cho tập con mờ, do lạm dụng ngơn ngữ, dúng theo cách dich từ thuật ngữ gốc tiếng Anh là "fuzzy set", nhằm đổi lấp với "tập rũ” (crtsp set), chi moc tap con khéng mo,
Cho X là mơi lập tham chiéu Cac phan tu cua X mã cĩ một tính chất nao do lam thanh một tập con Á của X, theo nghĩa thơng thường của lý thuyết tập hợp Ta nĩi đĩ là một tập con cơ điển hay thơng thường, và ký hiệu Prop( A) là tính chát liền Kết (Két hợp) với tập con Á, Những phản tử của X khơng cĩ tính chất đĩ thuộc tập con là phân bù của tào A Mọi phan tư của X thuộc chỉ mỏi trong hai tấp Á hoặc phản bù của A
Ngược lại nếu một số phản tử của X khơng cĩ một tính chất theo nghĩa tuyệt đối ta cĩ thế chọn đê chỉ ra mơi phản tử cĩ tính chất đĩ với một cấp độ bàng bạo nhiêu Như vậy tá định nghĩa rnột tập con mo cua K [Zadch 65] va ky hiéu Prop(A) la tinh chat én kết với nĩ Mọi phần tư của X đều thuộc tận con mỡ, với độ thuộc băng, | trong trường hợp thuốc
tuyệt đơi và cũng cĩ thẻ bàng khong
1.4.2 Pinh nghia tap con mo
Moat tap con ed dien A cla X duoc định nghĩa bởi một hàm đặc trưng yy lay gia ist O với những phần từ của X khơng thuốc A va lay giá trị Ì với những phân tư thuộc A:
A:X > {OT}
Dinh nehia tld: Met idp con mo A cua X duoc dinh nghia bot mét hàm thuộc pán cho mỏi phan tu x của X độ thuộc fA(x), nằm giữa 0 và
L theo đĩ x thuốc A:
lv: X —[0, I|
Trường hợp đặc biết, trong đĩ f~ chỉ lấy những giá trị bảng Ị hay |,
lip con mo A là mội tàp con cơ điển của X Vậy một tập con cơ điện là mot trường hợp riêng, cua tip con mờ
Từ nay về sau tà sẽ ky hiew FCX) 1a tap tat ca cic tap con md cua X
Ký pháp sau đây vẫn được dùng đẻ biển diễn tấp con mờ Á mặc dù nĩ
khong liên quan gì tới ¥ lav tong hộc lay tích phân Nĩ chỉ ra với mọi phân tử x cua X độ thuốc (x) cúa nĩ vào A :
A= D, xÍv/AJ/x, néu X là đếm được,
KÝ pháp : | _
N= { F(X, név X la khéng dém duoc
Trang 11Thi du I.!.1: Nếu X là tập các nước trên thế giới ta cĩ thể định nghĩa tập con thơng thường À các nước thuộc Châu Âu, chứa các phản tử là các nước thuộc Cộng đồng chung Chân Âu Ta cũng cĩ thể định nghĩa tập cịn mờ các nước thuộc khối Pháp ngữ, trong đĩ độ Pháp ngữ chẳng hạn càng nhỏ chừng nào số ngơn ngữ được dùng trong nước đồ càng lớn với hàm thuộc sau:
A = 1/Pháp + 0.5/BL + 0.25/Thuy ST + 0.5/Canada + + 0/Tây Ban Nha + 0/Duc +
Phi $4.2: N&u X la mot tap các thành phố của Pháp ta cĩ thể dịnh nghïu tập con thơng thường A những thành phố thực sự thuộc các tính 78 0Ị 92, 93 95, Ta cũng cĩ thé định nghĩa tấp cịn mờ Á các thành phố thuộc vùng Paris Độ thuộc của mọi thành phố x của Pháp vào À càng lớn chừng nào khoang cách từ nĩ tới }aris, tính theo cáv số, ký hiệu d(x,P) cang nho chang han (hinh J Ib):
f\(x) = max (OQ, 1 - d(x,P)/100),
Thi du nay cho thay 16 su khac nhau giữa việc cho trước một tạp con mỡ với việc cho trước một phân bố xác suất, Trong định nghĩa của : khơng cư một ý gì về may rủi cũng như xác suất mà chị là ý vẻ cdc phan tử (các thành phố của Pháp) ít hay nhiều đạt diễn ít hay nhiều điển hình cúa một lớp được xác định khơng chính xác (lớp các thành phĩ của vùng Paris)
1.1.3 Các đặc trưng của một tap con ma
Những đặc trưng hữu ích nhất của mới tận con mờ A của X để mơ tá nĩ là những đặc trưng chỉ rõ nĩ khác vớt một tập con thĩng thường của X
ở điểm nào
Đặc trưng thứ nhật là gia cua À là tập những phân tu cua X it nhất cĩ thuộc A mot chut
Định nghĩa Ủ.Ú.32:- Gid cua A, ký hiệu supp(A) là bộ phận của X trên đĩ hàm thuộc của Ấ khác khơng :
supp(À}= {xeX/fA(x)# 0}
lĐác trưng thứ hai cúa À là chiều cao của nĩ, ký hiệu h(A), là độ
thuộc lớn nhất mà một phản tử của X thuộc A
Định nghĩa Ì } 3: Chiếu cáo, ký hiểu h(À}) của tập con mờ Á của X là piá trị lớn nhất mà hầm thuộc cĩ thể lấy được :
h(A) = sup,:v fa (X)
Trang 12Người ta cũng thường dùng các tập cen mờ được chuân hố cĩ nph1a với chưng cố 1t nhất một phần từ cua X thuộc tuyệt đốt (xớt đo thuộc Ì) vào Ấ_ Nĩi rêne, lý thuyết kha năng (chương 2) cần tới những tap can mờ được chuản hố
Dinh nehia /.1-4-Vap con mo A cua X Tà được chuẩn hố nếu chiều
cao hi) cua nd bang 1
Mot tap con mo được chuẩn hố piả định cĩ tơn tại những phần từ của X điền hình cho tink chát được liên kết với nĩ Đĩ là những phần tử thuộc Á Tuyét đốn và tập những phản tử đĩ dược gọi là hat nhân của A
Định nghĩa }.Ú.S* lạt nhửn của A, ký hiệu ker(2Ý)., là tập các phần tử của X tại đĩ hàm thuộc cưa Á cĩ gi trị |:
Ke(Ai=z{xeX/F(x)= L}
Khi tập X là hữu han tà cịn đặc trưng tập con mờ À của X hơi lực lượng của nĩ chỉ rõ dọ thuọc tong thể mà các phan tử của X thuộc A
mh nghia bdo: Lic lượng của tập cịn mờ A cua ÄX dược định nghĩa bởi :
AI = ve f(x)
Neu A 1a mot (ap con thơng thường của X, chiều cao cua n6 bing Lt: nĩ được chuân hố và đồng nhất với p1á và bạt nhân cua nĩ: lực lượng cua nĩ chính là xế phản tư của tập theo định nga cĩ điển
Phi dụ 1.4.2: Got X là một tấp các nước chăng han X = (Đức, BỊ Táy Ban Nha Phấp., Ảnh Halha}, được kỷ hiệu theo thú tự là bp B TL P Á, T là tập các nước cĩ thẻ là nơi cú trú của mội cá nhàn cho Trước, Ta cĩ thé đính nghĩa các tập con mờ sau, tương ứng với sư mơ ta những mong muơn cua cả nhân :
Ai= 0.6/Đ + 0/7/78 + 0,47 + 0.3/P+0/8/A +0.5/1,
(AI) =0 ;supp( Ai) = AL Ker(A,) = @ | AY] = 3,3) tại ca các nước đếu chap nhân được tuy nhiên theo một thứ tự ưu tiền khá¿ nu,
A› =0/Ð +0/B + L/T + 0.8/P + 0/A + 1/1
Trang 13A, = 0/D + 0/B + O/T + O/P + T/A + O/1,
(tập con một phần tử cúa X: tập con mờ được chuân hố: supp(Aa) = ker(Xu)= (A} :|Aal= D) với việc chọn À là rát rõ
Thí dụ F.†.4: Gọi X la tap các khoảng cách là tập liên tục Ta cĩ thé địnhồ nghĩa một tập con mờ của X được gọi là A = “ean” nhu sau :
A = Ílnsoi ỨX + J s09 aon.-0.005x + 208 + Siya ss ƠN,
Nhu được chỉ rõ trên hình I.1d, với h¿Á) = L; supp (À) = [O 400]: ker(A) = 10 2001)
Chi v - Định nphlá một tạp cơn mờ tương ứng với một tính chất cho trước phụ thuộc vào ngữ cảnh của việc sử dụng nĩ Biểu diễn của “gan” trong trường hợp xác định khoảng cách giữa một ngơi nhà và bai biên sẽ khơng giống như biểu diễn của “gần” trong trường hợp xác định khoảng cách của hai thành phố của Pháp cũng như trong trường hợp mị 1a vị trí các đồ vật trên bàn Ngày ca khí ta p1ữ nguyên dạng cua đường cong được dùng thì hại nhân và gia phải được chọn mội cách thích hợp trén vũ trụ các khoảng cách được dién dat theo tram mét theo kilơmél hay theo centimét
Cũng như trong trường hợp cua mọi hẻ thống biểu điện trí thức đỉnh nghĩa một tập con mỡ đồi hối việc chụn lựa trong số những piái thích cĩ thê cĩ và cố định sự kết hợp piữa vác từ được dùng trong suốt quá trình thu thập tri thức (như “gần” chẳng han) với những phần từ của vũ trụ (Ở đây là các khoang cách được chị rõ theo hàng tram mét) mà với chúng nĩ hồn tồn chấp nhân được cĩ nghia là hạt nhân của tập con mờ, và những phan tr cua vũ trụ mà vớt chúng, nĩ hồn tồn khơng chấp nhận được tức nhũng phản tư của vũ trụ khỏng thuộc giá của tập con mờ Một hệ thống như vày cĩ ưu điểm làm cho việc trao đối giữa nhiều người quan sát được thuản lợi vì khi giới thiệu với họ biểu điển đã được chọn chúng ta chàc
chan răng họ cĩ cùng một sự giải thích đối với các từ được sử dụng Khi
cĩ nhiều người đối thoại cĩ sự bất đồng về đình nghĩa của một tập con mờ, ta cĩ thể xây dựng một tập con mờ biểu điền sự nhất trí và thâu tơm
được những định nghĩa khác nhau được để xuất Chúng tà sẽ trở lại vấn
để này trong chương 4
Trang 14nêu ta cho phép đặc trưng các khoảng cách bơi các tinh chat “gan” “xa vừa ”/ và "xa" nhữms biếu điển của “gản” và/hay là “xa” sẽ phải khác đi, như được chỉ rõ chẳng han trên hình !.Id Sự ủúnh tế của biểu diễn được chọn tham gia vào việc xây dựng mội phản hoạch mờ của tập tham chiếu X là khái niềm sẽ được để cấp trong chương 2
1.2 Các phép tốn trên các tập con mờ
Việc mê tả một táp con mờ Á cưa tập tham chiếu X tương ứng với việc đồng nhất các cấp độ mà mộit tính chất Prop(A) được thoa mãn, cĩ thể khơnp hồn tuàn bởi các phản từ của X Váy liệu ta cĩ thể xây dựng một tập cịn niừ được xác định bởi những cấp độ mà với chúng Prop(A) khong duoc thoa man? Cũng vậy liệu ta cĩ thẻ xây đựng một tập con mờ được xác định bơi những câp đơ mà với chúng hai tính chất Prop(A) va
Prop(B) được thoa mãn đồng thời? Các phép tốn trên các tập con mờ sẽ
được định nghĩa đê tra lời cho những câu hoi đĩ Như đã thấy khá: niệm tập con mờ của X là sư mở rịng khái niệm tap con cổ điển của X, nên các phép tốn phai thược chọn sao cho chúng tương đương với với các phép
tốn cỏ điến cua ]ý thuyết tấp hợp khi các hàm thuộc chỉ lấy những giá trí Ư lay T ty @ Prop (Ay = “mién nam” ().8| _ Gta)
A BE FG oL quoc gia
f, == Prop(A) = “thude ving Paris”
I
Trang 15—= Prop(A) = “pan” wee Prop(A**) = “xa” | ee ane củ : ns Ne 0 200m 400m khoang cach — Prop(A) = "gan" sas Prop(A’) = “xa via” — Prop~A’’) = “xa” 0 200m 400m 500m 700m khoang cach Hink J.4 Thi du vé cac tap con ma
1.2.1 Sự bang nhau va su bao ham (chita nhau) cua cae tap con mo Trước hết cần phái định nghĩa sự bằng nhau của hai tập con mờ A va B của cùng một tập tham chiều X Trong ly thuyết tập hợp cơ điện, hai tập con A và B của X là bàng nhau với điều kiện là một phản tử x của X thuộc A nếu và chỉ nếu nĩ thuộc B cĩ nghĩa y:(X) = Zj(X) VỚI mọi X Cũng vậy
tình nghĩa 7.2.7: Hai tận con mờ À và B của X là bảng nhàn nếu các hàm thuộc của chúng lày cùng giá trị với mọi phản tử của X :
Tx ex fA(X) = F;(X)
Tập con Á được chứa trong (bao hàm tronp) tận con B nêu mọi phần tử x của X thuộc A cũng thuộc B, cĩ nghĩa ⁄4(x) < y g(X) với mot x Bằng cách mở rộng ta nĩi rằng tập con mờ À của X bao hàm trong tập con mờ B của X nếu mọi phần tư x của X thuộc A ngay cả với chừng mực vừa phái (khơng tuyết đối), cũng thuốc B ít nhất với độ thuộc như vậy hoặc nĩi khác di nêu mọi phần từ x của X thoả mãn tính chất Prop(3) với một cấp độ ít nhất cũng lớn bằng cấp độ mà nĩ thoa tính chất Prop(Ậ)
Trang 16Định nghĩa 1.2.2: Cho hai tap con mg A va B cua X, ta né: rang A bac ham trong B ky hiéu A c B néu cdc ham thude cua ching thoa điệu kiện
VxeX Í\(x) š f/X)
Phép báo lun xác định một thư tự bộ phan trén F(X), cé nghia Ac A (tính phan xa), nêu A Œ l3 va Bo C.khi d6A c C (inh bac cau) Thu vu là bo phan vi cd tan tal ahtng tap con md A va B cua X ma vor chung ta khơng cĩ A € Tì và cũng khơng cĩ BC A, vì fa(X) < £,{X) v6t mot sơ phan tu x cua X va f(x) < f,{x) với mốt số phần tứ khác của X
1.2.2 Giao và hợp của các tap con ma
Gtao cua hat tap con thang thuung A va B cla X la mot tap con cua X
chứa tất c4 những phần tử x của X thuộc đồng thời ca ÁA và B Nĩ cĩ hàm dac trung bang | tat mot phan tu x nếu và chì nếu ÿ A(X) = ⁄¡(X) = Í với X
bất kỳ hoạc nếu và chị nêu giá trị nhỏ nhát trong bài giá trị ý 4(X) và
24x) bảng I
Cháo của hai tấp con mờ À và B của X tương ứng với tính chất, được ký hiệu là Prap(A © B), theo dé các tính chất Prop¿A) và Prop(B) dược thoa tiãn đồng thời Tính chải đĩ được thoa mãn với cấp đị nhỏ nhất mà vớt nĩ hai tính chất Prop(A) và Prop(B) được thoa
Định nghĩa 1.2.3: Giav cua hai ap con mờ À và B cua X là tập con mờ €, ky hieu là AB, sao cho:
VxeX f,£©Q =mnn (fA(xi f(x)),
mịn ký hiệu tốn tử lâv cực tiểu
Độ thuộc mà mỏi phẩn tư x của X thuộc AZšB là đọ thuọc nho nhất trong các độ thuọc mà với chúng nĩ thuộc À và thuộc B
Hợp cúa hai tập con thơng thường A va B cua X là mat tap com coda ÄX
chứa tất cá các phản tử x của X thuơc Á hay thuộc B Nĩ cĩ hàm đặc
trưng bang | tat mot phản từ x nếu và chỉ nếu ít nhất một trong hai giá 1Ì XAtX) Và Z¿(x) bàng 1, với x bất kỳ, hoặc nĩi khác dị, nếu và chỉ nếu giá
Trang 17Hop cua hai tap con md A va B cua X tương ứng với tính chất, được ký hiểu là Prop(ALJB), theo đĩ ít nhất một trong hai tính chất Prop(A) hay Prop(B) được thoả mãn Tính chất Prop(ACJB) được thoả với một cấp độ bảng với cấp độ lớn nhất theo đĩ hai tính chất Prop(A) và Prop(B) được thoả
Định nghĩa T.2.4: Hợp của hai tập cịn mờ A và B của X là lắp con ma lL kv hiéu ka AUB sao cho:
Yx EX fy(X) = max (f4(%)f 09) max ký hiệu tốn tử lấy cực đại
Độ thuộc mà mỗi phần tử x cua X thudc AUB là độ thuộc lớn nhất mà với chúng nĩ thuộc Á và thuộc B
Cũng như trong lý thuyết tập hợp cổ diển các định nghĩa mà chúng ta
vừa đưa ra dan tới các tính chất sau đối véi moi A và B thudc F(X): Tinh chat L2 1 Tinh kết hợp của 4 va U, Tinh giao hoắn clam va VU ANX=AANG=2H, -AUOG=A,AUXK=X, -ANAUBDADASB ADN(BUBI)=(ANB)UCADB ) -AU(BAB)=(AUB)A(A VB ) ~|Al + |B) = JA 7 BY + fA © BỊ
Thí du 7.2.1: Một thí đụ liên quan tới vũ trụ các khoảng cách được cho trên hình 2a, với hai tập con mờ À liên kết với tính chất “gần” và B hén két voi tinh chat “khoang 400 m” Hai thong tin liên quan tới một
ngịi nhà được biểu thị theo thứ tư nhờ vào các tính chất đĩ Ta cĩ thé
đốn nhận một ngỏi nhà thoả cả hai tính chất đĩ nếu nĩ được đặc trưng bơi tính chất Prop(AmSB), hay thoa ít nhất một tính chất nếu nĩ được đãc trưng bơi tính chất Prop(Ac2B)
Lay lai thi du về các quốc gia, với X = { Đức Bị Tây Ban Nha Pháp, Anh, Italia} va cac tinh chất Prop(B¡) = "pháp ngữ" Prop(B›) = “miền nam ta ce:
B, = 0/BD + 0,5/B + O/T + 1/P + O/A + OSL va
Trang 188, =O0/D + 0/B + L/P + 0.8/P + O/A + VL Tu do :
B,O Ba = 0/D + O/B + O/T + 0.8/P + 0/A + 0/L liên kết với tính chất
* phip ngdeva mién nam ™,
BU Bs = 0/2 + 0.5/B + 1/T + 1/P + O/A + 1/1 liên Kết với tính chất
“phap ned hay micn aam”
Chia ¥ : Néu A va B duoc chuan hố thì trừ những trường hụp dic biệt, giáo của chúng khonp được chuẩn hố Điều đĩ egiai thich vi sao khong the pict han trong việc dùng tấp các tập con mờ được chuân hố, vì khi đĩ phép giao sẽ khơng là rnột phép tốn trong đối với tập dĩ Ngược lai neu A và B được chuân hố hợp của chúng cũng được chuán hố và nguọc lại, hợp của hai tập con mở chỉ cĩ thẻ được chuẩn hố khi ít nhai
mot trong chúng được chuẩn hố 1.2.3 Phan bu cua mot tap con mo
Cho mot tap con thong thuong A của X, phản bù của nĩ là tập con chứa tất cả các phần từ của X mà Khơng thuộc A cé ham đặc trưng bằng
{ néu va chi néu ham đặc trưng của A bang O tai moi điểm x của X
+ ` Cc - ˆ ` * ` - n `
Phan bu Av cua mot tap con mo A cua X là một tập con mờ sao cho một phần tứ x của X càng thuộc nhiều vào A“ chừng tảo nĩ càng ít thuộc vào Á Nĩi khác di tính chát Prop(A) căng được thoa nhiều bởi x chừng nào tính chát Prop(A’) cang duce thea it
Định nghĩa J2 5: Phần bù A` của một tập con mờ A của X dược
định nehtt là tập con mờ của X vớt hàm thuộc : FxOM I, (RY = 1 f(x)
Trái với các tập con cĩ điền, nĩi chung là A` VA # SO VAAT OAs X,
cĩ nghĩa khịng thố các tính chất cơ điển của các luật phi mau thuan va
bài trunp Tuy nhiên các tính chát khác của lý thuyét tập hợp cĩ điển lại được thoả mãn, cụ thể là những tính chat sau :
Tinh chai ! 2.3:
Trang 19.(A'Ý = A, .Œ X =., Ae LAS HEX » fia chat f 2.8 Gia va hat nhan cua A va cua phân bù của nở nghiệm dung : (supp(A‘))° = ker (A) tker(AS)) = supp(A)
Thí dụ f.2.3 Trở lại thí du biến quản tới vũ trụ các khoang cách, tạ cĩ thể xét tập con mờ AT liên kết với tính chất Prop(A”) = “khong pan” la phan bu cua A, nhu duoc chi rd trén hinh 2b
Với thí dụ vẻ các quốc giá X = { Đức Bị, Tây Ban Nhà Pháp Anh, Italia] ta cĩ được các tính chất Prop(B,}) = "khĩng pháp ngữ" Prop(-`) = "khĩng miền nam”, liên kết Với các tạp con mờ
By = 1/D + 0.5/B + 1/7 + O/P +1/A + L/L, = /D+ 1/B+ 0/1 + 0,2/P + 1/A + Off
Trang 20Prop(A) = “gan” Prop(B) = “khoang 400m" Prop(Ar B) = “gan va khoang 400m" —— Prop(A /B) = "gần hay là Khoang 400m” các hàm thuộc (a) " O 200m 400m re khoang cach ——— Drop(2\') = `! khỏng gân”
rome PrOPGN = “ka vu”
mee Prop( A’) = "xa"
cac ham thuoc
+
q 200 400 khoảng cách
Hình ! 3 Giao, hợp và phân bù của các tập con mở 1.2.4 Ho cae lap con mờ của mội táp tham chiếu
Những trường hợp cực đốn của các tập con mờ của X theo thứ tự là
chính X được liên kết với hàun thuộc fy lay piá trị 1 với tất cá các phán tử của X là tập lớn nhất đối voi phép bao ham, va tap rong © được liền kèt với hàm thuộc băng Õ trên tồn X là tập nhỏ nhất đối với phep bao hàm
Tap FQX) làm thành một đàn phản phối cĩ nghia quan hệ thứ tự bộ phan duge dinh nehia boi phép bao ham là quan hệ sao cho mọi cập phan
từ (A,) đều chấp nhân một cận dướt lớn nhất A B và một câu trên nhỏ
nhất Ac2B phân phối với nhau, giống như trường hợp đối với tập cĩ điền P(X) các tâp con thơng thường của X Trái lai, dàn F(X) khơng bù vì nĩ khong chua hai phan tt Ag va By sao cho phản bù A" của moi phan wr A thudc F(X) thoa man A AA* = Ap va AUA = Bo No chi la gia bi
Thi du ¢.2.3: Xét truOng hop don giản trong đĩ X = {a, b}, cịn
T= {O0.e t} la tap cdc dé thudc F(X) khi dé chita 9 phan tu cĩ thé được
sắp thứ tự thành dàn như được cht rõ trên hình 1.3
Trang 21X=fa,h!=l/a +1/h l/a +- t/b < > + [/b l/a + 0/h Q/a + l/b t/a + O/b ÿ = 0/a +0/b
Hình {.3 Dan của các tập con mờ
1.2.5 Nhạn xét về việc chọn các toứn tư dịnh nghĩa các phép tốn Các tốn 1ử mìa và max và phép lấy phân bù tới | đã được chọn để định nghĩa theo thứ tự giáo, hợp và phần bù của các tập cịn mờ vì chúng bảo tồn hảu như tồn bộ cau tric cua ly thuyét tap hop cĩ điện Nhiều bien minh cho những lựa chọn đĩ đã được làm rõ theo cách thúc tiên đo hang cach chon nhtng tinh chat don pian mà phép giao và phép hợp phai thoả để được xem là những mở rộng của các phép tốn giao và hợp ca điền của các tập con Chang han ta cĩ thể nghiên cứu tính khoẻ của các
tốn 1ử hiệu theo nghĩa một biến đối nhỏ của các hàm thuộc của A và B
cho một bien đổi nhỏ của các hàm thuộc của hợp và giao của chúng và chung to rang cac todn tu min va max la khoe nhat [Nguyen etal 93) Ta cũng cĩ thế chứng mình tinh chat sau [Bellman, Giestz 73] :
Lĩnh chát 1 2 4: Véi cac lap con mo bat ky A va B cua X ta định
nghĩa giáo ;XZSB và hợp ÁC2B của chúng là các phần tử của F(X) với các
ham thuộc;
Yx EX fy OX) = FU ACA) fy(X))
Wx 6X f-ø(X) =Ò(AU@S, (X2),
trong đĩ Ƒ và ta hai phép tốn xác định trên [Ư 1] x [O 1) c6 gta int trong [O |} va co cac tính chàt :
Trang 22„ phân phơi với nhau, hên tục, ‹ khơne giam với mơi đốt của chúng h"8O cho F(x.v) S min (X.V) và Õ(X.v)> max (X.V) F(x.x) < I(x”,x)) G(x.x) < G(X`.x`) mỗi khi x< x` F(1.1) = t va G(0,0) = Ư
Khi do chico} = min và G = max 1a hai phép tốn cĩ the
Nha ver: Mét két qua khac [Bellman Giertz 73), [Gaines 76a] lien
quan tới định nghĩa của phần bù và đưa ra định nghĩa 1.2.5, dưới những
điều kiện phức tạp hơn những điều kièn của tính chất 1.2.4 Voi bất kỳ tập con mờ À của X, giả sử tà định nghĩa phần bù A” là phần tử của F(X) với hàm thuộc
Po tx) =H fy (4),
trong dé H là mot phép toan xac dinh trén [O, 1), nhan pid tri trong [0 1] va cĩ cac tinh chal :
„ liên tuc, glam thure ser,
đối hợp : H( /,(x)) = Ï(x) vớt mọi x thuộc X hay
H/HŒA(X) = lẠ@),
xao Cho, nếu hai phan tu x va y cua X thea fa(x) + tty) = J thi
khi đĩ Hef s(x) + HO avi = E
Sao cho HO) = 1 va Hel) = 0
Khi đĩ Il(u) = I~u là phép tốn duy nhất cĩ thể
Trang 23Chane han, nếu tá định nehla phép giao và phép hợp 1heo thứ tự bởi : VX €X.Í\ s(X) =max(fA(X) + (X) - 1.0),
Vx EX, facdX) = min(fa(x) + fyCx), bd
thi khi đĩ, các tính chất khỏng được nghiêm đúng với những lựa chọn trước đày bây giờ lại được nghiệm đúng, và ta lại cĩ ¿
- ` Cc
MAA=va A VUA= xX,
là điều đường như 1hố đáng nhưng bù lại, mất đi hai tính chát luỹ đáng : AMA SZAVANUASA
1.3 Cac tap con thong thyong lién két v6i mot tap con mad
Với sự cĩ mát của các tri thức Khơng chính xác được biểu diễn bởi các tân con mờ, cĩ nhiều lý do dân đến việc tìm những tận con thơng thường kết hợp với chúng [2Ý do thứ nhất là đánh gií xem chúng khác với một tập con thơng thường của tập tham chiêu tới mực nào và tính đỏ mờ của chúng, chăng hạn để tiến hành một phép chọn trong số nhiều tập con mờ Kiu chọn thong tín tin cậy nhất cĩ thể: chúng tà sẽ ở lại trong mục L.7 vé nhiều hệ vỏ khác nhau cho phép do tính đặc thủ hay tính khơng chính xác của một lập con mờ qua trung gian một phép số sánh với các tap thong thường Lý do thứ hai là sự chú trọng sử dụng những kiến thức của lý thuyết tập hợp cĩ điển, khi cĩ các tập con mờ mà tà muốn tiếp cận bàng các tập con thơng thường Lý do cuốt cùng là việc tim một tập con thonø thường sãa tới mức cĩ thể với tập con mờ hiện cĩ nhằm mục đích ra một quvét định hay thực hiện mọt hành động chính xác mắc dù cĩ sự khơng chinh xác của các trì thức Cách đơn giản nhất để thực hiện sư xáp xí đỏ là cị định một piới hạn dưới cho các độ thuộc đang xét Mọt trường hợp đac biệt hơn ca là tim một phần tư của X biếu điện tốt nhật tập con mỜ cð nghĩa một tập con của X thu về tắp mội phần tử và tà sẽ trình bấy các phương pháp, được eoi là sự khử mờ, thực hiện việc tìm kiếm đĩ,
tronp khuơn khổ của điều khiển mờ
1.3.1 Đỉnh nghĩa các œ — nhớt cất két lợp với một tập con mờ
Cho trước tập con mờ A của tập tham chiếu X, ta chọn một ngưỡng o piữa Ơ và Ì Tạ xây dựng tập con thơng thường A, cua X két hop vor A đời VỚI ngưỡng đĩ, bàng cách chon tat ca các phản từ của X thuộc A, hav thoa tính chất PropCA), với một đĩ thuộc ít nhất bảng œ (hình 1.4)
Trang 24Dinh nehia Ƒ 3 T- Với một ngưỡng cho trước ơ thuộc [Õ I] ta định nehia đ 2t cái của tập con mờ Ấ của X (hay tập con mức ở liên kết với ¿\) là tập cịn À= | xeX /TẠtX) 3 0 | của X, với hàm đặc trưng là
⁄A (xì = L nếu và chỉ nếu Í2(x) > ơ
1.3.2 Tinh chat cua các d — nhất cất
Khi chọn niột đức Œ, tạ chỉ ra ngưỡng mà từ đĩ khái niệm thuộc dù là tương đổi trong định nghĩa của A được xem là dú cho việc mơ ta tính chat Prop(A) Những phản từ x của vũ trụ X mà hàm thuốc ÍA(x) ít nhất bàng œ thơa tương đối tốt tính chat Prop(A) va ta bằng lịng với mức đã chọn
Điều đĩ nĩi len ràng những phân tử này thuộc đủ mạnh vào À để ta
cĩ thể xem chúng là đai điện của A Chừng nào ta càng địi hỏi trên khái
niêm thuộc, thì ta càng tăng ngưỡng œ lên và khi đĩ càng cĩ ít các phần tứ của X thoa Khái niệm thuộc đĩ, như được chỉ rõ trên hình L.4 f Prop GA) = “gan” [ 0.8 | Prop(A)) = "Với Khaảng cách Q5 | cùng lam bảng 2)U m`
a (“gan thea cach cuveét dor)
— > Prop(Ays) = "véi khoảng 200 300 khoang cách cách cùng lãm bang 300m” ( gân" với cấp đỏ ít nhất > A,=kerí A) bang 0.3) \ Propt A”) = “vor khuang ‘ an › cách nhớ hơn 300m” gân” Ả với cấp độ lớn hơn Ù.5) A, = X
Trang 25Với mức œ = I, ta cĩ được œ-nhát cắt nhỏ nhât cĩ thẻ là rịng là hạt
nhân của A V6tay=h(A) 4 =A,.„ asi, 4„ Với mức ơ = Ơ, tà cĩ ơ—nhát cai lớn nhất và băng chính tập tham chiếu X
Tính tương thích của các phép tốn trén các tập mờ với các phép tốn của lý thuyết tập cơ điển cho phép kiếm nghiệm ràng, với tất cả những tập con mờ Ä và B của X và với moi ngưỡng œ thuộc [Ơ.) |, kết qua sẽ là như nhau khi thực hiện các phép tốn mờ trên A và trên B rồi sau đĩ xây dựng các œ-nhát cát hoặc là, trước tiên tìm các ơ—nhát cắt của A và B rồi sau
đĩ thực hiện trẻn các #—nhát cắt đĩ các phép tốn cơ điện tương ứng
tính chát ƒ 32: Những œ—nhát cắt của các tập con mở nghiệm đúng các tính chât sau :
,CAOSB),= AaoB, (ALB), = AuvUB nếu AB thì A,= B,
Những tính chất khác của các ơ-nhát cát sẽ được giới thiệu trong phần tiếp sau khi đưa vào những khái niệm mới
1.3.3 Nhung a-nhat cat chặt
Ta cũng cĩ thể xem mitc @& nhu mot eid han chat cho tinh đại điện cla mot phan tu cua X đối với tập con mờ À cho trước của X
Định nghĩa ! ‡2- Với mọi mức ¿ e [Ơ,I{, ta định nghĩa ơ-nhát cái char cua A Tà tập con À” =[A eX/fA(X)>ơ } của X
Một trường hợp riêng quan trọng của œ—nhát cat chal tùng ứng với mức ơ = 9,5 được xem như tương ứng với một ngưỡng khỏng quyết định Dưới ngường đĩ độ thuộc của các phần tử của X vao A là vẻu Trên ngưỡng đĩ đỏ thuộc là mạnh Trong số tất cả những tập con thơng thường bài kỳ A của X cĩ thể chí ra rằng tập con làm cực tiểu khoang cách Ốcli† pita Ấ và A chính là A“Ÿ chănp han theo đẳng thức sau trong trường hap X là hữu hạn :
Ded vty 00 Py = ming vÌxA@) -fA@l
Trang 26Tính chát T.3.3 - (.S-nhát cắt chặt A”` của tấp con mỡ A của X là tập
con thơng thường của X gần với À nhất, theo nghĩa chẳng hạn làm cục
tiéu Khoanp cach Oclit
1.3.4 Biêu điên mĩi tận con mờ từ các œ - nhát cái của nĩ
Day tat ca cdc œ-nhát cát của một tập con mồ A biểu diễn nĩ mọi
cách hồn tồn Một cách hình ảnh ta cĩ thể nĩi rằng nĩ được “cát thành
các lát” và khi cĩ tất cu những lát đĩ ta cĩ tồn bộ thực the
Để đơn gian, gta su ta gidi han ftronpg mội số hữu hạn các đỗ thuộc duoc sip theo thir tu tang cd nghta cdc hàm thudc lav cdc gid tri chang han trong tập »ắp thứ tự I= {D, Ĩ.1 0.3 (⁄3, LỊ Nếu ta biet cic a ~nhat cat long nhau A,, cua tip con mo chưa biết A vii tat ca các ngưỡng ứ el
tà cĩ thể xây dung ham thuộc f, cua A bang vice xét cdc ngưỡng đi từ lớn
nhất đến nho nhất Trong trường hợp đặc biệt của |: ~f\(8) = Ì VỚI Đi xe Ay,
1, (X) = 0.9 vor moi x € Agg ~ Ay Vi f(x) 2 0,9 trên Aao Và
{L(X) = | tên Ay,
Wf (x) =u voi moi x € Ay — A, trong dé a? Ja phần tư của | theo nvay sau o, va như vậy với œ bất kỳ nhỏ hơn Í trong T
Tổng quát hơn biết họ tất cả các nhất cài của một tân con mờ hay
biết chính tập con mờ là tương đương
Xuất phát từ Ầ ta xày dưng các a—nhat cit Á„ với tất cả cac mức œ thuộc tập cdc gid tri duoc lav bot fa
Dinh ly phan tách T3 † > Moi tip con mo A của tập tham chiếu X
được xác định từ các œ -nhát cất của nư bởi : VXx€ XIẠ(X)=šUP.caiiŒ, x 13), ong dé sup chi supremum (cận trên của các giá trị cĩ thê) và 7, là hàm đặc trưng của A, Uu du f3: Mọt thí dụ liên quan tới tập tham chiêu các khoảng cách được chỉ rõ tréẻn hình 1.4
liên quan tới thí dụ vẻ các quốc pia X = (Đức, Bị, Tây Ban Nha, Pháp Anh Italia} t+ cĩ thể lầy tập con mờ kết hợp vớt tính chất "Tniền nan”:
Trang 27và xát dựng l- nhát cát của nĩ Mị ={ E.T ¡ đồng nhất vớt hạt nhân cũng như Ơ.9 nhát cát của M tiệp đỏ là xây địng Ơ,S-nhát càt Mang = (E, F, 1] đơnp nhất với tất ca các ơ nhát cái với Ư,8 > œ > 0 Con O-nhat cat My = X
Khi đĩ ta cĩ thể viết các œ-nhát cắt khác nhau của MÍ như sau : M, = 0/D + 0/B + I/T+ 0/P+0/A + L1,
Mis, = O/D + 0/B + 1/T+ L/P + OSA + TAL, My = 1/D + 1/B+ 1/T + 1/P 4 V/A + VL
Khi đĩ ta lại tìm thay : f(D) = max (1 x 0 0,1 %0.0x 1 =O, f,,B) = max(l x 00 84 x O00 x 1) = O.1QCP) =maxcixl Ox1) = 1 t,CP) = max (1x0 0.9x0, 0.84 [0 OLLK 1), Ox t= O18
f(A) = max (1x0 0.1040, Ox 1) = OF RCD) max (xt Ox) = 1 cho ta dang dinh nphia cua M
1.4 Các tập con mờ lơi
Những tập con mờ phơ biến nhất là những tập con mờ cĩ hàm thuộc
“đều đăn”, cĩ nghĩa khơng cĩ những chỗ đứt đoạn đột ngột, và như vậy
biểu diễn đúng tính cách cấp đơ và việc chuyển nhích đản từ chĩ khơng thoa man tinh chất mà chúng kết hợp tới sự thoa mãn Kh› ta yêu cầu một người đối thoại vẽ đường cong mà người đĩ cho là thích hợp nhàt để định nghĩa hầm thuốc của một tập con mờ biểu điển một giá trị xấp xí C'chừng ba mươi” ''khoảng 2000 đỏ la”) hay một đặc trưng mơ hồ (“trẻ ”, “xa`), thì người đĩ thường vẽ một tam giác hay một hình thang tuỳ từng trường
hợp cĩ thể mở về bên trải hoặc bên phải, hay một đường cong hình
Trang 28¥
a b a-2c a-c 4
HHình f.5 Thí dụ về các hàm thuộc lồi
Khi X là tập các xố thực R các tap con mo cé dang dap nhu vay duoc gol fa [di [Zadeh 65)
Định nghĩa 11.1: Một tập con mờ A của tập X các so thuc la /6/ néu với mọi cập phân tử a và b của X và với mọi số À thuộc {Ø, LỊ, hàm thuộc cua A nghiem dung :
{,(Aa + (1-A)b) = min (ta(a), fy, (d))
Tĩnh chơi II: Một tập con mờ A cua R là lơi nếu tất ca những œ- nhát cái A„ của nĩ là lồi, cĩ nghĩa nếu với mọi cặp phân tử + và b của A„ và với mọi xố + thuộc [Ỡ.I., x = Xa + (1—À)b cũng Thuộc Áu,
Tình chát !.4+2- Nếu A và B là hai tập con mờ lồi của R, thì giao của chúng là lõi
Tht du 14.1 : Ta cé thể định nghĩa một hàm thuộc hình thang nhờ vào các tham số thưc a,b, c, d bởi :
faQX) 0 nếu x < a-c hay nếu x > b+d
Ị afe+(L afc) nếu a-c<x<a
od néua<x<h
| fd (+h/d) neub<x<btd
Nẻu a = b, đường cong là hình tam giác (hình 1.5a) Ngược lạt nĩ là hình thang (hình !.3b) Nếu a — —œ với X = R, hay a=c =0 với X = R'
Trang 29Những hàm thuộc phi tuyến từng mảnh được chỉ ra trên các hình I.5d và I.5e ; hình 1.5 e được mớ về phải Ta cĩ thể dùng chẳng hạn những ham sau : expt ở) nếu x<a fv) | névasx<b Expl XP) neu x >b 0 TẾU X < ä-2C
i vow tb Qe s2er MEU A~Ze = xX <a-c
fQA) © 1 (x ay fd? oo © neuva-csSx<a ;
{ nêu xX 2a
Những tập con mờ lơi sẽ được sử dụng trong số học mờ và là sẽ xử dung chúng trong mục 2,2
1.5 Tich Descartes va hình chiếu của các tập con mờ
Ld Tich Descartes cua cdc tap con mov
Việc mồ fa mọi hé thống dù )à 1! phức tạp thường cĩ sự tham gia cua nhiều vũ trụ tham chiêu Chẳng hạn, việc ra một quyết định thường đựa trên nhiều tiêu chuân việc nhận dạng một lớp đối tượng phai dựa trên nhiều đạc Hưng việc điểu khiến một quá trình phải xet tới nhiều biến
Khi xét nhiều tập tham chiếu đồng thời ta xây dựng một vũ trụ tổng thẻ
trong đĩ các thành phân khác nhau là các tập thưưn chiếu ban đâu Những đặc trưng được biếu diễn bởi các tập con mờ mà tạ định nphĩa ˆ— trên
vũ trụ tổng thể đĩ được xây dựng từ những lớp mờ của các tập tham cluu ban đầu
Ta gia sự là các tập tham chiêu khơng cĩ tác động lăn nhau, cĩ nphĩa ahung quan sát thực hiện trên mơi lấp tham chiều là độc lập với nhau Khi đĩ ta nĩi răng các tập con mờ được xác định trên các tập tham chiếu đĩ là khơng tưởng tác [Zadch 75]
Cho X¡, X›: X, là các tập tham chiếu và tích l2escartes của chung X=N(XX¿Xx x X, cĩ các phân tử là những r-bộ (xi.x¿ XJ) VỚI Xị thuịc XịỊ, X;ị thuộc X:, x, thuộc X Nếu sự hiểu biết vẻ Xị X, là 1
Trang 30chính xác thì mọi thơng tin cĩ trên X sẽ được cung vấp bởi những r -bộ Ngược lại nếu trì thức đĩ là khĩng chính xác, ta chỉ cĩ các tập con mờ
Ái, A» VA, theo thứ tự của X., Xs X¿ Để mơ tả tổng thé thong tin
hiện cĩ ta xáv dung tich Descartes A cua ching xem mot phan 1 (Xi Xa X,) thuộc ,V càng mạnh nẻu Xị thuộc mạnh vào X), X%> thudc mạnh vào Xs x, thuộc mạnh vào X,[⁄2adch 73]
Định nghĩa /.5*.T: Cho các tập con mỡ Ấy Á›, , Á được xác định tương ứng trên X\ X› X la định nghia tich Descartes cua chúng A= Aj, < Aa x x A, mhu mot Lip con ma cua X co ham thudc :
PX = (Xp) EM TAO = min ( f, OY) fy @X.)) fhidn 1.58 1- Dé tiép tuc tht du về các địa điểm cư trú được vem Xét, hay xet X, = (Đ.B.T.P]j là tập các nước (Đức Bi Tây Ban Nha, Pháp] và X›;={Œ, VỊ là tập các lựa chọn giữa nơng thịn (C) và thành phố (V) Những ưu tiên cua ruột cá nhân đối với mơi một trong hai tấp khả nàng
đo xét riệqg từng cái mơi, được biểu điện bởi những tập con mờ
A, = 0.5/D + 0.8/B + O.4/T +0,3/P cha X,, va Ay > O.5/C + 0.3/V của Xa
Một ưu tiền địi với hai vũ trụ mội cách tổng thé được biểu diễn bởi tich Descartes cua chung duc dinh nghia la :
Aya = OS/D.C) + 0,8/(B.C) + 04/0) + O,3/0P.C) + O.2/0D,V) + +0 2/8.V)+0.2/.V) + 0.2/02.V),
tướng Ứng với một wu trên cho một nốt cư trú ở nơng thơn nước BỊ hoặc cũng cĩ thể là nước ‡)ức cịn tất cá những gia thiết khác đẻu chấp nhận được nhưng râI khiêm tốn
1.5.2 Hinh chieu cua mét tap con mo
Ngược lại việc biết một đặc frưng mờ tổnp thê được định aghfTa trần một vũ tru phức hợp phải cho biết những thơng tin về những thành phần
Trang 31Cha một tập cịn mỡ À đuợc định nghĩa trên mọt vũ tru X, ~ X, La
lich Descartes cust hat tấp tham chiếu Xị và X›
Định nghĩa 1.5.2 > Hinh chiéw wen &, cua tap con mo A cua X, - No là tân con mờ Py o7 (A) cua Xị vớt hàm thuộc được xác định bởi :
Vie Xy A oa, OG) = SUP F(X Xa),
Hinh chiéu cua A trén X cing dugc dinh nghtia tường TỰ
fink chat 1.5.1: Vruong hop dac biét trong dé A la tich Descartes cua cic tap con m@ A, cua X, va As cha Xs hình chiếu Prey, (A) tên X, là tap con mờ bạn đầu Ay nếu và chỉ nếu SUP,.,\ /, (x:)>SUP, /,(3/)., nĩi nẻng được nghiệm đúng nếu ÄÛ được chuẩn hố, Cũng vậy hình chiếu Prĩ/, (22) của À trên Xã là Aš
nếu và chỉ nếu súp /,(x,)<sup, /,(x,) nốt riêng được nehiềm đúng neú và chỉ nêu ,\¡ được chuẩn hoa,
Thí chị Ệ 5.3: Lấy lại các vụ trụ Xị = {D BOT PL ALT] va Xs = {CV 4 của thí du trước Giả sử những mong muốn của một cá nhàn được chị rõ bơi tập con mỜ sau của XI x X42 S = 0,6/(D.C) + 0.8/4 B.C) + O/C) + 0.3/(P.C) + 0.5/().V) + 0.2/06 V) + 0.3/(T.V) + 0.2(P V), chứng tỏ cĩ sư ưu tiên về một nơi cW trú ở nồng thơn nude Duc hay nude Bi Thong ti mà ta muốn cĩ được về những ưu tiên đối với lựa chọp nơng thon/thanh phố được chỉ rõ bơi tập con mờ của X› được suv từ S bởi phép chiếu trên ÄX; ;
Dr2/, (S3) = max (06.08 0,41.0.3)/C + max (0.5,0.2.03.0.3)/V O8/C+OS/YV
xác định sự ưu tiên của người đĩ đĩi với nịng thon
Mọi cách tổng quát nếu vũ trụ phức tạp hơn ta định nghĩa hình chiêu của một làn con mờ Á cha Xz XI XN: x X X, trên tích Descartes Y =X, X X, XX Ny vob fas bo kị c { 2 r} bàng cách lay supremum của Í:((Xi x,)) với các phần tu x, cua tal ca cac tap A, khong co mat trong Y cd nghia sao cho
Trang 32Định nghĩa F.%.‡: Hình chiếu trên X « X, x « X, cua tap con md A
cua X, x X> x x X, la tap con mé Proy(Aj cua X, x X, x 4X, với hàm
thuoc duvc dinh nghia la -
Vv Xu= Xà My & Ay:
Foes \i@Xqers Xp) = SUP WSIS) 4a TƯ YNG An,
1.3.3 Khuéch tru của một tập con mờ
Ngược lat khuéch tru cua mat tap con mo B cua ¥ = X, « X, x « Xy
với l <Sa<b< <ké<t là tập con mờ B của X = XI x Ks x & XX, vot hàm thuộc cĩ cùne giá 11Ị với tất cá các phân tử của các tập X, khơng xuất hi¢n trang Y No cho phép quy nap (cam sinh) trị thức trên tất cả những thành phần cua mỏi vũ trụ phức hợp từ tri thức chí trên một số thanh phân trong chung
Địm]h nghĩa 1.5 4: Khuếch trụ của một tận con mờ B cua X, x X, x Xp trên X = X\>x X:>x x X, được định nghĩa là :
X = (XI Xa Xi X.) €X, (X) = lXu Xp)
Thi du {5.3 - Tiếp tục thí dụ về việc chọn nơi cư trú nều những ưu
tiên của một cá nhàn được đặc trưng bởi tập À› = 0.8/C + 0.2/V của Xà khuếch trụ của Ấ¡ rong X = Xi x X2 cho phép quy nạp những ưu tiên của người đo trên tập các nơi cư trú cĩ thể của 4 nước Nĩ được xác định bởi :
A, = 0.8/(D ©) + 0.8/(B C) + O.8/(T C) +0.8/P, ©) + 0,2/(Đ, V) + 0,2/(B V) + 0.2/T V) + 0.2/CP Vì)
1.6 Nguyên lý khuếch
1.6.1 Mục đích của nguyên lý khuéch'
Nhưng tập con mờ của X biểu diễn những tì thức khơng day do ve
tập tham chiếu X Ta cĩ thể xem những phần tử x của X được nhân biết khơng chính xác và người quan sát chỉ cĩ thể nhận biết một tập con mờ mà x thuộc mạnh vào nĩ, phép quan sát pham một vat sd do hav ca mét
Trang 33quảng trong ảnh Trong những điều kiên đĩ các tính chât quen biết theo cách cố điển trên tập tham chiếu X hay trên các quan hệ của nĩ với một
tập tham chiếu khác Y khơng thẻ khai thác trực tiếp được Khi đĩ cản
thích nghi chúng để cĩ thể sử dụng chúng khi ta biết X thơng qua những
tập con mờ của nĩ mà khơng phải là qua trung gián các phản từ của nĩ Chang han, néu X 1a tap các số thực thì khi quan sát những phản tử của nĩ, ta cĩ thể so sánh chúng và thực hiện các phép tính số học trên chúng, cho kết quả lấy giá trị trong tập các số thực Y Vậy ta cĩ thể nhận được những kết quả nào khi các phân từ của X chỉ được biét gan ding? Neu X là tập các cặp điểm của mỏt mặt phẳng, ta biết kết hợp với chúng một giá trị định giá khoảng cách giữa chúng trong tập Y các số thực Vậy tà cĩ
thê làm gì khi các điểm chỉ được định vị một cách thỏ thiên? Nguyên lý
khuếch |Z⁄adeh 75| được đưa vào chính là để trả lời cho những câu hoi đĩ và là một trong những nguyẻn lý quan trọng nhất của lý thuyết tập mờ vì nĩ cho phép khai thác những tri thức cổ điển của chúng ta trong trường hợp cĩ các dữ liệu mờ
1.6.2 Phát biều nguyên lý khuếch
Gia sử ta cĩ một ánh xạ (0 từ một tập tham chiếu thứ nhất X tới một tập tham chiếu thứ hai Y Với mơi phân tử x của X, ánh xạ @ làm ứng mọt phần tứ v của Y Gọi A là một tập con mờ của X với x thuộc mạnh vào nĩ: ta muốn kết hợp với x một tập con mờ B của Y với v thuộc manh vào B (hình L.6) Như vây ta sẽ định nghĩa ảnh của một tập con mờ bơi một ảnh xa
Dinh nghia 1.6.1; Cho mét tap con mé A cua X va mot anh xa o từ X tới Y, nguyên ly khuéch cho phép định nghĩa một tập con mờ B của Y kết hợp với A qua trung gian @ :
Vy eY,
[(Y) = SHPIvex¿y =@xi) FA(X) nếu @ '({y|) z Ø
Trang 34Các trường hợp đặc bier :
e Khi tập con mỡ được xét là mội tạp con thơng thường của X được
thu vé tap mét phan tu A = [Xj¿} vớc fx(x) = Ì nếu x = xạ và f4A(x) = Ư nếu
\ F xạ nguyên lv khuếch kết hợp với nĩ tấp con B của Y với hàm đặc trung 1, sao cho f,(y) = T nếu xu c6 @ '({y}) và f(y) = Ư trong trường hợp ngược lại Nhu vậy B được thú về tập một phản tử {@(%,)}
« Neu o la song ánh việc xác dink B rat don gtan :
Vy € ¥idy) = tate (yd)
eXct nuone hop khi han than X la tich Descartes của nhiều tấp tham chiêu X Xš X, như trong thí dụ đã nĩi vẻ các khoang cách Nguyễn lý khuếch vũ định nghĩa cua tich Descartes của các tập con mờ cho phép kẻ! hợp vớt các tát con mờ tượng ứng của chúng Ay) Áa ,Â, mới tập con mờ l của Y được xúc định bơi hàm thuộc sau ;
VveY
` VÀ CC củ - at ì
CY) = SUP de ore UNC, (GH) OY) meu @ Cyl) 4 2 f(v) = Ð nếu (p '(1v}) z Ø
1.6.3 Cac tì dụ về sử dụng nguyên ly khuéch
la cĩ thể tìm bá nhiều khái niẻm đã được đưa vào trước đây bàng c.ch sử dụng nguyên lý khưếch,
Cho r tap tham chiều XỊ, Xs X, Tạ tìm lai được khuếch trụ bang việc xử dụng nguyên lv khuếch đối vai X = A, x XX, <x XI VớI ISa<b.<kst.và Y=Xk * X: x x X, Anh xa da tn: X —> Y sito cho POX Xyeee Xp HPO pes Rye Kanes Xpoces Kp)/ Rp EM uk EM)
Hinh chigu cua tap con mo A cua Xy x X> xx KX, uén KX, KX ys My,
wi | <a<b <k <r, cing cé the tim Jai duoc tit nguyén lý khuéch bang
Trang 35Ankh xa: X > Y la anh xa sao cho @ (XI Xa Kị Xi Xi) = (X.Y Xp) VỚI bắt kỳ các phần 1 xị của X; K cưa X, của những Tập khác với K X Ai Đặc biệt trong trường hợp hình chiếu cúc Xi xÀ: len AX, anh xa là ánh xạ, piếng như một phép chiếu cư điển, kết hợp vớ Mol cap (X; >) cdc phan từ theo thứ tự lấy trong X; và X› phán tự thứ nhat trong chung la \,
Nguyen lý khuéch là cơ sơ cho việc xử ]ý các khái niệm mờ khác nhau, như cúc số mở hay cho lập luận trong logic mờ Về những vấn đẻ nay chang ta se uo lar sau
Thr dud 6.4/ : Xét tap X cac mau té6c và tập Y các giống người (miền bác, miễn nam, miện khác), Gia sử Tự biết kết hợp một hay nhiều eidng người với một máu tĩc, bảng ánh xạ đa trị (ộ xác định trên X Jay ena tri trong Ý, sao cho @(nàu) = miền nam @(đỏ hoc) = miền khác (hung) =
q@(hoc vàng) = miễn hắc, @(tràne) =|miễn bắc miện nam miễn khác ]
Một đầu trưng mờ của mầu tĩc sao cho À,, "ân Với nàu những ít nâu
xửn” được biểu diễn hởi tập con mờ sau cua X :
A, = 0.9/nau + 0.2/nau xam + 0/do hoe + O/vang + O/trang
đán tới một đặc trưng mờ B của giống người, cĩ hàm thuốc trên Y : [, (miễn bac) = max( f, (do hoe) 7, (vang hoc) f, (trang)) = Ư
f, (mién nam) = max (f, (nau), 7, (trang)) = 0,9 f,(mién khác) = max (7, (nâu xâm) /, (tráng)) = 0.2, được lý giải bằng cách nĩi rang
ninh mầu tốc được xem là "pản với nâu nhưng ít nâu xám” dần đến phu neht rang wong ngudar nay etong vat ngudi men nam, mac di khong loat
trừ đo la ngudi khac mién nam hav mién bic
Trang 36con mờ Ä và B vha Z mà tà muốn chị ra khoảng cách Một cách để thực hiện mục tiểu đĩ là đùng nguyên lý khuếch giữa hai vũ trụ X = 2 x 2 và Y=R cĩ neha đi xảy dựng mội tập con mỡ C của Y với hàm thuộc dược xác định với mọi d eR`' bởi :
MAX Iyer, veh ead) =a} MN (fala) f(D)
t(d) = néu {(a.b)cX azb 0(a.b) =d) z Ố
| Ũ, trường hợp npược lại
Chang han nều A =0.8/Xị + Ị.1/X2 +Ư/4/X; + Ĩ, L/X; và
— B=U/2/4i+0.3/4; +U7JAy + Ú.5/X,,
với một khoang cách trên 2£ được định nghĩa bởi 0@(X),Xa) — @(XI.Xs) = 4, O(N Ay) = Ấ @(xš Xi = 2, @(XšXj) = 0(X4.XỊ) = 3 ta thú được một khoảng cách giữa Á và B được cụ thể hoa hoi tap ma sau của Đ' :
fid) = O/T + 0.3/2 + 0.4/3 + 0.7/4 + 0.5/5 + 0/6 + O/7 + 1.6.4 Ap dung neuyén lý khuech cha luật hợp thành
Cho ba tap tham chiếu X, Xs và X:., ta xét các tich Descartes N= XX) «Xy Y=Xy» Xy Za X, x My Goi — la anh xatu X x Y lén Z
làm Ứng ((XỊ X›)/Xs Xš)} VỚI (Xy Xz) VOI MOI X, thude Ay X> thude X5, xạ thuộc X; Cho hai Tập con mỡ Á của X và H của Y nguyên lý khuếch kết hợp với chúng mơt tập con mờ C của Z cĩ hàm thuộc được xác định bởi : We = (X),%3) € Z | SUPA eX x My = Orxy) muin(fs(X).fgl¥)) néu \) ({Z}) ¥ @ l7) = 1 - 0 trêu @ ` ({z}) = Õ Dong thi nhất cịn băng với : min (TA(XỊ Xã) (X3 X3)) °
SUP NY Vy Na Age FEUMINES DEON
Trang 37Như vậy ta thu được một quy tác tổng quát quan trọng [Zadch 73], sẽ được sử dụng trong những trường hợp tronp đĩ ta mong muốn trừu xuât
một số thành phần của một hệ thống Để hiệu được mới quan tam đĩ ta cĩ thẻ nphì đèn chăng hạn như việc tìm kiêm một luật xác suất biên duyên từ một luật xác suất hội Ta cũng cĩ thể hình dung một quá trình
quyết định trong đĩ một biến được xác định trên một tập Xị và một quyết định phải lấy tronp một tập Ä› một quan hệ nối giá trị của biên và quyết
định trên X, x X› : với một quan sát giá 1rị của biện tronp Xị, những trì
thức liên quan mội ¡nát tới Xị, một mặt tới X, x X: và mục đích là rúi ra một quyết dinh la mot thong tin-hén quan chi von X54 lam trừu xuất ÄX: Chúng 1a sẽ thấy xuất hiện một lược đỏ như vậy trong việc nghiên cứu những quan hệ mỡ và trong logic mờ trong các hệ chuyên giá mờ và
trong điều khiến mờ
Luật hợp thành , Cho ba tap tham chiếu X\, Xà và Xị với mọi cap các tập con mờ Ä của X\ x X¿ và B của X› x X¿ la làm tương Ứng một tập con mờ C của X x Ny với hàm thuộc được xác định bởi :
FA, e XỊ VX‡:€ My F((Xi.Xi)= SP mìn (fA(X X.) lZ(Xs, X:)) Trường hợp riêng - Khi xét trường hợp don gian Z = X,, ap dung nguyên lý khuếch cho phép kèt hợp với mọi cặp các tập con mờ Á của Xx, X X va Beua X53 tap con mod C cua X, voi ham thuộc được xác định bởi :
Vx¿,€ X;.fc(XIi)= sup, oy mun (£4(%4.%5), fy(%o)
1.7 Vinh dac thù và tính chính xác của một tập con mờ 1.7.1 Định nghĩa tính dặc thụ và tính chính xác
Tất ca các tấp con mờ khơng tương ứng với cùng một độ khơng hồn hao trong trí thức Tính chất mà chúng được kết hợp cĩ thể ít nhiều mơ hồ hay khơng chính xác, Cho tập tham chiếu X xem như tập các mầu tĩc hay
tập các khoảng cách của những ngĩi nhà tới bãi biển Trong tình huống
Trang 38hương ít rõ nét hơn trong đĩ cĩ án chứa mơi su khong chae chan ta xét
moi lớp chứa hơn mội điềm của X chang han ta tim những người tĩc đồ học hay nâu hay những neưi nhà cách bãi biên dưới 100 m Thong tin ma ta xu ly khi dé it doe thu hon vì chúng 1a chỉ định vị áng chừng các điểm cua X ma ta quan tâm Lớp của X khi đĩ là một tập con thịng thường của X Tuy nhiên sự định vị đĩ cĩ thẻ khơng chỉ ít đạc thù, mà cịn khơng chính xác và khi đĩ lớp được nhận biết với các đường biên khơng cứng nhạc : đĩ là trường nop Khi ta nghiện cứu những mau toc “gan Với vàng hoe hav đỏ hoe `, hay những ngơi nhà “gần” với bãi biển Khi đĩ lớp được nghiên cứu là một tập con mị của ÄX đ nhiều đặc thù ít nhiều chính xác
Mot cach trực quan mội tap con md A EF(X) cd tinh dac thao hơn
Be€ F(X)- nêu hạt nhân cua Á tkhác rồng) thực sự được bao hàm trong hạt shan cua Bova aia cua ¿\ được bao hàm (theo nghĩa rong) trong giá của Í Những tập con mờ đạc thu nhat là những tập con mơi phần tử {x} cua X, sao cha (X1 E Và Ê (X) = Ơ với mọc v # X MỘC tập con ma A € FOX) là chính xác hơn một tập con mờ B e E(ÄX) cĩ cùng hạt nhân với À nếu end cua A ihuc su duoc hao ham trong gia ca Bo Tap con mỡ chính xác nhat hién két var A 1a tap con théng thudng ker(A) cua X
Viec danh gia do dac thu hay chinh xae cua mot tap cịn mỡ cho trước lì hữu ích để cĩ thể chọn, trong so nhiều tập con mồ, tập con mờ ít mơ nhất khi tà tìm cách xác định một đặc trưng rõ nét nhất cĩ thê (chẳng han cho việc ra một quyết định) hay ngược lạt khí chọn một tâp it tinh đác thù nhất khi tà muốn piữ nguyên càng nhiều càng tốt tính mềm deo Irone một mơ tí (cho việc gộp nhấp các thơng tin khác nhau trên cùnp một thuộc tỉnh chàng hạn) Nhiều đái lượng tốn học đã được đưa vào cho mục đích này Các độ đo tính khơng chính xác đĩ được định nghĩa trên fap FCN) cae tap con mo cua tap tham chiêu X và lây gid ini trong tap so thuc Trong phan ti¢p sau, chung ta sé chi ra moat $6 dd do chính
1.7.2 Bo mo
Ho đâu tiên các đĩ dv Khơng chính xác bao gốm các đo mờ, đánh giá sự thuộc và khơng thuộc vào một tập con mờ ͈ của X khác nhau tới mức Đào, Và cĩ gia trị càng bé chứng nào càng ít Khác biệt vớt ruột tận con thĩng thường của X Những độ mờ là đơn điệu theo một quan hệ thứ tự ny phan tren FŒX) được xác định như sau :
Trang 39{, (X) Š l,(X) với mọi X sao cho f,(x) < 0.5 (, (x)> f,(x) với mọi x sao cho f(x)ì> 0.5
Định nghĩ 7.2: Một đĩ mờ d Tà một đại tượng được xác định trên F(X), lay gaa tri trong tap các số thực mà với mọi | e F(X) với hàm thuộc Í, làm tương ứng d(*) sao cho :
d(F) =O néu va chi néu tf, chỉ lấy các piá trị 0 hay †,
đ(ƑƑ) là cực đại nêu và chí nếu f{ chỉ lấv ø¡á trị 0.5 (mờ đều) đ(Í `) < đ( 1ˆ) neu và chỉ nếu E` sĩ F,
Đồ mờ đâu tiên được đề xuất [Ðe Luca Temmim 72] cĩ sự tương tự với khái niệm entropi của Shannon là đỏ khơng chác chân vĩ dang sau :
dị() = -d UX) dogs fx) + TS f@) lop› (L - f(X))| Một thí dụ khác vẻ đọ mờ [Kaufmann 73] được xác dính từ khoang cach gifa F va tap con khong mo gan nhất của X, cĩ nghia 0.5—nhat cat chat *"* cua n6 DO mv nay co thé được x4y dung bang cach su dung mot hhoang cach Hamming hay mot khoang cach Euclit :
d(FyY= > x ltqx)— / GÌ
hay d(Fy= Ly Od 00/72
Thí dụ !.7.1: Quan hé thu tu <, duoe chi r6 wén hinh J.7a Dé kiểm nghiem rang khi day X la tap các khoảng cách như đã nĩi ở trước har tap con mo F sao cho Prop(F) = “khoảng 300 m” và F` sao cho Prop(F`) = "khoang giữa 250 và 300 m ` được sắp thứ tự bởi F` <4 F và như vậy moi độ mờ d thoả đ(T`) < d(f), là điều cĩ thể được kiểm neliệm để đàng chăng hạn đối với các độ mờ đ; và dạ, khi xét 0.Š~nktiát cát chặt |250 350[ cua chung (đồng nhất đối với E và F”) ma tạ nhận xét thấy nĩ sân F` hơn là E Để kết luận E` gản hơn với dính nghĩa của một tập con thơng thường của X so với F, và do đĩ đọ mờ của nĩ là vếu
Thĩ dụ Ƒ 7.3 XéI tập hợp các nước X = {Ð.B.T.P A IỊ, ta cĩ thể xét các lập con mờ C = @.8/) + 0.6/B + 0.4/T + 0.2/P + D/A + O/T va C= 1/D + 0,7/B + 0,3/T + O/P + O/A + O/L thoa C’ <, C va vi vay d(C) < d(C) vat moi dé mo d Mét cach true guan, C’ biểu điển một
Trang 40cách chọn rõ nét hơn trong sự ưu tiên một số nước so với C Dễ kiểm nghiệm bàng cách tính d¡(C) = 2.46 đ,(C”) = 0,32, d;(C) = 1.2, đ;(C))= 0.6, d3(C) = 0.63, d(C) = 0.42 l.Í; 4 rsh Prop(F) = "khoang 300m” Prop(F’) = "gân như giữa | a 250 va 300m” 2 = Fl =]250,35( t5 i F ]2 0| 0200 250 300 350400 khoảng cách Por
Lf — Prop(F)=”eần như giữa 250 và 350m `
seer Prop(F”)="gần như giữa 200 và 400m” | I,„= [200,400] F`¿ = [150.450] 0.5 G9 Ĩ@ 1 Xítr 0U 335/71 354) 1/11 -ÐẤU khoảng cách /ình 7.7 Các quan hẹ thứ tự bộ phân trên F(X) 1.7.3 Độ đo tính đặc thù
Trái với các đị mỡ nĩi trên, một độ đo về tính đặc thù định siá tính chát quan sát được Prop(F) gần với việc xác định một phản tử duy nhât của X xem như giá trị của một biến V xác định bên X tới mức độ nào cĩ nghĩa tập con mờ F là đặc tha va gan với tán một phản tử {x] tới mức đệ nào Các độ đo tính đặc thù la đơn điêu đối với quan hệ thứ tự bộ phận trên EF(X) được xác định bơi phép bao hàm
Dinh nghia Ì 73, Mội độ do tình đặc thì là một đại lượng Šp xác dink wen FOX) ca aia trị trong [Ơ,}| sao cho :