Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ THU THẢO MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CÁC GIÁ TRỊ CHUNG CỦA CÁC HÀM NGUYÊN VÀ CÁC ĐA THỨC VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ THU THẢO MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CÁC GIÁ TRỊ CHUNG CỦA CÁC HÀM NGUYÊN VÀ CÁC ĐA THỨC VI PHÂN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TSKH TẠ THỊ HOÀI AN Thái Nguyên, năm 2021 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 05 năm 2021 Tác giả Đặng Thị Thu Thảo ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn hỗ trợ tận tình PGS TSKH Tạ Thị Hồi An Em xin gửi đến kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tận tâm cô thân suốt thời gian làm luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết em mong nhận quan tâm, góp ý quý thầy cô bạn để luận văn em hoàn thiện Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ hỗ trợ em suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 05 năm 2021 Tác giả Đặng Thị Thu Thảo iii Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Mở đầu Chương Kiến thức 1.1 Một số hàm lý thuyết Nevanlinna 1.2 Tính chất hàm Nevanlinna 1.3 Định lý thứ 11 1.4 Định lý thứ hai 12 Chương Cấp hàm phân hình 19 2.1 Định nghĩa 19 2.2 Một số tính chất cấp hàm phân hình 20 Chương Các hàm nguyên có chung giá trị 24 3.1 Hàm nguyên đa thức vi phân tuyến tính có chung giá trị 24 3.2 Một số hệ 36 3.3 Hàm nguyên đạo hàm chung giá trị 37 Kết luận 43 iv Tài liệu tham khảo 44 v Mở đầu Việc nghiên cứu tính hàm nguyên hàm phân hình hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức thu hút nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Trong năm gần đây, kết công cụ lý thuyết Nevanlinna áp dụng rộng rãi vào giải vấn đề Theo hướng nghiên cứu này, toán phân bố hàm phân hình f thơng qua giá trị chung đạo hàm f (k) đưa Hayman, sau phát triển số nhà tốn học khác Ví dụ Rubel Yang [11] chứng minh hàm nguyên f có chung hai số phức phân biệt hữu hạn tính số bội với f f ≡ f , Gundersen [5], Jank, Mues Volkmann [8] Yang [14] nghiên cứu cho trường hợp tổng quát Năm 1996, Bră uck [3] a gi thuyt nh sau: Giả thuyết Cho f hàm nguyên khác Giả sử σ2 (f ) = lim sup r→+∞ log log T (r, f ) log r số nguyên dương vô hạn Nếu f f chung giá trị a hữu hạn tính bội, f0 − a =c f −a với số c khác không Giả thuyết chứng minh trường hợp sau: (i) f có cấp hữu hạn, xem [6]; (ii) a =0, xem  [3]; (iii) N r, = S(r, f ), xem [3] f Tuy nhiên, Gundersen Yang [6] giả thuyết khơng cịn hàm phân hình thơng thường Trong đó, giảthuyết  trường hợp hàm phân hình thỏa mãn điều kiện N r, = S(r, f ) f Trong luận văn này, chúng tơi đưa số kết tính hàm nguyên tổ hợp tuyến tính đạo hàm L[f ] hàm thông qua ảnh ngược hai hàm nguyên đủ nhỏ Từ phát triển thêm mở rộng ca gi thuyt Bră uck Lun c vit da báo [2] Bố cục luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn trình bày chương Chương 1: Kiến thức bản: trình bày tổng quan hệ thống số khái niệm kết lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna để phục vụ cho nghiên cứu chương sau Chương 2: Cấp hàm phân hình: trình bày khái niệm cấp hàm phân hình tính chất liên quan Chương 3: Các hàm nguyên có chung giá trị: nội dung luận văn Trong chương đưa số kết hàm nguyên đa thức vi phân tuyến tính có chung giá trị, hàm ngun đạo hàm có chung giá trị Chương Kiến thức Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm lý thuyết Nevanlinna 1.1 Một số hàm lý thuyết Nevanlinna Định nghĩa 1.1.1 Hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) xác định miền G gọi chỉnh hình điểm z0 tồn số r > cho D(z0 , r) ⊂ G hàm u(x, y), v(x, y) khả vi thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann D(z0 , r) Hàm f (z) gọi chỉnh hình G f chỉnh hình điểm z ∈ G Định nghĩa 1.1.2 Điểm a ∈ C gọi điểm bất thường cô lập hàm f (z) hàm f (z) chỉnh hình lân cận a, trừ điểm Định nghĩa 1.1.3 Điểm bất thường cô lập z = a hàm f (z) gọi a) Điểm bất thường khử tồn giới hạn hữu hạn f (z) z dần đến a b) Cực điểm f (z) lim f (z) = ∞ z→a c) Điểm bất thường cốt yếu không tồn lim f (z) z→a Định nghĩa 1.1.4 Hàm f (z) chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C gọi hàm nguyên Nhận xét 1.1.5 Hàm nguyên hàm khơng có điểm bất thường hữu hạn Định nghĩa 1.1.6 Hàm nguyên f (z) gọi hàm siêu việt ∞ điểm bất thường cốt yếu hàm f (z) Định nghĩa 1.1.7 Hàm f (z) gọi hàm phân hình miền D ⊂ C hàm chỉnh hình D, trừ số điểm bất thường cực điểm Nếu D = C ta nói f (z) phân hình C, hay đơn giản f (z) hàm phân hình Nhận xét 1.1.8 Nếu f (z) hàm phân hình D lân cận điểm z ∈ D, f (Z) biểu diễn dạng thương hai hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.9 Giả sử f hàm phân hình U Khi đó, với a ∈ U ta viết f (z) = (z − a)m g(z), m ∈ Z, g(z) hàm chỉnh hình U g(a) 6= • Nếu m > ta nói a khơng điểm bậc m f • Nếu m < ta nói a cực điểm bậc m f Định lý 1.1.10 (Công thức Poisson - Jensen, xem [9]) Giả sử f (z) hàm phân hình hình trịn {|z| ≤ R}, < R < ∞, có khơng điểm aµ (µ = 1, 2, , M ), cực điểm aν (ν = 1, 2, , N ) hình trịn (mỗi khơng điểm cực điểm tính số lần bội nó) Khi đó, r = reiϕ (0 ≤ r < R), f (z) 6= 0, ∞ Định nghĩa 1.1.17 Hàm T (r, 1 ) = m(r, ) + N (r, ) f −a f −a f −a T (r, 1/(f − a)) hàm đặc trưng f (z) giá trị a 1.2 Tính chất hàm Nevanlinna Mệnh đề 1.2.1 Giả sử hàm fk (z) phân hình mặt phẳng phức C Khi ta có m r, k=1 l Y m r, N N T T r, r, r, r, ! l X k=1 l X k=1 l Y k=1 l X ! ≤ fk (z) k=1 l X k=1 l Y ≤ fk (z) ! ≤ fk (z) ! fk (z) ≤ ! fk (z) ≤ ! fk (z) ≤ k=1 l X m(r, fk ) + log l m(r, fk ) k=1 l X k=1 l X k=1 l X k=1 l X N (r, fk ) N (r, fk ) T (r, fk ) + log l T (r, fk ) k=1 Chứng minh Ta có l   X + + log fk (reiϕ ) ≤ log max fk (reiϕ 1≤k≤l k=1