Đs9 cđ5 tìm nhân tử của pt vô tỉ 2

Bài 5: Nghiệm hữu tỷ kép f  x  0   x  x0  q  x  0 Dạng tổng quát: nghiệm hữu tỷ: Bài 1: Giải phương trình sau  x  x   x  3x  x  12 Lời giải Phân tích: Phương trình có nghiệm x có phải nghiệm kép khơng? Bấm máy tính tìm x 2 Khi x 2   x  x  3 + Tìm biểu thức liên hợp  x2  5x    Cách 1: Thay tiếp x 2 vào  x2  5x   x2  5x    x 1   x  5x    x 1 Ta liên hợp tiếp    x     x  1  x2  5x    x    x 1  x2  5x   3 1   2x2  5x    x  5x    Suy   x  x 1 1  x      2   2x  5x    Cách 2: Lớp 12 (đạo hàm)   x  x   ax  b   d  x  x  x 2 a  Đặt  dx   Giải: Điều kiện 3 2a  b  a  0,5   a  0,5 b 4  x  x  0   x  1   x   0    x   x     x  5x        x  3x     Phương trình    x  x     x  8  x  3x       x  36 x  36  x2  x     x  8   x  x     x  16 x  64   x  x     x  8  x    x    x  1  x    x  x        0  x 2   x    x 1    x2  5x     x                  x 0   Vậy x 2 Bài 2: Giải phương trình sau x  x   x 0 Lời giải d x  x   x x 1 0 Kiểm tra dx (dự đoán x 1 nghiệm)   Vậy x 1 nghiệm kép Ta tìm biểu thức liên hợp  x ax  b   d x x   a   dx   Đặt  a    a b    1   b  x  x  1  x   x  1 Giải: Cách 1: Điều kiện x 0  x  x    x  1  x 0   x  1  Phương trình x  x 1  x 0  x 1  x       x  1    0  x 1 x  x          0   (thỏa mãn) Cách 2: Phân tích thành tổng không âm    x  x   x   x 0   x  1  Phương trình   x  0 x  0    x 1  x  0  Cách 3: Dùng AM  GM Ta có: Lại có ab  a b Dấu “=” xảy  a b   x   x    x  x   x  x    x  x  x   x   x  1 0 VP Vậy phương trình có nghiệm x 1 Bài 3: Giải phương trình sau x  x   x  0 Lời giải Điều kiện x Cách 1: Liên hợp Nhân liên hợp x   x  1  x   2 x  0   x  1    0  x  2x    Cách 2: Phân tích thành tổng bình phương x   x  1  x   2 x  0   x  1    2 x   0 Bài 4: Giải phương trình sau x   x   x  Lời giải Tư duy: Nhẩm nghiệm x 1  x      x    x  1  3 x  1   x    Phương trình   0   Sau nhẩm phương trình dấu ngoặc có nghiệm x 1 Giải: Ta có x  x   x  x   x  3x  0  x2   x  1     x  x  x  x 3x   3x  2      0    x 1 Bài 5: 3x  x 1 4  x x2 x 1 Giải phương trình sau Lời giải Sử dụng máy tính, tìm nghiệm kép x 1 Cách 1: Liên hợp Phân tích, ta tìm lượng liên hợp x2  x 1  3x  x 1 1 2  6    x  1   x x  x 1 x2  x 1 x 1  x  x   x x 1  x  Ta có    Cách 2: Sử dụng AM  GM 3x  x 1  6 2 x x  x  Phương trình x  x  Đánh giá x  3x   6  x  x  2 x  x     x  x 1 x  x 1 2 3  x  1 0  x 1   x  Bài 6: Giải phương trình sau 3x x 4  x x  3x  Lời giải Nhận thấy phương trình có nghiệm kép x 2 , ta tìm liên hợp 3x x  3x 4    x  x x  3x    6     x   0 x  3x    3   x  2    x x2 x  x  3x  x  3x   x        0      0    Bài 6: Liên hợp theo nghiệm vô tỷ Bài 1: Giải phương trình sau x  x   x   x  x  Lời giải Phân tích: Dùng máy tính bấm nghiệm Máy tính bấm x 3,8   A x  x  3 shift to Giải: Ta có x  x   x  1   0, x Ta có phương trình x  x   x   x  x   x  x    x    x    x  x  0 x  2x    x  x   x    x2 1 x  2x    x2  2x   Ta có  2   1   x2  2x    1  2 x 1 2 x2  x   x    x 1 x2  x  x    2  x  x   x  1 (vô nghiệm) Vậy x 1 2 Bài 2: Giải phương trình sau x  x  x 2 x  Lời giải Phân tích: Dùng máy tính tính x  0, 618033 Dùng máy tính thay vào x  x   0, 618033 x Giải: Xét với x 0 Phương trình x  x  x 2 x   x  x     x  x  x  x 0  x  x  x3   x  x  1  x  x 2   x 0  x  x  x 2      x    x  x  1    0 2 2   x  x    x  x  x  x                 0   1  x  x  0  x  (thỏa mãn) Với x 0 thay vào phương trình khơng thỏa mãn 1 x Vậy Bài 3: Giải phương trình sau x  x  x   x   x 1 Lời giải Bấm máy tính nghiệm x 1,866  A Ta tính x  3, 732 2 x; x  x  2,56867; x  2,56867 Giải: Điều kiện Phương trình     x  8x   Nhận xét: Với x   Phương trình x x2  5x    x  0 2 x  8x     x  x   x   x2  8x 1 x  8x   0 2x  8x  x  x   3x    1  x  x  1   0 x  5x   3x    2x  8x  (*) 1  0 x  2 x  x  x  x   x  Với *  x  x  0  x 2  17 Vậy   Bài 4: Giải phương trình sau x  x   x  1 x   x  Lời giải Do tốn có nghiệm x 4, 236 nên ta thay nghiệm vừa tìm vào thức ta có:  x  6, 236  x    x  5, 236  x  Do liên hợp với thức tốn là:  x2 8x    x 1  6x   Giải: Điều kiện x Phương trình 1 x  x   x  1 x   x   x  x    x  1 x        x  1 x   x   x     x  1  x  2 x   0   x  1  8x  x   8x   x 1  x  0  6x  x 1  x  x2  4x  x2  x   0 x   x  x 1  x  x 1     x  x  1    0  *  x   8x  x 1  x   Với x x 1 1  0 ta có x   x  x   x  *  x  x  0  x 2  Do   (thỏa mãn) Vậy phương trình có tập nghiệm  S  2  Bài 5: Giải phương trình sau x  x    x  x Lời giải Do tốn có nghiệm x 2,618 nên ta thay nghiệm vào thức ta có:  x 1, 618  x     x 0, 618  x  Do liên hợp với thức toán là: Điều kiện  x  x  0   x 3  0  x 3  x 2 3 x   x   x  0 Phương trình  x x 2     x  3x 1  x    x  2  3x 1   3 x x 2 3 x  x  1   x x  1 x Với  x 3 , ta có Do  *  x 0 0  x  3x   1    x  1     0 x    x x  1 x   1   x  x  1 x  3x 1 x  3x 1  0 x    x x  1 x  * 1  0 x    x x  1 x x  3x  0  x  3 3 x 2 kết hợp với điều kiện suy    S      Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 6: Giải phương trình sau x  x   x  1 x  Lời giải Do tốn có nghiệm x 0, 4142 nên ta thay nghiệm vừa tìm vào thức ta có x  0, 4142  x Do liên hợp với thức toán  x x 1  Giải: Điều kiện 1  x     x  1  x  3x   0  Phương trình   x 1    x 3          x   x 1   x  1 x  x   x  x  x  0  TH1:  x 0 x   x    x 1  2 x   x Vậy phương trình có tập nghiệm  S  2 3;1   Bài 7: Giải phương trình sau x 3x    x Lời giải Điều kiện: x 1 x 1  x   (thỏa mãn)  x    x  1  0  Phương trình   x  x  1   x 0   x  x  1  x2   x 0 x  1 x  x  x  0      x  x  1   1  0   x  1 x  x  1 x     x  x  3x  0    x  Từ đề suy  x 1 Do điều kiện phương trình có nghiệm x    1 x x  x  0     1 x   TM   L 1  x  1  2  x   x    x  x     TM   x 2   1  x   x     2  Vậy x  1 2 ; x 2 Bài 8: Giải phương trình sau x  x   x   x  x  Lời giải Ta tìm hai nghiệm xác định nhân tử x  x  x  x    x     x   x  x  0   x  2x    x  2   x  x  0   x  x       2    x  1  0 x2  2x      x  1  x 1    x 1  2 Ta giải thích theo cách khác lại tìm đại lượng x  x  sau: Do x  khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x  ta được: x2  x  x  2x   x2 Giả sử ta cần thêm vào hai vế phương trình lượng Ax  B , ta có: x  x    Ax  B   1 A  x  2 x2  x    Ax  B  x2    AB  x   B x  x    Ax  B     A x2    A  B  x   B x2  A2   AB  B    Khi đó, ta cần chọn A, B cho  A A  B  B  Từ ta có A 0; B 3 x2  x    ax  b   x  x    ax  b  Cách 2: x  Sau liên hợp hệ số tỉ lệ ta tìm a 0; b 3 Bài 9: Giải phương trình sau x3  x  x    x   x  0 Lời giải Điều kiện x  Phân tích: Sử dụng casio x3  x  x    x   x  0 Phương trình có biểu thức liên hợp có nghiệm A 3, 20277563 , thay A vào ta x   x 1 Giải: Điều kiện x  x3  x  x    x   x  0 Cách 1: Bình phương hai vế ta có:   x3  x  x    x    x  2   x  3x  1  x  x  3x  x   0  x  3x  0 2 x 2   27  x  x  x  x   x      x      9   Cách 2: Phân tích thành nhân tử Ta dùng liên hợp đánh giá bình thường, cách kĩ thuật liên hợp ngược Ta có: x3  x  x    x   x  0  x  x  x    x    x  1   x    x    x  1  0  x  x  x    x    x    x  1  0 10   x4   x  3x  1  x    0   x   x      Vì   x  x    x  1 x   Nên  *  x  1 x  x  0  x  (*)  x 2 2 3  13 Bài 7: Liên hợp theo hai nghiệm vô tỷ Bài 1: Giải phương trình sau x  x  x  x   x x  0 Lời giải Phân tích: Sử dụng casio ta tìm nghiệm kép x 2, 414213181 Thay vào thức ta có x  2, 414213181  x  x Từ ta ghép  Giải: Điều kiện x x 1 x tìm nhân tử   x  1 2 1 Cách 1: Liên hợp  x 0 x  x 1 0    x 1  x  x    Xét thay vào phương trình khơng thỏa mãn Nếu x  x  0 x  x x    x  1  x  x  x  x  0   x  2 x   x  x   x  x  x 0 11  x  x  1 x x 1     x  x  1 0   x  x  1    x  x  2 2     1 0    x 1   TM   x  x  0    x 1   L  KL: Vậy phương trình có nghiệm x 1  Cách 2: Phân tích thành tổng khơng âm x  x  3x  x   x x  0  x  x3  x  x   x  x x    x 1 0 2  x  x  0 x  0    x 1  x  x        x  x  1  x  Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức 2 Theo phân tích casio ta có x  x  nên áp dụng BĐT 2ab a  b Ta có x x 1  x  x 1 Do  x  x  x  x   x x   x  x3  x  x    x  x  1  x  x  1 0  x  x  0  x 1   x  x    Dấu “=” xảy  Bài 1: Giải phương trình sau 2 x  x   x x    x  1 x  0 Lời giải Phân tích: Sử dụng casio ta tìm nghiệm kép x 2, 4142  x  2, 4142  x  Thay vào thức ta có  x  3, 4142  x   x Từ ta ghép Giải: Điều kiện x x 1   x 1  2x 1  x nhân tử  1 Cách 1: Phân tích thành tổng bình phương khơng âm Ta có x  x   x x    x  1 x  0 12  x  1    x 2 x     x  1   x  x  0 x   0    x 1   x  1  x  0 Cách 2: Sử dụng đánh giá 2 x  1  x  Theo phân tích casio ta có x  x   nên áp dụng BĐT 2ab a  b , ta có: x x   x  x  1;  x  1 x   x  1  x  2 Khi 2 x  x   x x 1   x  1 x  2 x  x    x  x  1   x  1  x  2 2  x  1 0  x  x   x 1   x   x   Dấu “=” xảy  Bài 1: Giải phương trình sau x  3x    x Lời giải Dùng máy tính bỏ túi thu nghiệm x1  0, 618  A; x2 1, 618  B Từ ta thấy x1  x2 1; x1 x2  nên nghĩ đến nhân tử chung x  x   3x   ax  b  0 Xét cho phương trình có nghiệm x1 , x2 ta thu được: ax  b   3x a   1  Aa  b   A     b 2 ax2  b   3x12  Ba  b   3B x Giải: Điều kiện Ta có Vì x  3x 1   3x  x3  x    3x    x  x  2 x 0  1   x  1  3x   x   x  1  x  1  Khi   x  x  1    0   x  x  1  x   2   3x    x   x    x     x  x  0   x 1  0   x   x    13  1 x x  x  0    1 x  Xét x 1  Xét (thỏa mãn) 0   x  1   x    x    0    3x    x    x  1  x  x  x  0   x  1  x  x  x  12 0 2   x  1   x  1  x   3x  0   x    x   0   Phương trình vơ nghiệm 1 x Vậy phương trình cho có hai nghiệm Bài 1: Giải phương trình sau x  x   x  Lời giải Phân tích: Nếu phương trình dạng thức có nghiệm vơ tỷ khó lấy tổng tích xấp xỉ đẹp Ta tiến hàng bình phương hai vế được: x  x  x  x  0 Đến sử dụng máy tính CASIO ta tìm ngheimẹ vơ tỉ có giá trị xấp xỉ: x1 2, 4142; x2  0, 4142; x3 3, 7320; x4 0, 2679  x  x 2    x1 x2  , phương trình có nhân tử x  x   x3  x4 4   x x  Và  , ta có phương trình nhân tử x  x  Ta tìm nhị thức liên hợp theo hai nhân tử Xác định hệ số a, b cho x  ax  b ax1  b  ax1   a  2; b 1  ax  b  ax   2 Giải hệ  Giải: Điều kiện Ta có x 5 x  x   x    x  x  1  x     x  14  2x  1   x   x  0  4x  2x  1 4x   4x   2x   x   x  2   x   x  0  + TH1: 2x  1 + TH2:  x  x   x 1    x 1  2 4 x  x  0   x 2 x  2  x   x     x 2   x  3 4 x   Vậy phương trình có hai nghiệm x 1  2; x 2  Bài 1: x  x   x  1 x  Giải phương trình sau Lời giải Phân tích: Sử dụng CASIO ta tìm ba nghiệm vơ tỷ xấp xỉ bằng: x1  0, 4641; x2 6, 4641; x3  0, 4142  x  x 6    x1 x2  Do phương trình có nhân tử x  x  0 Ta xác định hế số a, b cho x    ax  b  có hai nghiệm x1 , x2  x1    ax1  b  0 1    a ;b 2  x2    ax2  b  0 Giải: Điều kiện Ta có x 1 x  3x   x  1 x   x  x  2  x  1 x     x  x   x  1 2 x    x  1   x  1  x  1  6x  x2   x  x  3  x  1 2 x    x  1   x  x    x  1 2x 1  x 1    x  x  3  x  1   6x  x2 x     x  x  3    0 2 x 1  x 1  2 x 1  x 1   x  x  0  x 1  0  2 x   x  15 + TH1: x  x  0  x 3 2 (thỏa mãn) + TH2: 1 x 0  2 x   x   x   x  0 2 x 1  x 1 (thỏa mãn)  x 0  2 x   x    x 1   x 2 x  (thỏa mãn) Vậy phương trình có ba nghiệm x 3 2 3; x 1  Bài 1: Giải phương trình sau x  x  x   x   x  Lời giải Phân tích: Nếu để phương trình dạng thức phương trình có gnhiệm, từ nghiệm khó tìm nhị thức liên hợp Ta tiến hành bình phương hai vế được: x  x5  x4  x3  x  22 x  0 Đến sử dụng máy tính CASIO ta tìm hai nghệm vơ tỷ có giá trị xấy xỉ x1 3,30277; x2  0,30277  x  x 3    x1 x2  Do phương trình có nhân tử x  3x  Ta xác định hệ số a, b cho x    ax  b  có hai nghiệm x1 ; x2 ax1  b  x1     a 1; b  ax2  b  x2  Giải: Điều kiện x  Ta có x3  x  x   x   x   x3  x  x   x    x    x  1    x    x  1  x3  x  x    x    x    x  1  0   x  1  x  x  1   x    3x  x 0 x2 x (*) x3  x  x  0   x    x  x  1  0 x  Vì từ phương trình ta suy  x 2 Do x4  x   x    x  x  x 1 x2  x  *  x  x  0  x   13  x  2 16 Bài 1: Giải phương trình sau  x   5 x3  Lời giải Phân tích: Sử dụng máy tính CASIO ta tìm hai nghiệm vơ tỉ có giá trị xấp xỉ x1  0,54138; x2 5,54138  x  x 5    x1 x2  Do phương trình có nhân tử x  x  x3    ax  b  Ta xác định hệ số a, b cho có hai nghiệm x1 , x2  x3    ax  b  0     a 2; b 2 x   ax  b     Giải: Điều kiện x  Vì x  khơng phải nghiệm phương trình nên x   Ta có:  x   5 x3 1   x  x   5   x    x     x  x   5 x3  x2  x  x3   x   x   0   x 1 2 0  *  x3   x  Xét phương trình (*) ta có: x 1 x3   x   x2  x 1 2 x 1  x 2 2 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm x 2 2 x 1  2 Từ suy  32 x 1 x 1  x  2   2 0,135  Suy phương trình (*) vơ nghiệm Do phương trình  1  x  x  0  x   37 17 x 1 x 1 ta được:   37  S      Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 8: Liên hợp đưa hệ tam Bài 1: 2 Giải phương trình sau x  x   x  x  x  Lời giải Ta có VT   x    x2  x   x2  x 1 Nhân với biểu thức liên hợp với 2x2  x   Kết phương hợp với x  x  ta trình 2x2  x    x  x   x  x  2  2 x  x   x   x 0; x    x  x   x  x  x  Bài 2: 2 Giải phương trình sau x  x  10 x  x  12 x  20 Lời giải 18 cho x  x  2 ta có Điều kiện  x  x  10 0   x  10 x  20 0 Bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình nhận x 1 làm nghiệm nên ta đưa phương trình dạng phương trình tích xuất nhân tử x  Ta viết lại sau: x  x  10 x  x  12 x  20   x  x 10   x  1    x  12 x  20   x        Để ý hai phương trình x  x  10   x  1 0 x  12 x  20   x   vô nghiệm Nên nhân liên hợp hai vế (*) ta có:  18  x  1 x  x  10  x   16  x  1  x  12 x  20  x   x 1    2  x  x  10  x  x  12 x  20  x   ** x  x  10  x  12 x  20  x  10 **  Phương trình   Đến ta có hướng giải quyết: 8 x  x  10  x  12 x  20  x  10  x  x  10  x  12 x  20  x Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ sau   15  5 x   x  x  10 4 x     x  x  15 x  25 0  15  5 x 1; x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm Bài 3: Giải phương trình sau x  24  12  x 6 Lời giải x x  24  12  x 6  Ta có  x 3   12  x   x  24   x  24    3 x  24   3 x  24  0  * 19 x 3 0 12  x   * * Thay  x  24  12  x vào   ta có  x  24    x  24  0  x  24; x  88 Thử lại ta thấy hai nghiệm đèu thỏa mãn phương trình Vậy nghiệm phương trình x  24; x  88 Bài 9: Liên hợp ngược Bài 1: Giải phương trình sau x  x 1  x x 1 0 Lời giải Phân tích: Sử dụng CASIO ta thu nghiệm x  0,390388203 Thay giá trị x  0,390388203 vào thức ta Với nghiệm vô tỷ ta nhận nhân tử  2x  x   x x 1   x     x 0  2 x  x  1 x 0    Giải: Điều kiện Ta có   x  x   3x x  0   x  x   x x  x  0 20