Một số phương pháp giải pt vô tỉ Phương trình(pt) chứa nội dung quan trọng chương trình bồi dưỡng HSG toán bậc THCS THPT,thường xuyên xuất đề thi chọn HSG,thi vào lớp 10 chuyên kể thi đại học Các phương pháp để giải phương trình(gpt) vô tỉ đa dạng phng phú,đòi hỏi học sinh phải tư thông minh,linh hoạt,khéo léo việc vận dụng ,kết hợp phương pháp giải I/Phương pháp biến đổi tương đương Chúng ta xét ví dụ đơn giản sau: Ví dụ 1: Gpt: Lời giải: Pt cho tương đương: Giả sử vế pt dấu,bình phương rút gọn được: Thử lại thấy thỏa mãn.Vậy pt có nghiệm Rõ ràng,biến đổi tương đương phương pháp đơn giản đẻ gpt vô tỉ.Nhưng bình phương vế,ta cần ý tới điều kiện dấu vế pt.Để cho chắn,sau kết quả,chúng ta nên thử lại loại bỏ nghiệm không thỏa mãn Chúng ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ 2: Gpt: Lời giải:ĐKXD Nếu gpt cách bình phương vế lời giải dài dòng không phù hợp với mỹ quan toán học chút nào.Ta ý có biểu thức nhân liên hợp tích chúng Do đó,pt cho tương đương: Bình phương vế được: => ( Vậy pt có nghiệm với ) II/Dùng đẳng thức để gpt vô tỉ 1)Pt dạng Ví dụ 3: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt cho tương đương: Ví dụ 4: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt cho tương đương: Việc giải tiếp pt vô tỉ thực không khó khăn Chúng ta sang dạng tiếp theo: 2)Pt dạng Ví dụ 5: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt cho tương đương với 3)Pt dạng Ví dụ 6: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt tương đương: 4)Pt dạng Ví dụ 7:Gpt: Lời giải: Pt cho tương đương: Vậy pt có nghiệm III/Sử dụng định lý Viét để biến đổi pt chứa thành pt tích Ví dụ 8: Gpt: Lời giải:Đặt ta có: Chú ý nên đặt Ví dụ 9:Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt cho tương đương: Đặt Đặt thu được: Qua ví dụ trên,ta thấy bước giải phườn pháp là: Bước 1: Viết phương trình dạng bậc 2,đặt ẩn phụ Bước 2: Biến đổi dạng thích hợp kiểm tra dạng Viét IV/Đặt ẩn phụ Khi bình phương vế pt chứa mà ta pt bậc caokhos giải thường nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ.Ẩn phụ thường biểu thức chứa ,làm pt đơn giản đưa pt hệ phương trình theo ẩn phụ 1)Đặt ẩn phụ để làm gọn pt Ví dụ 10:Gpt: Lời giải: ĐKXD Đặt [TEX-1 \leq x \leq 0[/tex].Chia vế cho ta có: hay (loại) => 2)Đặt ẩn phụ đưa pt hpt Ví dụ 11:Gpt: Lời giải: ĐKXD Đặt => Ta thu hệ: Ta dễ dàng giải hệ này! 3)Một số dạng pt đặt ẩn phụ a) Đặt b) ,ta thu pt bậc 2: ta được: Đặt Thu pt bậc 2: => c) Đặt => Thu pt bậc d) Đặt => Thu thu =============== V/Sử dụng BDT để gpt vô tỉ Khi gpt vô tỉ ta ý đến BDT sau: 1)BDT Cauchy(AM-GM) Cho số không âm Khi ta có BDT: Đẳng thức xảy Ví dụ 12:Gpt: Lời giải: ĐKXD Theo BDT AM-GM ta có: Đẳng thức xảy 2)BDT Bunhiacopski(B.C.S) Với số Đẳng thức xảy Ví dụ 13: Gpt: Lời giải: ĐKXD Áp dụng BDT B.C.S ta có: Đẳng thức xảy ta có: (do 3)Áp dụng tính chất nghịch biến hàm để gpt chứa Ví dụ 14:Gpt: đồng biến Lời giải:ĐKXD => Đẳng thức xảy 4)Sử dụng tính chất đơn điệu để gpt chứa Dạng thường gặp là: Giả sử => Ví dụ 15:Gpt: => => Lời giải: ĐKXD Giả sử => => => => => = Các tính chất đơn điệu hàm số sau: * hàm đơn điệu tăng * hàm đơn điệu tăng với *Nếu hàm tăng,suy hàm tăng *Nếu hàm tăng dương suy hàm tăng 5)Các BDT khác: a)Với ta có: Đẳng thức xảy Ví dụ 16:Gpt: Lời giải:ĐKXD Ta có: Đẳng thức xảy b)Với ,ta có BDT: => hàm giảm Ví dụ 17: Gpt: Lời giải: Ta có: Đẳng thức xảy ================== VI/Một số dạng pt chứa đặc biệt Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 18: Gpt: Để gpt có nhiều cách,tuy nhiên có cách đơn giản đưa pt thành hpt cách đặt ẩn phụ Đặt ,ta thu hệ: Giả sử => => Vậy ,ta có: Vậy pt có nghiệm Ví dụ minh họa cho dạng pt sau: Ta đặt => đưa hpt đối xứng: Hay dạng Bằng cách đặt ,ta đưa hệ: Việc giải hpt thật không khó trình độ THCS ============= Cuối cùng,mời bạn làm số tập ứng dụng: Giải pt sau: Dạng I: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ Dạng II: 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ Dạng III 11/ 12/ Dạng IV 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ Dạng V 18/ 19/ 20/ ... đẳng thức để gpt vô tỉ 1 )Pt dạng Ví dụ 3: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt cho tương đương: Ví dụ 4: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt cho tương đương: Việc giải tiếp pt vô tỉ thực không khó... 3)Một số dạng pt đặt ẩn phụ a) Đặt b) ,ta thu pt bậc 2: ta được: Đặt Thu pt bậc 2: => c) Đặt => Thu pt bậc d) Đặt => Thu thu =============== V/Sử dụng BDT để gpt vô tỉ Khi gpt vô tỉ ta ý đến... theo: 2 )Pt dạng Ví dụ 5: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt cho tương đương với 3 )Pt dạng Ví dụ 6: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt tương đương: 4 )Pt dạng Ví dụ 7:Gpt: Lời giải: Pt cho