Đs9 cđ5 tìm nhân tử của pt vô tỉ 1

TÌM NHÂN TỬ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Bài Nâng lũy thừa nghiệm vô tỉ x   x1  x2  x  x1 x2 0 Định lí đảo Viét: Ta có x1 , x2 nghiệm phương trình  x1  x2 S  x  Sx  P 0  x x P Nếu  Bài 1: Giải phương trình sau b) x  x  5 a) x 10 x  x  20 c) x   x  6 Lời giải *) Phân tích: Nhắc lại: Nếu phương trình có nghiệm tìm phương trình f  x  0 có hai nghiệm x x0  f  x   x  x0  h  x  x1 , x2  f  x   x   x1  x2  x  x1 x2  g  x  Bước 1: Tìm nghiệm x1 , x2 phương trình Gán x1 vào A x2 vào B Tính A  B AB kiểm tra có thuộc Q hay không?  A  C   x  x  0  AC  Ta có   x  x  0 x 10 x  x  20   x  x    x  x   0    x  x  0 a) Ta có: b) Điều kiện x   2  x 0  x  Ta có: x  x  5  x  5  x  x  25  10 x  x   x  x  0  x  10 x  x  20 0    x  x  0 c) Điều kiện x 1 Ta có  x   x  6  t   t 5 t  x  0  (quay trở ý b) Bài 2: Giải phương trình sau a) x  x 5 x  x  b) Lời giải  x2    x 2x  x   a) Phân tích: Tìm tổng hai nghiệm x1  x2 x1 x2 Vậy có nhân tử x   x1  x2  x  x1 x2  x  3x  0 Ta có phương trình x  x 5 x  x    x  x  3  x  x  1 0    21 x   1    21 x  x   x     x 2   (vì ) b) Điều kiện x 0 , đặt t  x 0  t   t   2t  3t  3  t  2t  5t  6t  0    21 0 t  2 2   t  3t  3  t  t  1 0  t  3t  0      21  tm  t       21    21 x  x   2   Bài 3: Giải phương trình sau x  x 5 x  x  Lời giải  x1 0,8  A  x  3,8  B Dùng máy tính giải nghiệm  Ta có A  B  3; AB  Do phương trình cho có nhân tử x  3x  0 Từ ta có cách làm sau: x  x 5 x  x   x  x  3x    x  x  3x     x  x   0   x  x  3  x  x  1 0  x  x  0 (vì x  x      21 x     21 x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x   21 2 Bài 4: Giải phương trình sau a) x  22 x  x  77 0 b) x  x  x  x  0 Lời giải  x1  3,83  A  x 1,83  B a) Dùng máy tính tìm nghiệm  2 Ta có A  B  2; AB  Do phương trình có nhân tử chung x 2 x  Ta có phân tích sau:  x  x  0   x  x  11   x  22 x  x  77 0   x  x    x  x  11 0  x1  2   x2 1 2  x1  0, 4142  A  x 2, 4142  B b) Dùng máy tính tìm nghiệm  2 Ta có A  B 2; AB  Do phương trình có nhân tử chung x  x  Ta có x  x3  x  x  0   x  x  1  x  x  1 0  x  x  0    x  x  0  x 1    x 2  Bài 5: Giải phương trình sau x  x   x  Lời giải  2 x  x  0 2 x  x   x   4 x  0  2  x  x  1 4 x   1 Ta có  x  24 x  32 x  x  0  x  x  x  x  0 Ta có    x 2   x  x  0   x  x  1  x  x  1 0     x 1   x  x  0 2 Kết hợp với điều kiện ta x 1  2; x 2  Bài 6: Giải phương trình sau a) x  25 x  16 x  0 b)  x   5 x  Lời giải a) Ta có x  25 x  16 x  0   x  x    x  x   0  x  x  0 (vì x  x   0, x  x b)  37 2  x   5 x 1 Bình phương hai vế phương trình ta  x   25  x  1  x  25 x  16 x  0   x  x    x  x   0   37 x    37 x  2  x  x  0 (vì x  x   0, x )  Bài 7: Giải phương trình sau x  x 1  x  0 Lời giải Điều kiện x 2 Ta có x  3x   x  0  x   x  3x   x    x  x  1  x  x  11x  x  0   x  1  x3  x  x   0   x  1 x  x   0  x 1  x  0    x  x  0  x 2  Thử lại nghiệm ta thấy phương trình có hai nghiệm x 1 x 2  Bài Liên hợp hai biểu thức chứa Ta có: a 3 a b a a b  a, b   a b b a3b b a b  a, b  0, a b  a b a b a  3 ab  b a b a  ab  b  a, b    a, b   Bài 1: Giải phương trình sau x   x  13  x Lời giải Nhận thấy nghiệm phương trình Nhận xét: Điều kiện x    3x  13 2  x   x  x  1 Liên hợp ta có x   x  13 5 x   x     x  13  16  Với   x  x   x   x  13 6 x   x  13   16 6 Với x   VT  VP Với x 1 (thỏa mãn) Vậy x   1; 7 Bài 2: Giải phương trình sau 3x   x 1 2 x  x  Lời giải Điều kiện x 3x   Phương trình Liên hợp ta x  2 x  x   3x   x   x  1  x  3 3x   x  1     x  1  x  3 0   x  3    x  1  0 3x   x 1  3x   x 1   x   TM      x   1  x   x  x  Với Vậy x   x 1  3x   x  (1) vô nghiệm 3x   x    Bài 3: Giải phương trình sau 3x  x 1   x  x  1  x2   x  3x  Lời giải 3x  x 1 0   x  0   x  x  0  Điều kiện  x  3x  0 Nhận xét: x  x   x  2 x  x   x  1  x    x  x  1  x  x  2 x  x  x   x  x   x    x   x   x 3 x  3x  3  x   Phương trình    3x  x 1  3x  5x 1  x2     x  x 1   x  x  1  x  3x    x  x  1  2  x  x  x  1  x   x  x  0 3 x  2 x   x2  3x  0     x    x  x   x  x       0 2 x   x  x    3 x  2   x 0  x 2  x  x    x  x  1 3 x  2 x   x  3x  0 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Bài 4: Giải phương trình sau x 1  a) 3x   x 3 b) 10 x   3x   x   x  Lời giải a) Điều kiện phương trình x 1  3x  x 3   x 1  3x      x 1    3x   0   x  2 x 1      x  2    0 3x     x 1  Vì x 3 x 3  x 1  3x  2  x   x  5  x   3    x x nên  3 x  2 3x   0 (*)  0 x 1  3x   *  x  0  x 2 Do   Vậy phương trình có nghiệm x 2 b) Điều kiện phương trình x 10 x   x   x   x   1     x  3    0 3x   x    10 x   x  10 x   x  3x   x   0 10 x   x  3x   x   * Vì x nên 1  0 10 x   x  3x   x  *  x  0  x 3 Do   Vậy phương trình có nghiệm x 3 Bài 5: Giải phương trình sau x   4 x  x a) b) 2x   x 2 x  Lời giải a) Điều kiện x 0 phương trình  *   x 0  x Vậy phương trình có nghiệm b) Điều kiện x  phương trình Giải x x 2x   x 2  x  3  2x   x  x  0    2  x   x  1 :  * 1  x  x   3x x 0  Do Vì x   3x    x    x  0 x   3x x    x  0  1 2x      x    x  0    x     x  0 x   3x  x   3x   Vì x 1    x 3  TM    x   x 1  x   2  x  3   x  3    0 2x   x  2x   x   1 1 x   x   x   x  x  x     x  x   13  12 x   nên 13  12 x  Do phương trình (2) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x 3 Bài 6: Giải phương trình sau 3x  x   x   3x  5x   x  3x  Lời giải 3x  x  0   x  0  3x  x  0  Điều kiện  x  3x  0  * 2 Phương trình  x  x   x  x   x     3x  x   3x  x 1 3x  x   x  x  2  x 3x  x   x  x    x  3x  x   x  3x  x   x  3x  3 x  2 x   x  3x      x  2    0  * 2 x   x  3x    3x  x   3x  5x  Với điều kiện (*) suy 3x  x   3x  x   x   x  3x  0 *  x  0  x 2 Do   (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 2 Bài 7: Giải phương trình sau  a)  b)   x   x  x  10 3 x 5    x 1   x  x  x Lời giải a) Điều kiện x  phương trình  1  x 5 x   x  x  10 3  x 5  x 2  x  5  x    x   0    x   0     x  x  10 3 x 5  x 2   x     x      x    1   x    1 0  x  1  x  1    x   x   Kết hợp với điều kiện suy x  Vậy phương trình có nghiệm x  b) Điều kiện x   Ta thấy x 0 nghiệm phương trình Nếu x 0 ta có:  x 1 x      x 1   x  x  x  1 x  1 x     x  x  x  1 x  2x  x  1 x  2x   1 x   x 4  x 2 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 2 Bài 8: 2x   2  x  Giải phương trình sau 6x  x2  Lời giải Điều kiện   x 2 2x   2  x  Ta có 6x  x2   3x  0   x   2  x  x  Phương trình  **    3x   2x   2  x   3x   x2   *  **  *  3x  0  x (thỏa mãn)    x    x     x   x   0    x   x    x    x 0  x 2 (thỏa mãn) x  ; x 2 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 9:  Giải phương trình sau   x  x  x  x  2 x x 3  Lời giải Điều kiện x  Phương trình   x2  x x   x 3 x  x  x  x  2 x  x  x  x  2 x x   x 1    x  3  x  1   x x  0  x  10    x3 x   x  0  x   x 1  82 2  x   3  x 6  x  1128 x  6732 0  Vậy x 6 nghiệm phương trình Bài 6: Giải phương trình sau x   x  3x  0 Lời giải Nhận thấy x 1 nghiệm phương trình Điều kiện  x Viết lại phương trình sau:  x    x  x  0     x  1  x  x  1 Giải phương trình  x  1 x  1   x  1  x   0  x 1   0     x  0  *   x    x  0 x  1  * : t 1 t 1 t  x  0  x    0  t  t  3t  0  *  Khi ta có t 1 Đặt  t 1   t  1  t  2t  1 0    t   Vì t 0  t 1 t   Với t 1  x 1 ; với t    x 2  Vậy phương trình có hai nghiệm x 1; x 2  Cách 2: Biến đổi x   x   x  1  x 0 2 Đặt t  x  0  x  t x  t Bài 7: Giải phương trình sau    x  2 x  x  Lời giải x  3 f  x  0 Nhận thấy x 3 nghiệm phương trình Ta đưa phương trình dạng  Điều kiện x 2 15 Ta có    x  2 x  x    x     x  0 0   2 0 x 6 3 x   x 6 3 x   x 3   x   x  4  * :  x   x  0  x  3   x  3  Giải   * x   x  4  x    x     x    x   16 14  11  2  x    x    x   14  x    x 9  x    x    14  x   11  x 3; x  Vậy phương trình có hai nghiệm Bài 8: Giải phương trình sau x   x  x3  Lời giải Điều kiện x  Nhận thấy x 3 nghiệm phương trình, nên ta có biến đổi sau x   x  x3       x  3       x  3  x  3x    1  3 3 x2  x  5    x    x 3 x Chứng minh  1  x2    x   x3   x 3 1 Ta có 1   1  x   x  1  x2 x 3   x  1  (1) 2 x    3  x  1  3 x   x  3  x  1  3 x    1   x  1 Khi từ x  3x  Chứng minh x  5  x4  x   x 3   x2  1   x  3x   x   10 16 1 (đúng x  ) x 3 2 x 3  x  x   x   x 6 x3  x  x   x3   x4  x3  x  x     x  x   x 3 Do x x  3x  1   x  1   2 (đúng) x3    1  x   Vậy phương trình có nghiệm x 3 Bài 9: Giải phương trình sau x  x  20 2 x 10 Lời giải  10 x Điều kiện 2 Ta có x  x  20 2 3x  10  x  x  18 2 3x  10    x  3  x       x  3   x       3x  10  x  10   x  3 3x 10   x     0   x   0  * x  10   x  10   Xét phương trình (*) với x  10 , ta có: 0   x   x  10   x  6     x  3  x    x  10    3x  10   0   x   x  10  x   0   x   x  10  x 0   x  3   x  3x  10   0    x  10   0  PTVN  x  10   x  10    x  3 Vậy phương trình có nghiệm x  Bài 10: Giải phương trình sau x    x 2 x  x  Lời giải Điều kiện  x 4 Ta có x    x 2 x  x      x 2  17   x  2 x  x   x  x  1 1;  x  1 Ta có   x  1 Lại có  x 3 x  x  3  x  1      x 1  x   1 2 x   *  x 1 1    1, x   2;   x 1 1 2   x 1 2 x  5, x   2; 4 Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x 3 Bài 11: Giải phương trình sau x  x   x  x  3x Lời giải Phân tích: Phương trình có nghiệm x 1 Thay x 1 vào ta có x  x  2 2 x; x  x  1  x Giải: Điều kiện x  Ta có x  x   x  x  3x      2x2  x 1  2x  x  x   x 0   x 1  1 x    0  x 1 2 x  x 1  x   x  x 1  x x 1 Vì 2 x  x 1  x  x  x 1  x  0, x  Vậy phương trình có nghiệm x 1 Bài 12: Giải phương trình sau  x 2x  x  x  x2 Lời giải Điều kiện  x 1 Ta có  x 2x  x2     x   x  x  x  x  x x  x2 18  1 x    x    x  x x 0  x2   2x    x  x3 x2 x  x 1   0    x     0 1 x  x  x  2x x  x  2x x   1 x  x   x 2  x2 x2  x 1   0  *   x  x  x  2x x Nhận thấy (*) vô nghiệm với  x 1 Vậy phương trình có nghiệm x Bài 13: Giải phương trình sau x  11x  21 3 x  Lời giải Ta có x  11x  21 3 x     x     x  11x  15  0  x 3    x  3  x   0   x    4x      x  3  3  4x  4  1 : x   Xét phương trình +) Với x   x   , đặt 12  4x  4  4x   0  1 12  x  4  4x   t  x   t    t  2t   12  12 1 t  2t  t  x     t  2t   12  12 1 t  2t  Do (1) vơ nghiệm +) Với x   x   , đặt Do (1) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x 3 Bài 14: Giải phương trình sau x3  x  x   x  1 x  Lời giải Điều kiện x  Ta thấy x không nghiệm phương trình nên ta có: x  x  x   x  1 x3   x3  x  x  x3  x  x   x3    x  x3   x 5x  5x  19  x3  x  x   x3   x 5x  x   x 0  +) Nếu Thay x +) Nếu 3 x (1)  x 0 x  2 x    x  x     x 0  21   x x  x  x        21 vào (1) ta thấy không thỏa mãn 3 21 , tức x   x 0  x  x  0  2 x3  x  x3  x     1  5x   x   x 5 x   3 x3   x Khi Giải   ta được: x 1; x   21  x  x  3x      x  9 x  x   3 Giải   ta được:  x 1   x 4  3  21   S 1;  2;    Vậy phương trình có tập nghiệm *) Chú ý: Khi muốn thêm bớt cách nhân, chia biểu thức ta phải kiểm tra xem biểu thức có khác hay không? Bài 15: x  x   x  x  3x Giải phương trình sau Lời giải Phân tích: Ta thấy  2x  x  1   x  x  1 x  x Ta chia hai vế cho x đặt t x tốn trở nên đơn giản Nghiệm x 1 Giải: Điều kiện x 0 Vì x 0 khơng nghiệm tốn nên ta chia hai vế phương trình cho x 1 1      3  * x x x x 20