Bài giảng Động lực học hệ nhiều vật

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Khoa Cơ khí – Bộ môn Cơ học kỹ thuật ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT Tên giảng viên Lương Bá Trường email truonglb@tlu edu vn ĐT 034 8216767 mailto truonglb@tlu edu vn Nội dung môn h[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Khoa Cơ khí – Bộ môn Cơ học kỹ thuật ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT Tên giảng viên: Lương Bá Trường email: truonglb@tlu.edu.vn ĐT: 034 8216767 Nội dung môn học Trong ngành công nghiệp sản xuất đại, robot đóng vai trị quan trọng thay người thực cơng việc nhanh chóng, hiệu xác - Phương pháp mơ tả tốn động học, động lực học robot cơng nghiệp - Thiết lập phương trình mơ tả chuyển động robot LBT Nội dung mơn học Nội dung chính: Chương Một số phép tính ma trận, véctơ Chương Phân tích động học vật rắn Chương Phân tích động học hệ nhiều vật Chương Động lực học vật rắn Chương Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Giáo trình tài liệu tham khảo [1] GS.TSKH Nguyễn Văn Khang, “Động lực học hệ nhiều vật”, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2017 [2] GS.TSKH Nguyễn Văn Khang, TS Chu Anh Mỳ “Cơ sở robot công nghiệp”, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011 LBT CHƢƠNG MỘT SỐ PHÉP TÍNH MA TRẬN, VÉC TƠ LBT §1 Ma trận phép tính đại số ma trận 1.1 Các định nghĩa ma trận a Ma trận Cho m, n hai số nguyên dương, bảng chữ nhật gồm phần tử aij xếp thành m hàng, n cột gọi ma trận cỡ m × n  a11 a12 a a 21 22  A    am1 am a1n  - Các phần tử ma trận số hàm  a2 n  - Ma trận có phần tử ma trận gọi ma trận khối   Hai ma trận nào? amn  b Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị ma trận A, kí hiệu A𝑻 , ma trận nhận từ ma trận A cách chuyển hàng thành cột LBT Chƣơng 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ 1.2 Phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số Tổng hai ma trận cỡ ma trận cỡ: C = Α + Βcij  aij  bij ,i, j Tích ma trận A với số xác định sau C = Α,cij  aij Một số tính chất A+B=B+A A +  B + C =  A + B  + C = A + B + C   A + B   A  B  A + B + C + + N  T  AT  BT  CT   NT LBT Chƣơng 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ 1.3 Ma trận vuông a Các định nghĩa Ma trận vuông: Ma trận A có số hang số cột (m=m) gọi ma trận vuông, hay ma trận vuông cấp n  a11 a12 a a22 21  A    an1 an a1n  a2 n    ann  Đường thẳng nối từ phần tử 𝑎11 đến phần tử 𝑎𝑛𝑛 gọi đường chéo ma trận vng A LBT Chƣơng 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ Ma trận đường chéo: Ma trận vng mà phần tử nằm ngồi đường chéo gọi ma trận đường chéo  a11 0 a 22 A   0 0   aij  0| i  j   diag  a11 ,a12 , ,ann    ann  Ma trận đơn vị: Ma trận đường chéo mà phần tử nằm đường chéo gọi ma trận đơn vị 1 0 Ε   0 0  1|i  j  ij  ,ij    0| i  j  1 LBT Chƣơng 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ Vết ma trận: Tổng phần tử nằm đường chéo ma trận vng A gọi vết (trace) ma trận A n trA  a11  a22   ann   aii i 1 Một vài tính chất vết ma trận tr  AT   tr  A  tr  A  B   tr  A   tr  B  b Định thức ma trận vuông Nếu A ma trận vuông cấp n với phần tử số (hoặc hàm số) định thức ma trận A số (hoặc hàm số) kí hiệu detA Ta định nghĩa định thức ma trận theo quy tắc truy hồi LBT Chƣơng 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ Định thức cấp 2: Là xếp 22 phần tử 𝑎𝑖𝑘 thành bảng vng gắn cho giá trị (hoặc hàm số) tính theo cơng thức a11 a12 det A   a11a22  a12 a21 a21 a22 Định thức cấp 3: Là xếp 32 phần tử 𝑎𝑖𝑘 thành bảng vuông gắn cho giá trị (hoặc hàm số) tính truy hồi theo định thức cấp sau a11 a12 det A3  a21 a22 a31 a32 a13 a22 a23  a11 a32 a33 a23 a21 a23 a21 a21  a12  a13 a33 a31 a33 a31 a32  a11  a22 a33  a32 a23   a12  a21a33  a31a23   a13  a21a32  a31a22  LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Bây biểu thức (9) có dạng Ki  d  T  T    11 dt  qi  qi Thế (7) (11) vào (6) ta  d  T  T   Qi qi  012      qi i 1  dt  qi   f Do biến phân qi  i  1, , f  Độc lập vơi nên ta có d  T  T  Qi  i  1, , f 13   dt  qi  qi Các phương trình vi phân (13) gọi phương trình Lagrange loại II mơ tả chuyển động hệ hơlơnơm, Qi lực suy rộng Chú ý: Tránh việc thiết lập dài dòng ta thừa nhận phương trình với hệ bao gồm vật rắn LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật 1.2 Dạng thức phƣơng trình Lagrange loại II Xét hệ gồm p vật rắn, chịu r liên kết hôlônôm Ci zi E ζi ηi Ci Oi R0 xi ξi Các tọa độ suy rộng Lagrange hệ: q   q1 , ,q f  Vị trí khâu thứ i xác định - Tọa độ khối tâm: yi T rCi  rCi  q, t  - Ma trận cosin hướng khâu: Ai  Ai  q, t  LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Ma trận Jacobi tịnh tiến ma trận Jacobi quay định nghĩa công thức rCi ωi φi JTi  ,J Ri   1 q qi q Vận tốc khối tâm vận tốc góc vật rắn xác định vCi  drCi  rCi q  J Ti q  dt q φ φ ωi  i  i q  J Ri  q  q 3 dt q Biểu thức động vật rắn xác định công thức 1 T T Ti  mi vCi vCi  ωi I i ωi   2 Trong Ii ma trận tenxơ quán tính vật rắn hệ quy chiếu cố định I i  Ai I i  ATi  5 i LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Từ (4) biểu thức động hệ nhiều vật có dạng p p p T T T   Ti   mi vCi vCi   ωi Ii ωi   i 1 i 1 i 1 Thế (2) (3) vào (6) ta T T p p T   mi  JTi q   JTi q     J Ri q  I i  J Ri q  i 1 i 1 T n  T T T  q   mi JTi JTi  J Ri I i J Ri  q   i 1  Nếu ta đưa vào kí hiệu  n    M  q    mi JTTi J Ti  J TRi I i J Ri  8 i 1 Thì biểu thức động hệ nhiều vật viết lại sau T  qT M  q  q  LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Ma trận M(q) ma trận vuông cấp f gọi ma trận khối lượng suy rộng Ma trận đối xứng xác định dương  m11  q  m1 f  q     M q     m f q  m ff  q    Thế trọng lực khâu hệ xác định biểu thức i  mi gT0 rCi Trong  xCi  0     g  ;rCi   yCi  ;gT0 rCi   gzCi   z    g   Ci  LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Xuất phát từ phương trình Lagrange loại II d  T   T       Qi* i  1, , f      dt  qi   qi  qi Ta suy phương trình Lagrange loại II dạng ma trận T T T    d  T   T  *           f  i  1, , f  dt  q   q   q  Thự vào phép biến đổi ta thu dạng thức phương trình: M  q  q  C  q,q  q  g  q   τ  t  Nếu kể thêm lực ma sát nhớt ma sát Culong phương trình có dạng M  q  q  C  q,q  q  Dvq  Ds sign  q   g  q   τ  t  LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Thí dụ áp dụng y Cho robot phẳng hai khâu hình vẽ bên, thiết laapj phương trình vi phân chuyển động robot mE yE C2 τ2 Chọn góc quay làm tọa độ suy rộng q   q1 ,q2  E τ1 T C1 q1 q2 O1 xE O Vị trí khối tâm điểm thao tác l2  l1    cos q l cos q  cos q  q   1 1  2 1 l1 cos q1  l2 cos  q1  q2       l l   rc1   sin q1  , rc2   l1 sin q1  sin  q1  q2   ,rE   l1 sin q1  l2 sin  q1  q2   2                  Ta tính cá ma trận Jacobi tịnh tiến LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật l2 l2  l1     sin q  l sin q  sin q  q  sin q  q     1 1 2     2     rc1  l1  r l l2 c JT1   cos q1 0 , JT2    l1 cos q1  cos  q1  q2  cos  q1  q2     q  q  2     0 0          l1 sin q1  l2 sin  q1  q2  l2 sin  q1  q2   r   JTE  E   l1 cos q1  l2 cos  q1  q2  l2 cos  q1  q2   q   0 Từ hình vẽ ta xác định vận tốc góc khâu 0   ω1    ,ω     q1   q1  q2  LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Từ ta có ma trận Jacobi quay 0  0 0 ω ω  J R1   0 0 ,J R2   0 0 q q 1 0 1  Các ma trận tenxơ quán tính khối khâu     0 0 0       I1  0 0  ,I  0 0      1 2 m1l1  m2l2  0 0 12 12     Ma trận khối lượng suy rộng M  q   m J J T1  m J J T2  m J J T3  J I J  J I J R2 T T1 T T2 T T3 T R1 R1 T R2  m11 m12    m m 22   21 LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Trong  m1   m2  m11    m2  mE  l1   m2  2mE  l1l2 cos q2    mE  l22      m2   m2  m12  m21    mE  l1l2 cos q2    mE  l22      m2  m22    mE  l22   Biểu thức hệ   m1 gyC1  m2 gyC2  mE gyE m  m      m2  mE  gl1 sin q1    mE  gl2 sin  q1  q2      Các lực suy rộng không Q1*   1   *    Q2   2  LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Sử dụng phương trình Lagrange loại II ta thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ Phương trình  m1   m2  2  m  m l  m  m l l cos q   m  2 E  E 2 E  l2  q1        m    m2  2mE  l1l2 q1q2 sin q2    mE  l1l2 q22 sin q2    m2   m2  2  m1     mE  l1l2 cos q2    mE  l2  q2    m2  mE  gl1 cos q1        m     mE  gl2 cos  q1  q2      LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Phương trình  m2   m2  2  m2   m l l cos q   m l q   m E  2 E   E  l2 q2           m  m     mE  l1l2 q12 sin q2    mE  gl2 cos  q1  q2        Hay viết dạng ma trận M  q  q  C  q,q  q  g  q   τ Trong  q1   q1   q1  q    ;q    ;q     q2   q2   q2  LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật  m11 m12  M q     m m 22   21  m1   m2  m11    m2  mE  l1   m2  2mE  l1l2 cos q2    mE  l22      m2   m2  m12  m21    mE  l1l2 cos q2    mE  l22      m2  m22    mE  l22   LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật  c11 c12  C  q,q     c c  21 22  m  c11    m2  2mE  l1l2 q2 sin q2 ;c12     mE  l1l2 q2 sin q2   1 c21   m2  2mE  2q1  q2  l1l2 sin q2 ;c22   m2  2mE  q1l1l2 sin q2 4  m1    m2   m  m gl cos q   m gl cos q  q   E 1 E 2    2  1        g(q)  ;τ       m2   2   m gl cos q  q  2 E        LBT Chƣơng 5: Phương trình chuyển động hệ nhiều vật Thiết lập phương trình vi phân chuyển động robot 3D sau q3 x2 C2 q2 x3 B x1 zB C3 E C1 y0 z0 yB O x’1 q1 A x0 LBT