tổng hợp luyện hình nâng cao

BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O ) Gọi E giao điểm AB,CD F giao điểm AC BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác FDC điểm K khác D Tiếp tuyến (O) B,C cắt M a) Chứng minh tứ giác BKCM nội tiếp b) Chứng minh E , M , F thẳng hàng 2) Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên tiếp tuyến A (O) lấy điểm C Vẽ cát tuyến CDE (tia CD nằm tia CA,CO , D, E Ỵ ( O ) , D nằm C , E ) Gọi M giao điểm CO BD , F giao điểm AM (O) , F ¹ A) a) Vẽ tiếp tuyến CN (O ) Chứng minh CNMD tứ giác nội tiếp b) Vẽ AH ^ OC H Chứng minh ADMH tứ giác nội tiếp c) Chứng minh E ,O, F thẳng hàng 3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AD < BC ) Gọi I giao điểm AC BD Vẽ đường kính CM , DN Gọi K giao điểm AN , BM Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NOC điểm J khác C a) Chứng minh KBNJ tứ giác nội tiếp d) Chứng minh I , K ,O thẳng hàng 4) Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC ) Đường trịn (I ) đường kính BC cắt AB, AC F , E BE cắt CF H AH cắt BC D Chứng minh tứ giác BFHD, IFED nội tiếp 5) Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE ,CF cắt I , HK ^ DE H HI ^ EF K , Vẽ tại IK Ç AD = M , FM Ç DE = N Gọi S điểm đối xứng B 330 qua D Chứng minh tứ giác FI MH , HMNK · · MAN = DAS nội tiếp 6) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến ADE đến (O) cho ( ADE nằm tia AO, AB , D, E Ỵ ( O ) ,Đường thẳng qua D P ,Q song song với BE cắt BC , AB Gọi K điểm đối xứng với B qua E Gọi H , I giao điểm BC với OA, DE a) Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp b) Ba điểm A, P , K thẳng hàng 7) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O ) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( B,C hai tiếp điểm) Từ điểm K nằm cung BC ( K , A nằm phía BC ) dựng tiếp tuyến cắt AB, AC M , N BC cắt OM ,ON P ,Q Gọi I giao điểm MQ, NP Chứng minh MBOQ, NCOP tứ giác nội tiếp 8) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC ) Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC E , D BD cắt CE H , tiếp (O) B, D tuyến cắt K , AK Ç BC = M , MH Ç BK = N Vẽ tiếp tuyến AS (O) với (S thuộc cung nhỏ CD ) , KD Ç AH = I , MH Ç OA = L Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AK T a) Chứng minh tứ giác T K DB, BELO nội tiếp b) Ba điểm N , E , I thẳng hàng c) Ba điểm M , E , D thẳng hàng d) Ba điểm M , S , H thẳng hàng 331 9) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O ) có hai đường cao BE , CD cắt H Gọi M trung điểm BC Giả sử (O) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AED N a) Chứng minh N , H , M thẳng hàng b) Giả sử AN cắt BC K Chứng minh K , E, D thẳng hàng 10) Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O ) Gọi Q, R tiếp điểm (O) với AB, AC Gọi M , N trung điểm BC , CA Đường thẳng BO cắt MN P a) Chứng minh ORPC tứ giác nội tiếp b) Ba điểm P, Q, R thẳng hàng 11) Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE , CF cắt H Từ A ta dựng tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn đường kính BC a) Chứng minh tứ giác AMDN , MNDO nội tiếp b) Chứng minh ba điểm H , M , N thẳng hàng 12) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF cắt điểm H Gọi M , N trung điểm AH , BC Các phân giác   góc ABH , ACH cắt P a) Chứng minh điểm B, C , E , P, F nằm đường tròn Điểm P trung điểm cung nhỏ EF b) Ba điểm M , N , P thẳng hàng 13) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF cắt điểm H Đường thẳng EF cắt điểm M Gọi O trung điểm BC Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác OBF , OCE cắt giao điểm thứ P a) Chứng minh tứ giác EFPH , BCHP, MEPB tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OPM tam giác vng 332 14) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm điểm H Gọi M , N chân đường cao hạ từ B, C tam giác ABC Gọi D điểm  w1  đường tròn qua điểm B, N , D gọi cạnh BC Gọi  w2  đường tròn qua điểm C , D, M DP, DQ đường kính  w1  ,  w2  Chứng minh P, Q, H thẳng hàng  IMO  2013  15) Cho tam giác ABC có BAC góc lớn Các điểm P, Q thuộc     cạnh BC cho QAB BCA, CAP  ABC Gọi M , N điếm đối xứng A qua P, Q Chứng minh rằng: BN , CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( IMO  2014) 16) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm P  K  đường tròn cung BC không chứa điểm A (O) Gọi  L  qua A, P tiếp xúc với AC ( K ) cắt PC S khác P Gọi đường tròn qua A, P đồng thời tiếp xúc với AB ( L) cắt PB T khác P Gọi D điểm đối xứng với A qua BC a) Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác DPC b) Ba điểm S , D, T thẳng hàng 17) Cho tam giác ABC , hai cạnh AB,AC lấy hai điểm E , D cho ABD  ACE Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt tia CE M , N Gọi H giao điểm BD, CE Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD I , K a) Chứng minh điểm M , I , N , K nằm đường tròn b) Gọi F giao điểm thứ đường tròn Chứng minh A, H , F thẳng hàng c) Chứng minh : Tam giác AMN cân A  ABD  ,( AEC ) 333 (O), ( I ), ( I a ) theo thứ tự tâm đường trịn 18) Cho tam giác ABC có ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác Gọi D tiếp điểm ( I ) với BC ; P điểm   O  điểm K Gọi M giao cung BAC (O) , PI a cắt điểm PO BC a) Chứng minh: IBI a C tứ giác nội tiếp b) Chứng minh NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP   c) Chứng minh: DAI KAI a BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN MỚI=60k; 234 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CŨ=80k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=50k 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN MỚI=60k; 365 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CŨ=80k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=50k 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2022-2023)=50k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=40k 370 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CŨ=80k; 65 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=50k 52 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2022-2023)=40k; 78 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=50k 340 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=100k; 260 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=100k 100 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=80k 19) Cho đường trịn tâm  O bán kính R dây cung BC cố định có độ dài BC R Điểm A thay đổi cung lớn BC Gọi E , F điểm đối xứng B, C qua AC , AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE , ACF cắt giao điểm thứ K a) Chứng minh điểm K ln thuộc đường trịn cố định 334 b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn tìm giá trị lớn theo R c) Gọi H giao điểm BE , CF Chứng minh tam giác ABH #AKC đường thẳng AK qua điểm cố định 20) Từ điểm A nằm đường tròn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến ADE đến (O) cho ( ADE nằm tia AO, AB , D, E Ỵ ( O ) , Gọi F điểm đối xứng D qua AO , H giao điểm EF , BC Chứng minh: A,O, H thẳng hàng 21) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến AEF đến (O) cho ( · · AEF nằm tia AO, AB , F , E Ỵ ( O ) BAF < FAC ) Vẽ đường thẳng qua E vng góc với OB cắt BC M cắt BF N Vẽ OK ^ EF a) Chứng minh: EMK C nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng FM qua trung điểm AB 22) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O ) Các đường cao AD, BE ,CF cắt H Tiếp tuyến B,C (O) cắt G GD Ç EF = S Gọi M trung điểm cạnh BC Giả sử EF Ç BC = T , AT Ç (O ) = K a) Chứng minh điểm A, K , F , E , H nằm đường tròn b) Chứng minh M , S, H thẳng hàng 23) Cho (O) (d) không giao Vẽ OH ^ (d) lấy hai điểm A, B thuộc (d) cho HA = HB Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) Dựng cát tuyến qua H , A, B điểm M cắt đường trịn (O) lần DE Ç ( d) = S lượt C , D, E , Dựng đường thẳng qua O ^ CE cắt tiếp tuyến E (O ) K Dựng ON ^ DE N 335 a) Chứng minh tứ giác HNCS tứ giác nội tiếp b) Ba điểm S,C , K thẳng hàng 24) Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (O) tiếp xúc với ba cạnh BC , AC , AB D, E , F Trên đoạn OD lấy điểm I dựng đường trịn tâm I bán kính ID Dựng BG,CH tiếp tuyến (I ) G, H Gọi M = BG Ç CH , N = EF Ç BC a) Chứng minh EHGF nội tiếp b) Ba điểm N ,G, H thẳng hàng (O),(O1),(O2) (O ),(O2) 25) Cho đường tròn biết tiếp xúc với (O ),(O2) điểm I tiếp xúc với (O) M 1, M Tiếp tuyến Đường thẳng AM (O2) N2 điểm cắt (O1) (O1) I cắt (O) A, A ' điểm N1 , đường thẳng AM cắt MNNM OA ^ N 2N a) Chứng minh tứ giác 1 2 nội tiếp b) Kẻ đường kính PQ (O) cho PQ ^ AI ( Điểm P nằm cung AM không chứa điểm M2 ) Chứng minh không song song đường thẳng AI , PM 1,QM PM 1, PM đồng quy 26) Cho tam giác ABC khơng cân Đường trịn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB M , N , P Đường thẳng NP cắt BO,CO E , F · · a) Chứng minh góc OEN ,OCA bù b) Chứng minh điểm B,C , E , F nằm đường tròn.Chứng minh O, M , K thẳng hàng Biết K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF 336 27) Cho tam giác ABC AH ^ BC ( H Ỵ BC ) AD ( E Ỵ AD ) nội BE tiếp đường trịn (O ) Kẻ vng góc với đường kiính a) Chứng minh HE / / DC b) Qua trung điểm K đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC M Chứng minh D MHE cân 28) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) Vẽ đường cao AD đường phân giác AO tam giác ABC ( D,O thuộc BC ) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC M , N a) Chứng minh điểm M , N ,O, D, A thuộc đường tròn · · b) Chứng minh BDM = CDN c) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt MN I Đường thẳng AI cắt BC K Chứng minh K trung điểm cạnh BC 29) Cho nửa đường tròn (O ) đường kính AB = 2R C , D hai điểm di động nửa đường tròn cho C thuộc cung AD · COD = 600 (C khác A D khác B ) Gọi M giao điểm tia AC BD , N giao điểm dây AD BC a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp đường trịn tính khoảng cách từ A, B đến đường thẳng CD 337 b) Gọi H I trung điểm CD MN Chứng minh H , I ,O thẳng hàng DI = R 3 c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MCD theo R 30) Cho nửa đường tròn (O;R ) đường kính AB Giả sử M điểm chuyển động nửa đường tròn này, kẻ MH vng góc với AB H Từ O kẻ đường thẳng song song với MA cắt tiếp tuyến B với nửa đường tròn ( O ) K a) Chứng minh bốn điểm O, B , K , M thuộc đường tròn b) Giả sử C , D hình chiếu H đường thẳng MA MB Chứng minh ba đường thẳng CD, MH , AK đồng quy c) Gọi E , F trung điểm AH BH Xác định vị trí M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn 31) Cho hình vuông ABCD , đường chéo BD lấy điểm I cho BI = BA Đường thẳng qua I vng góc với BD cắt AD E , AI cắt BE H a) Chứng minh AE = ID b) Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD điểm thứ hai F Chứng minh rằng: DF DA = EH EB 32) Cho đường tròn (O;R ) điểm M nằm ngồi đường trịn Đường trịn đường kính OM cắt đường tròn (O;R ) hai điểm E ,F 338 a) Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R ) tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF b) Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường trịn đường kính OM ( A khác E F ) Đoạn thẳng OA = R2 cắt đoạn thẳng EF B Chứng minh OAOB c) Cho biết OM = 2R N điểm thuộc cung EF chứa điểm I đường tròn (O;R ) ( N khác E F ) Gọi d đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng EN điểm P , d cắt đường trịn đường kính OM điểm K ( K khác F ) Hai đường thẳng FN KE cắt điểm Q Chứng minh rằng: PN PK + QN QK £ R 33) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O ) Gọi P điểm cung nhỏ AC Hai đường thẳng AP BC cắt M Chứng minh rằng: · · a) ABP = AMB b) MA.MP = BA.BM 34) Cho hai đường tròn (O;R ) (O ';R ') cắt I J ( R ' > R ) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường trịn chúng cắt A Gọi B C tiếp điểm hai tiếp tuyến với (O ';R ') , D tiếp điểm tiếp tuyến AB với (O;R ) (điểm I 339 c) Chứng minh O trực tâm tam giác PMN 37) Trên nửa đường tròn (O ) đường kính AB = 2R ( R độ dài cho trước) lấy hai điểm M , N ( M , N khác A, B ) cho M thuộc ¼ AN tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN R a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R b) Gọi I giao điểm AN BM , K giao điểm AM BN Chứng minh bốn điểm M , N , I , K nằm đường trịn Tính bán kính đường trịn theo R c) Tìm GTLN diện tích tam giác K AB theo R M , N thay đổi nửa đường tròn (O ) thỏa mãn giả thiết toán 38) Cho hai đường tròn (O ) đường thẳng ( d) (O ') qua A cắt (O ) cắt hai điểm A B Vẽ C cắt (O ') D cho A nằm C D Tiếp tuyến ( O ) C tiếp tuyến (O ') D cắt E a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b) Chứng minh BE DC = CB.ED + BD.CE 39) Cho đường tròn (O;R ) có đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi cho CD khơng vng góc không trùng với AB Gọi d tiếp tuyến A ( O;R ) Các đường thẳng BC BD cắt d tương ứng E F 341 a) Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp b) Gọi M trung điểm EF , chứng minh BM ^ CD c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF Chứng minh MK = R d) Gọi H trực tâm tam giác DEF , chứng minh H ln chạy đường trịn cố định 40) Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O , đường kính AH , đường trịn cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác BDEC tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ba điểm D,O, E thẳng hàng c) Cho biết AB = 3cm, BC = 5cm Tính diện tích tứ giác BDEC 41) Cho tam giác ABC không tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ) Gọi D, E , F tiếp điểm BC ,CA, AB với đường tròn ( I ) Gọi M giao điểm đường thẳng EF đường thẳng BC , biết AD cắt đường tròn (I ) điểm N ( N không trùng với D ), gọi K giao điểm AI EF a) Chứng minh điểm I , D, N , K thuộc đường tròn b) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (I ) 342 42) Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O ) kẻ hai tiếp tuyến PM , PN tới đường tròn ( O ) , ( M , N hai tiếp điểm) Gọi I ¼ điểm thuộc cung nhỏ MN đường tròn (O ) , ( I khác điểm ¼ MN ) Kéo dài PI cắt MN điểm K , cắt đường tròn (O ) điểm thứ hai J Qua điểm O kẻ đường thẳng vng góc với PJ điểm F cắt đường thẳng MN điểm Q Gọi E giao điểm PO MN a) Chứng minh PI PJ = PK PF b) Chứng minh năm điểm Q < I , E ,O,J thuộc đường tròn 43) Cho đường tròn thuộc (O ) (O ) có đường kính AB cố định, M điểm ( ) O ( M khác A, B ) Các tiếp tuyến A M cắt C Đường tròn (I ) qua M tiếp xúc với đường thẳng AC C CD đường kính ( I ) Chứng minh rằng: a) Ba điểm O, M , D thẳng hàng b) Tam giác COD tam giác cân c) Đường thẳng qua D vuông góc với BC ln qua điểm cố định M di động đường tròn (O ) 44) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O , đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S , BC OS cắt M a) Chứng minh AB MB = AE BS 343 b) Hai tam giác AEM ABS đồng dạng c) Gọi AM cắt EF N , AS cắt BC P Chứng minh NP ^ BC 45) Cho tam giác ABC vng A có AB < AC ngoại tiếp đường ( ) O tròn tâm O Gọi D, E , F tiếp điểm với cạnh AB, AC , BC ; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE · a) Tính BIF b) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM = AB tứ giác ABHI nội tiếp c) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF (O ) , P Q hình chiếu N đường thẳng DE , DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn 46) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) Giả sử M điểm thuộc đoạn thẳng AB ( M không trùng A, B ), N điểm thuộc tia CA ( N nằm đường thẳng CA cho C nằm A N ) cho MN cắt BC I I trung điểm MN Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt ( O ) điểm P khác A a) Chứng minh tứ giác BMIP CNPI nội tiếp b) Giả sử PB = PC , chứng minh tam giác ABC cân 344 µ 47) Cho D ABC có A = 60 Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB D, E , F Đường thẳng ID cắt EF K , đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M , N a) Chứng minh tứ giác IFMK IMAN nội tiếp b) Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K ,J thẳng hàng c) Gọi r bán kính đường trịn (I ) S diện tích tứ giác SIMN ³ S ( SIMN diện tích 48) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (O;R ) Trên cung nhỏ IEAF Tính S theo r Chứng minh D IMN ) AD lấy điểm E ( E không trùng với A D ) Tia EB cắt đường thẳng AD, AC I K Tia EC cắt đường thẳng DA, DB M , N Hai đường thẳng AN , DK cắt P a) Chứng minh tứ giác EPND tứ giác nội tiếp · · b) Chứng minh EK M = DK M c) Khi điểm M vị trí trung điểm AD Hãy xác định độ dài đoạn AE theo R 49) Cho tam giác ABC Trên phân giác AD có hai điểm M , N · · · · cho ABN = CBM Chứng minh ACN = BCM 345 · 50) Cho hình thoi ABCD có BAD = 60 Một đường thẳng D thay đổi qua C cắt AB, AD N , M Gọi P giao điểm BM DN Chứng minh P thuộc đường tròn cố định 51) Cho tam giác ABC vuông A AB < AC Gọi D điểm cạnh BC , E điểm cạnh BA kéo dài phía A cho BD = BE = CA Gọi C điểm AC cho E , B, D, P thuộc đường tròn, Q giao điểm thứ hai BP với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh AQ + CQ = BP µ µ µ 52) Cho tam giác ABC có A > B > C nội tiếp đường tròn (O ) , ngoại tiếp đường tròn ( I ) Cung nhỏ BC có M điểm N trung điểm cạnh BC Điểm E đối xứng với I qua N Đường thẳng ME cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai Q Lấy điểm K thuộc BQ cho QK = QA Chứng minh rằng: (O ) a) Điểm Q thuộc cung nhỏ AC đường tròn b) Tứ giác AIK B nội tiếp BQ = AQ + CQ 53) Cho O điểm nằm tam giác ABC Gọi A ', B ',C ' điểm đối xứng A, B,C qua O Chứng minh đường tròn ngoại tiếp A 'B 'C ', A 'BC , B 'CA, C 'AB có điểm chung 54) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tam giác (O ) Hai phân giác BM CN góc B C Tia MN cắt ( O ) P Gọi 346 X ,Y , Z hình chiếu vng góc P BC ,CA, AB Chứng minh rằng: xuống a) PY = PX + PZ 1 = + PA PC b) PB 55) Cho tam giác nhọn ABC ( AB ¹ AC ) Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC tương ứng M , N Gọi O trung · · điểm BC Đường phân giác BAC MON cắt R Chứng minh đường tròn ngoai tiếp tam giác BMR CNR qua điểm nằm cạnh BC 56) Cho tứ giác ABCD có đường chéo BD khơng phân giác góc ABC CDA Một điểm P nằm tứ giác · · · · cho: PBC = DBA;PDC = BDA Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp AP = CP 57) Ba tia I x, I y, I z chung gốc I Lấy cặp điểm A, A ' I x , lấy cặp điểm B, B ' I y , lấy cặp điểm C ,C ' Iz theo thứ tự kể từ I cho IA.IA ' = IB.IB ' = IC IC ' Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , A 'B 'C ' I thẳng hàng 58) Cho BC dây cung khác đường kính đường tròn (O ) Điểm A thay đổi cung lớn BC Đường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB M , N , P a) Tìm vị trí A để chu vi tam giác MNP đạt giá trị lớn b) Chứng minh đường thẳng Ơ-le tam giác MNP qua điểm cố định 347 59) Cho hai đường tròn Một đường tròn ( O ;r ) (O ) 1 ( O ;r ) 2 tiếp xúc với thay đổi tiếp xúc với (O ) (O ) (O ) cho AO1O2B Giả sử AB đường kính hình thang ( AB / /O O ) AO2 Gọi I giao điểm với BO1 Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định 60) Cho tam giác ABC có I tâm đường tròn nội tiếp, O tâm · đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G Giả sử OI A = 90 Chứng minh IG BC song song 61) Cho hình chữ ABCD nhật ( A;R ) ,( B;R ) ,(C ;R ) ,( D;R ) R1 + R3 = R2 + R4 < AC bốn đường tròn cho Gọi D 1, D hai tiếp tuyến chung D 1, D hai tiếp tuyến chung ( A;R ) (C ;R ) ; ( B;R ) ( D;R ) Chứng minh tồn D ,D ,D ,D đường tròn tiếp xúc với bốn đường thẳng 62) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với S Gọi M , N , P ,Q đối xứng với S qua AB, BC ,CD, DA Đường tròn ngoại tiếp tam giác SPQ cắt AP S Chứng minh bốn điểm M , E , F ,Q thuộc đường tròn 63) Cho tam giác ABC cân A , cạnh BC lấy D cho BD : DC = : đoạn AD lấy P cho 1· · DPC = BAC ·BAC = BPD · Chứng minh 348 64) Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi P ,Q, R chân đường vng góc D xuống BC ,CA, AB Chứng tỏ PQ = QR phân giác góc ABC ADC cắt AC 65) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O ) (O ) cắt (O1) cắt hai điểm A B Các tiếp tuyến A B (O ) điểm K Giả sử M điểm nằm (O ) không trùng vào A B Đường thẳng AM cắt điểm (O ) thứ hai P , đường thẳng K M cắt điểm thứ hai C (O2) điểm thứ hai Q Chứng minh đường thẳng AC cắt trung điểm PQ nằm đường thẳng MC 66) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn nằm (O ) tiếp xúc với (O ) (O ) Đường tròn (O ') T thuộc cung AC (cung (O ') không chứa B ) Kẻ tiếp tuyến AA ', BB ',CC ' tới Chứng minh BB '.AC = AA '.BC + CC '.AB 67) Cho hai đường tròn tròn (O ) (O ) tiếp xúc với đường (O ) Tiếp tuyến chung (O ) (O ) cắt (O ) bốn điểm Gọi B,C hai bốn điểm cho B,C nằm phía O1O2 Chứng minh BC song song với tiếp tuyến chung (O ) (O ) 349