Một số khái niệm mở rộng về Đại số tổ hợp

MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ RỘNG VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPA.. ĐẶT VẤN ĐỀ: Bắt đầu từ năm 2009-2010 trường THPT Nguyễn Hữu Huân chính thức tuyển sinh các lớp chuyên trong đó có lớp chuyên toán.. Việc giản

MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ RỘNG VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

A ĐẶT VẤN ĐỀ:

Bắt đầu từ năm 2009-2010 trường THPT Nguyễn Hữu Huân chính thức tuyển sinh các lớp chuyên

trong đó có lớp chuyên toán Việc giảng dạy các lớp chuyên đòi hỏi người giáo viên phải tìm hiểu đi sâu các vấn đề của toán học, trên cơ sở chương trình chuyên đã được áp dụng cho các trường chuyên của thành phố Hồ Chí Minh Mặc dù không được phân công trực tiếp dạy lớp chuyên nhưng trong tình hình thiếu giáo viên ở một hai năm đầu, tôi được phân công hỗ trợ một chuyên đề cho lớp 11 Chuyên Toán, chuyên đề ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Hạn chế của trường là mặc dù được mở lớp chuyên nhưng tài liệu chuyên của trường rất ít, hầu hết giáo viên không được trang bị thêm kiến thức và kĩ năng giảng dạy chuyên, đa số tự tìm tòi đọc sách, tra cứu qua mạng Các nguồn tài liệu chuyên tuy nhiều nhưng không có hệ thống, và mức độ không dành cho học sinh phổ thông nên việc tìm tài liệu đáp ứng cho một chuyên đề là không đơn giản Nhằm mục đích tự trang bị thêm cho mình và giúp tổ bộ môn một số tiết chuyên đề về đại số tổ hợp cho lớp 11, tôi đã chọn lọc trong một số tài liệu, những khái niệm mở rộng, các ví dụ, bài tập cũng như ứng dụng sao cho các khái niệm cơ bản của sách giáo khoa là trường hợp đặc biệt của các khái niệm tổng quát hơn, xử lý được nhiều dạng bài hơn, đánh giá vấn đề bằng góc nhìn khác hơn, để viết nên chuyên đề này

Mặc dù hết sức cố gắng nhưng vì còn hạn chế về nhiều mặt nên chắc chắn bài viết này còn nhiều

sơ sót và chủ quan, tôi rất mong sự đóng góp từ phía các đồng nghiệp nhằm bổ sung, chỉnh sửa để bài viết hoàn thiện hơn

B NỘI DUNG:

I) Các khái niệm nhắc lại

II) Mở rộng các phép toán trên tập hợp

III) Số phần tử của một tập hợp hữu hạn

IV) Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

V) Chỉnh hợp lặp

VI) Hoán vị lặp

VII) Tổ hợp lặp

VIII) Áp dụng vào khai triển đa thức

NỘI DUNG: CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

I) Các khái niệm nhắc lại

x x A x B

B

A  /   

x x A x B

B

A  /   

x x A x B

B

A\  /   

A X A C A X

A   X  \

2) Ánh xạ :

song ánh còn gọi là ánh xạ 1–1 (hay tương ứng 1–1)

nếu có một song ánh từ tập A đến tập B thì A, B có cùng số phần tử

(còn gọi là có cùng lực lượng)

3)Phép chứng minh quy nạp :

Cho mệnh đề P(n) với n  N*

Nếu









1,giasu P(k)đúngmàP(k 1)cungđúng k

vói

đúng ) 1 (

P

thì P(n) đúng, n  N*

Lưu ý: đôi khi mệnh đề P(n) chỉ đúng từ n = p trở đi (với p hằng số)

4)Kí hiệu : i1,n để chỉ các số tự nhiên i chạy từ 1 đến n

T(A) để chỉ tập hợp gồm tất cả các tập con của A

II)Mở rộng phép toán trên tập hợp



n

i

i

A

1

: , 1 /













n

i

i

A

1

: , 1 /











) (

) (

) (

C A B A C B A

C A B A C B A

























4) Tích Đềcác (Descartes):

 Tích Đề các của hai tập hợp A và B là một tập hợp kí hiệu và gồm các phần tử

 a b a A b B

B

A  , /   

 Tích Đề các của n tập hợp A1, A2, , An là

 a a a a A i n

A A

A1 2  n  1, 2, , n / i i, 1,

Đặc biệt tích Đề các của n tập hợp A là A A A A  a a a n a i A i n

n

n 1, 2, , / , 1,

lan















    

Ví dụ: cho A1;2;3;Ba;b AB 1,a);(1,b ; 2,a);(2,b ; 3,a);(3,b 

Hãy nêu các tập tích B  A;A2;B3 và nhận xét về sự bằng nhau và khác nhau của 2 phần tử bất kỳ của tập hợp

Ví dụ: Có sự tương ứng 1–1 từ tập R2  x;y/x,yR đến tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy nên ta cũng gọi tập hợp này là R2

sắp thứ tự, các phần tử a1,a2, ,a ncủa A1A2 A n được gọi là các bộ n–sắp thứ tự.

III) Số phần tử của một tập hợp hũu hạn

Xét tập hợp A có hữu hạn phần tử Kí hiệu A là số phần tử của A.

1) Số phần tử của hợp n tập hợp hữu hạn :

 Cho n tập A i, i 1,n không giao nhau Số phần tử của hợp n tập đó bằng tổng số phần tử

của mỗi tập

n i A

A n

i i n

i

1 1









 trong đó A iA j ,i,j1;2; ;n

(thử chứng minh công thức trên)

 Với A  X : A C X A X  A

 Cho 2 tập hợp bất kỳ A, B Số phần tử của A  B bằng tổng các số phần tử của A và B trừ

số phần tử của A  B

B A B A B

A    

 Cho 3 tập hợp bất kỳ A, B, C

C B A A C C B B A C B A C B

A             

(thử chứng minh công thức trên và tự mở rộng cho n tập bất kỳ)

Vi dụ: trong tập các số tự nhiên từ 1 đến 280 có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 7? Bao nhiêu số không chia hết cho cả ba?

Giải: số các số chia hết cho 2 là 140

2

280











số các số chia hết cho 3 là 93

3

280











số các số chia hết cho 5 là 56

5

280











số các số chia hết cho 2 và 3 là 46

6

280











số các số chia hết cho 2 và 5 là 28

10

280











số các số chia hết cho 3 và 5 là 18

15

280











số các số chia hết cho cả ba số là là 9

30

280











Suy ra cố các số chia hết cho ít nhất một trong ba số là

206 9 18 28 46 56 93

140       số

Suy ra số các số không chia hết cho cả ba số là 280 – 206 = 74

2) Số phần tử của tập tích Đềcác :

 Tích A B với A  , n B  : k

Với mỗi i1,n, a được ghép với k phần tử trong B i

Vậy với n phần tử trong A có n  k cách ghép thành các phần tử trong A B Ta có:

B A B

A 

 Tích A1A2 A n với A  , bằng phép quy nạp ta có thể chứng minh i k i

n

A A

A1 2   1 2

(thử chứng minh công thức trên)

 Đặc biệt A  n A n

3) Bài toán tìm số ánh xạ từ 1 tập hữu hạn đến 1 tập hữu hạn

Cho A có k phần tử, B có m phần tử Từ A đến B có thể thiết lập được bao nhiêu ánh xạ?

Với mỗi ánh xạ f từ A tới B, ta cho ứng với bộ ảnh của k phần tử a1,a2, ,a k là

f(a1), f(a2), ,f(a k) là một bộ k–sắp thứ tự trong B hay là một phần tử của tích Đềcác B k

Tương ứng này là 1–1 nên số ánh xạ f từ A vào B bằng B k B k m k

4) Bài toán về số tập con của một tập hợp hữu hạn :

Chứng minh rằng số tất cả các tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2n

Giải: dùng quy nạp, gọi T(A) là tập chứa tất cả các tập con của A

với n = 1, A chỉ có 2 tập con là rỗng và chính nó, T(A) 2

giả sử tập hợp A gốm k phần tử a1,a2, ,a k có 2k tập con Nếu ghép vào A một phần tử a k 1 nữa ta được tập A’ có k + 1 phần tử T(A’) được chia thành 2 phần, một phần gồm tất cả tập con có chứa a và phần kia gồm các tập con không chứa k 1 a k 1 Kí hiệu A* là một tập con nào đó của A’ chứa a , k 1 A * T(A')\T(A) Khi đó với mỗi tập con A* của A’, ta đặt tương ứng với tập phần bù của nó trong A’, tức là A’\A*, tập này không chứa a k 1 nên là con của

A Tương ứng này là 1–1 nên số tập con A* của A’ bằng với số tập con của A là 2k Ngoài ra

 *

) ( ) '

1 2 2 2 ) ( 2 ) '





A

T

Vậy nếu A có n phần tử thì T(A) 2n

Cách giải khác: cho A có n phần tử, xét tập Y  0,1 Với mỗi tập con B của A ta lập một ánh xạ f :A Y sao cho nếu x  B thì f(x) = 1, nếu x  B thì f(x) = 0 Tương ứng từ T(A) đến tập các ánh xạ như trên là 1–1 nên T (A) bằng số các ánh xạ từ A tới Y và bằng 2k

5) Chứng minh quy tắc cộng và quy tắc nhân của phép đếm

Quy tắc cộng : Một bài toán chọn sao cho ít nhất một trong các khả năng A1,A2, ,A k xảy ra

có thể chia thành k trường hợp A1,A2, ,A k, mỗi trường hợp A i, i 1,k có a cách chọn, giả i

sử không có cách chọn của A nào có phần chung với cách chọn của i A Kết quả là có j 



k

i i

a

1 cách chọn

Để giải quyết bài toán chọn đó ta xét k tập hợp A1,A2, ,A ktrong đó A iA j ,i,j1,k,

mỗi cách chọn a là một phần tử của i A , yêu cầu của bài toán là tìm số phần tử của i 

k

i i

A

1

 , do

đó số cách chọn là 







k

i i k

i

A

1 1



Hệ quả: Số cách chọn của bài toán A trong X, (tức nếu thỏa A thì không chọn) là

A X

A  

Có thể mở rộng quy tắc cộng cho k trường hợp tùy ý ( có giao)

Quy tắc nhân: Bài toán chọn đồng thời A1,A2, ,A k, mỗi công đoạn A i, i 1,k có a cách chọn i

có kết quả là a1.a2 a k cách chọn

Ta xét mỗi bộ cách chọn A1,A2, ,A knhư là một phần tử của tích đề các A1A2 A k, số

cách chọn theo yêu cầu bài toán là số phần tử của tập tích Đềcác tức là a1.a2 a k

IV) Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp :

1) Hoán vị :

VD1: Tìm số song ánh có thể lập được từ tập A có n phần tử lên chính nó

VD2: có bao nhiêu cách xếp thứ tự tập hợp 1;2; ; n sao cho các số chẵn đều ở vị trí chẵn

2) Chỉnh hợp :

Tìm số đơn ánh có thể lập từ tập A có k phần tử đến tập B có n phần tử, với 1k  n

Trong mặt phẳng cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu đường gấp khúc hở, bao nhiêu đường gấp khúc khép kín gồm k cạnh được tao thành

3) Tổ hợp :

Trong tập hợp A gồm n phần tử a1,a2, a n chứng minh rằng số tập con chứa phần tử a i

bằng số tập con không chứa a i

Ta gọi X là tập tất cả tập con chứa a , Y là tập tất cả tập con không chứa i a và lập ánh xạ f đi i

từ X vào Y sao cho ứng với mỗi tập con B chứa a , f(B) là tập phần bù của B trong A, f là i

đơn ánh Ngược lại mỗi tập B’ trong Y đều là ảnh của A\B’ nên f là toàn ánh Suy ra f song ánh nên X  Y

Bằng ngôn ngữ tập hợp, hãy chứng minh tính chất C n k C n nk

 và C n k C n k C n k

1 1

V) Chỉnh hợp lặp :

1) Định nghĩa

Cho tập hợp X a1,a2, ,a n , từ X ta lấy ra 1 phần tử, sau đó bỏ phần tử đó trở lai X, tiếp

tục lấy phần tử thứ hai,… cứ như thế đến khi lấy được phần tử thứ k, ta được một bộ k–sắp

thứ tự gọi là một chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử (vì phần tử lấy ra lần sau có thể lặp

lại phần tử đã lấy ra trước đó)

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: k k

A 

chứng minh: cách 1

ta chia làm k giai đoạn: mỗi giai đoạn có n cách chọn phần tử để lấy nên có n cách lập chỉnh k

hợp lặp chập k của n phần tử

cách 2: mỗi chỉnh hợp lăp chập k của n phần tử có thể xem là một phần tử của tích Đề các X k

, do đó số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử bằng số phần tử của tích bằng n k

2) Bài tập:

1/ Có bao nhiêu cách chọn để cất 10 món đồ vào 4 hộp, biết rằng mỗi hộp có thể đựng cả 10 món?

2/ Có bao nhiêu số điện thoại bàn được tạo biết các số đó phải bắt đầu bằng 38, 39, 24 hoặc 25

và mỗi số điện thoại bàn có 8 chữ số?

3/ Trong máy tính mỗi kí tự được xem bằng một byte mã hóa bằng một chuỗi nhị phân có 8 chữ số Với cách mã hóa như vậy có thể biểu diễn được bao nhiêu kí tự?

4/ Một người vào nhà sách mua một số sách Trong nhà sách có n tựa sách, mỗi tựa sách có p bản Hỏi người đó có bao nhiêu quyết định chọn mua sách mà không ra về tay không?

5/ Trên cùng một loại vải có 5 màu khác nhau, nhà thiết kế cho phép 3 xướng ngôn viên đài truyền hình chọn một trong số 7 kiểu áo khác nhau và chọn màu để may cho họ khi cùng dẫn một chương trình Hỏi họ có bao nhiêu sự lựa chọn? HD: có 35 màu và kiểu để 3 người chọn, nên có 35 sự lựa chọn.3

6/ Có bao nhiêu kết quả khác nhau từ việc tung một đồng xu n lần?

7/ Có bao nhiêu kết quả khác nhau từ việc gieo một xúc xắc n lần?

9/ Một hình chữ nhật có thể chia thành n.p ô vuông (n cột, p dòng) Có bao nhiêu cách đặt n vật vào các ô vuông đó, mỗi ô chỉ chứa được 1 vật, sao cho không có 2 vật nào thuộc cùng một cột (có thể cùng dòng) biết:

a) n vật đó giống hệt nhau

b) các vật đó khác nhau đôi một

HD: a) chọn p dòng cho mỗi cột là chỉnh hợp có lặp chập p của n phần tử b) chọn cột cho n vật khác nhau có n! cách, trong mỗi cột lại chọn trong p dòng, nên có …

VI) Hoán vị lặp :

1) Định nghĩa :

Hoán vị có lặp cấp n kiểu k1,k2, ,k m là một chỉnh hợp có lặp chập n của m phần tử trong đó

quan tâm đến số lần lặp lại của phần tử thứ i là k Như vậy i k1k2  k m n

Số hoán vị lặp cấp n kiểu k1,k2, ,k m của m phần tử

!

!

!

! )

, , , (

2 1 2

1

m m

n

k k k

n k

k k

Chứng minh: Nếu thay k các phần tử thứ i bằng các phần tử khác nhau thì ta được một hoán i

vị không lặp với n phần tử C n(k1,k2, ,k m)k1!k2! k m!n!

2) Số phân hoạch của một tập hợp hữu hạn :

Cho tập hợp X có n phần tử, có thể phân chia tập X thành m tập con rời rạc X i, i 1,m có số phần tử theo thứ tự là k Số cách phân chia đó (gọi là số phân hoạch của X theo kiểu i k ) là i

!

!

!

! )

, , , (

2 1 2

1

m m

n

k k k

n k

k k

3) Ví dụ:

 có bao nhiêu cách gieo một xúc xắc 21 lần với 1 lần xuất hiện số 1, 2 lần xuất hiện số 2,…, 6 lần xuất hiện số 6?

 có bao nhiêu cách gieo một đồng xu n lần trong đó có đúng k lần xuất hiện mặt sấp?

k n k

n k

n k







)!

(

! )

, (

5) Bài tập

1/ Có bao nhiêu cách đặt 2 đèn xanh và 4 đèn đỏ thành 1 hàng

2/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số biết chữ số 2 có mặt ba lần, chữ số 1 có mặt hai lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần

3/ Có bao nhiêu cách chia 10 người thành ba nhóm sao cho số người trong mỗi nhóm theo thứ

tự là 2, 3, 5

4/ Có bao nhiêu số được hoán vị từ số 19001289

5/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm m+n phần tử thành hai nhóm lần lượt chứa m và n phần tử?

Ví dụ: chia a,b,c,d thành hai nhóm mỗi nhóm 2 phần tử

6/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm 2m phần tử thành hai nhóm, mỗi nhóm m phần tử? 7/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm m+n+p phần tử thành ba nhóm lần lượt chứa m, n

và p phần tử?

8/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm 3m phần tử thành ba nhóm, mỗi nhóm m phần tử? 9/ Có 9 chữ số 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5 Có bao nhiêu số khác nhau gồm 6 chữ số rút ra từ các số đó?

VII) Tổ hợp lặp :

1) Định nghĩa :

Cho n phần tử Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử trong đó các

phần tử có thể trùng lặp lại lấy từ n phần tử đã cho

Lưu ý: gọi là nhóm, không gọi là tập hợp vì trong tập hợp mỗi phần tử chỉ được viết đúng một lần

2) Ví dụ :

a) Tổ hợp lặp chập 3 của 2 phần tử a; là aaa, aab, abb, bbb b

b) Tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử a ;;b c là aa, ab, ac, bc, bb, cc

3) Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là 1

1 1









 n k k n n k

k

C

Chứng minh:

Cách 1:Cho tập hợp X có n phần tử, mỗi tổ hợp lặp chập k của được xem như một đơn thức có

n k

a 1 2

2

1 trong đó a1;a2; ;a n là n phần tử của X, k1;k2; ;k n là các số tự nhiên thỏa

k k k

k

k i 0 và 1 2   n  Đặt k i1l i , ta có l i0 vàl1l2  l n kn(1) Số các đơn

thức như vậy được tạo thành chính là số nghiệm nguyên dương của phương trình (1)

Trong PT (1) ta chỉ cần xác định n–1 nghiệm l1l2  l n1 Ta dùng một cây thước thẳng 2 đầu mút AB dài n + k cm Ứng với mỗi nghiệm l ta lấy điểm i M sao cho i AM  , 1 l1 M1M2 l2,…,

1 1

M

(khi đó đương nhiên M n1Bl n) Số nghiệm nguyên dương của PT(1) cũng là số cách chọn n–1 điểm vạch cm trên thước (có n+k–1 vạch như thế) nên sẽ có 1 1





n k n

C cách chọn

Cách 2: Ta lập một tương ứng mỗi tổ hợp lặp chập k của n phần tử với một dãy nhị phân được

sắp xếp như sau: k chữ số 1, số 0, 1 k chữ số 1, số 0,…, 2 k chữ số 1 Tương ứng này là 1–1 n

Trong dãy nhị phân đó có k chữ số 1 và n –1 chữ số 0, tức là một hoán vị lặp cấp n+k–1, kiểu k, n–1 nên có 1

1







n k n

C dãy nhị phân như thế

4) Bài tập :

1/ Có bao nhiêu cách chọn 4 ly nước uống trong 5 loại nước uống?

2/ Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số lấy từ các số 1, 2, 3 và các chữ số trong mỗi số được xếp theo

thứ tự không giảm?

3/ Có bao nhiêu cách chọn 2 tờ giấy bạc trong các loại giấy 20.000, 50.000, 100.000, 500.000 ? 4/ Tìm số nghiệm tự nhiên của phương trìnhx1x2 x m n

5/ Có bao nhiêu đơn thức bậc 7 theo 3 biến a, b, c ?

VIII) Áp dụng vào khai triển đa thức :

1) Nhị thức Newton

Xem            

lân

n

b