(Tiểu luận) học phần lí thuyết tối ưu tuyến tính bài tập nhóm chương 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC HỌC PHẦN LÍ THUYẾT TỐI ƯU TUYẾN TÍNH BÀI TẬP NHÓM CHƯƠNG Giảng viên hướng dẫn: Phạm Duy Khánh Nhóm thực hiện: Nhóm TP Hồ Chí Minh - tháng năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC HỌC PHẦN LÍ THUYẾT TỐI ƯU TUYẾN TÍNH BÀI TẬP NHĨM CHƯƠNG Giảng viên hướng dẫn: Phạm Duy Khánh Nhóm thực hiện: Nhóm Trần Đặng Minh Tân (nhóm trưởng) MSSV: 47.01.101.123 Phạm Lê Hồng Thơng MSSV: 47.01.101.128 Lê Gia Huy MSSV: 47.01.101.084 Hồ Thị Thu Hồng MSSV: 4501101028 Trần Quang Minh MSSV: 47.01.101.097 Đặng Công Minh Khôi MSSV: 47.01.101.091 Đồn Cao Minh Trí MSSV: 47.01.101.047 Phan Trọng Tín MSSV: 47.01.101.133 Nguyễn Đại Nghĩa MSSV: 47.01.101.102 10 Nguyễn Hữu Quân MSSV: 4501101089 11 Trần Hoàng Lộc MSSV: 47.01.101.022 Lớp học phần: MATH140303 Ca học: Chiều thứ TP Hồ Chí Minh - tháng năm 2023 Bài tập nhóm chương Nhóm - Chiều thứ hai Bảng phân chia nhiệm vụ Trần Đặng Minh Tân Bài tập 3.4 Phạm Lê Hồng Thơng Bài tập 3.8a Lê Gia Huy Bài tập 3.2 Hồ Thị Thu Hồng Bài tập 3.8b,c Trần Quang Minh Bài tập 3.5 Đặng Công Minh Khôi Bài tập 3.7 Đồn Cao Minh Trí Bài tập 3.1 Phan Trọng Tín Bài tập 3.1 Nguyễn Đại Nghĩa Bài tập 3.6 10 Nguyễn Hữu Quân Bài tập 3.3 11 Trần Hoàng Lộc Bài tập 3.3 Bài tập nhóm chương Nhóm - Chiều thứ hai Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập mở, tập đóng 1.2 Điểm trong, phần Điểm dính, bao đóng Điểm biên, tập biên 1.3 Tập bị chặn 1.4 Ảnh ảnh ngược 1.5 Ánh xạ tuyến tính 1.6 Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính 1.7 Đoạn thẳng, đường thẳng qua qua điểm 1.8 Tích vơ hướng 1.9 Chuẩn Euclide 1.10 Phương trình tổng quát m-phẳng BÀI TẬP CHƯƠNG 2.1 Bài tập 3.1 2.2 Bài tập 3.2 2.3 Bài tập 3.3 11 2.4 Bài tập 3.4 13 2.5 Bài tập 3.5 15 2.6 Bài tập 3.6 18 2.7 Bài tập 3.7 21 2.8 Bài tập 3.8 22 Bài tập nhóm chương Nhóm - Chiều thứ hai KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập mở, tập đóng n n Định nghĩa Tập X ⊂ R gọi tập mở R với x thuộc X, tồn cầu mở tâm x nằm trọn X, nghĩa ∀x ∈ X, ∃r > : B(x, r) ⊂ X n n Định nghĩa Tập Y ⊂ R gọi tập đóng R R \ Y tập mở Định nghĩa Trong khơng gian metric, A đóng dãy A, hội tụ điểm giới hạn thuộc A n + Định nghĩa Cho x0 ∈ R r ∈ R Khi đó, ta có định nghĩa sau: n Quả cầu mở tâm x0 bán kính r khơng gian R tập hợp xác định bởi: n B(x0, r){x ∈ R :∥ x − x0 ∥< r} n Quả cầu đóng tâm x0 bán kính r khơng gian R tập hợp xác định bởi: ′ n B (x0, r){x ∈ R :∥ x − x0 ≤ r} n Quả cầu tâm x0 bán kính r khơng gian R tập hợp xác định bởi: n S(x0, r) {x ∈ R :∥ x − x0 ∥= r} Định lý Các khẳng định sau đúng: n n Tập ∅ R hai tập mở R i) n n ii) Tập ∅ R hai tập đóng R iii) Hợp họ tập mở R tập mở iv) Hợp họ hữu hạn tập đóng R tập đóng v) Giao họ hữu hạn tập mở R tập mở vi) Giao họ tập đóng R tập đóng n n n n 1.2 Điểm trong, phần Điểm dính, bao đóng Điểm biên, tập biên Định nghĩa Điểm x gọi điểm A tồn tập U mở chứa x nằm trọn A ◦ Tập hợp tất điểm A gọi phần A, kí hiệu A intA Bài tập nhóm chương Nhóm - Chiều thứ hai Định nghĩa • rỗng Điểm x ∈ X gọi điểm dính A tập mở chứa x giao A khác • Tập hợp tất điểm dính A gọi bao đóng A, kí hiệu A • Như vậy, x ∈ A ⇔ V ∩ A ̸= ∅, ∀V mở chứa x • A tập đóng nhỏ chứa A Định nghĩa Nếu x điểm dính A X \ A x gọi điểm biên A Tập hợp tất điểm biên A gọi biên A kí hiệu ∂A Ta có ∂A = A ∩ X \ A Mệnh đề Các mệnh đề sau đúng: ◦ (i) X\A=X\A ◦ (ii) X\A=X\A ◦ (iii) ∂A=A\A 1.3 Tập bị chặn Định nghĩa (i) A tập bị chặn ⇔ ∃M > : ∥x∥ ≤ M, ∀x ∈ A (ii) A tập khơng bị chặn ⇔ ∀M > bất kì, ∃x ∈ A : ∥x∥ > M Bài tập nhóm chương Nhóm - Chiều thứ hai 1.4 Ảnh ảnh ngược Định nghĩa Cho ánh xạ f : X −→ Y , A tập X, B tập Y Ta định nghĩa • f(A) := {f(x) : x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃x ∈ A, y = f(x)} ảnh A f • f (B) := {x ∈ X : f(x) ∈ B} ảnh ngược B f −1 1.5 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho V U hai không gian vector, ánh xạ f : V −→ U ánh xạ tuyến tính f thoả mãn tính chất sau: (i) Với α, β ∈ V : f(α + β) = f(α) + f(β) (ii) Với a ∈ R, α ∈ V : f(aα) = af(α) Định nghĩa 1.6 Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Cho hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn a11x1 + a12x2 + + a1nxn a21x1 + a22x2 + + a2nxn = = am1x1 + am2x2 + + amnxn =0 (I) Tập nghiệm N hệ phương trình tuyến tính (I) khơng gian vector n R Không gian gọi không gian nghiệm hệ (I) a a11 12 a1n a a21 Đặt A = a m1 22 a m2 a2n amn Nếu ký hiệu r = rankA số chiều không gian nghiệm hệ (I) là: dimN = n − r Bài tập nhóm chương Nhóm - Chiều thứ hai 1.7 Đoạn thẳng, đường thẳng qua qua điểm n Định nghĩa i) Đường thẳng qua hai điểm x, y ∈ R (x ̸= y) tập hợp: dA = {λx + (1 − λ)y, λx + (1 − λx + (1 − λ)y, λ)y, λx + (1 − λ)y, λ ∈ R} n ii) Đoạn thẳng qua hai điểm x, y ∈ R (x ̸= y) tập hợp: dB = {λx + (1 − λ)y, λx + (1 − λx + (1 − λ)y, λ)y, λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]}.} n iii) Tập M chứa đường thẳng tức tồn x, y ∈ R (x ̸= y) cho dA ⊂ M 1.8 Tích vơ hướng n Định nghĩa Cho x, y ∈ R , với x = (x1, x2, , xn) , y = (y1, y2, , yn) Tích vơ hướng hai vector x y, ký hiệu x, y , môt số thực xác định sau: x, y := x1y1 + x2y2 + + xnyn Để đơn giản người ta thường viết tích vơ hướng xy thay x, y , khơng mang đến nhầm lẫn n Tính chất Với x, y, z ∈ R λx + (1 − λ)y, λ ∈ R, ta có tính chất sau: i) x, x ≥ Đẳng thức xảy chi x = ii) x, y = y, x iii) λx + (1 − λ)y, λx, y = λx + (1 − λ)y, λ x, y iv) x, y + z = x, y + x, z 1.9 Chuẩn Euclide n Định nghĩa Chuẩn Euclide vector x ∈ R , ký hiệu ∥x∥, số thực xác định sau: ∥x∥ := x, x n Tính chất Với x, y ∈ R α ∈ R, ta có tính chất sau: i) ∥αx∥ = |α| xα|α| x x∥ ii) |α| x x, y |α| x ≤ ∥x∥∥y∥ iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ iv) ∥x∥ − ∥y∥ |α| x≤ ∥x − y∥ Bài tập nhóm chương Nhóm - Chiều thứ hai 1.10 Phương trình tổng qt m-phẳng Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính có dạng sau gọi phương trình tổng qt m-phẳng: n bijxj + bi = 0, i = 1, 2, , n − m j=1 Ngược lại, hệ phương trình tuyến tính có dạng B ma trận cấp n − m xác định m-phẳng