Học phần lí thuyết tối ưu tuyến tính bài tập nhóm chương 2

a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC HỌC PHẦN LÍ THUYẾT TỐI ƯU TUYẾN TÍNH BÀI TẬP NHĨM CHƯƠNG Giảng viên hướng dẫn: Phạm Duy Khánh Nhóm thực hiện: Nhóm TP Hồ Chí Minh - tháng năm 2023 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g h a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC HỌC PHẦN LÍ THUYẾT TỐI ƯU TUYẾN TÍNH BÀI TẬP NHĨM CHƯƠNG Giảng viên hướng dẫn: Phạm Duy Khánh Nhóm thực hiện: Nhóm Trần Đặng Minh Tân (nhóm trưởng) MSSV: 47.01.101.123 Phạm Lê Hồng Thơng MSSV: 47.01.101.128 Lê Gia Huy MSSV: 47.01.101.084 Hồ Thị Thu Hồng MSSV: 4501101028 Trần Quang Minh MSSV: 47.01.101.097 Đặng Công Minh Khôi MSSV: 47.01.101.091 Đồn Cao Minh Trí MSSV: 47.01.101.047 Phan Trọng Tín MSSV: 47.01.101.133 Nguyễn Đại Nghĩa MSSV: 47.01.101.102 10 Nguyễn Hữu Quân MSSV: 4501101089 11 Trần Hoàng Lộc MSSV: 47.01.101.022 Lớp học phần: MATH140303 Ca học: Chiều thứ TP Hồ Chí Minh - tháng năm 2023 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g h Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương Bảng phân chia nhiệm vụ Trần Đặng Minh Tân Bài tập 3.4 Phạm Lê Hồng Thơng Bài tập 3.8a Lê Gia Huy Bài tập 3.2 Hồ Thị Thu Hồng Bài tập 3.8b,c Trần Quang Minh Bài tập 3.5 Đặng Cơng Minh Khơi Bài tập 3.7 Đồn Cao Minh Trí Bài tập 3.1 Phan Trọng Tín Bài tập 3.1 Nguyễn Đại Nghĩa Bài tập 3.6 10 Nguyễn Hữu Quân Bài tập 3.3 11 Trần Hoàng Lộc Bài tập 3.3 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập mở, tập đóng 1.2 Điểm trong, phần Điểm dính, bao đóng Điểm biên, tập biên 1.3 Tập bị chặn 1.4 Ảnh ảnh ngược 1.5 Ánh xạ tuyến tính 1.6 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính 1.7 Đoạn thẳng, đường thẳng qua qua điểm 1.8 Tích vơ hướng 1.9 Chuẩn Euclide 1.10 Phương trình tổng quát m-phẳng BÀI TẬP CHƯƠNG 2.1 Bài tập 3.1 2.2 Bài tập 3.2 2.3 Bài tập 3.3 11 2.4 Bài tập 3.4 13 2.5 Bài tập 3.5 15 2.6 Bài tập 3.6 18 2.7 Bài tập 3.7 21 2.8 Bài tập 3.8 22 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 1.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tập mở, tập đóng Định nghĩa Tập X ⊂ Rn gọi tập mở Rn với x thuộc X, tồn cầu mở tâm x nằm trọn X, nghĩa ∀x ∈ X, ∃r > : B(x, r) ⊂ X Định nghĩa Tập Y ⊂ R gọi tập đóng Rn Rn \ Y tập mở Định nghĩa Trong khơng gian metric, A đóng dãy A, hội tụ điểm giới hạn thuộc A Định nghĩa Cho x0 ∈ Rn r ∈ R+ Khi đó, ta có định nghĩa sau: Quả cầu mở tâm x0 bán kính r không gian Rn tập hợp xác định bởi: B(x0 , r){x ∈ Rn :∥ x − x0 ∥< r} Quả cầu đóng tâm x0 bán kính r không gian Rn tập hợp xác định bởi: B ′ (x0 , r){x ∈ Rn :∥ x − x0 ∥≤ r} Quả cầu tâm x0 bán kính r không gian Rn tập hợp xác định bởi: S(x0 , r) {x ∈ Rn :∥ x − x0 ∥= r} Định lý Các khẳng định sau đúng: i) Tập ∅ Rn hai tập mở Rn ii) Tập ∅ Rn hai tập đóng Rn iii) Hợp họ tập mở Rn tập mở iv) Hợp họ hữu hạn tập đóng Rn tập đóng v) Giao họ hữu hạn tập mở Rn tập mở vi) Giao họ tập đóng Rn tập đóng 1.2 Điểm trong, phần Điểm dính, bao đóng Điểm biên, tập biên Định nghĩa Điểm x gọi điểm A tồn tập U mở chứa x nằm trọn A ◦ Tập hợp tất điểm A gọi phần A, kí hiệu A intA Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương Định nghĩa • Điểm x ∈ X gọi điểm dính A tập mở chứa x giao A khác rỗng • Tập hợp tất điểm dính A gọi bao đóng A, kí hiệu A • Như vậy, x ∈ A ⇔ V ∩ A ̸= ∅, ∀V mở chứa x • A tập đóng nhỏ chứa A Định nghĩa Nếu x điểm dính A X \ A x gọi điểm biên A Tập hợp tất điểm biên A gọi biên A kí hiệu ∂A Ta có ∂A = A ∩ X \ A Mệnh đề Các mệnh đề sau đúng: ◦ (i) X \ A = X \ A ◦ z }| { (ii) X \ A = X \ A ◦ (iii) ∂A = A \ A 1.3 Tập bị chặn Định nghĩa (i) A tập bị chặn ⇔ ∃M > : ∥x∥ ≤ M, ∀x ∈ A (ii) A tập không bị chặn ⇔ ∀M > bất kì, ∃x ∈ A : ∥x∥ > M Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 1.4 Ảnh ảnh ngược Định nghĩa Cho ánh xạ f : X −→ Y , A tập X, B tập Y Ta định nghĩa • f (A) := {f (x) : x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃x ∈ A, y = f (x)} ảnh A f • f −1 (B) := {x ∈ X : f (x) ∈ B} ảnh ngược B f 1.5 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho V U hai không gian vector, ánh xạ f : V −→ U ánh xạ tuyến tính f thoả mãn tính chất sau: (i) Với α, β ∈ V : f (α + β) = f (α) + f (β) (ii) Với a ∈ R, α ∈ V : f (aα) = af (α) Định nghĩa 1.6 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Cho hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn =0      a x + a x + + a x =0 21 22 2n n (I)       a x + a x + + a x = m1 m2 mn n Tập nghiệm N hệ phương trình tuyến tính (I) không gian vector n R  Không gian  gọi không gian nghiệm hệ (I) a11 a12 a1n    a21 a22 a2n    Đặt A =       am1 am2 amn Nếu ký hiệu r = rankA số chiều khơng gian nghiệm hệ (I) là: dimN = n − r Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 1.7 Đoạn thẳng, đường thẳng qua qua điểm Định nghĩa i) Đường thẳng qua hai điểm x, y ∈ Rn (x ̸= y) tập hợp: dA = {λx + (1 − λ)y, λ ∈ R} ii) Đoạn thẳng qua hai điểm x, y ∈ Rn (x ̸= y) tập hợp: dB = {λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]} iii) Tập M chứa đường thẳng tức tồn x, y ∈ Rn (x ̸= y) cho dA ⊂ M 1.8 Tích vơ hướng Định nghĩa Cho x, y ∈ Rn , với x = (x1 , x2 , , xn ) , y = (y1 , y2 , , yn ) Tích vơ hướng hai vector x y, ký hiệu ⟨x, y⟩, môt số thực xác định sau: ⟨x, y⟩ := x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Để đơn giản người ta thường viết tích vơ hướng xy thay ⟨x, y⟩, khơng mang đến nhầm lẫn Tính chất Với x, y, z ∈ Rn λ ∈ R, ta có tính chất sau: i) ⟨x, x⟩ ≥ Đẳng thức xảy chi x = ii) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ iii) ⟨λx, y⟩ = λ⟨x, y⟩ iv) ⟨x, y + z⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩ 1.9 Chuẩn Euclide Định nghĩa Chuẩn Euclide vector x ∈ Rn , ký hiệu ∥x∥, số thực xác định sau: ∥x∥ := p ⟨x, x⟩ Tính chất Với x, y ∈ Rn α ∈ R, ta có tính chất sau: i) ∥αx∥ = |α|∥x∥ ii) |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥ iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ iv) ∥x∥ − ∥y∥ |≤ ∥x − y∥ Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 1.10 Phương trình tổng qt m-phẳng Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính có dạng sau gọi phương trình tổng quát m-phẳng: n X i = 1, 2, , n − m bij xj + bi = 0, j=1 Ngược lại, hệ phương trình tuyến tính có dạng B ma trận cấp n − m xác định m-phẳng Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương BÀI TẬP CHƯƠNG 2.1 Bài tập 3.1 Bài tập 3.1 Cho P tập lồi đa diện x ∈ P Chứng minh (a) Nếu x điểm P hướng d ∈ Rn hướng chấp nhận x (b) Nếu d hướng chấp nhận x tồn θ > cho đoạn /[x, x+ θd] ⊂ P Bài làm (a) Giả sử x điểm nằm P Ta chứng minh: tồn θ > để x + θd ∈ P Vì x ∈ int(P ) nên tồn r > cho B(x, r) ⊂ P (Ta giả sử r < 1) r2 với d ∈ Rn , ta có: Khi chọn θ = ∥d∥ r2 ∥(x + θd) − x∥ = ∥θd∥ = ∥d∥∥ ∥ = r2 < r ∥d∥ Suy x + θd ∈ B(x, r) ⊂ P Vậy với hướng d ∈ Rn hướng chấp nhận x (b) Vì d hướng chấp nhận nên tồn θ > để x + θd ∈ P Do P tập lồi đa diện x, x + θd ∈ P nên đoạn thẳng nối hai điểm thuộc P hay [x, x + θd] ⊂ P Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 2.3 Bài tập 3.3 Bài tập 3.3 (Điều kiện tối ưu) Cho P tập lồi đa diện, xét toán quy hoạch tuyến tính sau:   ⟨c, x⟩ →  x ∈ P Chứng minh rằng: a Phương án x nghiệm toán ⟨c, d⟩ ≥ với hướng chấp nhận d x b Phương án x nghiệm toán khi ⟨c, d⟩ > với hướng chấp nhận d ̸= x Bài làm a *Chiều thuận: Ta giả sử x nghiệm toán, ta cần chứng minh ⟨c, d⟩ ≥ với hướng chấp nhận d x Gải sử x nghiệm toán, x ∈ P , lấy d hướng chấp nhận tùy ý x, tồn θ > cho x + θd ∈ P , với x∗ thuộc P tùy ý, đặt x∗ = x + θd, ta có ⟨c, d⟩ ≤ ⟨c, x∗ ⟩ Ta biến đổi cách dùng tích vơ hướng, ta có: ⟨c, x⟩ ≤ ⟨c, x∗ ⟩ ⇒ ⟨c, x⟩ ≤ ⟨c, x⟩ + ⟨c, θd⟩ Do θ > nên ta có ⟨c, d⟩ ≥ *Chiều nghịch: Ta giả sử ⟨c, d⟩ ≥ với hướng chấp nhận x, ta cần chứng minh phương án x nghiệm toán Lấy x∗ ∈ P tùy ý, ta viết lại x∗ = x+(x∗ −x).1, ta có θ = > 0, d = x∗ −x hướng chấp nhận , theo giả thiết ⟨c, d⟩ ≥ hay ta viết lại ⟨c, (x∗ − x)⟩ ≥ ⇒ ⟨c, x∗ ⟩ ≥ ⟨c, x⟩ Vậy x nghiệm toán b *Chiều thuận: Ta giả sử phương án x nghiệm tốn ⟨c, d⟩ > với 11 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương hướng chấp nhận d ̸= x Ta có định nghĩa: x0 nghiệm toán với x ∈ P, x ̸= x0 cho ⟨c, x⟩ > ⟨c, x0 ⟩ Ta giả sử x nghiệm tốn theo câu a, lấy d hướng chấp nhận tùy ý x, tồn θ > cho x + θd ∈ P , ta lấy x∗ ∈ P tùy ý, x∗ ̸= x, đặt x∗ = x + θd, x nghiệm nên ⟨c, x⟩ < ⟨c, x∗ ⟩ hay ta viết lại ⟨c, x⟩ < ⟨c, x + θd⟩ ⇒ ⟨c, θd⟩ > 0, mà θ > nên ⟨c, d⟩ > * Chiều nghịch: Ta giả sử ⟨c, d⟩ > với hướng chấp nhận d ̸= x, ta cần chứng minh phương án x nghiệm tốn Ta có giả thiết ⟨c, d⟩ > 0, với hướng chấp nhận d ̸= x, ta lấy tùy ý x∗ ∈ P, x∗ ̸= x với x∗ viết dạng x∗ = x + (x∗ − x).1, ta có d hướng chấp nhận d = x∗ − x ̸= Theo giả thuyết ta có ⟨c, d⟩ ⇒ ⟨c, x∗ − x⟩ > hay ⟨c, x∗ ⟩ > ⟨c, x⟩ Theo định nghĩa trên, ta có x nghiệm tốn 12 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 2.4 Bài tập 3.4 Bài tập 3.4 Cho  tốn QHTT dạng tắc sau:  x1 + x2 + 5x3 →     x + x − 4x + x = 4  x1 − x2 + 2x3 − x5 =      x ,x ,x ,x ,x ≥ a Chứng minh vector x = (3, 1, 0, 0, 0) nghiệm sở chấp nhận toán b Dùng định lí 3.6 để kiểm tra x = (3, 1, 0, 0, 0) có nghiệm tốn khơng? Nếu x = (3, 1, 0, 0, 0) không nghiệm xây dựng bước lặp phương pháp đơn hình với nghiệm sở chấp nhận ban đầu x Bài làm a x nghiệm sở, vì: + x thỏa mãn ràng buộc đẳng thức:  3 + − 4.0 + = 3 − + 2.0 − = + Hai vector (1, 1, −4, 1, 0) (1, −1, 2, 0, −1) tạo nên hai ràng buộc độc lập tuyến tính Đồng thời, x thỏa mãn ràng buộc Do đó, x = (3, 1, 0, 0, 0)là nghiệm sở  chấpnhận  1 −4 , b =   tốn b Ta có: c = (1, 1, 5, 0, 0), A =  −1 −1   1  Chọn B(1) = 1,B(2) = 2, ma trận sở B =  −1 *Tính giá trị giảm với số không cơsở:   + *  1  −4  c3 = c3 − ⟨cB , B −1 A3 ⟩ = −   ,  12 −1 .  = 2    + *  1   c4 = c4 − ⟨cB , B −1 A4 ⟩ = −   ,  12 −1    = −1 2    + *  1   c5 = c5 − ⟨cB , B −1 A5 ⟩ = −   ,  12 −1 .  = −1 2   2 −1 Chọn j = 4, u = B A4 =   13 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương   xB(1) xB(2) xB(i) = , = {6; 2} = Đặt θ∗ = {i=1,2:ui >0} ui u2  u1  1  Do l = 2, suy ra: B =  Lúc ta có nghiệm sở chấp nhận y = (2, 0, 0, 2, 0) Ta có:   + *   D E 1 −1    = c3 = c3 − cB , B −1 A3 = c2 = c2 − cB , B A2 = 1−   ,  −1 −1   +   + *   *   D E −4 0 1 1    = c5 = c5 − cB , B −1 A5 = 0−   ,  .  = 5−   ,  −1 −1 −1 0 D E Đến đây, theo định lí 3.6, y = (2, 0, 0, 2, 0) nghiệm tốn 14 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 2.5 Bài tập 3.5 Bài tập 3.5 (a) Cho ví dụ tốn QHTT minh họa Nhận xét 3.7(a) (b) Chứng minh phát biểu nêu nhận xét 3.7 (b) Nhận xét 3.7 (a) Tồn vecto x nghiệm sở chấp nhận (suy biến) nghiệm toán cj < với số j không sở (b) Nếu cj > với số khơng sở j x nghiệm toán Ngược lại, x nghiệm sở không suy biến nghiệm tốn cj > với số không sở j Bài làm a) Xét toán QHTT sau:   2x1 + x2 + x3 →      3x + 5x + x =  x1 + 2x2 + x3 =      x ,x ,x ⩾ Khi  ta có:    , b =   hàm mục tiêu φ(x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + x2 + x3 A= −1 Hai cột A1 , A2 ma trận A độc lập tuyến tính Do ta chọn x1 , x2 làm biến sở Ma trận sở tương ứng là:  B = (A1 , A2 ) =    Đặt x3 = giải x1 , x2 ta thu x1 = x2 = Ta thu nghiệm sở chấp nhận suy biến x = (0, 0, 0) Mặt khác, với phương án (x1 , x2 , x3 ), ta có: φ(x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + x2 + x3 ≥ = φ(0, 0, 0) Do (0,0,0) nghiệm suy biến tốn 15 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương Ta xây dựng hướng sở tương ứng với tăng biến không sở x3 Đặt d3 = Hướng thay đổi biến sở cho          −2 dB(1) −5 d1 =  =  = dB = −B −1 A3 = −   ; −5 −1 d2 dB(2) Khi giá trị giảm biến x3 cho công thức: c3 = c3 − cB , B −1 A3 = − (2, 1), (9, −5) = −12 < Vậy ta xây dựng ví dụ toán QHTT với x = (0, 0, 0) nghiệm sở chấp nhận suy biến nghiệm toán c3 = −12 < với số không sở b) i) Chứng minh cj > với số khơng sở j x nghiệm toán Giả sử cj > với số không sở j Theo định lý 3.6, ta suy x nghiệm toán Ta chứng minh x nghiệm toán Giả sử tồn y ̸= x nghiệm toán Do giá trị tối ưu toán QHTT nên c, y = c, x Đặt d = y − x, c, d = (1) Mặt khác x, y phương án toán nên Ad = A(y − x) = Ay − Ax = b − b = Đẳng thức viết lại thành Ad = BdB + X A i di = i∈N với N tập số ứng với biến không sở x, B ma trận sở x Do B khả nghịch nên ta có X X dB = −B −1 Ai di = − B −1 Ai di i∈N i∈N Dẫn đến X c, d = cB , dB + ci di i∈N = cB , − X X B −1 Ai di + ci di i∈N = X i∈N = X i∈N cB , −B −1 Ai di + X ci d i i∈N (ci − cB , B −1 Ai )di i∈N 16 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương = X ci d i i∈N Với số không sở i ∈ N , ta có xi = yi ≥ y phương án Vì di ≥ ci di ≥ với i ∈ N Từ ta X X c, d = ci d i = ci yi i∈N i∈N Do ci > 0, yi > 0, ∀ ∈ N yj > nên X ci yi > Dẫn đến c, d > Điều i∈N mâu thuẫn với (1) Vậy tốn có nghiệm x ii) Ngược lại, nếux nghiệm sở không suy biến nghiệm tốn cj > với số không sở j Giả sử x nghiệm sở không suy biến x nghiệm toán Ta chứng minh cj > với số không sở j Giả sử tồn số không sở j cho cj ≤ Gọi d hướng sở thứ j Do x nghiệm không suy biến nên d hướng sở tập lồi đa diện P Khi tồn θ > cho x + θd ∈ P Mặt khác, dj = 1, di = với i số khơng sở khác j, ta có: X c, d = ci di = ci ≤ i∈N Từ ta có: c, x + θd = c, x + θ c, d ≤ c, x Điều cho thấy x không nghiệm toán (trái giả thiết) Vậy cj > với số không sở j 17 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 2.6 Bài tập 3.6 Bài tập 3.6 Với tham số c1 , c2 , c3 ∈ R, xét tốn quy hoạch tuyến tính sau: c1 x + c2 x2 + c3 x3 x1 − x2 − x3 = −2 x1 − 2x2 + x4 = x1 , x2 , x3 , x4 ≥ a) Tìm nghiệm sở chấp nhận khơng suy biến tập phương án tốn b) Sử dụng định lý 3.6 để tìm điểu kiện cần đủ c1 , c2 , c3 để nghiệm sở vừa thu câu a nghiệm toán c) Chọn c1 , c2 , c3 để tốn có vơ số nghiệm Chỉ hai nghiệm phân biệt toán với c1 , c2 , c3 vừa chọn Bài làm a)    x1 − x2 − x3 = −2    Xét tập phương án P toán QHTT x1 − 2x2 + x4 =     x1 , x2 , x3 ≥     −1 −1 −2  , b =   c = (c1 , c2 , c3 , 0) Ta có A =  −2 −1