Giáo trình tối ưu tuyến tính và ứng dụng phần 2

, , CHUONG , ` TOAN ´ VÂN BAI TAI ˜ ´ hoc ` toan ´ QHTT dô ˘ p bai 4.1 Mô h`ınh toan ¯ í ngâu ca 138 ˜ ` toan ´ gôć va ` bai ` toan ´ dô 4.2 Bai ¯ í ngâu 140 , ˜ ´ t´ınh châ´t cua ca ` toan ´ dô ˘ p bai 4.3 Cac ¯ í ngâu 147 ,, , ˜ ´ tôí uu ca ˘ p dô 4.4 T`ım phuong an ¯ í ngâu 155 ` tâp 4.5 Bai 167 , ` toan ´ vân 6.1 Mô h`ınh bai t , `, kho A , A , A to´,i công ˘ V´ı du 6.1 Câ`n vân tu chuyên xi mang ,, ˜ , ,, ,, ˘ có o môi truo` ng xây du ng B1 , B2 , B3 , B4 Cho biê´t luo ng xi mang , ,, ˜ ,, ,, ,, ˘ câ`n o môi công truo` ng va` gia´ cuo´ c vân kho, luo ng xi mang chuyên ˜ kho to´,i môi ˜ công tru,o`,ng nhu, `, môi ` dô ˘ (ngan tu ¯ `ng) môt tâń xi mang sau: A : 170 A : 200 A : 180 B1 : 130 20 15 45 B2 : 160 18 25 30 B3 : 120 22 30 40 B4 : 140 25 15 35 , `, cac ´ kho to´,i cac ´ ˘ Vâń dê vân tu ¯ ` la` t`ım kê´ hoach chuyên xi mang ,`, , , ´ hê´t luo ng xi mang ˘ công truong cho moi kho phat có, moi công , ,, , , ,`, ˘ truong nhân d¯u luo ng xi mang câ`n va` tông chi ph´ı vân chuyên la` , nho nhâ´t? , , ˘ Lâp ¯ ` nêu có thê mô h`ınh hoa´ nhu sau: Ðat mô h`ınh Vâń dê , , , , , ` kho i ( i = 1, 2, 3) to´ i công ˘ x i j la` luo ng xi mang câ`n vân chuyên tu , ` toan ´ vân 6.1 Mô h`ınh bai tai 215 , ,, ´ biêń sô´ câ`n thoa man ˜ cac ´ diê truo` ng j ( j = 1, 2, 3, 4) Cac ¯ ù kiên sau: ,, ˘ ( A giao hê´t luo ng xi mang), , , ˘ ( A giao hê´t luo ng xi mang), , , ˘ ( A giao hê´t luo ng xi mang), , ˘ (B1 nhân câ`n), 11 21 31 d¯u sô´ xi mang ,  ˘ x12 + x22 + x32 = 160 (B2 nhân câ`n),  d¯u sô´ xi mang   ,   ˘ x13 + x23 + x33 = 120 (B3 nhân câ`n),  d¯u sô´ xi mang   ,    ˘ x14 + x24 + x34 = 140 (B4 nhân câ`n), d¯u sô´ xi mang     x ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, , (lu,o,ng xi mang ˘ không âm) ij (6.1) , , , ` cu.,c tiêu): f = 20 x11 + 18 x12 + Tông chi ph´ı vân chuyên (câ`n lam 22 x13 + 25 x14 + 15 x21 + 25 x22 + 30 x23 + 15 x24 + 45 x31 + 30 x32 + 40 x33 + , , ` toan ´ tro, thanh: ` ´ biêń sô´ x i j thoa man ˜ cac ´ 35 x34 Vây T`ım cac bai , , ` ` f d¯at diê ¯ u kiên (6.1) cho ham cu c tiêu ( f → min) , , `˘ ` toan ´ QHTT dang ´ ˘ biêt, Ðây la` bai d¯ac cac có thê giai bang , ,, ,, , , , , , , ´ ´ ´ ´ d¯a˜ hoc xét cach giai phuong phap o ,chuong truoc Truoc xem , , ` toan ´ vân ` ta xem xét bai ` toan ´ tông quat ´ mo´ i loai bai tai , , ` toan ´ vân ´ Bai tai tông quat , ` ` ˘ hang Cho m diê nao ¯ m A , A , , A m cung câ´p môt loai mat , , , , , d´ ¯o có khôí luo ng tuong u´ ng a , a , , a m , (a i ≥ 0, i = 1, m) Có n , , ,, , ` diê vo´ i sô´ luo ng d` ¯ m tiêu thu B1 , B2 , , B n loai ¯oi hoi , hang , ,, , b , b , , b n , ( b j ≥ 0, j = 1, n) Gia su ph´ı vân ¯ n vi chuyên môt , `, A i , ( i = 1, m) dê ` hang tu ¯ ń B j , ( j = 1, n) la` c i j ¯ n vi tiê`n , , , , ˜ diê `, môi ˜ lâp Hay vân ¯ m cung câ´p to´ i diê ¯ m kê´ hoach chuyên tu , ` tiêu thu hóa cho ¯ n vi hang , ´ noi cung câ´p hang ` ` - Cac giao hê´t sô´ hang có , , ´ diê ` - Cac yêu câù ¯ m tiêu thu dê ¯ ù nhân d¯u hang , , , ,, - Tông cuo´ c ph´ı vân chuyên la` nho nhâ´t ˜ , nhu, sau: Ta thôńg nhâ´t thuât ngu , , , ` Noi cung câ´p hang A i la` diê ´ thu´ i ¯ m phat , , , ` Noi tiêu thu hang B J la` diê ¯ m thu thu´ j    x11 + x12 + x13 + x14 = 170     x21 + x22 + x23 + x24 = 200       x31 + x32 + x33 + x34 = 180     x + x + x = 130 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, ` toan ´ vân Chuong Bai tai 216 , ` toan ´ Xét gio´ i han bai m X = i =1 n X bj j =1 , , , , `˘ ` ´ bang tông hang hóa noi phat tông hang hóa noi tiêu thu Ðiêù kiên ` ` ` goi ˘ thu-phat ´ ¯ u kiên la` diê cân bang ,, Ma trân C = ( c i j )m×n goi la` ma trân cuo´ c ph´ı , ` toan ´ vân Lâp mô h`ınh bai tai , , , ` A i dê ` hóa câ`n chuyên tu Goi ¯ n vi hang ¯ ń B j Tâ´t nhiên x i j la` sô´ x i j ≥ 0, i = 1, m va` j = 1, n , ,, `, A i dê ` ´ di hóa phat Tông luo ng hang ¯ tu ¯ ń moi B j la` a i : x i1 + x i2 + · · · + x in = a i , ( i = 1, m) , ,, `˘ `, moi ` thu vê` B j tu Tông luo ng hang b j: A i , ( i = 1, m) bang x1 j + x2 j + · · · + xm j = b j , ( j = 1, n) m P n , , , , P ,, ` ` c i j x i j cang nho cang tô´t Tông cuo´ c ph´ı phai tra la` i =1 j =1 , ,, , ` toan ´ vân Mô h`ınh bai ¯ o c thiê´t lâp tai du nhu sau: n m X X c i j x i j → f ( x) = (6.2) i =1 j =1 D     x i1 + x i2 + · · · + x in = a i , i = 1, m x1 j + x2 j + · · · + xm j = b j , j = 1, n    (6.3) (6.4) x i j ≥ 0, ( i = 1, m, j = 1, n) (6.5) , ˜ (6.3)-(6.5) goi Ðinh ngh˜ıa 6.1 Ma trân x = ( x i j,)m×n thoa man la` , , , ` toan ´ vân môt ´ cua bai phuong an tai (BTVT); m P n , P ` cho f ( x) = Nêú x lam c i j x i j d¯at gia´ tri nho nhâ´t th`ı goi la` i =1 j =1 , phu,o,ng an ´ tôí u,u cua BTVT , , , , ` ` toan ´ vân ˘ Bai thu´ c rang buôc tai có n × m ân va` có, m,+ n d¯ang va` , , `˘ ` toan ´ QHTT, nên ta có thê giai bang ´ phuong phap ´ d¯a˜ la` môt bai cac , , , ` toan ´ QHTT Nhung câú truc ´ d¯ac ` toan ´ ˘ biêt giai cho bai cua bai , ,, , , ´ gon ta có phuong phap ¯o la` muc ¯ıch nghiên cu´ u cua va` tô´t hon, d´ d´ ,, ` chuong ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , , ` toan ´ vân 6.2 T´ınh châ´t cua bai tai 217 , , ` toan ´ vân 6.2 T´ınh châ´t cua bai t , , ,, , `, mô h`ınh bai ` toan ´ vân ˘ dang Tu vecto vê` ân va` cuo´ c tai, ta d¯at ph´ı: x = ( x11 , x12 , , x1n , x21 , x22 , , x2n , , xm1 , xm2 , , xmn )T , c = ( c 11 , c 12 , , c 1n , c 21 , c 22 , , c 2n , , c m1 , c m2 , , c mn )T , b = (a , a , , a m , b , b , , b n )T        A=      1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0  0                        m n    , , , ` toan ´ vân Bai matrân ¯ a vê` dang tai du nhu sau: f ( x) = c T x → ( Ax = b, x ≥ , , Co˜ cua matrân A la` ( m × n) × ( m + n) Ky´ hiêu A 11 ,,A 12 , , A 1n , A 21 , A 22, , , A 2n , , A m1 , A m2 , , A mn `, trai ´ vecto, côt ´ qua phai va` d i , i = 1, 2, , m + n la` cac ´ la` cac cua, A tu , , vecto dòng thu´ i cua A , , Ðinh ly´ 6.1 Ma trân ` buôc ` toan ´ vân la` rang cua bai tai có hang m + n − 1, ngh˜ıa la` rank A = m + n − , , , `˘ ` Chu´ ng minh Dê˜ thâý rang vecto A i j la` vecto côt có m, + n , , ` ´ ` phâ`n vo´ i phâ`n thu´ i va` m + j có gia´ tri 1, còn tâ´t ca cac ` ´ bang ˜ ˘ phâ`n khac Ta cung thâý A = ( A 11 A 1n A 21 A 2n A m1 A mn ) , Ta câ`n chu´ ng minh rank A = m + n − ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, ` toan ´ vân Chuong Bai tai 218 , Xét m+ n−1 vecto A 1n , A 2n , , A mn , A 11 , A 12 , , A 1(n−1) Ma trân , , ` ` ´ tao nên t u c ac vecto n ay c´ o d ang  ··· 1  0  .  · · · 0 m   · · · 0 m +  · · · 0 m +      ··· 0 ··· m + n −1 m ··· 0 ··· , Chu´ y´ m + n − dòng dâ ¯ ù tiên cua ma trân tao ma trân , ` ´ ` ˘ ang 1) v a v` ı ma vuông câ´p m + n − không suy biêń (có d¯inh th u c b , ` la` ma trân trân c ua A nên rank A ≥ m + n − , ,, ´ gia su ta có m + n − rang ` ˘ khac, Mat buôc ¯ ù dâ  0     0   0  0     0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· n X j =1 m X 1 0 0 0 xi j = a i , i = 1, 2, , m xi j = b j , j = 1, 2, , ( n − 1) i =1 Khi d´ ¯o suy m X x in = i =1 m X Ã − i =1 = m X i =1 nX −1 ! xi j = j =1 − nX −1 X m j =1 i =1 m X − i =1 xi j = m X i =1 m nX −1 X xi j i =1 j =1 − nX −1 b j = bn j =1 , ` buôc ` ` m+ n−1 Nhu vây, phu thuôc rang cuôí cung tuyêń t´ınh vao ` rang buôc ¯ ù Do d´ ¯o rank A ≤ m + n − dâ , , , ˘ Kê´t ho p hai kha nang d¯a˜ chı rank A = m + n − , ,, ` toan ´ vân ` toan ´ QHTT Do d´ ´ x la` Do bai ¯o Phuong an tai la` bai , , ,, , , , , , ´ cu c biên) va` chı cac ´ vecto, côt phuong an ´ co so (phuong an , , , ´ ´ ´ ` A i j cua ma trân A u ng v o i x > l a d ôc l âp tuyê n t´ ı nh ¯ ij ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , , ` toan ´ vân 6.2 T´ınh châ´t cua bai tai 219 , , ,, ´ co, so, cua BTVT Do rank A = m + n − 1, nên môt phuong an ,, ,, ` ´ co, có nhiêù nhâ´t la` m + n − phâ`n duong Môt phuong an ,, , ,, , , so cua BTVT goi la` không suy biêń nêú sô´ phâ`n tu cua tâp ho p `˘ G = {( i, j ) : x i j > 0} bang m + n − 1, goi la` suy biêń nêú |G | < m + n − , ˜ phu,o,ng an ´ ta viê´t du,o´,i dang ` môi ma trân Sau co˜ ,, , ˜ m × n, x = ( x i j )m×n Ta cung có ma trân cuo´ c ph´ı co˜ m × n, c = ( c i j ) m× n , , ,, , ,, ` toan ´ vân Nhu vây, ¯ o c coi la` d¯a˜ cho nêú biê´t vecto luo ng bai tai du ´ a = (a , a , , a m ), vecto, lu,o.,ng thu b = ( b , b , , b n ) va` ma phat , , ,, , ,, ´ ân phai t`ım: trân cuo´ c ph´ı va` tuong u´ ng cac     c 11 c 12 · · · c 1n x11 x12 · · · x1n  x21 x22 · · · x2n   c 21 c 22 · · · c 2n      c =  x =        c m1 c m2 · · · c mn xm1 xm2 · · · xmn m n P P Ðinh ly´ 6.2 Ðiêù kiên ˘` thu phat ´ = b j la` diê ¯ ù kiên cân bang i =1 j =1 , , , , , ´ tôí u,u câ`n va` d¯u dê ` toan ´ vân ¯ bai tai có phuong an , ,, , ,, ´ , Chu´ ng minh (⇒) Gia su BTVT có phuong an tôí uu x∗ = ( x∗i j ) Vây n X x∗i j = a i , ( i = 1, 2, , m) va` j =1 Do d´ ¯o m P i =1 = m X x∗i j = b j , ( j = 1, 2, , n) i =1 n m P P i =1 j =1 x∗i j = n P m P x∗i j = j =1 i =1 m P , ,, ,, (⇐) Nguo c lai, gia su ta có n P b j j =1 n P , b j Câ`n chu´ ng minh BTVT i =1 j =1 , ,, ´ , , ,, ´ ´ ` toan ´ có phuong an uu? Ngh˜ıa la` chu´ ng minh phuong an cua bai , , ˜ ´ rông va` ham ` muc ˘ duo´ i khac tiêu bi chan m n P P ˘ Q = Thât = b j > 0; xét ma trân vây, d¯at i =1 j =1 ¸ · b j b j ` , ( i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) phâ`n x′i j = x′ = Q Q ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên = https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, ` toan ´ vân Chuong Bai tai 220 Ta có n X x′i j = j =1 m X x′i j = i =1 n a b X i j = Q j =1 m X b j i =1 Q = bj n b X j Q j =1 m X bj i =1 Q = a i , ( i = 1, 2, , m) = b j , ( j = 1, 2, , n) Dê˜ thâý x′i j ≥ 0, ( i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) Suy x′ la` môt , ,, ´ ,, ´ ˜ ´ rông phuong an cua BTVT; vây tâp phuong an khac `, ` toan ´ bâ´t ky` x = ( x i j ) ( i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) Tu Ta xét bai n P diê x i j = a i suy ¯ ù kiên x i j ≥ va` j =1 ≤ x i j ≤ a i , ( i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) Vây ( c i j xi j ≥ c i j xi j ≥ c i j a i nêú c i j ≥ 0, nêú c i j < Suy c i j x i j ≥ min{0, c i j a i }, ( i = 1, 2, m; j = 1, 2, , n) Do d´ ¯o f ( x) = m P n P i =1 j =1 c i j xi j ≥ m P n P i =1 j =1 `˘ min{0, c i j a i } = const (hang) ` muc ˘ du,o´,i Do d´ ¯o ham tiêu bi chan , , , ´ ` ´ 6.3 Bang vân t v a t´ ı nh châ t c ua no , , ˜, liêu ` toan ´ vân ´ tram ´ Du phat cua bai tai la` sô´ liêu cac , , , a = (a , a , , a m ), noi thu b = ( b , b , , b n ) va` cuo´ c ph´ı , ,, , ´ vân c = ( c i j )m×n va` phuong an chuyên x = ( x i j )m×n Ta xây du ng , , bang m + dòng va` n + côt nhu sau: , ˜ hang ˜ côt ` ´ môi ˘ tru,ng cho diê ˘ tru,ng cho môt Môi d¯ac ¯ m phat; d¯ac , , ` ` ` ` ´ ˘ diê m thu H ang dâ u tiên v a c ôt dâ u tiên ghi c ac kh a n ang thu v a` ¯ ¯ ¯ , , , ` côt ` dâ ˘ cung câ´p cua BTVT Phâ`n còn lai kha nang ¯ ù va` hang ¯ ù tru dâ , , , goi la` phâ`n ch´ınh cua bang vân tai , ,, `˘ hang ` ˘ tru,ng tuyêń du Ô nam i va` côt ¯ o` ng vân j la` d¯ac chuyên ,, `, A i dê ´ ph´ıa trên) va` sô´ lu,o.,ng câ`n tu ¯ ń B j có cuo´ c ph´ı c i j (góc bên trai , , , ,, t`ım dê ¯ chuyên la` x i j (ghi góc bên phai ph´ıa duo´ i) ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , , , 6.3 Bang vân tai va` t´ınh châ´t cua nó bj b1 c 11 a1 b2 · · · c 12 x11 c 21 221 c 22 ··· x12 · · · ··· x22 · · · b j ··· c1 j c2 j bn ··· x1 j · · · ··· x2 j · · · c 1n 130 160 x1n c 2n a2 x21 x2n c i1 c i2 · · · ci j · · · c in x i1 x i2 · · · xi j · · · x in c m1 c m2 · · · cm j · · · c mn am xm1 xm2 · · · xm j · · · xmn , , , , ´ Bang 6.1: Bang vân tai tông quat bj ` toan ´ V´ı du 6.1 V´ı du 6.2 Bai có a = (170, 200, 180), ` b = (130, 160, 120, 140)  va 20 18 22 25 c = 15 25 30 15 45 30 40 35 , , Ta có bang vân tai 20 18 x11 170 15 200 120 22 x12 25 x21 25 x13 30 x22 140 x14 15 x23 x24 45 30 40 35 180 x31 x32 x33 x34 , , , ´ ô phâ`n ch´ınh cua bang vân Ta ky´ hiêu cac tai la` U = {( i, j ) : i = 1, m, j = 1, n} ˜,ng ô ( i, j ) ∈ U vo´,i x i j > goi ˜,ng ô chon ngh˜ıa 6.2 Nhu Ðinh la` nhu , ,, ´ , ˜,ng ô còn lai ` ´ u´ ng vo´ i phuong an x Nhu g oi l a c ac ô lo , , , ,, ´ phân bô bang vân ´ ô chon V´ı du 6.3 Môt phuong an tai có cac va` ` toan ´ v´ı du không chon bai ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, ` toan ´ vân Chuong Bai tai 222 bj 20 170 130 p 18 130 15 25 200 160 p 40 p 120 22 30 120 45 30 180 40 140 25 p 80 p 15 p 35 40 140 , ,, ` ˘ tru,ng tuyêń du hóa di Ô chon ¯ qua ¯ o` ng câ`n chuyên hang la` d¯ac ˜ cac ´ ô {( i , j ), ( i , j ), ( i k , j k )} ⊂ U ma` Ðinh ngh˜ıa 6.3 Môt day , `˘ cung ` ˜ nam môt hai ô (va` không qua´ ô) liên tiê´p cua day ` ` ` ˘ cung hang hoac môt côt goi la` dây truyên V´ı du 6.4 H`ınh 6.1 bj 60 50 60 40 p 20 p 20 p 20 bj 70 p 30 p 50 40 90 40 60 50 (a) p 50 p 60 p 20 10 p 70 p 30 p 40 40 (b) ´ ô H`ınh 6.1: Dây chuyê`n cac ˜ cac ´ ô {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 1), (3, 1)} tao (a) Day môt dây chuyê`n ˜ cac ´ ô {(3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 1), (3, 1)} tao (b) Day môt dây chuyê`n ˘ Ðinh ngh˜ıa 6.4 Môt dây truyê`n khép k´ın goi la` môt vòng (hoac môt chu tr`ınh) V´ı du 6.5 H`ınh 6.2 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , , , 6.3 Bang vân tai va` t´ınh châ´t cua nó bj 50 60 40 60 p 20 p 20 p 20 20 p 20 (a) 223 bj 70 p 30 p 50 40 90 60 50 p 50 p 60 p 20 10 p 70 p 30 p 40 40 (b) ´ ô (môt H`ınh 6.2: Chu tr`ınh cac vòng) ˜ cac ´ ô {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (2, 1), (1, 1)} tao ` (a) Day vòng ˜ cac ´ ô {(3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 1), (3, 1)} tao ` (b) Day vòng , , ` Môt bang vân vong tai co´ t´ınh châ´t sau: `˘ cung ` ` ˘ môt môt hoac - Hai ô canh nam côt; hang `˘ cung ` ` ` nam ˘ môt môt hoac - Không có ba ô nao côt; hang , `˘ cung ` ` ` ` ˘ cung cơt hang hoac - Ơ dâ ¯ ù tiên nam vo´ i ô cuôí cung , ,, , , , , ´ ` d´ Gia su L ⊂ U la` môt ô nao ¯o cua bang vân tâp ho p cac tai , `˘ `, cac ´ ô cua L ta Ðinh L chu´,a vòng nêú tu , ngh˜ıa 6.5 Ta nói rang , ,, ,, ,, có thê xây du ng du ¯ o c ´ıt nhâ´t vòng Nguo c lai ¯ o c goi L du la` không , chu´ a vòng , V´ı du 6.6 Tâp ho p L = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 4)} có vòng , , , ˜ dòng va` côt Ðinh ly´ 6.3 Nêú môi cua bang vân tai hoac ˘ , , , không có ô nao ` cua L hoac ˘ có ´ıt nhâ´t hai ô cua L th`ı L chu´ a vòng , ´˘ dâ `, môt ` d´ Chu´ ng minh Bat ¯ ù tu ¯o ( i , j ) ∈ L V`ı dòng i ô nao , , , ˜ a cua L: ( i , j ) ta chuyên theo ´ nu ˘ j ) có ´ıt nhâ´t môt (hoac ô khac , `, ô ` ( i , j ) phai có ´ıt nhâ´t môt ˘ côt dòng i (hoac ¯ ń ô d´ ¯o Tu j ) dê , ,, ´ o, côt ` ˘ ô khac (ho ac o h ang): ( i , j ) ∈ L 2 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp 11.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 431 ,, Cho u = 0, t`ım du ¯ o c u = − M, u = 4, v1 = 3, v2 = 2, v3 = M ´ ∆i j = u i + v j − c i j : T´ınh cac ∆11 = −1 − M, ∆12 = −1 − M, ∆13 = 0, ∆21 = 0, ∆22 = 0, ∆23 = 0, ∆31 = 0, ∆32 = − M, ∆33 = M − , ` ` Khi M > ta có nhâ´t ∆33 > Ơ du la (3, 3) ¯ a vao Có vòng: V = {(3, 3)+ , (3, 1)− , (2, 1)+ , (2, 3)− } V + = {(3, 3), (2, 1)}, V − = , {(3, 1), (2, 3)} min{ x31 , x23 } = min{70, 10} = 10 = x23 Vây ¯ a la` (2, 3) ô du , ,, ´ mo´,i: x¯ 33 = + 10 = 10, x¯ 31 = 70 − 10 = 60 x¯ 21 = Xây du ng phuong an 10 + 10 = 20, x¯ 23 = 10 − 10 = 00 ,, ´ , Ta có phuong an mo´ i x¯ = (0, 0, 50, 20, 20, 0, 60, 0, 10)T bj 80 20 60 50 40 M 70 50 20 20 M 60 11 10 `˘ ´˘ dâ ˘ mo´,i Thay x bang x¯ va` bat ¯ ù vòng lap , `˘ ´ giai hê: cach T`ım thê´ vi u i , (i = 1, 2, 3); v j , ( j = 1, 2, 3) bang ( u + v3 = 1, u + v1 = 3, u + v2 = 2, u + v1 = 7, u + v3 = 11 ,, Cho u = 0, t`ım du ¯ o c u = −6, u = 4, v1 = 3, v2 = 2, v3 = ´ ∆i j = u i + v j − c i j : T´ınh cac ∆11 = −8, ∆12 = −8, ∆13 = 0, ∆21 = 0, ∆22 = 0, ∆23 = − M, ∆31 = 0, ∆32 = − M, ∆33 = , ,, ´ tôí u,u diê Khi M > ta có nhâ´t ∆ i j ≤ Do d´ ¯o phuong an ¯ ù chınh la` , ´ X ∗ = (0, 0, 50, 20, 20, 0, 60, 0, 10) va` f (x∗ ) = 680 Do tranh ô câ´m phai chi , thêm 680 − 670 = 10 ¯ n vi ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 432 3 , P P , `˘ ´ 7.4 Kiêm tra diê thu phat: a i = 370, b j = 310, nhu ¯ ù kiên cân bang i =1 j =1 , ,, ´ lo´,n ho,n thu, d´ ´ tram ` ´ tram vây thu du d¯u hang, cac ¯o cac ¯ o c nhân phat , , , , , , ` ´ phai chiu ` ´ A phai du phat nhung riêng tram ¯ o c uu tiên tôn hang, phat ` tiêu thu hê´t hang , ,, , , , ` Ta lâp tuo ng trung câ`n nhân thêm tram thu gia B4 vo´ i luo ng hang vê` 3 P P ,, , ` la` − b j = 370 − 310 = 60, cuo´ c ph´ı c i4 , i ∈ 1, Khi d´ ¯o ¯ n vi hang, i =1 j =1 , , ,, ` `˘ ´ vân ´ bang 11.20 toan thu phat ta du ¯ o c bai tai cân bang bj 100 120 90 60 10 9,5 14 M 8,5 10 12 12 120 120 130 , Bang 11.20: ,, ,, ,, `˘ ´ Fogels, ta t`ım du ´ cu.,c biên xuâ´t phat ´ - Bang phuong phap ¯ o c phuong an , , nhu bang 11.21 bj 100 120 90 ui q 10 120 9,5 M 14 100 8,5 10 12 130 120 1, 5x 1x 0, 5; 1, 90 12 0, 5; 20 120 vj = 60 30 3; 0 10 2x , Bang 11.21: , , , ,, , ,, - Tâp ô co so nhu bang trên, ky´ hiêu tâp ô co so la` J , , ` - Xây du ng thôńg thê´ vi: công thu´ c u i + v j = c i j , (i, j) ∈ J, ta d, ung , ,, , , thu du ¯ o c thôńg thê´ vi nhu o bang 11.22 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong bj 100 120 90 60 ui q 10 120 100 8,5 12 130 10 M − 20 −M 10 90 30 − 12 + −M 120 10 9,5 + 120 vj = 433 14 9+ M 10 + M M , Bang 11.22: ,, ´ ,, `˘ ´ du 7.5 Phuong an xuâ´t phat bang phân phôí Vogel ¯ o c xây dung ri bj   + r + s = 0,      14 + r + s = 0,    6 + r + s = 0,  + r + s = 0,       + r + s = 0,    4 + r + s = 3 ´ ´ biêń khac Cho r = 0, t´ınh cac 55 65 110 120 14 110 55 M 40 4 55 M 80 −6 60 80 sj = q 10 60 −7 −14 10 −6 , ,, ` toan ´ vân Bai tai sau quy không cuo´ c ph´ı ,, , ´ cu.,c biên hiên Do tô`n tai c¯23 = −2 < nên phuong an tho` i không, la` ,, ´ , , , , , , , , ´ mo´ i tô´t hon: Luo ng diê phuong an tôí uu Ta xây du ng phuong an ¯ ù chınh q = {40, 55} = 40 bj 55 65 110 110 55 M +4 80 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên M +3 + 10 − 55 120 -2 − 40 + 60 60 80 https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 434 ri bj ,, ´ , Phuong an mo´ i   0 + r + s = 0,    0 + r + s = 0,     0 + r + s = 0, 110  + r + s = 0,       −2 + r + s = 0,     + r + s = 80 55 120 0 60 M +4 -2 15 40 M +3 −2 80 sj = 0 55 65 120 bj 110 60 40 110 60 55 M +2 15 M +1 80 40 80 ´  sô´ Phu,o,ng an ´ tôí u,u 7.6 Ðap 0 0 0 0     a) x∗ = 1 0 0, f = 15   0 0 1 0  0   b) x∗ = 0  0 0 0 0 0  0   0, f max = 33  0 ´  sô´ Phu,o,ng an ´ tôí u,u 7.7 Ðap 0 0 0   = 16 a) x∗ =  , f 1 0 0 0  0  b) x∗ =  0 0 0 0  0  = 27 , f 1 max ´ sô´ Phu,o,ng an ´ tôí u,u 7.8 Ðap    0 0 0 0 1 1    a) x∗ =  = 16 b) x∗ =  , f 1 0 0 0 0 0 60 55 q 40 110 , ` toan ´ vân Bai tai sau quy ,, không cuo´ c ph´ı ô chon: ,, ´ cu.,c V`ı c¯ i j ≥ nên phuong an , , , ´ biên hiên tho` i la` phuong an , ´ uu   50 60 x∗ = 55 15 40  0 80 65 0 0 0 0 0  0  = 32 , f 0 max  10 20 20 ´ sô´ Phu,o,ng an ´ tôí u,u x∗ =  20 5 , f = 355 7.9 Ðap 0 20  ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.8 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 435   0 15 45 ,, ´ , , f = 280 7.10 Phuong an tôí uu x∗ = 15 25 15 10 20 ´ sô´ Bai ` toan ´ không có phu,o,ng an ´ 7.11 Ðap ´ sô´ Phu,o,ng an ´ tôí u,u la` 7.12 Ðap  0, 63 0 0, 37  0 0, 63 0, 37   ,  x∗ =   vo´ i zmax = 6, 0, 21 0, 79 0  0 0, 525 0, 475  , ,, , , ` go i y´ bai ` tâp 11.8 Lòi giai va chuong , ´˘ 12 bang) ´ sô´: x∗ = (3, 2, 10, 2, 3)T va` zmax = (dung ` ´ cat, 8.1 Ðao lat , ´˘ bang) ´ sô´: x∗ = (1, 1, 1, 1)T va` zmax = (dung ` ´ cat, 8.2 Ðao lat , ´˘ bang) ´ sô´: x∗ = (1, 2, 1, 1)T va` zmax = 11 (dung ` ´ cat, 8.3 Ðao lat , ´˘ 19 bang) ` ´ cat, ´ sô´: x∗ = (0, 2, 23, 0, 0)T va` zmax = 153 (dung 8.4 Ðap 18 lat ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tôí u,u la` x∗ = (0, 3, 6)T va` zmin = 69 8.5 Ðap ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tôí u,u la` x∗ = (0, 4, 4)T va` zmin = 28 8.6 Ðap ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tôí u,u la` x∗ = (4, 4, 0)T va` zmax = 44 8.7 Ðap ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tôí u,u la` x∗ = (0, 1, 1)T va` zmax = 27 8.8 Ðap , , ` ´˘ giai bai ` toan ´ (so, dô 8.9 So dô ¯ tóm tat ¯ ` 11.1) ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tôí u,u la` x∗ = (13/3, 0, 5)T va` zmin = 80/3 8.10 Ðap , , ` ´˘ giai bai ` toan ´ (so, dô 8.11 So dô ¯ tóm tat ¯ ` 11.2) ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 436 (P1 ) : D1 x1 = (9/4, 0, 21/4) z1 = 261/4 x1 ≤ (P2 ) D2 = {x ∈ D1 : x1 ≤ 2} x2 = (2, 1/2, 5), z2 = 133/2 x2 ≤ (P4 ) D4 = {x ∈ D2 : x2 ≤ 0} x4 = (2, 0, 11/2), z4 = 68 z0 = 68, Loại bỏ (P4 ) x1 ≥ (P3 ) D3 = {x ∈ D1 : x1 ≥ 3} D3 = ∅, Loại bỏ (P3 ) x2 ≥ (P5 ) D5 = {x ∈ D2 : x2 ≥ 1} x5 = (7/4, 1, 19/4), z5 = 271/4 < z0 = 68 x1 ≤ x1 ≥ (P6 ) D6 = {x ∈ D5 : x1 ≤ 1} x6 = (1, 5/2, 4), z6 = 143/2 z6 > z0 = 68, Loại bỏ (P6 ) (P7 ) D7 = {x ∈ D5 : x1 ≥ 2} D7 = ∅ Loại bỏ (P7 ) ` toan ´ QHTT nguyên bô phân H`ınh 11.1: Bai (P1 ) : D1 = D x1 = (0, 19/8, 5/2) z1 = 19, 375 x3 ≤ (P2 ) D2 = {x ∈ D1 : x3 ≤ 2} x2 = (2/3, 2, 2), z2 = 18, 667 = z0 x1 ≤ x1 ≥ (P4 ) D4 = {x ∈ D2 : x1 ≤ 0} x4 = (0, 5/2, 2), z4 = 18.5 z0 = 18.5 x3 ≥ (P3 ) D3 = {x ∈ D1 : x3 ≥ 3} D3 = ∅, Loại bỏ (P3 ) (P5 ) D5 = {x ∈ D2 : x2 ≥ 1} x5 = (1, 29/16, 7/4), z4 = 18.3125 ` toan ´ QHTT nguyên bô phân H`ınh 11.2: Bai ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 437 , ,, , , ` go i y´ bai ` tâp 11.9 Lòi giai va chuong , `,i giai Ta có max a i j = −2 < max a i j = 9.1 Lo j j i i , , , , ˜ Nhu vây ma tr ân A d a cho không c´ o diê m yên ngu a (tu´ c la` không có chiêń ¯ ¯ , ´ tôí u,u) lu a thuâ`n   4 p Chon p = 3, ta có A = (a i j + 3)3×4 = 1 7 ˜ ` toan ´ dô ˘ bai Xét cap ¯ í ngâu , ` toan ´ cua P Bai , ` toan ´ cua Q B f = x¯ + x¯ + x¯ → min,  f = y¯ + y¯ + y¯ + y¯ → max,   x¯ + x¯ + x¯ ≥ 1,   y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1,       ≥ 1,    x¯ + x¯  y¯ + y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1, x¯ + x¯ ≥ 1,   y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1,       x¯ + x¯ + x¯ ≥ 1,   y¯ ≥ 0, i = 1, 2, 3,   i  x¯ ≥ 0, i = 1, 2, i , , `˘ phu,o,ng phap ´ ` toan ´ Cap ` toan ´ ˘ bai Giai bang ¯ n h`ınh bai ,, ´ , ` ´ có phuong an uu la x¯ ∗ = (11/80, 12/80, 4/80)T va` y¯ ∗ = (15/160, 25/160, 14/160, 0)T , , , , , p ∗ ∗ vo´ i f 1∗ = f 2∗ = 27/80 Suy lo` i giai cua trò cho ma trân A la` v p = 1/ f = , , , , , , ∗ T ∗ 87/27 Chiêń luo c tôí uu tuong u´ ng la` p = (11/80, 12/80, 4/80) va` q = (15/160, 25/160, 14/160, 0)T , , , , Lo` i giai cua trò choi ma trân ¯ ù la` x∗ = (11/80, 12/80, 4/80)T va` ban dâ ∗ T y = (15/160, 25/160, 14/160, 0) , , , ∗ ∗ vo´ i gia´ cua cuôc choi la` v = v p − p = 80/27 − = −1/27 , `,i giai Ta có max a i j = −2 < max a i j = 9.2 Lo j j i i , , , , ˜ Nhu vây ma tr ân A d a cho không c´ o diê m yên ngu a (tu´ c la` không có chiêń ¯ ¯ , , ´ tơí uu) lu a th`n µ ¶ p Chon p = 3, ta c´ o A = (a + 3) = 2×4 ij ˜ ` toan ´ dô ˘ bai Xét cap ¯ í ngâu ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 438 , ` toan ´ cua Q Bai f = y¯ + y¯ + y¯ + y¯ → max,    y¯ + y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1, , ` toan ´ cua P Bai f = x¯ + x¯ → min,  x¯ + x¯ ≥ 1,       x¯ + x¯ ≥ 1,   x¯ + x¯ ≥ 1,     x¯ + x¯ ≥ 1,     x¯ ≥ 0, i = 1,   4y1 + y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1, y¯ i ≥ 0, i = 1, 2, 3, i , , , ˜ qua bang ` toan ´ gôć P theo phu,o,ng phap ´ Giai bai ¯ n h`ınh dô ¯ í ngâu , ∗ Ta có kê´t qua x¯ = (2/17, 3/17)T , y¯ ∗ = (0, 4/17, 0, 1/17)T va` f 1∗ = f 2∗ = 5/17 = 1/v p suy v p = 17/5 , , `, d´ Tu ¯o suy nghiêm cua trò choi la` ,, , + Chiêń luo c dô ¯ í vo´ i P: x∗ = v p x¯ ∗ = (17/5)(2/17, 3/17)T = (2/5, 3/5)T ,, , + Chiêń luo c dô ¯ í vo´ i P: y∗ = v p y¯ ∗ = (17/5)(0, 4/17, 0, 1/17)T = (0, 4/5, 0, 1/5)T , , + Gia´ cua trò choi: v∗ = v p − p = 17/5 − = 2/5 ´ sô´ a) -3/100; b) 1/5 9.3 Ðap ´ sô´ a) a 22 = b) a 23 = 9.4 Ðap , , ˜ cua trò cho,i ma trân `,i giai a) Cap ` toan ´ dô ˘ bai 9.5 Lo ¯ í ngâu E , , ` ´ B to an c ua Q ` toan ´ cua P Bai f = y¯ + y¯ + y¯ + y¯ → max, f1 = x¯ + x¯ → min,  − y¯ + y¯ ≤ 1,  x¯ ≥ 1,   y¯     y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1,  x¯ ≥ 1,     y¯ i ≥ 0, i = 1, 2, 3, −2 x¯ + x¯ ≥ 1,     x¯ + x¯ ≥ 1,     x¯ i ≥ 0, i = 1, , ˜ cua trò cho,i ma trân ` toan ´ dô ˘ bai a) Cap ¯ í ngâu F , , ` toan ´ cua P ` toan ´ cua Q Bai Bai f1 = x¯ + x¯ + x¯ → min, f2 = y¯ + y¯ + y¯ → max, x¯ + x¯ − x¯ ≥ 1, y¯ + y¯ − y¯ ≤ 1,          x¯  + x¯ ≥ 1, y¯ + y¯ ≤ 1,   −3 y¯ + y¯ ≤ 1, − x¯ + x¯ + x¯ ≥ 1,        x¯ ≥ 0, i = 1, 2,  y¯ ≥ 0, i = 1, 2, i i ´ sô´ a) x∗ = (4/7, 0, 3/7) va` y∗ = (0, 4/7, 0, 3/7) vo´,i v∗ = 2/7 9.6 Ðap ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.10 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 10 439 , b) x∗ = (1/4, 11/20, 1/5, 0) va` y∗ = (1/2, 3/10, 1/5) vo´ i v∗ = 3/10 ´ sô´ a) x∗ = (0, 0, 1) va` y∗ = (4/5, 1/5, 0) vo´,i v∗ = 9.7 Ðap , , ˜ ˘ dô b) B có diê ¯ m yên ngu a max a i j = max a i j = Lâp ¯ í ngâu cap j j i i , ,, va` giai b`ınh thuo` ng , ,, , , ` go i y´ bai ` tâp 11.10 Lòi giai va chuong 10 , ˜,u hiêu ´ cu.,c biên, d´ ´ sô´ Có phu,o,ng an 10.1 Ðap ¯o có diê ¯ m hu , , ˘ ´ sô´ Ðoan nôí hai diê 10.2 Ðap ¯ m x1 = (3, 0)T va` x2 = (1, 6)T thang ´ sô´ x1 = (7/5, 11/5, 0)T , x2 = (0, 4/5, 14/5)T , x3 = (0, 0, 10/3)T , x4 = 10.3 Ðap (5/2, 0, 0)T ´ sô´ x∗ = (0, 12, 0, 4)T , y0∗ = 392 10.4 Ðap ´ sô´ 10.5 Ðap a) x∗ = (0, 8, 2)T , y0∗ = 18 b) x∗ = (3, 0, 1)T , y0∗ = ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ` LIÊU TAI THAM KHAO ´ [1] Trâ`n Ð`ınh Anh, Bai ` tâp quy hoach tuyêń t´ınh, NXBGD, 2007 ˜ Ngoc ´˘ ˜ Ð`ınh Hóa Quy hoach [2] Nguyên Nguyên Thang, tuyêń t´ınh NXB ÐHQGHN, 2004 [3] Trâ`n Vu˜ Thiêu, ´ tr`ınh tôí u,u tuyêń t´ınh, NXB ÐHQGHN, Giao 2004 , ˜ Thanh ` [4] Nguyên Ca, Tôí u,u hóa tuyêń t´ınh, NXB Lao d¯ông, 2011 2001 , , ˜ Van ˜ Hu ˜,u Ðiên Giao ˜ ˘ Hiê`n, Lê Dung [5] Nguyên Muu va` Nguyên ´ , , ` ´ ` tr`ınh giai t´ıch lôi ung dung, NXB ÐHQG Ha Nôi, 2015 , ˜ Hu ˜,u Ðiên Thu ,c hanh [6] Nguyên ` t´ınh toan ´ Maple, NXB ÐHQG Ha` Nôi, 2015 [7] Bertsekas D.P., Programming, NXB GD, 2000 , [8] N H Ðiên, Môt ´ NXB GD, 2006 ¯ ` vê` thuât sô´ vâń dê toan, ˜ Ðu´,c Ngh˜ıa, Tôí u,u hóa, Nxb Giao ´ duc, [9] Nguyên 2002; ,, ´ [10] Phan Quôć Khanh – Trâ`n Huê Nuong, Quy hoach tuyêń t´ınh, ´ duc, Nxb Giao 2003 ` [11] Horst R, Hoang Tuy, Global optimization: Deterministic approaches, Springer Verlag, Berlin, 1993; ` Thê´ Tâm – Trâ`n Vu˜ Thiêu, [12] Bui Cac ´ phu,o,ng phap ´ tôí u,u hóa, , Nxb Giao thông vân tai, 1998 ´ Quy hoach [13] Trâ`n Tuc, tuyêń t´ınh, Ðai hoc Kinh tê´ Quôć dân, 2001 , ` ´ Danh muc t u khoa bao d´ ¯ong, 26 biên, 26 , ,, biêń co so, 81 , biêń gia, 104 biêń phu, 51 , ´ biên tu do, 81 ` toan ´ bai , bô nhiêm, 281 , , ´ 287 bô nhiêm tông quat, phân phôí, 267 quy hoach biêń boolean, 23 quy hoach nguyên, 23 quy hoach nhiêù muc tiêu, 348 quy hoach tuyêń t´ınh, 23 quy hoach 23 d¯ông, , san xuâ´t dô ¯ `ng bô, 295 thông qua han chê´, 289 , ` tôí uu có rang buôc, 22 , ` tôí uu không rang buôc, 22 , tôí uu phi tuyêń, 23 , , tôí uu ro` i rac, 23 , ´ uu tham sô´, 23 , , tôí uu véc to, 355 , tôí uu da ¯ muc tiêu, 23 , vân không suy biêń, 219 tai , ń, 219, 260 vân tai suy biê , , ` toan ´ có lo` i giai, 46 bai ` toan ´ cu.,c tri, bai 22 ´ ` toan ´ gôc, 140 bai ` toan ´ max, 101 bai , ` toan ´ mo, rông, bai 186 ` toan ´ QHTT có tham sô´, 192 bai ` toan ´ tôí u,u, 20 bai ˜ 140 ` toan ´ dô bai ¯ í ngâu, , bang ` toan ´ dô bai ¯ `ng bô, 297 , , ´ vân tai tông quat, 220 , , ˜ tông quat, ´ ¯ n h`ınh dô ¯ í ngâu 180 , , bang ¯ n h`ınh, 88 ,, ˜ , ho p, 335 chiêń luo c hôn ,, , chiêń luo c tôí uu, 338 ,, , chiêń luo c ¯ n, 334 , , , chuân cua môt vecto, 26 , , , , chı sô´ co so, 81 , chu´ a vòng, 223 ´ ô d¯ôc cac , lâp tuyêń t´ınh, 224 ´ tra tiê`n, 333 cach , ,, co so, 26 ,, châ´p nhân ¯ o c, 175 du ,, ˜ châ´p nhân ¯ o c dô ¯ í ngâu, du 176 , tôí uu, 175 ˜ 176 dô ¯ í ngâu, canh vô han, 32 ˜ 145 ` ˘ rang cap buôc ¯ í ngâu, dô , , ` cuc, cu c tiêu toan 36 , , ,, cu c tiêu d¯ia phuong, 36 `˘ ´ 216 diê thu-pha, ¯ ù kiên cân bang , , ˜ u hiêu, diê ¯ m hu 355 , ´ 215 diê ¯ m phat, , diê ¯ m thu, 215 , , diê ¯ m tôí uu Pareto, 355 , ,, diê ¯ m châ´p nhân ¯ o c, 21 du Ðinh ly´ Bolzano-Weierstrass, 26 d¯inh ly´ , Danh muc tu` khóa 442 minimax, 339 tô`n tai, 149 ˜ manh, dô 148 ¯ í ngâu ˜ dô ¯ í ngâu yêú, 147 d¯ô lêch 156 bu` manh, d¯ô lêch bu` yêú, 152 ´ manh, Ðinh ly´ tach 31 , ˘ 27 ¯ an thang, , ˜ bai ` toan ´ tông quat, ´ 144 dô ¯ í ngâu ˜ bai ´˘ 142 ` toan ´ ch´ınh tac, dô ¯ í ngâu dây truyê`n, 222 , ´˘ 48 Dang chuân tac, ´˘ 48 Dang ch´ınh tac, ` phu,o,ng, 28 dang toan , dang t´ıch ma trân d¯ao, nghich 123 , Dang vecto, 49 , , dâú hiêu hông có lo` i giai, 84 , dâú hiêu tôí uu, 83 , , ,, vecto co so, 175 , , ,, vécto co so, 81 , ´ khoang cach, 26 , không chu´ a vòng, 223 không gian con, 26 không gian tuyêń t´ınh n chiêù, 25 ´ ` khôi lôi da ¯ diên, 32 liên tuc, 28 ˘ 34 lõm chat, ˘ 30, 34 lôì chat, , , gia´ cua trò choi, 338 , gio´ i nôi, 26 , ,, ma trân co so, 89, 118, 175 ,, ma trân cuo´ c ph´ı, ,216 ma trân d¯ao, 118 nghich , ` co, so,, 118 ma trân ngoai ´˘ 334 ma trân thang, , ma trân trò choi, 333 ` miê`n rang buôc, 45 môt chu tr`ınh, 222 môt vòng, 222 ` lõm, 34 ham ` lôì, 34 ham ` lôì manh, ham 36 ` muc ham tiêu, 44 ` muc ham ¯ıch, 21 d´ ` thu hoach, ham 336 , , ` toan ` phuong, 28 ham ` tuyêń t´ınh, 28 ham ` tuyêń t´ınh afin, 28 ham ` tu.,a lõm, 35 ham ` tu.,a lôì, 35 ham h`ınh nón, 32 ` cuc, nghiêm toan 21 ` cuc nghiêm 21 toan manh, ,, nghiêm phuong, 21 d¯ia ,, nghiêm 21 phuong manh, d¯ia ,`, , nguoi choi max, 333 ,, , nguo` i choi min, 333 nón lôì, 32 nón lôì da ¯ diên, 32 ,, ,, nua không gian mo, 28 ,, nua không gian d´ ¯ong, 28 ,, , , ´ d¯inh nua xac duong, 29 , ,, ,`, ˘ nua du 32 ¯ ong thang, ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , Danh muc tu` khóa ô chon, 221 ô loai, 221 , ,, phuong cua tia, 32 ,, , phuong cu c biên, 32 ,, ´ phuong phap , ´, , cuoc ph´ı lo´ n nhâ´t, 269 `˘ Gomory bang dô ¯ ` thi, 315 , , , t`ım chiêń luo c tôí uu, 341 ,, ´ hai pha, 103 phuong phap ,, ´ h`ınh hoc, phuong phap 55 ,, ´ d¯anh ´ phuong phap thuê´, 109 ,, phuong vô han, 32 ,, ´ phuong an , cu c biên không suy biêń, 80 ,, ´ ,, phuong an châ´p nhân ¯ o c, 45 du , ,, ´ , phuong an co ban, 46 ,, ´ , , phuong an co ban suy biêń, 46 , ,, ´ phuong an cua BTVT, 216 ,, ´ , phuong an cu c biên, 65 ,, ´ , phuong an không cu c biên, 46 ,, ´ phuong an không suy biêń, 46 ,, ´ , phuong an tôí uu, 46 ,, ´ , , phuong an tôí uu cua BTVT, 216 phu thuôc tuyêń t´ınh, 25 443 , , ´˘ chon Quy tac theo chı sô´ nho, 95 , ´˘ cai thiên Quy tac nhiêù nhâ´t, 95 ´˘ sô´ lo´,n nhâ´t, 94 Quy tac r-lân cân, 26 ` rang buôc, 44 ` rang buôc ch´ınh, 44 ` ˘ 46, 156 rang buôc chat, ` ` sô´, 22 rang buôc h,am ` rang buôc long, 46, 156 , ` rang buôc tru c tiê´p, 22 ` rang buôc vê,` dâú, 44 , ` ˘ rang buôc thu´ c, 22 d¯ang , ˘ siêu phang, 27 ´ sô thu hoach, 336 ´ thuât toan , ´˘ Gomory tông quat, ´ 321 cat Ford-Fulkerson, 289 , , ` toan ´ san xuâ´t dô giai bai ¯ `ng bô, 306 Hungary, 285 ,, ´ ô quy không cuo´ c ph´ı cac chon, 240 thê´ vi, ,248 , t`ım diê ¯ m tôí uu Pareto, 358 , Qui hoach ¯ n h`ınh, 87 lõm, 24 , ˜ 181 Qui hoach ¯ n h`ınh dô ¯ í ngâu, lôì, 24 , , Qui hoach ` phâ`n cua vécto, 25 phi tuyêń, 23 , Qui hoach tia, 32 phân thu´ c, 24 quy hoach nguyên tuyêń t´ınh trò cho,i ma trân, 334 , , ` toan, ` 313 hoan trò choi dô ¯ í xu´ ng, 339 , quy hoach nguyên tuyêń t´ınh bô tru c giao, 27 ,, ´ du phân, tach ¯ o c, 31 313 ,, ´˘ cho,i, 333 quy tac t´ıch vô huo´ ng, 27 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ 444 , Danh muc tu` khóa ,, tâp ¯ o , 21 châ´p nhân du , , tâp ho p mu´ c, 35 , tâp ¯ong, 26 ho p d´ ` tâp , lôi, 29 , tô ho p lôì, 25 , , tô ho p tuyêń t´ınh, 25 ,, ,, uo´ c luo ng, 81 , vecto côt, 217 , vecto dòng, 217 vuông góc, 27 , vécto n chiêù, 25 , , ,, vécto co so, 81 , ´ tuyêń, 55 vécto phap , , vécto tu do, 81 ,, ´ d¯inh xac duong, 28 da lôì, 33 ¯ diên , diê ¯ m biên, 26 , , diê ¯ m cu c biên, 30 , , diê ¯ m cu c tri, 22 , diê ¯ m trong, 26 , , diê ¯ m yên ngu a, 337 ,, , du ¯ o` ng mu´ c, 55 , , d¯ınh cua da ¯ diên lôì, 33 , ` vecto, 26 d¯ô dai d¯ôc lâp tuyêń t´ınh, 25 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , Danh muc tu` khóa 445 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/

Định dạng
Số trang	232
Dung lượng	1,28 MB