Giáo trình tối ưu tuyến tính và ứng dụng phần 2

, , CHUONG , ` TOAN ´ VÂN BAI TAI ˜ ´ hoc ` toan ´ QHTT dô ˘ p bai 4.1 Mô h`ınh toan ¯ ´i ngâu ca 138 ˜ ` toan ´ gô´c va ` bai ` toan ´ dô 4.2 Bai ¯ ´i ngâu 140 , ˜ ´ t´ınh châ´t cua ca ` toan ´ dô ˘ p bai 4.3 Cac ¯ ´i ngâu 147 ,, , ˜ ´ tô´i uu ca ˘ p dô 4.4 T`ım phuong an ¯ ´i ngâu 155 ` tâp 4.5 Bai 167 , ` toan ´ vân 6.1 Mô h`ınh bai t , `, kho A , A , A to´,i công ˘ V´ı du 6.1 Câ`n vân tu chuyên xi mang ,, ˜ , ,, ,, ˘ c´o o môi truo` ng xây du ng B1 , B2 , B3 , B4 Cho biê´t luo ng xi mang , ,, ˜ ,, ,, ,, ˘ câ`n o môi công truo` ng va` gia´ cuo´ c vân kho, luo ng xi mang chuyên ˜ kho to´,i môi ˜ công tru,o`,ng nhu, `, môi ` dô ˘ (ngan tu ¯ `ng) môt tâ´n xi mang sau: A : 170 A : 200 A : 180 B1 : 130 20 15 45 B2 : 160 18 25 30 B3 : 120 22 30 40 B4 : 140 25 15 35 , `, cac ´ kho to´,i cac ´ ˘ Vâ´n dê vân tu ¯ ` la` t`ım kê´ hoach chuyên xi mang ,`, , , ´ hê´t luo ng xi mang ˘ công truong cho moi kho phat c´o, moi công , ,, , , ,`, ˘ truong nhân d¯u luo ng xi mang câ`n va` tông chi ph´ı vân chuyên la` , nho nhâ´t? , , ˘ Lâp ¯ ` nêu c´o thê mô h`ınh hoa´ nhu sau: Ðat mô h`ınh Vâ´n dê , , , , , ` kho i ( i = 1, 2, 3) to´ i công ˘ x i j la` luo ng xi mang câ`n vân chuyên tu , ` toan ´ vân 6.1 Mô h`ınh bai tai 215 , ,, ´ biê´n sô´ câ`n thoa man ˜ cac ´ diê truo` ng j ( j = 1, 2, 3, 4) Cac ¯ `u kiên sau: ,, ˘ ( A giao hê´t luo ng xi mang), , , ˘ ( A giao hê´t luo ng xi mang), , , ˘ ( A giao hê´t luo ng xi mang), , ˘ (B1 nhân câ`n), 11 21 31 d¯u sô´ xi mang ,  ˘ x12 + x22 + x32 = 160 (B2 nhân câ`n),  d¯u sô´ xi mang   ,   ˘ x13 + x23 + x33 = 120 (B3 nhân câ`n),  d¯u sô´ xi mang   ,    ˘ x14 + x24 + x34 = 140 (B4 nhân câ`n), d¯u sô´ xi mang     x ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, , (lu,o,ng xi mang ˘ không âm) ij (6.1) , , , ` cu.,c tiêu): f = 20 x11 + 18 x12 + Tông chi ph´ı vân chuyên (câ`n lam 22 x13 + 25 x14 + 15 x21 + 25 x22 + 30 x23 + 15 x24 + 45 x31 + 30 x32 + 40 x33 + , , ` toan ´ tro, thanh: ` ´ biê´n sô´ x i j thoa man ˜ cac ´ 35 x34 Vây T`ım cac bai , , ` ` f d¯at diê ¯ u kiên (6.1) cho ham cu c tiêu ( f → min) , , `˘ ` toan ´ QHTT dang ´ ˘ biêt, Ðây la` bai d¯ac cac c´o thê giai bang , ,, ,, , , , , , , ´ ´ ´ ´ d¯a˜ hoc x´et cach giai phuong phap o ,chuong truoc Truoc xem , , ` toan ´ vân ` ta xem x´et bai ` toan ´ tông quat ´ mo´ i loai bai tai , , ` toan ´ vân ´ Bai tai tông quat , ` ` ˘ hang Cho m diê nao ¯ m A , A , , A m cung câ´p môt loai mat , , , , , d´ ¯o c´o khô´i luo ng tuong u´ ng a , a , , a m , (a i ≥ 0, i = 1, m) C´o n , , ,, , ` diê vo´ i sô´ luo ng d` ¯ m tiêu thu B1 , B2 , , B n loai ¯oi hoi , hang , ,, , b , b , , b n , ( b j ≥ 0, j = 1, n) Gia su ph´ı vân ¯ n vi chuyên môt , `, A i , ( i = 1, m) dê ` hang tu ¯ ´n B j , ( j = 1, n) la` c i j ¯ n vi tiê`n , , , , ˜ diê `, môi ˜ lâp Hay vân ¯ m cung câ´p to´ i diê ¯ m kê´ hoach chuyên tu , ` tiêu thu h´oa cho ¯ n vi hang , ´ noi cung câ´p hang ` ` - Cac giao hê´t sô´ hang c´o , , ´ diê ` - Cac yêu câ`u ¯ m tiêu thu dê ¯ `u nhân d¯u hang , , , ,, - Tông cuo´ c ph´ı vân chuyên la` nho nhâ´t ˜ , nhu, sau: Ta thô´ng nhâ´t thuât ngu , , , ` Noi cung câ´p hang A i la` diê ´ thu´ i ¯ m phat , , , ` Noi tiêu thu hang B J la` diê ¯ m thu thu´ j    x11 + x12 + x13 + x14 = 170     x21 + x22 + x23 + x24 = 200       x31 + x32 + x33 + x34 = 180     x + x + x = 130 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, ` toan ´ vân Chuong Bai tai 216 , ` toan ´ X´et gio´ i han bai m X = i =1 n X bj j =1 , , , , `˘ ` ´ bang tông hang h´oa noi phat tông hang h´oa noi tiêu thu Ðiê`u kiên ` ` ` goi ˘ thu-phat ´ ¯ u kiên la` diê cân bang ,, Ma trân C = ( c i j )m×n goi la` ma trân cuo´ c ph´ı , ` toan ´ vân Lâp mô h`ınh bai tai , , , ` A i dê ` h´oa câ`n chuyên tu Goi ¯ n vi hang ¯ ´n B j Tâ´t nhiên x i j la` sô´ x i j ≥ 0, i = 1, m va` j = 1, n , ,, `, A i dê ` ´ di h´oa phat Tông luo ng hang ¯ tu ¯ ´n moi B j la` a i : x i1 + x i2 + · · · + x in = a i , ( i = 1, m) , ,, `˘ `, moi ` thu vê` B j tu Tông luo ng hang b j: A i , ( i = 1, m) bang x1 j + x2 j + · · · + xm j = b j , ( j = 1, n) m P n , , , , P ,, ` ` c i j x i j cang nho cang tô´t Tông cuo´ c ph´ı phai tra la` i =1 j =1 , ,, , ` toan ´ vân Mô h`ınh bai ¯ o c thiê´t lâp tai du nhu sau: n m X X c i j x i j → f ( x) = (6.2) i =1 j =1 D     x i1 + x i2 + · · · + x in = a i , i = 1, m x1 j + x2 j + · · · + xm j = b j , j = 1, n    (6.3) (6.4) x i j ≥ 0, ( i = 1, m, j = 1, n) (6.5) , ˜ (6.3)-(6.5) goi Ðinh ngh˜ıa 6.1 Ma trân x = ( x i j,)m×n thoa man la` , , , ` toan ´ vân môt ´ cua bai phuong an tai (BTVT); m P n , P ` cho f ( x) = Nê´u x lam c i j x i j d¯at gia´ tri nho nhâ´t th`ı goi la` i =1 j =1 , phu,o,ng an ´ tô´i u,u cua BTVT , , , , ` ` toan ´ vân ˘ Bai thu´ c rang buôc tai c´o n × m ân va` c´o, m,+ n d¯ang va` , , `˘ ` toan ´ QHTT, nên ta c´o thê giai bang ´ phuong phap ´ d¯a˜ la` môt bai cac , , , ` toan ´ QHTT Nhung câ´u truc ´ d¯ac ` toan ´ ˘ biêt giai cho bai cua bai , ,, , , ´ gon ta c´o phuong phap ¯o la` muc ¯ıch nghiên cu´ u cua va` tô´t hon, d´ d´ ,, ` chuong ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , , ` toan ´ vân 6.2 T´ınh châ´t cua bai tai 217 , , ` toan ´ vân 6.2 T´ınh châ´t cua bai t , , ,, , `, mô h`ınh bai ` toan ´ vân ˘ dang Tu vecto vê` ân va` cuo´ c tai, ta d¯at ph´ı: x = ( x11 , x12 , , x1n , x21 , x22 , , x2n , , xm1 , xm2 , , xmn )T , c = ( c 11 , c 12 , , c 1n , c 21 , c 22 , , c 2n , , c m1 , c m2 , , c mn )T , b = (a , a , , a m , b , b , , b n )T        A=      1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0  0                        m n    , , , ` toan ´ vân Bai matrân ¯ a vê` dang tai du nhu sau: f ( x) = c T x → ( Ax = b, x ≥ , , Co˜ cua matrân A la` ( m × n) × ( m + n) Ky´ hiêu A 11 ,,A 12 , , A 1n , A 21 , A 22, , , A 2n , , A m1 , A m2 , , A mn `, trai ´ vecto, côt ´ qua phai va` d i , i = 1, 2, , m + n la` cac ´ la` cac cua, A tu , , vecto d`ong thu´ i cua A , , Ðinh ly´ 6.1 Ma trân ` buôc ` toan ´ vân la` rang cua bai tai c´o hang m + n − 1, ngh˜ıa la` rank A = m + n − , , , `˘ ` Chu´ ng minh Dê˜ thâ´y rang vecto A i j la` vecto côt c´o m, + n , , ` ´ ` phâ`n vo´ i phâ`n thu´ i va` m + j c´o gia´ tri 1, c`on tâ´t ca cac ` ´ bang ˜ ˘ phâ`n khac Ta cung thâ´y A = ( A 11 A 1n A 21 A 2n A m1 A mn ) , Ta câ`n chu´ ng minh rank A = m + n − ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, ` toan ´ vân Chuong Bai tai 218 , X´et m+ n−1 vecto A 1n , A 2n , , A mn , A 11 , A 12 , , A 1(n−1) Ma trân , , ` ` ´ tao nên t u c ac vecto n ay c´ o d ang  ··· 1  0  .  · · · 0 m   · · · 0 m +  · · · 0 m +      ··· 0 ··· m + n −1 m ··· 0 ··· , Chu´ y´ m + n − d`ong dâ ¯ `u tiên cua ma trân tao ma trân , ` ´ ` ˘ ang 1) v a v` ı ma vuông câ´p m + n − không suy biê´n (c´o d¯inh th u c b , ` la` ma trân trân c ua A nên rank A ≥ m + n − , ,, ´ gia su ta c´o m + n − rang ` ˘ khac, Mat buôc ¯ `u dâ  0     0   0  0     0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· n X j =1 m X 1 0 0 0 xi j = a i , i = 1, 2, , m xi j = b j , j = 1, 2, , ( n − 1) i =1 Khi d´ ¯o suy m X x in = i =1 m X à − i =1 = m X i =1 nX −1 ! xi j = j =1 − nX −1 X m j =1 i =1 m X − i =1 xi j = m X i =1 m nX −1 X xi j i =1 j =1 − nX −1 b j = bn j =1 , ` buôc ` ` m+ n−1 Nhu vây, phu thuôc rang cuô´i cung tuyê´n t´ınh vao ` rang buôc ¯ `u Do d´ ¯o rank A ≤ m + n − dâ , , , ˘ Kê´t ho p hai kha nang d¯a˜ chı rank A = m + n − , ,, ` toan ´ vân ` toan ´ QHTT Do d´ ´ x la` Do bai ¯o Phuong an tai la` bai , , ,, , , , , , ´ cu c biên) va` chı cac ´ vecto, côt phuong an ´ co so (phuong an , , , ´ ´ ´ ` A i j cua ma trân A u ng v o i x > l a d ôc l âp tuyê n t´ ı nh ¯ ij ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , , ` toan ´ vân 6.2 T´ınh châ´t cua bai tai 219 , , ,, ´ co, so, cua BTVT Do rank A = m + n − 1, nên môt phuong an ,, ,, ` ´ co, c´o nhiê`u nhâ´t la` m + n − phâ`n duong Môt phuong an ,, , ,, , , so cua BTVT goi la` không suy biê´n nê´u sô´ phâ`n tu cua tâp ho p `˘ G = {( i, j ) : x i j > 0} bang m + n − 1, goi la` suy biê´n nê´u |G | < m + n − , ˜ phu,o,ng an ´ ta viê´t du,o´,i dang ` môi ma trân Sau co˜ ,, , ˜ m × n, x = ( x i j )m×n Ta cung c´o ma trân cuo´ c ph´ı co˜ m × n, c = ( c i j ) m× n , , ,, , ,, ` toan ´ vân Nhu vây, ¯ o c coi la` d¯a˜ cho nê´u biê´t vecto luo ng bai tai du ´ a = (a , a , , a m ), vecto, lu,o.,ng thu b = ( b , b , , b n ) va` ma phat , , ,, , ,, ´ ân phai t`ım: trân cuo´ c ph´ı va` tuong u´ ng cac     c 11 c 12 · · · c 1n x11 x12 · · · x1n  x21 x22 · · · x2n   c 21 c 22 · · · c 2n      c =  x =        c m1 c m2 · · · c mn xm1 xm2 · · · xmn m n P P Ðinh ly´ 6.2 Ðiê`u kiên ˘` thu phat ´ = b j la` diê ¯ `u kiên cân bang i =1 j =1 , , , , , ´ tô´i u,u câ`n va` d¯u dê ` toan ´ vân ¯ bai tai c´o phuong an , ,, , ,, ´ , Chu´ ng minh (⇒) Gia su BTVT c´o phuong an tô´i uu x∗ = ( x∗i j ) Vây n X x∗i j = a i , ( i = 1, 2, , m) va` j =1 Do d´ ¯o m P i =1 = m X x∗i j = b j , ( j = 1, 2, , n) i =1 n m P P i =1 j =1 x∗i j = n P m P x∗i j = j =1 i =1 m P , ,, ,, (⇐) Nguo c lai, gia su ta c´o n P b j j =1 n P , b j Câ`n chu´ ng minh BTVT i =1 j =1 , ,, ´ , , ,, ´ ´ ` toan ´ c´o phuong an uu? Ngh˜ıa la` chu´ ng minh phuong an cua bai , , ˜ ´ rông va` ham ` muc ˘ duo´ i khac tiêu bi chan m n P P ˘ Q = Thât = b j > 0; x´et ma trân vây, d¯at i =1 j =1 ¸ · b j b j ` , ( i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) phâ`n x′i j = x′ = Q Q ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên = https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, ` toan ´ vân Chuong Bai tai 220 Ta c´o n X x′i j = j =1 m X x′i j = i =1 n a b X i j = Q j =1 m X b j i =1 Q = bj n b X j Q j =1 m X bj i =1 Q = a i , ( i = 1, 2, , m) = b j , ( j = 1, 2, , n) Dê˜ thâ´y x′i j ≥ 0, ( i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) Suy x′ la` môt , ,, ´ ,, ´ ˜ ´ rông phuong an cua BTVT; vây tâp phuong an khac `, ` toan ´ bâ´t ky` x = ( x i j ) ( i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) Tu Ta x´et bai n P diê x i j = a i suy ¯ `u kiên x i j ≥ va` j =1 ≤ x i j ≤ a i , ( i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) Vây ( c i j xi j ≥ c i j xi j ≥ c i j a i nê´u c i j ≥ 0, nê´u c i j < Suy c i j x i j ≥ min{0, c i j a i }, ( i = 1, 2, m; j = 1, 2, , n) Do d´ ¯o f ( x) = m P n P i =1 j =1 c i j xi j ≥ m P n P i =1 j =1 `˘ min{0, c i j a i } = const (hang) ` muc ˘ du,o´,i Do d´ ¯o ham tiêu bi chan , , , ´ ` ´ 6.3 Bang vân t v a t´ ı nh châ t c ua no , , ˜, liêu ` toan ´ vân ´ tram ´ Du phat cua bai tai la` sô´ liêu cac , , , a = (a , a , , a m ), noi thu b = ( b , b , , b n ) va` cuo´ c ph´ı , ,, , ´ vân c = ( c i j )m×n va` phuong an chuyên x = ( x i j )m×n Ta xây du ng , , bang m + d`ong va` n + côt nhu sau: , ˜ hang ˜ côt ` ´ môi ˘ tru,ng cho diê ˘ tru,ng cho môt Môi d¯ac ¯ m phat; d¯ac , , ` ` ` ` ´ ˘ diê m thu H ang dâ u tiên v a c ôt dâ u tiên ghi c ac kh a n ang thu v a` ¯ ¯ ¯ , , , ` côt ` dâ ˘ cung câ´p cua BTVT Phâ`n c`on lai kha nang ¯ `u va` hang ¯ `u tru dâ , , , goi la` phâ`n ch´ınh cua bang vân tai , ,, `˘ hang ` ˘ tru,ng tuyê´n du Ô nam i va` côt ¯ o` ng vân j la` d¯ac chuyên ,, `, A i dê ´ ph´ıa trên) va` sô´ lu,o.,ng câ`n tu ¯ ´n B j c´o cuo´ c ph´ı c i j (g´oc bên trai , , , ,, t`ım dê ¯ chuyên la` x i j (ghi g´oc bên phai ph´ıa duo´ i) ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , , , 6.3 Bang vân tai va` t´ınh châ´t cua n´o bj b1 c 11 a1 b2 · · · c 12 x11 c 21 221 c 22 ··· x12 · · · ··· x22 · · · b j ··· c1 j c2 j bn ··· x1 j · · · ··· x2 j · · · c 1n 130 160 x1n c 2n a2 x21 x2n c i1 c i2 · · · ci j · · · c in x i1 x i2 · · · xi j · · · x in c m1 c m2 · · · cm j · · · c mn am xm1 xm2 · · · xm j · · · xmn , , , , ´ Bang 6.1: Bang vân tai tông quat bj ` toan ´ V´ı du 6.1 V´ı du 6.2 Bai c´o a = (170, 200, 180), ` b = (130, 160, 120, 140)  va 20 18 22 25 c = 15 25 30 15 45 30 40 35 , , Ta c´o bang vân tai 20 18 x11 170 15 200 120 22 x12 25 x21 25 x13 30 x22 140 x14 15 x23 x24 45 30 40 35 180 x31 x32 x33 x34 , , , ´ ô phâ`n ch´ınh cua bang vân Ta ky´ hiêu cac tai la` U = {( i, j ) : i = 1, m, j = 1, n} ˜,ng ô ( i, j ) ∈ U vo´,i x i j > goi ˜,ng ô chon ngh˜ıa 6.2 Nhu Ðinh la` nhu , ,, ´ , ˜,ng ô c`on lai ` ´ u´ ng vo´ i phuong an x Nhu g oi l a c ac ô lo , , , ,, ´ phân bô bang vân ´ ô chon V´ı du 6.3 Môt phuong an tai c´o cac va` ` toan ´ v´ı du không chon bai ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, ` toan ´ vân Chuong Bai tai 222 bj 20 170 130 p 18 130 15 25 200 160 p 40 p 120 22 30 120 45 30 180 40 140 25 p 80 p 15 p 35 40 140 , ,, ` ˘ tru,ng tuyê´n du h´oa di Ô chon ¯ qua ¯ o` ng câ`n chuyên hang la` d¯ac ˜ cac ´ ô {( i , j ), ( i , j ), ( i k , j k )} ⊂ U ma` Ðinh ngh˜ıa 6.3 Môt day , `˘ cung ` ˜ nam môt hai ô (va` không qua´ ô) liên tiê´p cua day ` ` ` ˘ cung hang hoac môt côt goi la` dây truyên V´ı du 6.4 H`ınh 6.1 bj 60 50 60 40 p 20 p 20 p 20 bj 70 p 30 p 50 40 90 40 60 50 (a) p 50 p 60 p 20 10 p 70 p 30 p 40 40 (b) ´ ô H`ınh 6.1: Dây chuyê`n cac ˜ cac ´ ô {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 1), (3, 1)} tao (a) Day môt dây chuyê`n ˜ cac ´ ô {(3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 1), (3, 1)} tao (b) Day môt dây chuyê`n ˘ Ðinh ngh˜ıa 6.4 Môt dây truyê`n kh´ep k´ın goi la` môt v`ong (hoac môt chu tr`ınh) V´ı du 6.5 H`ınh 6.2 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , , , 6.3 Bang vân tai va` t´ınh châ´t cua n´o bj 50 60 40 60 p 20 p 20 p 20 20 p 20 (a) 223 bj 70 p 30 p 50 40 90 60 50 p 50 p 60 p 20 10 p 70 p 30 p 40 40 (b) ´ ô (môt H`ınh 6.2: Chu tr`ınh cac v`ong) ˜ cac ´ ô {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (2, 1), (1, 1)} tao ` (a) Day v`ong ˜ cac ´ ô {(3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 1), (3, 1)} tao ` (b) Day v`ong , , ` Môt bang vân vong tai co´ t´ınh châ´t sau: `˘ cung ` ` ˘ môt môt hoac - Hai ô canh nam côt; hang `˘ cung ` ` ` nam ˘ môt môt hoac - Không c´o ba ô nao côt; hang , `˘ cung ` ` ` ` ˘ cung cơt hang hoac - Ơ dâ ¯ `u tiên nam vo´ i ô cuô´i cung , ,, , , , , ´ ` d´ Gia su L ⊂ U la` môt ô nao ¯o cua bang vân tâp ho p cac tai , `˘ `, cac ´ ô cua L ta Ðinh L chu´,a v`ong nê´u tu , ngh˜ıa 6.5 Ta n´oi rang , ,, ,, ,, c´o thê xây du ng du ¯ o c ´ıt nhâ´t v`ong Nguo c lai ¯ o c goi L du la` không , chu´ a v`ong , V´ı du 6.6 Tâp ho p L = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 4)} c´o v`ong , , , ˜ d`ong va` côt Ðinh ly´ 6.3 Nê´u môi cua bang vân tai hoac ˘ , , , không c´o ô nao ` cua L hoac ˘ c´o ´ıt nhâ´t hai ô cua L th`ı L chu´ a v`ong , ´˘ dâ `, môt ` d´ Chu´ ng minh Bat ¯ `u tu ¯o ( i , j ) ∈ L V`ı d`ong i ô nao , , , ˜ a cua L: ( i , j ) ta chuyên theo ´ nu ˘ j ) c´o ´ıt nhâ´t môt (hoac ô khac , `, ô ` ( i , j ) phai c´o ´ıt nhâ´t môt ˘ côt d`ong i (hoac ¯ ´n ô d´ ¯o Tu j ) dê , ,, ´ o, côt ` ˘ ô khac (ho ac o h ang): ( i , j ) ∈ L 2 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp 11.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 431 ,, Cho u = 0, t`ım du ¯ o c u = − M, u = 4, v1 = 3, v2 = 2, v3 = M ´ ∆i j = u i + v j − c i j : T´ınh cac ∆11 = −1 − M, ∆12 = −1 − M, ∆13 = 0, ∆21 = 0, ∆22 = 0, ∆23 = 0, ∆31 = 0, ∆32 = − M, ∆33 = M − , ` ` Khi M > ta c´o nhâ´t ∆33 > Ơ du la (3, 3) ¯ a vao C´o v`ong: V = {(3, 3)+ , (3, 1)− , (2, 1)+ , (2, 3)− } V + = {(3, 3), (2, 1)}, V − = , {(3, 1), (2, 3)} min{ x31 , x23 } = min{70, 10} = 10 = x23 Vây ¯ a la` (2, 3) ô du , ,, ´ mo´,i: x¯ 33 = + 10 = 10, x¯ 31 = 70 − 10 = 60 x¯ 21 = Xây du ng phuong an 10 + 10 = 20, x¯ 23 = 10 − 10 = 00 ,, ´ , Ta c´o phuong an mo´ i x¯ = (0, 0, 50, 20, 20, 0, 60, 0, 10)T bj 80 20 60 50 40 M 70 50 20 20 M 60 11 10 `˘ ´˘ dâ ˘ mo´,i Thay x bang x¯ va` bat ¯ `u v`ong lap , `˘ ´ giai hê: cach T`ım thê´ vi u i , (i = 1, 2, 3); v j , ( j = 1, 2, 3) bang ( u + v3 = 1, u + v1 = 3, u + v2 = 2, u + v1 = 7, u + v3 = 11 ,, Cho u = 0, t`ım du ¯ o c u = −6, u = 4, v1 = 3, v2 = 2, v3 = ´ ∆i j = u i + v j − c i j : T´ınh cac ∆11 = −8, ∆12 = −8, ∆13 = 0, ∆21 = 0, ∆22 = 0, ∆23 = − M, ∆31 = 0, ∆32 = − M, ∆33 = , ,, ´ tô´i u,u diê Khi M > ta c´o nhâ´t ∆ i j ≤ Do d´ ¯o phuong an ¯ `u chınh la` , ´ X ∗ = (0, 0, 50, 20, 20, 0, 60, 0, 10) va` f (x∗ ) = 680 Do tranh ô câ´m phai chi , thêm 680 − 670 = 10 ¯ n vi ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 432 3 , P P , `˘ ´ 7.4 Kiêm tra diê thu phat: a i = 370, b j = 310, nhu ¯ `u kiên cân bang i =1 j =1 , ,, ´ lo´,n ho,n thu, d´ ´ tram ` ´ tram vây thu du d¯u hang, cac ¯o cac ¯ o c nhân phat , , , , , , ` ´ phai chiu ` ´ A phai du phat nhung riêng tram ¯ o c uu tiên tôn hang, phat ` tiêu thu hê´t hang , ,, , , , ` Ta lâp tuo ng trung câ`n nhân thêm tram thu gia B4 vo´ i luo ng hang vê` 3 P P ,, , ` la` − b j = 370 − 310 = 60, cuo´ c ph´ı c i4 , i ∈ 1, Khi d´ ¯o ¯ n vi hang, i =1 j =1 , , ,, ` `˘ ´ vân ´ bang 11.20 toan thu phat ta du ¯ o c bai tai cân bang bj 100 120 90 60 10 9,5 14 M 8,5 10 12 12 120 120 130 , Bang 11.20: ,, ,, ,, `˘ ´ Fogels, ta t`ım du ´ cu.,c biên xuâ´t phat ´ - Bang phuong phap ¯ o c phuong an , , nhu bang 11.21 bj 100 120 90 ui q 10 120 9,5 M 14 100 8,5 10 12 130 120 1, 5x 1x 0, 5; 1, 90 12 0, 5; 20 120 vj = 60 30 3; 0 10 2x , Bang 11.21: , , , ,, , ,, - Tâp ô co so nhu bang trên, ky´ hiêu tâp ô co so la` J , , ` - Xây du ng thô´ng thê´ vi: công thu´ c u i + v j = c i j , (i, j) ∈ J, ta d, ung , ,, , , thu du ¯ o c thô´ng thê´ vi nhu o bang 11.22 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong bj 100 120 90 60 ui q 10 120 100 8,5 12 130 10 M − 20 −M 10 90 30 − 12 + −M 120 10 9,5 + 120 vj = 433 14 9+ M 10 + M M , Bang 11.22: ,, ´ ,, `˘ ´ du 7.5 Phuong an xuâ´t phat bang phân phô´i Vogel ¯ o c xây dung ri bj   + r + s = 0,      14 + r + s = 0,    6 + r + s = 0,  + r + s = 0,       + r + s = 0,    4 + r + s = 3 ´ ´ biê´n khac Cho r = 0, t´ınh cac 55 65 110 120 14 110 55 M 40 4 55 M 80 −6 60 80 sj = q 10 60 −7 −14 10 −6 , ,, ` toan ´ vân Bai tai sau quy không cuo´ c ph´ı ,, , ´ cu.,c biên hiên Do tô`n tai c¯23 = −2 < nên phuong an tho` i không, la` ,, ´ , , , , , , , , ´ mo´ i tô´t hon: Luo ng diê phuong an tô´i uu Ta xây du ng phuong an ¯ `u chınh q = {40, 55} = 40 bj 55 65 110 110 55 M +4 80 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên M +3 + 10 − 55 120 -2 − 40 + 60 60 80 https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 434 ri bj ,, ´ , Phuong an mo´ i   0 + r + s = 0,    0 + r + s = 0,     0 + r + s = 0, 110  + r + s = 0,       −2 + r + s = 0,     + r + s = 80 55 120 0 60 M +4 -2 15 40 M +3 −2 80 sj = 0 55 65 120 bj 110 60 40 110 60 55 M +2 15 M +1 80 40 80 ´  sô´ Phu,o,ng an ´ tô´i u,u 7.6 Ðap 0 0 0 0     a) x∗ = 1 0 0, f = 15   0 0 1 0  0   b) x∗ = 0  0 0 0 0 0  0   0, f max = 33  0 ´  sô´ Phu,o,ng an ´ tô´i u,u 7.7 Ðap 0 0 0   = 16 a) x∗ =  , f 1 0 0 0  0  b) x∗ =  0 0 0 0  0  = 27 , f 1 max ´ sô´ Phu,o,ng an ´ tô´i u,u 7.8 Ðap    0 0 0 0 1 1    a) x∗ =  = 16 b) x∗ =  , f 1 0 0 0 0 0 60 55 q 40 110 , ` toan ´ vân Bai tai sau quy ,, không cuo´ c ph´ı ô chon: ,, ´ cu.,c V`ı c¯ i j ≥ nên phuong an , , , ´ biên hiên tho` i la` phuong an , ´ uu   50 60 x∗ = 55 15 40  0 80 65 0 0 0 0 0  0  = 32 , f 0 max  10 20 20 ´ sô´ Phu,o,ng an ´ tô´i u,u x∗ =  20 5 , f = 355 7.9 Ðap 0 20  ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.8 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 435   0 15 45 ,, ´ , , f = 280 7.10 Phuong an tô´i uu x∗ = 15 25 15 10 20 ´ sô´ Bai ` toan ´ không c´o phu,o,ng an ´ 7.11 Ðap ´ sô´ Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` 7.12 Ðap  0, 63 0 0, 37  0 0, 63 0, 37   ,  x∗ =   vo´ i zmax = 6, 0, 21 0, 79 0  0 0, 525 0, 475  , ,, , , ` go i y´ bai ` tâp 11.8 L`oi giai va chuong , ´˘ 12 bang) ´ sô´: x∗ = (3, 2, 10, 2, 3)T va` zmax = (dung ` ´ cat, 8.1 Ðao lat , ´˘ bang) ´ sô´: x∗ = (1, 1, 1, 1)T va` zmax = (dung ` ´ cat, 8.2 Ðao lat , ´˘ bang) ´ sô´: x∗ = (1, 2, 1, 1)T va` zmax = 11 (dung ` ´ cat, 8.3 Ðao lat , ´˘ 19 bang) ` ´ cat, ´ sô´: x∗ = (0, 2, 23, 0, 0)T va` zmax = 153 (dung 8.4 Ðap 18 lat ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` x∗ = (0, 3, 6)T va` zmin = 69 8.5 Ðap ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` x∗ = (0, 4, 4)T va` zmin = 28 8.6 Ðap ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` x∗ = (4, 4, 0)T va` zmax = 44 8.7 Ðap ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` x∗ = (0, 1, 1)T va` zmax = 27 8.8 Ðap , , ` ´˘ giai bai ` toan ´ (so, dô 8.9 So dô ¯ t´om tat ¯ ` 11.1) ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` x∗ = (13/3, 0, 5)T va` zmin = 80/3 8.10 Ðap , , ` ´˘ giai bai ` toan ´ (so, dô 8.11 So dô ¯ t´om tat ¯ ` 11.2) ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 436 (P1 ) : D1 x1 = (9/4, 0, 21/4) z1 = 261/4 x1 ≤ (P2 ) D2 = {x ∈ D1 : x1 ≤ 2} x2 = (2, 1/2, 5), z2 = 133/2 x2 ≤ (P4 ) D4 = {x ∈ D2 : x2 ≤ 0} x4 = (2, 0, 11/2), z4 = 68 z0 = 68, Loại bỏ (P4 ) x1 ≥ (P3 ) D3 = {x ∈ D1 : x1 ≥ 3} D3 = ∅, Loại bỏ (P3 ) x2 ≥ (P5 ) D5 = {x ∈ D2 : x2 ≥ 1} x5 = (7/4, 1, 19/4), z5 = 271/4 < z0 = 68 x1 ≤ x1 ≥ (P6 ) D6 = {x ∈ D5 : x1 ≤ 1} x6 = (1, 5/2, 4), z6 = 143/2 z6 > z0 = 68, Loại bỏ (P6 ) (P7 ) D7 = {x ∈ D5 : x1 ≥ 2} D7 = ∅ Loại bỏ (P7 ) ` toan ´ QHTT nguyên bô phân H`ınh 11.1: Bai (P1 ) : D1 = D x1 = (0, 19/8, 5/2) z1 = 19, 375 x3 ≤ (P2 ) D2 = {x ∈ D1 : x3 ≤ 2} x2 = (2/3, 2, 2), z2 = 18, 667 = z0 x1 ≤ x1 ≥ (P4 ) D4 = {x ∈ D2 : x1 ≤ 0} x4 = (0, 5/2, 2), z4 = 18.5 z0 = 18.5 x3 ≥ (P3 ) D3 = {x ∈ D1 : x3 ≥ 3} D3 = ∅, Loại bỏ (P3 ) (P5 ) D5 = {x ∈ D2 : x2 ≥ 1} x5 = (1, 29/16, 7/4), z4 = 18.3125 ` toan ´ QHTT nguyên bô phân H`ınh 11.2: Bai ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 437 , ,, , , ` go i y´ bai ` tâp 11.9 L`oi giai va chuong , `,i giai Ta c´o max a i j = −2 < max a i j = 9.1 Lo j j i i , , , , ˜ Nhu vây ma tr ân A d a cho không c´ o diê m yên ngu a (tu´ c la` không c´o chiê´n ¯ ¯ , ´ tô´i u,u) lu a thuâ`n   4 p Chon p = 3, ta c´o A = (a i j + 3)3×4 = 1 7 ˜ ` toan ´ dô ˘ bai X´et cap ¯ ´i ngâu , ` toan ´ cua P Bai , ` toan ´ cua Q B f = x¯ + x¯ + x¯ → min,  f = y¯ + y¯ + y¯ + y¯ → max,   x¯ + x¯ + x¯ ≥ 1,   y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1,       ≥ 1,    x¯ + x¯  y¯ + y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1, x¯ + x¯ ≥ 1,   y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1,       x¯ + x¯ + x¯ ≥ 1,   y¯ ≥ 0, i = 1, 2, 3,   i  x¯ ≥ 0, i = 1, 2, i , , `˘ phu,o,ng phap ´ ` toan ´ Cap ` toan ´ ˘ bai Giai bang ¯ n h`ınh bai ,, ´ , ` ´ c´o phuong an uu la x¯ ∗ = (11/80, 12/80, 4/80)T va` y¯ ∗ = (15/160, 25/160, 14/160, 0)T , , , , , p ∗ ∗ vo´ i f 1∗ = f 2∗ = 27/80 Suy lo` i giai cua tr`o cho ma trân A la` v p = 1/ f = , , , , , , ∗ T ∗ 87/27 Chiê´n luo c tô´i uu tuong u´ ng la` p = (11/80, 12/80, 4/80) va` q = (15/160, 25/160, 14/160, 0)T , , , , Lo` i giai cua tr`o choi ma trân ¯ `u la` x∗ = (11/80, 12/80, 4/80)T va` ban dâ ∗ T y = (15/160, 25/160, 14/160, 0) , , , ∗ ∗ vo´ i gia´ cua cuôc choi la` v = v p − p = 80/27 − = −1/27 , `,i giai Ta c´o max a i j = −2 < max a i j = 9.2 Lo j j i i , , , , ˜ Nhu vây ma tr ân A d a cho không c´ o diê m yên ngu a (tu´ c la` không c´o chiê´n ¯ ¯ , , ´ tơ´i uu) lu a th`n µ ¶ p Chon p = 3, ta c´ o A = (a + 3) = 2×4 ij ˜ ` toan ´ dô ˘ bai X´et cap ¯ ´i ngâu ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 438 , ` toan ´ cua Q Bai f = y¯ + y¯ + y¯ + y¯ → max,    y¯ + y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1, , ` toan ´ cua P Bai f = x¯ + x¯ → min,  x¯ + x¯ ≥ 1,       x¯ + x¯ ≥ 1,   x¯ + x¯ ≥ 1,     x¯ + x¯ ≥ 1,     x¯ ≥ 0, i = 1,   4y1 + y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1, y¯ i ≥ 0, i = 1, 2, 3, i , , , ˜ qua bang ` toan ´ gô´c P theo phu,o,ng phap ´ Giai bai ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu , ∗ Ta c´o kê´t qua x¯ = (2/17, 3/17)T , y¯ ∗ = (0, 4/17, 0, 1/17)T va` f 1∗ = f 2∗ = 5/17 = 1/v p suy v p = 17/5 , , `, d´ Tu ¯o suy nghiêm cua tr`o choi la` ,, , + Chiê´n luo c dô ¯ ´i vo´ i P: x∗ = v p x¯ ∗ = (17/5)(2/17, 3/17)T = (2/5, 3/5)T ,, , + Chiê´n luo c dô ¯ ´i vo´ i P: y∗ = v p y¯ ∗ = (17/5)(0, 4/17, 0, 1/17)T = (0, 4/5, 0, 1/5)T , , + Gia´ cua tr`o choi: v∗ = v p − p = 17/5 − = 2/5 ´ sô´ a) -3/100; b) 1/5 9.3 Ðap ´ sô´ a) a 22 = b) a 23 = 9.4 Ðap , , ˜ cua tr`o cho,i ma trân `,i giai a) Cap ` toan ´ dô ˘ bai 9.5 Lo ¯ ´i ngâu E , , ` ´ B to an c ua Q ` toan ´ cua P Bai f = y¯ + y¯ + y¯ + y¯ → max, f1 = x¯ + x¯ → min,  − y¯ + y¯ ≤ 1,  x¯ ≥ 1,   y¯     y¯ + y¯ + y¯ ≤ 1,  x¯ ≥ 1,     y¯ i ≥ 0, i = 1, 2, 3, −2 x¯ + x¯ ≥ 1,     x¯ + x¯ ≥ 1,     x¯ i ≥ 0, i = 1, , ˜ cua tr`o cho,i ma trân ` toan ´ dô ˘ bai a) Cap ¯ ´i ngâu F , , ` toan ´ cua P ` toan ´ cua Q Bai Bai f1 = x¯ + x¯ + x¯ → min, f2 = y¯ + y¯ + y¯ → max, x¯ + x¯ − x¯ ≥ 1, y¯ + y¯ − y¯ ≤ 1,          x¯  + x¯ ≥ 1, y¯ + y¯ ≤ 1,   −3 y¯ + y¯ ≤ 1, − x¯ + x¯ + x¯ ≥ 1,        x¯ ≥ 0, i = 1, 2,  y¯ ≥ 0, i = 1, 2, i i ´ sô´ a) x∗ = (4/7, 0, 3/7) va` y∗ = (0, 4/7, 0, 3/7) vo´,i v∗ = 2/7 9.6 Ðap ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.10 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 10 439 , b) x∗ = (1/4, 11/20, 1/5, 0) va` y∗ = (1/2, 3/10, 1/5) vo´ i v∗ = 3/10 ´ sô´ a) x∗ = (0, 0, 1) va` y∗ = (4/5, 1/5, 0) vo´,i v∗ = 9.7 Ðap , , ˜ ˘ dô b) B c´o diê ¯ m yên ngu a max a i j = max a i j = Lâp ¯ ´i ngâu cap j j i i , ,, va` giai b`ınh thuo` ng , ,, , , ` go i y´ bai ` tâp 11.10 L`oi giai va chuong 10 , ˜,u hiêu ´ cu.,c biên, d´ ´ sô´ C´o phu,o,ng an 10.1 Ðap ¯o c´o diê ¯ m hu , , ˘ ´ sô´ Ðoan nô´i hai diê 10.2 Ðap ¯ m x1 = (3, 0)T va` x2 = (1, 6)T thang ´ sô´ x1 = (7/5, 11/5, 0)T , x2 = (0, 4/5, 14/5)T , x3 = (0, 0, 10/3)T , x4 = 10.3 Ðap (5/2, 0, 0)T ´ sô´ x∗ = (0, 12, 0, 4)T , y0∗ = 392 10.4 Ðap ´ sô´ 10.5 Ðap a) x∗ = (0, 8, 2)T , y0∗ = 18 b) x∗ = (3, 0, 1)T , y0∗ = ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ` LIÊU TAI THAM KHAO ´ [1] Trâ`n Ð`ınh Anh, Bai ` tâp quy hoach tuyê´n t´ınh, NXBGD, 2007 ˜ Ngoc ´˘ ˜ Ð`ınh H´oa Quy hoach [2] Nguyên Nguyên Thang, tuyê´n t´ınh NXB ÐHQGHN, 2004 [3] Trâ`n Vu˜ Thiêu, ´ tr`ınh tô´i u,u tuyê´n t´ınh, NXB ÐHQGHN, Giao 2004 , ˜ Thanh ` [4] Nguyên Ca, Tô´i u,u h´oa tuyê´n t´ınh, NXB Lao d¯ông, 2011 2001 , , ˜ Van ˜ Hu ˜,u Ðiên Giao ˜ ˘ Hiê`n, Lê Dung [5] Nguyên Muu va` Nguyên ´ , , ` ´ ` tr`ınh giai t´ıch lôi ung dung, NXB ÐHQG Ha Nôi, 2015 , ˜ Hu ˜,u Ðiên Thu ,c hanh [6] Nguyên ` t´ınh toan ´ Maple, NXB ÐHQG Ha` Nôi, 2015 [7] Bertsekas D.P., Programming, NXB GD, 2000 , [8] N H Ðiên, Môt ´ NXB GD, 2006 ¯ ` vê` thuât sô´ vâ´n dê toan, ˜ Ðu´,c Ngh˜ıa, Tô´i u,u h´oa, Nxb Giao ´ duc, [9] Nguyên 2002; ,, ´ [10] Phan Quô´c Khanh – Trâ`n Huê Nuong, Quy hoach tuyê´n t´ınh, ´ duc, Nxb Giao 2003 ` [11] Horst R, Hoang Tuy, Global optimization: Deterministic approaches, Springer Verlag, Berlin, 1993; ` Thê´ Tâm – Trâ`n Vu˜ Thiêu, [12] Bui Cac ´ phu,o,ng phap ´ tô´i u,u h´oa, , Nxb Giao thông vân tai, 1998 ´ Quy hoach [13] Trâ`n Tuc, tuyê´n t´ınh, Ðai hoc Kinh tê´ Quô´c dân, 2001 , ` ´ Danh muc t u khoa bao d´ ¯ong, 26 biên, 26 , ,, biê´n co so, 81 , biê´n gia, 104 biê´n phu, 51 , ´ biên tu do, 81 ` toan ´ bai , bô nhiêm, 281 , , ´ 287 bô nhiêm tông quat, phân phô´i, 267 quy hoach biê´n boolean, 23 quy hoach nguyên, 23 quy hoach nhiê`u muc tiêu, 348 quy hoach tuyê´n t´ınh, 23 quy hoach 23 d¯ông, , san xuâ´t dô ¯ `ng bô, 295 thông qua han chê´, 289 , ` tô´i uu c´o rang buôc, 22 , ` tô´i uu không rang buôc, 22 , tô´i uu phi tuyê´n, 23 , , tô´i uu ro` i rac, 23 , ´ uu tham sô´, 23 , , tô´i uu v´ec to, 355 , tô´i uu da ¯ muc tiêu, 23 , vân không suy biê´n, 219 tai , ´n, 219, 260 vân tai suy biê , , ` toan ´ c´o lo` i giai, 46 bai ` toan ´ cu.,c tri, bai 22 ´ ` toan ´ gôc, 140 bai ` toan ´ max, 101 bai , ` toan ´ mo, rông, bai 186 ` toan ´ QHTT c´o tham sô´, 192 bai ` toan ´ tô´i u,u, 20 bai ˜ 140 ` toan ´ dô bai ¯ ´i ngâu, , bang ` toan ´ dô bai ¯ `ng bô, 297 , , ´ vân tai tông quat, 220 , , ˜ tông quat, ´ ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu 180 , , bang ¯ n h`ınh, 88 ,, ˜ , ho p, 335 chiê´n luo c hôn ,, , chiê´n luo c tô´i uu, 338 ,, , chiê´n luo c ¯ n, 334 , , , chuân cua môt vecto, 26 , , , , chı sô´ co so, 81 , chu´ a v`ong, 223 ´ ô d¯ôc cac , lâp tuyê´n t´ınh, 224 ´ tra tiê`n, 333 cach , ,, co so, 26 ,, châ´p nhân ¯ o c, 175 du ,, ˜ châ´p nhân ¯ o c dô ¯ ´i ngâu, du 176 , tô´i uu, 175 ˜ 176 dô ¯ ´i ngâu, canh vô han, 32 ˜ 145 ` ˘ rang cap buôc ¯ ´i ngâu, dô , , ` cuc, cu c tiêu toan 36 , , ,, cu c tiêu d¯ia phuong, 36 `˘ ´ 216 diê thu-pha, ¯ `u kiên cân bang , , ˜ u hiêu, diê ¯ m hu 355 , ´ 215 diê ¯ m phat, , diê ¯ m thu, 215 , , diê ¯ m tô´i uu Pareto, 355 , ,, diê ¯ m châ´p nhân ¯ o c, 21 du Ðinh ly´ Bolzano-Weierstrass, 26 d¯inh ly´ , Danh muc tu` kh´oa 442 minimax, 339 tô`n tai, 149 ˜ manh, dô 148 ¯ ´i ngâu ˜ dô ¯ ´i ngâu yê´u, 147 d¯ô lêch 156 bu` manh, d¯ô lêch bu` yê´u, 152 ´ manh, Ðinh ly´ tach 31 , ˘ 27 ¯ an thang, , ˜ bai ` toan ´ tông quat, ´ 144 dô ¯ ´i ngâu ˜ bai ´˘ 142 ` toan ´ ch´ınh tac, dô ¯ ´i ngâu dây truyê`n, 222 , ´˘ 48 Dang chuân tac, ´˘ 48 Dang ch´ınh tac, ` phu,o,ng, 28 dang toan , dang t´ıch ma trân d¯ao, nghich 123 , Dang vecto, 49 , , dâ´u hiêu hông c´o lo` i giai, 84 , dâ´u hiêu tô´i uu, 83 , , ,, vecto co so, 175 , , ,, v´ecto co so, 81 , ´ khoang cach, 26 , không chu´ a v`ong, 223 không gian con, 26 không gian tuyê´n t´ınh n chiê`u, 25 ´ ` khôi lôi da ¯ diên, 32 liên tuc, 28 ˘ 34 l˜om chat, ˘ 30, 34 lô`i chat, , , gia´ cua tr`o choi, 338 , gio´ i nôi, 26 , ,, ma trân co so, 89, 118, 175 ,, ma trân cuo´ c ph´ı, ,216 ma trân d¯ao, 118 nghich , ` co, so,, 118 ma trân ngoai ´˘ 334 ma trân thang, , ma trân tr`o choi, 333 ` miê`n rang buôc, 45 môt chu tr`ınh, 222 môt v`ong, 222 ` l˜om, 34 ham ` lô`i, 34 ham ` lô`i manh, ham 36 ` muc ham tiêu, 44 ` muc ham ¯ıch, 21 d´ ` thu hoach, ham 336 , , ` toan ` phuong, 28 ham ` tuyê´n t´ınh, 28 ham ` tuyê´n t´ınh afin, 28 ham ` tu.,a l˜om, 35 ham ` tu.,a lô`i, 35 ham h`ınh n´on, 32 ` cuc, nghiêm toan 21 ` cuc nghiêm 21 toan manh, ,, nghiêm phuong, 21 d¯ia ,, nghiêm 21 phuong manh, d¯ia ,`, , nguoi choi max, 333 ,, , nguo` i choi min, 333 n´on lô`i, 32 n´on lô`i da ¯ diên, 32 ,, ,, nua không gian mo, 28 ,, nua không gian d´ ¯ong, 28 ,, , , ´ d¯inh nua xac duong, 29 , ,, ,`, ˘ nua du 32 ¯ ong thang, ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , Danh muc tu` kh´oa ô chon, 221 ô loai, 221 , ,, phuong cua tia, 32 ,, , phuong cu c biên, 32 ,, ´ phuong phap , ´, , cuoc ph´ı lo´ n nhâ´t, 269 `˘ Gomory bang dô ¯ ` thi, 315 , , , t`ım chiê´n luo c tô´i uu, 341 ,, ´ hai pha, 103 phuong phap ,, ´ h`ınh hoc, phuong phap 55 ,, ´ d¯anh ´ phuong phap thuê´, 109 ,, phuong vô han, 32 ,, ´ phuong an , cu c biên không suy biê´n, 80 ,, ´ ,, phuong an châ´p nhân ¯ o c, 45 du , ,, ´ , phuong an co ban, 46 ,, ´ , , phuong an co ban suy biê´n, 46 , ,, ´ phuong an cua BTVT, 216 ,, ´ , phuong an cu c biên, 65 ,, ´ , phuong an không cu c biên, 46 ,, ´ phuong an không suy biê´n, 46 ,, ´ , phuong an tô´i uu, 46 ,, ´ , , phuong an tô´i uu cua BTVT, 216 phu thuôc tuyê´n t´ınh, 25 443 , , ´˘ chon Quy tac theo chı sô´ nho, 95 , ´˘ cai thiên Quy tac nhiê`u nhâ´t, 95 ´˘ sô´ lo´,n nhâ´t, 94 Quy tac r-lân cân, 26 ` rang buôc, 44 ` rang buôc ch´ınh, 44 ` ˘ 46, 156 rang buôc chat, ` ` sô´, 22 rang buôc h,am ` rang buôc long, 46, 156 , ` rang buôc tru c tiê´p, 22 ` rang buôc vê,` dâ´u, 44 , ` ˘ rang buôc thu´ c, 22 d¯ang , ˘ siêu phang, 27 ´ sô thu hoach, 336 ´ thuât toan , ´˘ Gomory tông quat, ´ 321 cat Ford-Fulkerson, 289 , , ` toan ´ san xuâ´t dô giai bai ¯ `ng bô, 306 Hungary, 285 ,, ´ ô quy không cuo´ c ph´ı cac chon, 240 thê´ vi, ,248 , t`ım diê ¯ m tô´i uu Pareto, 358 , Qui hoach ¯ n h`ınh, 87 l˜om, 24 , ˜ 181 Qui hoach ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu, lô`i, 24 , , Qui hoach ` phâ`n cua v´ecto, 25 phi tuyê´n, 23 , Qui hoach tia, 32 phân thu´ c, 24 quy hoach nguyên tuyê´n t´ınh tr`o cho,i ma trân, 334 , , ` toan, ` 313 hoan tr`o choi dô ¯ ´i xu´ ng, 339 , quy hoach nguyên tuyê´n t´ınh bô tru c giao, 27 ,, ´ du phân, tach ¯ o c, 31 313 ,, ´˘ cho,i, 333 quy tac t´ıch vô huo´ ng, 27 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ 444 , Danh muc tu` kh´oa ,, tâp ¯ o , 21 châ´p nhân du , , tâp ho p mu´ c, 35 , tâp ¯ong, 26 ho p d´ ` tâp , lôi, 29 , tô ho p lô`i, 25 , , tô ho p tuyê´n t´ınh, 25 ,, ,, uo´ c luo ng, 81 , vecto côt, 217 , vecto d`ong, 217 vuông g´oc, 27 , v´ecto n chiê`u, 25 , , ,, v´ecto co so, 81 , ´ tuyê´n, 55 v´ecto phap , , v´ecto tu do, 81 ,, ´ d¯inh xac duong, 28 da lô`i, 33 ¯ diên , diê ¯ m biên, 26 , , diê ¯ m cu c biên, 30 , , diê ¯ m cu c tri, 22 , diê ¯ m trong, 26 , , diê ¯ m yên ngu a, 337 ,, , du ¯ o` ng mu´ c, 55 , , d¯ınh cua da ¯ diên lô`i, 33 , ` vecto, 26 d¯ô dai d¯ôc lâp tuyê´n t´ınh, 25 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , Danh muc tu` kh´oa 445 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/