Giáo trình tối ưu tuyến tính và ứng dụng phần 1

, ˜,U ÐIÊN ˜ HU NGUYÊN ´ TRINH ` GIAO , ´ ´ TINH ´ TÔI UU TUYÊN , ´ ` VA UNG DUNG , Nha` xuâ´t ban Ðai hoc Quô´c gia Ha` Nôi , ˜,U ÐIÊN ˜ HU NGUYÊN ´ TRINH ` GIAO , ´ ´ TINH ´ TÔI UU TUYÊN , ´ ` VA UNG DUNG , Nha` xuâ´t ban Ðai hoc Quô´c gia Ha` Nôi , ` ` I NOI ´ ÐÂU LO ´ phu,o,ng phap ´ tô´i u,u la` môt ` ´ hoc Ly´ thuyê´t cac toan nganh c´o râ´,t , , , , ˜ ng kê´t qua ˜ nhiê`u u´ ng dung thu c tê´ cung nhu ly´ thuyê´t Nhu , , ,, ´ d¯at ¯ o c vê` nghiên cu´ u tô´i uu râ´t c´o y´ ngh˜ıa ly´ thuyê´t toan du , ` ´ ´ nghanh ` ˘ hoc cac kinh tê Bang công cu d¯ai va` u´ ng dung , sô´ ,, , ` va` co so toan ´ hoc ´ ly´ thuyê´t tô´i u,u tuyê´n t´ınh, giai t´ıch ham khac, , , , , ´ triên dê ´ kê´t qua râ´t d¯ep ˜ d¯a˜ phat nhu thu c ¯ ´n cac vê` ly´ thuyê´t cung , , ´˘ liê`n vo´,i su., phat ´ triên cua công ` ` ly´ thuyê´t tô´i u,u gan hanh Ngay ´ ly´ thuyê´t tô´i u,u hâ`u nhu, d¯a˜ nghê thông tin Moi thuât toan , , ` ´ thuât ´ va` chu,o,ng tr`ınh u´,ng dung triên khai cac thu c tê´ toan , ´ hoc Nhiê`u phâ`n mê`m công cu cho toan dê tô´i uu va` ¯ `u c´o g´oi lênh , , diê ¯ `u khiên tô´i uu , , ` giang d¯a˜ day Ðây la` bai tai ÐHKHTN Ha` Nôi, , vo´ i môt hoc k`ı ,, , ˜ ng chu dê v`ong 45 dê ¯ ´n 60 tiê´t Tôi d¯a˜ chon ¯ ` khoi dâ ¯ `u vê` loc nhu , ˜ ` toan ´ quy hoach ` toan ´ dô ly´ thuyê´t tô´i uu bai ¯ ´i ngâu, tuyê´n t´ınh, bai , ` toan ´ giao thông vân ` toan ´ quy hoach bai nguyên va` môt tai, bai sô´ , , , , , ˜ chu dê ` ` toan ´ da ´ kê´t bai ¯ muc ¯ ` dê ¯ `u di ¯ tu ¯ n gian to´ i cac tiêu, Môi , , ˜ chu dê ` ´ thuât ´ Môi qua c´o y´ ngh˜ıa va` cuô´i cung la` cac ¯ ` c`on nhiê`u toan , , ,, , , vâ´n dê v`ı tho` i gian c´o han ¯ ` mo rông, nên chı gio´ i thiêu lo´ p va` ˜,ng ngu,o`,i sau ` ` chuyên nghiên cu´,u vê` cac ´ bai ` toan ´ danh cho nhu , , ´ tai ` liêu tô´i uu Tôi d¯a˜ tham khao va` lâ´y phâ`n ch´ınh cac [2], [3], [4], , , ˜,ng bai ˜ ` tâp Tôi cung tuyên chon ¯ n h`ınh va` cho sinh viên nhu diê , , ` ,, ˜,ng bai ´ bai ` tâp ` tâp thu c hanh cac ¯o, nhu ¯ o c kiêm tra d´ d¯a˜ du `˘ ´ t´ınh va` không qua´ phu´,c tap ` bang may tay lam , , ´ Lâ`n dâ khoi sai s´ot va` nhâ`m ¯ `u tiên biên soan không thê tranh ˜ mong ban lân d¯oc cho y´ kiê´n ´ ˘ 2018 Ha` Nôi, 01 nam thang , ´ gia Tac , ˜ NHUNG K´I HIÊU , ´ ´ ˜,ng k´ı hiêu ´ ` ta dung ` ´ Trong cuô´n sach nhu y ngh˜ıa xac vo´ i cac , , ´, d¯inh bang duoi dây: ¯ N N∗ Z Q R C ≡ ∞ −∞ ; f ( x) → max / ¡ m¢ k dv ¯ d¯ a/ b [m] (n) QHTT BTVT , , tâp ho p sô´ tu nhiên , , ´ tâp ho p sô´ tu nhiên khac , tâp ho p sô´ nguyên , , ˜,u ty tâp ho p sô´ hu , , tâp ho p sô´ thu c , , tâp ho p sô´ phu´ c , dâ´u dô ¯ `ng du ,, ,, ,, , ` duong vô cung (tuong du ¯ ong vo´ i +∞) ` âm vô cung , ˜ tâp h o p rông ` sô´ f ( x) d¯at ˘ ham , max hoac , , ,, tô ho p châp k cua m phâ`n tu , ¯ n vi dô ¯ `ng a phân sô´ a b (≡ ) ,b , ,, , m la` phâ`n tu tru cua bang ¯ n h`ınh , , ,, , n la` phâ`n tu chon ¯ n h`ınh côt cua bang quy hoach tuyê,´n t´ınh ` toan ´ vân bai tai MUC LUC `,i noi ´ dâ Lo ¯ `u ˜,ng k´ı hiêu Nhu Muc luc ,, , , ` toan ´ tô´i uu 11 Chuong Gio´ i thiêu bai ´ hoc ` toan ´ thu.,c tê´ 11 1.1 Mô h`ınh toan bai 1.1.1 V´ı du lâp mô h`ınh , , ´ buo´,c xây du.,ng va` giai mô h`ınh toan ´ hoc 1.1.2 Cac , ` toan ´ tô´i uu va` cac ´ ` 1.2 Bai phâ`n 18 ` toan ´ 1.2.1 Ðinh ngh˜ıa bai 20 ´ bai ` toan ´ 1.2.2 Phân loai cac , 1.2.3 Nôi dung nghiên cu´ u , , 1.3 Kiê´n thu´ c d¯ai sô´ va` giai t´ıch 1.3.1 Không gian tuyê´n t´ınh n chiê`u 22 n 1.3.2 T´ınh châ´t h`ınh hoc không gian R , , ,, ˘ ˘ va` siêu phang 1.3.3 Ðuo` ng thang , , ` sô´ 1.3.4 Môt ¯ n gian sô´ loai ham , ´ niêm 1.4 Môt sô´ khai giai t´ıch lô`i 11 20 24 25 25 26 27 28 29 ´ loai 1.4.1 Cac tâp hôp lô`i 29 1.4.2 N´on lô`i , 1.4.3 Tâp ¯ diên ho p lô`i da , ` lô`i va` t´ınh châ´t cua ham ` lô`i 1.4.4 Ham 31 34 ` tâp 1.5 Bai 39 ` tâp ` toan ´ 1.5.1 Bai lâp mô h`ınh bai , , ` tâp ´ co, so, 1.5.2 Bai kiê´n thu´ c toan ,, Chuong Quy hoach tuyê´n t´ınh 39 ´ dang ` toan ´ qui hoach 2.1 Cac bai tuyê´n t´ınh , ` toan ´ tuyê´n t´ınh tông quat ´ 2.1.1 Bai , ´˘ va` dang ´˘ 2.1.2 Dang ch´ınh tac chuân tac 32 41 44 44 44 47 ´ tr`ınh Quy hoach Giao tuyê´n t´ınh , , ` toan ´ QHTT 2.1.3 Chuyên dô bai ¯ i dang , ,, ´ h`ınh hoc 2.2 Phuong phap giai QHTT ` toan ´ qui hoach 2.3 T´ınh châ´t bai tuyê´n t´ınh ,, ´ , 2.4 Phuong an cu c biên ` tâp 2.5 Bai ,, ,, , ´ Chuong Phuong phap ¯ n h`ınh , ,, ´ tu,o,,ng chung cua ´ phuong phap 3.1 Y ,, , ,, , ´ 3.2 Co so cua phuong phap , ´ 3.3 Thuât ¯ n h`ınh toan , , 3.4 Bang ¯ n h`ınh , , , 3.5 Thu tuc ¯ n h`ınh bang , ` toan ´ nhâ´t hoac ˘ nhiê`u nghiêm 3.6 Bai tô´i uu ,, , , ` ´ ´ max 3.7 Phuong phap toan ¯ n h`ınh vo´ i bai ,, ´ hai pha 3.8 Phuong phap ,, ´ d¯anh ´ 3.9 Phuong phap thuê´ , ,, , ´ 3.10 Dang d¯ai ¯ n h`ınh sô´ cua phuong phap , ´ 3.10.1 Thuât ma trân ¯ n h`ınh dang toan , , ´ 3.10.2 Cai tiê´n thuât ma trân ¯ n h`ınh dang toan ´˘ phuc 3.11 Xoay v`ong va` khac ` toan ´ phân sô´ tuyê´n t´ınh ham ` muc 3.12 Bai tiêu , ` toan ´ c´o chu´ a tham sô´ ham ` muc 3.13 Bai tiêu ` tâp 3.14 Bai ,, ˜ ` toan ´ quy hoach Chuong Bai dô ¯ ´i ngâu ˜ ´ hoc ` toan ´ QHTT dô ˘ bai 4.1 Mô h`ınh toan ¯ ´i ngâu cap ˜ ` toan ´ gô´c va` bai ` toan ´ dô 4.2 Bai ¯ ´i ngâu , , , ` ˜ dô ´˘ ´ chuân tac 4.2.1 Ðô´i ngâu toan ¯ ´i xu´ ng vo´ i bai , ˜ cua bai ´˘ ` toan ´ dang 4.2.2 Ðô´i ngâu ch´ınh tac , , ˜ cua bai ` toan ´ QHTT tông quat ´ 4.2.3 Ðô´i ngâu , ˜ ´ t´ınh châ´t cua cap ` toan ´ dô ˘ bai 4.3 Cac ¯ ´i ngâu ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên 50 54 61 65 74 79 79 80 87 88 90 97 101 103 109 117 117 121 123 126 130 134 138 138 140 140 142 144 147 https://www.facebook.com/groups/vietex/ Muc luc ,, ´ , ˘ ˜ 4.4 T`ım phuong an tô´i uu cap ¯ ´i ngâu dô , ,, ´ tông quat ´ 4.4.1 Su dung d¯inh ly´ d¯ô lêch bu` môt cach ,, ´ , ` toan ´ gô´c 4.4.2 Biê´t phuong an tô´i uu bai , , ,, ´ , , 4.4.3 C´o bang tô´i uu ¯ n h`ınh cua phuong an 155 155 160 164 ` tâp 4.5 Bai 167 ,, ,, , ˜ 174 ´ Chuong Phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu ,, , ,, ˜ 175 5.1 Co so châ´p nhân ¯ o c dô ¯ ´i ngâu du , ˜ 180 ´ 5.2 Thuât ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu toan , ˜ chu,a c´o co, so,, châ´p nhân ´ 5.3 Thuât 185 ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu toan , ` toan ´ QHTT tham sô´ vê´ phai 192 5.4 Bai ` toan ´ QHTT 5.5 Phân t´ıch kê´t luân bai , , , 5.5.1 Thay dô ¯ i nguô`n lu c gio´ i han d¯a˜ cho 196 197 ` 5.5.2 Thêm rang buôc cho mô h`ınh ` toan ´ QHTT va` phu,o,ng tr`ınh tuyê´n t´ınh 5.6 Bai , ´ ngh˜ıa cua ˜ ` toan ´ dô 5.7 Y bai ¯ ´i ngâu 199 ` tâp 5.8 Bai , ,, ` toan ´ vân Chuong Bai tai , ` toan ´ vân 6.1 Mô h`ınh bai tai , , ` toan ´ vân 6.2 T´ınh châ´t cua bai tai , , , 6.3 Bang vân tai va` t´ınh châ´t cua n´o , , , 6.4 Xây du ng v`ong bang vân tai ,, ´ ´ 6.5 T`ım phuong an xuâ´t phat , ,, ´ cu,o´,c ph´ı nho nhâ´t 6.5.1 Phuong phap ,, ´˘ ´ g´oc tây bac 6.5.2 Phuong phap ,, ´ Vogel (Fogel) 6.5.3 Phuong phap , , ´ phu,o,ng phap ´ giai bai ` toan ´ vân 6.6 Cac tai ´ quy không cu,o´,c ph´ı cac ´ ô chon 6.6.1 Thuât toan 210 ´ thê´ vi 6.6.2 Thuât toan ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên 203 207 214 214 217 220 226 231 232 234 236 238 239 246 https://vietex.blog.fc2.com/ ´ tr`ınh Quy hoach Giao tuyê´n t´ınh , `˘ ` toan ´ vân ´ 6.7 Bai thu phat tai không cân bang , ,`, , , ´ nhiê`u hon thu 6.7.1 Truong ho p tông phat , ,, , , ´ 6.7.2 Truo` ng ho p tông thu nhiê`u hon phat , ` toan ´ vân 6.8 Bai tai suy biê´n ` tâp 6.9 Bai , ,, ´ bai ` toan ´ dang Chuong Cac vân tai , ` toan ´ phân phô´i ham ` muc 7.1 Bai tiêu cu c d¯ai ,, ´ gian ´ tiê´p 7.1.1 Phuong phap , ,, ´ giai tru.,c tiê´p 7.1.2 Phuong phap , ` toan ´ vân 7.2 Bai tai c´o ô bi câ´m , ` toan ´ bô nhiêm 7.3 Bai , , ` toan ´ bô nhiêm 7.3.1 Gio´ i thiêu bai 254 255 259 260 264 267 267 268 269 273 280 280 ´ Hungary 285 7.3.2 Thuât toan , ` toan ´ vân 7.4 Bai tai thông qua han chê´ 289 , ` toan ´ san xuâ´t dô 7.5 Bai ¯ `ng bô 293 , , ` toan ´ san xuâ´t dô 7.5.1 Gio´ i thiêu ¯ `ng bô 293 bai , , , , ` toan ´ san xuâ´t dô 7.5.2 T´ınh châ´t co ban cua bai ¯ `ng bô 297 , ,, , ,, ´ nhân tu giai bai ` toan ´ san xuâ´t dô 7.5.3 Phuong phap ¯ `ng bô 301 ` tâp 7.6 Bai ,, ` toan ´ quy hoach Chuong Bai nguyên ` toan ´ quy hoach 8.1 Bai nguyên va` v´ı du , ´ giai bai ` toan ´ QHTT nguyên 8.2 Minh hoa cach ,, `˘ ´ Gomory bang 8.2.1 Phuong phap dô ¯ ` thi , ,, , ´ bang 8.2.2 Phuong phap ¯ n h`ınh , ´˘ Gomory tông quat ´ cat ´ 8.3 Thuât toan ,, ´ nhanh ´ 8.4 Phuong phap cân Land – Doig 8.4.1 V´ı du minh hoa 309 312 312 315 315 318 321 322 322 ´ nhanh ´ ` toan ´ QHTT nguyên 8.4.2 Thuât cân toan cho bai 325 ` tâp 8.5 Bai 331 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ Muc luc ,, , ` toan ´ tro` choi ma trân Chuong Bai 333 ,, ´ niêm 9.1 Môt ¯ `u 333 sô´ khai mo dâ , 9.1.1 V´ı du vê` tr`o choi ma trân 333 , ` toan ´ tr`o choi ma trân 9.1.2 Bai 334 , ` thu hoach 9.1.3 Ham cua P 335 , , ` ,, , 9.2 Ðiêm yên ngu a va chiê´n luo c tô´i uu 336 , , 9.2.1 Ðiêm yên ngu a 336 ,, , 9.2.2 Chiê´n luo c tô´i uu 338 , ´ ´, 9.2.3 Tr`o choi dô ¯ i xung 339 ,, ´ t`ım chiê´n lu,o.,c tô´i u,u 340 9.3 Phuong phap , , ` toan ´ QHTT 340 9.3.1 Ðua tr`o choi ma trân vê` bai ,, , , ´ t`ım chiê´n luo c tô´i u,u 341 9.3.2 Phuong phap ` tâp 9.4 Bai 344 ,, , Chuong 10 Tô´i uu tuyê´n t´ınh nhiê`u muc tiêu 346 ,´ ` toan ´ 346 10.1 Gioi thiêu bai , , ` phat 10.2 Tiê´p cân theo muc tiêu cu c tiêu ham 349 , 10.2.1 Quy hoach nhiê`u muc tiêu không uu tiên 349 , 10.2.2 Quy hoach nhiê`u muc tiêu c´o uu tiên 352 , ´ tiê´p cân 10.3 Cach theo tô´i uu Pareto 354 , , ˜,u hiêu ` toan ´ quy hoach 10.3.1 Ðiêm hu ¯ muc cua bai da tiêu 355 , ˜,u hiêu ´ t`ım diê 10.3.2 Thuât ¯ m hu toan 358 ` tâp 10.4 Bai , ,, `,i giai va` go.,i y´ bai ` tâp Chuong 11 Lo , ,, , , ` tâp 11.1 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.2 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.3 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.4 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.5 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.6 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên 361 363 363 365 369 384 398 406 https://vietex.blog.fc2.com/ 10 ´ tr`ınh Quy hoach Giao tuyê´n t´ınh , ,, , , ` tâp 11.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.8 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.10 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 10 , ` liêu Tai tham khao `, khoa ´ Danh muc tu ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên 427 435 437 439 440 441 https://www.facebook.com/groups/vietex/ ` toan ´ QHTT 5.5 Phân t´ıch kê´t luân bai 199 va`   A J˜ = [ A , A , A ] = 0 3 0 ,, ,, , ˘ x˜ J˜ = ( x1 , x4 , x2 )T Khi d´ Ðat ¯o x˜ J˜ = A −J˜ b˜ tuong du ¯ ong vo´ i A J˜ x˜ J˜ = b˜ va` c´o dang    = 3,  −5  x1 + x4 x4 + x2 = 14, ⇔ x˜ J˜ =     x2 = , ,, ` ´ tô´i u,u phâ`n âm nên x˜ ∗ không phai la` phuong an Do x˜ J˜ c´o , , ` toan ´ mo´,i va` câ`n phai tiê´p tuc ´ cua bai t´ınh toan , , , , , , ´ ` côt ˘ x˜ J˜ vao Ðat ¯ n h`ınh thuât toan b˜ o bu,o´ c thu´ ,rô`i tiê´p tuc , , ˜ (chu´ y´ rang, `˘ ´ chı biê´n dô dô ¯ i côt ¯ ´i ngâu b˜ theo phâ`n tu truc d¯a˜ xac , ` toan ´ ban dâ d¯inh giai bai ¯ `u) cJ x0J x1 -1 x4 x2 , Bang x5 x4 x2 , Bang xJ -5 18 x1 -1 0 x2 0 x3 1/2 -1 -5 x4 0 x5 -1 -4 1/3 -7 -5 24 1/3 54 -1 -4 1/3 -7 0 -2 -15/2 -1/3 -19 0 0 ,, , , , ` ´ mo´,i xuâ´t hiên O bang 4, dâ´u hiêu toan ¯ ´i vo´ i bai tô´i uu dô la` x˜ = , , T ` muc (0, 1/3, 0, 24, 5) gia´ tri tô´i uu cua ham tiêu f ( x˜ ) la` 54 ` 5.5.2 Thêm rang buôc cho mô h`ınh , ,, ´ vâ´n dê ` toan ´ qui Khi lâp bai ¯ ` thu c tê´ duo´ i dang mô h`ınh cho cac , , , ´ rang ` hoach tuyê´n t´ınh thuo` ng c´o nhu câ`u bô sung thêm cac buôc , , `˘ lam ` mô h`ınh nham ` cho n´o phan anh ´ ´ hon vâ´n dê vao ch´ınh xac ¯ ` dang ¯ , , , , `, , ´ ˘ biêt nghiên cu´ u, d¯ac lo` i giai thu du mô h`ınh ¯ o c tu câ`n so sanh , , ,´ , ´ Tuy nhiên, viêc ` voi t`ınh huô´ng thu c tê´ du ¯ o c mô h`ınh hoa thêm vao ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ ,, ,, , ˜ ´ Chuong Phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu 200 , , ` ` cho lo`,i giai d¯a˜ c´o không c`on môt buôc , hay nhiê`u rang c´o thê lam , ` ˜,ng tru,o`,ng ho.,p nhu, thê´ ˜ cac ´ rang ` thoa man buôc Trong nhu mo´ i , ,, , ˜ s˜e giup ´ ´ giai quyê´t vâ´n dê ´ phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu ¯ ` môt cach , , , ` ` ` dâ ` bô bai ` toan ´ tu hiêu ¯ u V´ı du sau qua ma` không cân giai lai toan ´ ` minh hoa t`ınh huông , ,, , Gia su thêm môt ¯ `u kiên mo´ i diê a m+1,1 x1 + a m+1,2 x2 + · · · + a m+1,n xn ≤ b m+1 , `, bai ` toan ´ mo´,i tu ` toan ´ d¯a˜ giai la` Bai f ( x) = c T x →   Ax = b, x ≥ 0, n P  a m+1,i x i ≤ b m+1 i =1 , , ` toan ´ cu ˜ Khi d´ Ða˜ biê´t x∗ la` nghiêm ¯o tô´i uu cua bai , , ,, ´ ˜ rang ` ˜ • Nê´u x∗ thoa man buôc bô sung th`ı n´o cung la` phuong an tô´i , , , ` toan ´ mo´ i uu cua bai , ,, ,, ,`, , ` ´ rang ` cac bc • Trong truong ho p nguo c lai, ta s˜e dung cuo˜ ng bu´ c , ,, ,, ` toan ´ ban dâ ˘ du,o´,i dang cua bai ¯ ong ¯ `u, c´o mat , tuong du , , , , ´ , , ,, , ` ân co so x j , j ∈ J ( J la` co bang dê ¯ n h`ınh cuô´i cung, ¯ khu cac , , , ,, , ` ` toan ´ cu) ˜ rang ` so cuô´i cung cua bai buôc bô sung vo´ i ân bu` xn+1 không âm a m+1,1 x1 + a m+1,2 x2 + · · · + a m+1,n xn + xn+1 = b m+1 , , ´ sô´ rang ` ` d`ong cuô´i cung ` ˘ cac Sau d´ buôc vao cua ¯o d¯at ¯ n , ,, , , ` h`ınh, ngh˜ıa la` d`ong thu´ m + o bang Thêm ¯ n h`ınh cuô´i cung , , ´ ´ ` côt n + cho biên bu` xn+1 , côt ¯o la` vecto côt ¯ n vi va` cuôi cung d´ ` muc ˜ ∆n+1 = (do ham Cung c n+1 = 0, nên tiêu c´o c n+1 = 0) , , , ´ t´ınh cac ∆ i , i = 1, 2, , n không thay dô ¯ i Bang ¯ n h`ınh c´o dang sau ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ ` toan ´ QHTT 5.5 Phân t´ıch kê´t luân bai , ,, Co so xJ x J1 x Ji x Jm cj c j1 c ji c jm , Bang PA x0J x0j x0j i xj m b′m+1 f (x) x1 c1 0 xi ci 0 201 xm cm 0 xk ck z j1 k z j2 k z jm k z j m+1 k ∆k ≤ xn c n+1 Trong d´ ¯o b′m+1 = b m+1 − m X a m+1,i x j i i =1 m X z m+1,k = a m+1,k − a m+1,i z ik , ( k = 1, 2, , n) i =1 , , ´ khac ´ la` nhân d`ong i, ( i = 1, 2, , m) cua bang cuô´i cung ` N´oi cach , , , , ,´ , , ` voi −a m+1,k công tâ´t ca lai, rô`i công vo´ i sô´ tuong u´ ng cua rang , , , , ` d`ong m + ˘ vao buôc ¯ o c d¯at bô sung, kê´t qua du , , ˜ t`ım lo`,i giai cua bai ` toan ´ qui hoach V´ı du 5.12 Hay tuyê´n t´ınh nhân ,, , , `, ` ` ´ thêm vao ` môt ` ´ cho o v´ı du 5.5, bang ˘ cach buôc du ¯ o c tu bai toan rang ,´ moi: x1 + x2 + x3 ≥ 60 , , , ,, , `˘ ` toan ´ cu˜ bang ´ Lo` i giai V´ı du 5.5 d¯a˜ giai bai phuong phap ¯ n h`ınh , ,, ` va` bang cuô´i cung nhân ¯ o c la` du , , ,, Co so Hê sô´ Gia PA x1 x2 x3 x4 x5 xJ cJ x0J 15 12 10 0 x2 12 25 7/8 0 x3 10 30 −1/4 1/4 −1/2 , Bang 600 −7 0 −2 −2 , , ` cho thâ´y x∗ = (0; 25; 30)T la` phu,o,ng an ´ tô´i u,u cua bai ` Bang , ´ vo´ i f = 600 toan , , ∗ ˜ rang ` Do x∗ không thoa man buôc mo´ i x1 + x2 +, x3 ≥ 60 nên x , , , ,, ´ ` toan ´ mo´,i Ðê xu, ly´ rang ` không phai la` môt cua bai buôc phuong an ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ ,, ,, , ˜ ´ Chuong Phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu 202 , , , , ` ` biê´n bu` x6 ≥ dê ` ˘ mo´ i ta thêm vao buôc vê` dang d¯ang ¯ du ¯ a rang , , , , ,, ˘ thu´ c va` dô thu´ c thu du ¯ i dâ´u hai vê´ d¯ang ¯ o c: − x1 − x2 − x3 + x6 = −60 , , , , ` , ` vao ` Bang va` lâp Bây gio` ta du buôc ¯ a rang Bang Ðê y´ la` , ` ˘ hai rang biê´n phu mo´ i x6 không c´o mat buôc c`on lai va` , ` ` cung ˜ ` muc buôc ham tiêu, v`ı thê´ sô´ cua x6 hai rang , , , , , `˘ ˜ a, biê´n x6 s˜e la` biê´n co so, ` muc Hon nu nhu ham tiêu bang , , ,, Co so Hê sô´ Gia PA x1 x2 x3 x4 x5 x6 xJ cJ x0J 15 12 10 0 x2 12 25 7/8 0 0 x3 10 30 −1/4 1/4 −1/2 x6 −60 −1 −1 −1 0 , Bang 600 −7 0 −2 −2 , , , ´ biê´n co, so, nên côt ´ v´ecto, côt Do x2 , x3 la` cac ¯ n vi 2, phai la` c,ac , , , ` vo´ i sô´ o ô c´o cung tên biê´n d`ong va` côt cua n´o Muô´n thê´ ta , , ,, ` d`ong Kê´t qua ta nhân công d`ong va` d`ong vao ¯ o c Bang du , ,, Co so Hê sô´ xJ cJ x2 12 x3 10 x6 , Bang , Gia PA x0J 25 30 −5 600 15 7/8 −1/4 −3/8 −7 12 0 10 0 0 1/4 −1/8 −2 0 −1/2 -1/4 −2 0 , , , ` tu,o,ng u´,ng vo´,i gia phu,o,ng an ´ x J˜ = (0; 25; 30; 0; 0; −5)T thoa Bang , , , ,, , ˜ tiêu chuân tô´i u,u Loai ` co, man biê´n x6 khoi co so va` du ¯ a biê´n x5 vao , , ,, ,, , ˜ ta nhân ´ so Biê´n dô ¯ i Bang theo phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu , ,, du ¯ o c Bang , ,, Co so Hê sô´ xJ cJ x2 12 x3 10 x5 , Bang ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên , Gia PA x0J 20 40 20 600 15 1/2 1/2 3/2 −4 12 0 10 0 −1/2 1/2 1/2 −1 0 −2 −4 https://www.facebook.com/groups/vietex/ ` toan ´ QHTT va` phu,o,ng tr`ınh tuyê´n t´ınh 5.6 Bai 203 , , ,, ,, ` ta thâ´y moi ´ Trong bang phâ`n t,u côt Gia phuong an , , , , , , , ` ´ ´ uu cua bai ` toan ´ mo´ i bây gio` la` dê ¯ u duong nên phuong an , , ,, , ∗ T ´, ` du x = (0; 20; 40) voi gia´ tri cu c tiêu mo´ i f = 640 (gia´ tri ¯ ong , , ˜ nhiên lo´ n hon gia´ tri f cu) ,, ` toan ´ QHTT va ` phuong tr`ınh tuyê´n t´ınh 5.6 Bai , ´˘ va` bai ˜ ` toan ´ chuân tac ` toan ´ dô 1) Ta x´et bai ¯ ´i ngâu ˜ ` toan ´ dô ` toan ´ gô´c Bai Bai ¯ ´i ngâu f ( x) = c T x → min(max) ( Ax ≥ (≤) b, (P) ` y ´ x g( y) = b T y → max(min) ( A T y = c, (Q) y ≥ ,, n m m O dây ¯ A la` ma trân m × n, x, c ∈ R , b ∈ R va` y ∈ R ˜ cho thâ´y rang `˘ `, ly´ thuyê´t dô ` toan ´ qui hoach Tu nê´u bai ¯ ´i ngâu , , , , ˜ ´ ` ´ ˘ tuyê´n t´ınh d¯a˜ cho c´o lo` i giai, chang han x , th` ı b to an dô i ng âu c ua ¯ , , , , ˜ ` muc ˘ n´o cung c´o lo` i giai, chang han y, va` gia´ tr, i cua hai ham tiêu , T y `˘ ´ ˘ lo` i giai ( x, y) nghiêm nhau: c x = b Do d´ la` bang ¯o, cap d¯ung ,, , , phuong tr`ınh va` bâ´t phuong tr`ınh tuyê´n t´ınh:   Ax ≥ b,     A T y ≤ c, (5.1)  c T x = b T y,     x ≥ 0, y ≥ , ` ´ ,, `˘ ´ du Bang cach cac biê´n phu u, v ≥ 0, du ¯ a vao ¯ o c viê´t lai   Ax − u = b,     A T y + v = c,  c T x = b T y,     x ≥ 0, y ≥ 0, u ≥ 0, v ≥ (5.2) , , ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Nhu vây nê´u ( x, , y , u , v ) la` nghiêm cua (5.2) th`ı x la` ,, ´ tô´i u,u cua bai ` toan ´ gô´c (P) va` y∗ la` phu,o,ng an ´ tô´i u,u phuong an , ˜ (Q) ` toan ´ dô cua bai ¯ ´i ngâu , ,, ∗ ∗ ´ tô´i u,u cua cap ` ˘ phu,o,ng an ˘ bai Nguo c lai, Nê´u x , y la` cap , , ∗ ∗ ∗ T ∗ ˜ (P), (Q) th`ı u = A X − b, v = c − A y ta thu du ´ dô toan ¯ ´i ngâu ¯ o c ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ ,, ,, , ˜ ´ Chuong Phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu 204 , ( x∗ , y∗ , u∗ , v∗ ) la` nghiêm cua (5.2) , , ,, , ` toan ´ QHTT (P) tu,o,ng du Nhu vây, ¯ ong vo´ i viêc giai bai t`ım ,, ,, ´ nghiêm duong phuong tr`ınh tuyên t´ınh     Ax − u = b, A T y + v = c,    c T x = b T y , , `˘ ´ t`ım nghiêm moi không âm cua Ta c´o thê n´oi rang thuât , toan , ,, ´ dung ` toan ´ QHTT giai bai phuong tr`ınh tuyê´n t´ınh c´o thê ap , , ` toan ´ qui hoach V´ı du 5.13 T`ım lo` i giai cho bai tuyê´n t´ınh f ( x) = x1 + 10 x2 → min,    x1 + x2 ≥ 14, x1 + x2 ≥ 12,   x1 ≥ 0, x2 ≥ , , , , ,, Lo` i giai c´o thê qui vê` viêc t`ım nghiêm không âm cua phuong tr`ınh tuyê´n t´ınh sau:  x1 + 10 x2 = 14 y1 + 12 y2 ,       x1 + x2 − u1 = 14,      y1 + y2 + v1 = 5,   x1 + x2 − u2 = 12,     y1 + y2 + v2 = 10,      x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0,     u ≥ 0, u ≥ 0, v ≥ 0, v ≥ 2 , ` Nghiêm không âm cua la` ( x, y, u, v)T = , , , , ´ tô´i uu cua bai ` toan ´ gô´c va` (4, 2, 2, 1, 0, 0, 0, 0)T Vây, phuong an , , , ˜ tuong u´ ng la` x = (4, 2)T va` y = (2, 1)T ` toan ´ dô bai ¯ ´i ngâu , , ,, ´ giai bai ` toan ´ QHTT c´o thê ap ´ dung 2) Nguo c lai, moi thuât toan , , ,, ` ´ ˘ không âm b ang c ach gi giai phuong tr`ınh tuyê´n t´ınh nghiêm ,, , ` toan ´ o pha thu´ nhâ´t bai ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ ` toan ´ QHTT va` phu,o,ng tr`ınh tuyê´n t´ınh 5.6 Bai 205 , ,, T`ım nghiêm không âm cua môt phuong tr`ınh tuyê´n t´ınh ( Ax = b, x ≥ 0, , , , m n vo´ i A la` ma trân m × n, b ∈ R va` x ∈ R , c´o thê qui vê` viêc giai môt ´ qui hoach tuyên t´ınh: f ( x, u) = u + u + + u m ( Ax + u = b, x ≥ 0, u = ( u , u , , u m ) ≥ , ,, ´ ´˘ c´o lo`,i giai, bo,,i v`ı (0, b) la` môt ´˘ chan ` toan ´ ` chac Bai , phuong an ,, ` muc tiêu f ( x, t) ≥ vo´,i moi ´ ( x, u) cua bai ` toan ´ va` ham phuong an , ,, ∗ ∗ , , , ` toan ´ Gia su ( x , u ) la` môt lo` i giai cua bai , ,, Nê´u u∗ = thi x∗ la` môt nghiêm không âm cua phuong tr`ınh tuyê´n t´ınh d¯a˜ cho, c`on nê´u u∗ ̸= th`ı d¯a˜ cho vô nghiêm (không c´o nghiêm không âm) , ,, V´ı du 5.14 T`ım nghiêm không âm cua phuong tr`ınh    x1 + x2 − x3 = 7, x1 − x2 + x3 = 9,   x1 − x2 − x3 = , , , ` toan ´ qui hoach Lo` i giai Qui vê` viêc giai bai tuyê´n t´ınh sau u + u + u → min,  x1 + x2 − x3 + u = 7,      x − 2x + 4x + u5 = 9,  x1 − x2 − x3 + u = 4,     x ≥ 0, j = 1, 2, 3, u ≥ 0, i = 4, 5, j , i , , , ` ´ ` toan ´ nay, ` Dung phuong phap ¯ n h`ınh giai bai , , ,, Co so Hê sô´ Gia PA x1 (x, u) J c J (x, u)0J u4 u5 u6 (3) , Bang 20 [6] ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên x2 -2 -1 x3 -1 -2 u4 1 0 u5 1 0 u6 0 θ 7/2 4/3 https://vietex.blog.fc2.com/ ,, ,, , ˜ ´ Chuong Phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu 206 u4 u5 x1 , Bang u4 x3 x1 , Bang , ,, Co so Hê sô´ (x, u) J c J x2 x3 x1 , Bang 13/3 23/3 4/3 12 0 11/3 1/3 -5/3 (14/3) -1/3 -2/3 [5] 53/14 (53/14) 23/14 -5/14 17/7 -4/7 53/14 [53/14] , Gia PA x1 x2 (x, u)0J 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -2/3 13 -1/3 23/14 1/3 -2 -1/14 -9/14 3/14 -1/14 1/7 2/7 -15/14 -23/14 - x3 u4 u5 u6 1 14/53 -1/53 -9/53 5/53 11/53 -7/53 8/53 7/53 10/53 -1 -1 -1 θ - ,, ,, ´ tô´i u,u ( x∗ , u∗ ) = (3, 1, 2, 0, 0, 0)T Ta nhân ¯ o c phuong an du , ,, Vây nghiêm câ`n t`ım cua phuong tr`ınh d¯a˜ cho la` x∗ = (3, 1, 2)T , ,, ,, V´ı du 5.15 T`ım nghiêm duong cua bâ´t phuong tr`ınh sau    x1 + x2 + x3 + x4 = 30, x1 + x2 + x3 = 7,   − x2 + x3 ≥ 21 , , , , ,, , `˘ ´ d¯ang ´ ˘ Lo` i giai Ðua bâ´t phuong tr`ınh vê` cac thu´ c bang cach ´ thêm biên phu x5  = 30,   x1 + x2 + x3 + x4 x1 + x2 + x3 = 7,   − x2 + x3 − x5 = 21 , , ,, , , `˘ ´ ` toan ´ Giai bang phuong phap bai ¯ n h`ınh mo rông f ( x) = u + u →  x1 + x2 + x3 + x4      2x + x + x +u  − x2 + x3 − x5     x ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, j ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên = 30, = 7, + u = 21 https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ˜ ` toan ´ dô 5.7 Y´ ngh˜ıa cua bai ¯ ´i ngâu ( x, u) J CJ ( x, u)0J x4 u6 u7 , Bang 30 21 28 x1 2 x4 x3 u7 , Bang 16 0 -3 -6 -6 207 x2 -1 x3 (1) [4] x4 0 x5 0 -1 -1 u6 1 0 u7 0 1 -4 -4 0 0 0 -1 -1 -2 -3 -4 0 θ 15 7 - , ,, ` toan ´ mo, rông ´ tô´i u,u ( x∗ , u∗ ) = (0, 0, 7, 16, 0, 0, 0)T Bai c´o phuong an , `˘ ´ biê´n gia dê Suy va` cac ¯ `u bang , , , T ` ˘ thu´ c ban dâ x = (0, 0, 7, 16) la nghiêm ¯ `u cua bâ´t d¯ang , ˜ ´ ngh˜ıa cua bai ` toan ´ dô 5.7 Y ¯ ´i ngâu , , , , , ,, ` mô ta ˘ V´ı du cu thê dâ ¯ `u chuong ¯ n gian y´ ngh˜ıa cua cap ˜ Phâ`n sau dây ` toan ´ tuyê´n t´ınh dô bai ¯ ´i ngâu ¯ ta x´et thêm môt sô´ v´ı , , ` toan ´ quy hoach ` toan ´ quy du d¯a˜ c´o chuong bai tuyê´n t´ınh, bai ˜ mang y´ ngh˜ıa g`ı? hoach ¯ ´i ngâu tuyê´n t´ınh dô , , ,, ` toan ´ lâp V´ı du 5.16 (Bai kê´ hoach san xuâ´t) Gia su môt x´ı nghiêp , , , ,, ´ ´ san xuât n loai m loai san phâm va` su dung nguyên liêu khac , ˜, ,´ ´ , , `˘ ´t rang voi sô luo ng du tru nguyên liêu hi,ên , c´o la` b i , i ( i = 1,, m) Biê , ` nguyên loai a i j la` chi ph´ı tai san phâm j ( i = ¯ san xuâ´t loai i dê , , , , , ` ` ´ cua 1, n, j = 1, m) va` c j ¯ n vi tiên la` gia´ tiên ban ¯ n vi san phâm , , ,, , ˜ lâp j ( j = 1, n) Hay kê´ hoach san xuâ´t dê thu du ¯ x´ı nghiêp ¯ o c tông , , , gia´ tri san phâm cao nhâ´t vo´ i diê ¯ `u kiên han chê´ d¯a˜ cho , , ,, , Lâp ınh: x j la` sô´ luo ng san phâm thu´ j ( j = 1, n) ma` x´ı mô h` , , , , ` toan ´ lâp ` nghiêp ¯ a vê` bai c´o thê san xuâ´t Bai kê´ hoach san xuâ´t du ´ quy hoach toan tuyê´n t´ınh: f ( x) = c x1 + c x2 + · · · + c n xn → max, ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ ,, ,, , ˜ ´ Chuong Phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu 208   a 11 x1 + a 12 x2 + · · · + a 1n xn       a 21 x1 + a 22 x2 + · · · + a 2n xn ≤ b1 , ≤ b2 , (P)     a m1 x1 + a m2 x2 + · · · + a mn xn ≤ b m ,     x ≥ 0, ( j = 1, n) j , ` toan ´ ta chu,a x´et dê ´ vât Bai ¯ ´n gia´ cua cac liêu qua´ , , , ´ ´ ´ tr`ınh san xuât Hiên nhiên x´ı nghiêp mong muô,n cac mu´ c gia´ vât , ,, , ´ ´ ` ´ ` ` liêu tôt dê ¯ c´o nhiêu lo i nhuân cang thâp cang Gia su c´o t`ınh huông , , , , ´ ´ x´ı nghiêp chua san xuât, nhung phai ban sô´ vât liêu va` ,môt x´ı, ´ ´ ´ ´ nghiêp ı c´o thê ¯o X´ı nghiêp khac muôn mua lai sô vât liêu d´ ban ch , , ,, ´ ´ ` ´ ´ ´ châ´p nhân b an nê u sô tiê n thu du o c b an c ac v ât li dê s an xuâ´t ¯ ¯ , , , ` ˘ hang môt j không thâ´p hon c j ¯ n vi mat ¯ n vi tiê`n tê, x´ı nghiêp , , ´ ´ ´ ´ ´ muô´n mua lai muô n mua v o i tô ng gi a thâ p nhâ t , ,, , ` toan ´ d¯inh ` toan ´ Bai gia´ cua nguo` i mua n´oi du ¯ a dê ¯ ´n bai , ´ môt ` toan ´ t`ım QHTT Goi vât liêu thu´ i Bai yi ( i = 1, m) la` gia´ ban y = ( y1 , y2 , , ym ) cho g ( y) = b y1 + b y2 + · · · + ym ym → min,  a 11 y1 + a 21 y2 + · · · + a m1 ym ≥ c ,     a 12 y1 + a 22 y2 + · · · + a m2 ym ≥ c ,      a 1n y1 + a 2n y2 + · · · + a mn ym ≥ c ,     y ≥ 0, ( j = 1, m) (Q) j ˜ dô ` toan ´ (P) va` (Q) la` cap ` toan ´ dô ˘ bai Dê˜ thâ´y hai bai ¯ ´i ngâu ¯ ´i , , , , , , , , ∗ ∗ ´ tô´i uu tuong u´ ng cua (P) va` (Q) ˘ phuong an xu´ ng Goi x , y la` cap Theo d¯inh ly´ vê` d¯ô lêch bu` ta c´o à ! n X a i j x∗j − b i yi∗ = 0( i = 1, m), (5.3) j =1 à cj − ! m X a i j yi∗ x∗j = 0( j = 1, n) (5.4) i =1 `, (5.3) cho ta Tu , ´ cua vât a i j x∗j = b i , ngh˜ıa la` nê´u gia´ ban liêu j =1 , , ,, ,, ` thu´ i duong th`ı nguo` i san xuâ´t câ`n dung hê´t vât ¯o liêu d´ • Nê´u yi∗ > th`ı ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên n P https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ˜ ` toan ´ dô 5.7 Y´ ngh˜ıa cua bai ¯ ´i ngâu 209 , ,, , a i j x∗j < b i th`ı yi∗ = 0, ngh˜ıa la` nguo` i san xuâ´t chı không j =1 , , , `˘ ` ´ vât dung hê´t vât (chı c´o liêu thu´ i nê´u gia´ ban liêu thu´ i bang , , , ˜ nhu vây ph´ı vât mo´ i không lang liêu thu´ i ) `, (5.4) cho ta Tu m P ,, , ` ˘ hang j du • Nê´u x∗j > th`ı a i j yi∗ = c j , ngh˜ıa la` nê´u mat ¯ o c san j =1 , , , , ´ cua cac ´ vât ` ˘ hang xuâ´t th`ı tông gia´ ban liêu dê ¯ san xuâ´t môt mat , , , , `˘ ` ˘ hang thu´ j phai bang gia´ tri cua môt j ¯ n vi mat m , , P ´ cac ´ vât • Nê´u a i j yi∗ > c j th`ı x∗j = 0, ngh˜ıa la` tông gia´ ban ¯ liêu dê , i=1 , , , , ` ˘ hang ˘ san xuâ´t môt j lo´ n hon gia´ tri môt ¯ n vi mat ¯ n vi mat , , , ´ ` ´ ` ˘ hang j th`ı không san xuât mat ¯ ban vât liêu c´o lo i hang j (v`ı dê , hon) , ,, ´ , , Nê´u x∗ la` phuong an tô´i uu cua nha` san xuâ´t th`ı y∗ la` gia´ châ´p , , , , ,, ´ cua nha` san xuâ´t va` la` gia´ mua cua tô´i u,u c´o thê du nhân ban ¯ o c , ,`, cua nguoi mua • Nê´u n P , , , , `˘ ` toan ´ lâp V´ı du 5.17 (Bai thu c thu c phâm Biê´t rang ¯ n) C´o n loai , , , , , , , , ˜ môi ¯ n vi thu c phâm thu´ j chu´ a a i j ¯ n vi châ´t dinh duo˜ ng i va` , , , ` ˜ lâp gia´ c j môt thu c ¯ n vi tiê`n ( i = 1, m, j = 1, n) Hay ¯ n , , , , ´ ´ ˜ a an ` ˘ d¯am bao c´o ´ıt nhât b i cho môt la` ¯ n vi chât i ma` gia´ bu , ´ re nhât , , ,, ` , ´ hoc Mô h`ınh toan ¯ n vi thu c phâm loai ¯ o c dung Goi x i la` sô´ i du , ˜,a an ` toan ´ du ` toan ´ quy hoach ˘ Bai bu tuyê´n t´ınh ¯ a vê` bai sau: T`ım x = ( x1 , x2 , , xn )T cho f ( x) = c x2 + c x2 + · · · + c n xn → min,  n   P j x j ≥ bi ( i = 1, m ) (P) ( j = 1, n) , , ,, , ˘ thâm Trong thu c tê´, nhiê`u truo` ng ho p c´o thê hoac ch´ı thay thê´ , , , `˘ môt thuô´c bô sô´ thu c phâm bang j =1  x ≥ j ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ ,, ,, , ˜ ´ Chuong Phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu 210 , , , , , Bây gio` ta x´et công viêc kinh doanh cua chu san xuâ´t thuô´c bô ,, , , , Goi ¯ n vi châ´t dinh duo˜ ng thu´ i chu´ a thuô´c , ,y j la` gia´ ,môt , bô cua nha` san xuâ´t thuô´c, th`ı nha` san xuâ´t thuô´c câ`n d¯inh gia´ , ,`, , , ` ´ ´ tro dung thuôc thay thu c phâm yi ( i = 1, m) cho nêu nguoi nôi , , , , , ´˘ ho,n dung ` ` th`ı gia´ cua môt thu c thu c phâm ¯ n không d¯at , ˜ dê ` toan ´ ` cung ˜ ma` nha` san xuâ´t c´o doanh thu cao nhâ´t Bai dân ¯ ´n ` toan ´ quy hoach bai tuyê´n t´ınh sau: T`ım y = ( y1 , y2 , , ym ) cho g( y) = b y1 + b y2 + · · · + b m ym → max, P m  a i j yi ≥ c j ( j = 1, n ) (Q) i =1  yi ≥ ( i = 1, m) ˜ Tu ˜ `, d¯inh ` toan ´ dô ´ bai ` toan ´ (P) va` (Q) la` cap ˘ bai Dê thâ´y cac ¯ ´i ngâu ` ly´ d¯ô lêch b u ta c´ o , , ` a i j yi < c j th`ı x j = 0, ngh˜ıa la` nê´u dung thuô´c re hon i =1 , , , , , , , ` dung thu c phâm thu´ j th`ı ba` nôi tro không mua thu c phâm thu´ j n , P a i j x j < b i , ngh˜ıa la` nha` san xuâ´t d¯inh gia´ • Nê´u yi > th`ı j =1 , ,, , ,, , , tro s˜e t`ım duong cho môt ¯ n vi thuô´c bô thu´ i th`ı nguo` i nôi , , , , ,, ´ ´ u´,ng o, mu´,c tô´i thiêu d` cach d¯ap ¯oi hoi vê` châ´t dinh duo˜ ng thu´ i , khâu phâ`n • Nê´u m P ` tâp 5.8 Bai , ,, , ˜ `˘ ▷ 5.1 Giai bai ` toan ´ sau bang ´ phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu f ( x) = x1 − x2 + x3 + x4 + x5 → min,  x1 + x3 − x4 + x5 = 6,      x + x4 ≥ 3,  x1 + x2 − x4 + x5 = 5,     x ≥ 0, j = 1, j , ` toan ´ QHTT sau ▷ 5.2 Giai bai f ( x) = x1 + x2 → min, ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ ` tâp 5.8 Bai 211  x1 + x2 ≥ 4,      x + x ≥ 3,  x1 + x2 ≥ 4,     x , x ≥ , ,, , `˘ ` toan ´ bai ` toan ´ sau bang ´ ▷ 5.3 Giai bai phuong phap ¯ n h`ınh ˜ dô ¯ ´i ngâu f ( x) = x1 + x2 + x3 + x4 →    x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 5, x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 3,   x i ≥ 0, i = 1, 2, 3, , , ˜ mo,, rông `˘ ´ ` toan ´ bang thuât ▷ 5.4 Giai bai ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu toan f ( x) = − x1 − x2 + x3 →  − x + x2 − x3 ≤ 6,      x + x + x ≥ 6,  x1 − x2 + x3 = 4,     x ≥ 0, i = 1, 2, i , ,, ,, , ˜ giai bai ´ ` toan ´ ▷ 5.5 Su dung phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu f ( x) = x1 − x2 + x3 + x4 + x5 → min,  x1 + x3 − x4 + x5 = 6,      −x − x4 + x6 = −3,  x1 + x2 − x4 + x5 = 5,     x ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, 5, j , , ,, , ˜ giai bai ▷ 5.6 Su, dung ´ ` toan ´ phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu f ( x) = x1 + x2 + x3 + x4 → min, x1 + x3 − x4 = 2,      −x + 2x + x ≤ 11,  x1 + x2 − x4 ≥ 8,     x ≥ 0, j = 1, 2, 3, j ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ ,, ,, , ˜ ´ Chuong Phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu 212 , , ▷ 5.7 Giai va` biên luân theo t ▷ 5.8 Giai va` biên luân theo t f = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 → max  3x1 + x2 + 2x3 + 2x4 ≤ 24 + t,      2x + 2x + 3x + x = 10 − 2t,  4x + 3x + 2x + 2x  ≥ −10 + t,    x ≥ 0, j = 1, 2, 3, f = 3x1 + 2x2 + 4x3 + 5x4 →  2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 ≤ 18 − 3t,      x + 2x + 2x + x = + t,  3x + x + 2x + 2x  ≥ 15 − 3t,    x ≥ 0, j = 1, 2, 3, j j , ▷ 5.9 Giai va` biên luân theo t , ▷ 5.10 Giai va` biên luân theo t f = x1 + x2 + x3 →  x1 + x2 + x3 ≥ 4,      x + x + x ≥ −1 + t, f = x1 + x2 + x3 → max    x1 + x2 + x3 ≤ 12 − t,    x + x + x ≤ + t,  x1 + x2 + x3 ≤ 10 + t,     x ≥ 0, j = 1, 2, 3  x1 + x2 + x3 ≥ − t,     x ≥ 0, j = 1, 2, j , ▷ 5.11 Giai va` biên luân theo t f = 2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 → max  2x1 + x2 + x3 + 2x4 ≥ −2 + t,      3x + 2x + 2x + x ≤ 12 − t,  x1 + x2 + 2x3 + x4 = + 2t,     x ≥ 0, j = 1, 2, 3, j j , ▷ 5.12 Giai va` biên luân theo t f = 5x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 → max  2x1 + 4x2 + x3 + 4x4 ≤ − t,      5x + 2x + 2x + x ≥ + 2t,  2x + x + x + 2x  = − t,    x ≥ 0, j = 1, 2, 3, j , ,, , ˜ `˘ ´ ` toan ´ sau bang phuong phap ▷ 5.13 Giai bai ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu f ( x) = x3 + x4 + x5 →    − x1 + x3 − x4 + x5 = 2, x2 − x3 − x4 + x5 =   x j ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, , ,, , `˘ ˜ ` toan ´ sau bang ´ ▷ 5.14 Giai bai phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu f ( x) = x1 + x2 →  x1 + x2 ≥ 27,        x1 + x2 ≥ 10, x1 − x2 ≥ 15,     x1 + x2 ≥ 28,    x j ≥ 0, j = 1, ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ ` tâp 5.8 Bai 213 , ,, , `˘ ˜ ` toan ´ sau bang ´ ▷ 5.15 Giai bai phuong phap ¯ n h`ınh dô ¯ ´i ngâu f ( x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 →  x1 + x2 − x3 + x4 − x5 = −3,      − x − x + x + x ≥ 18,  − x2 − x3 + x5 ≤ 10,     x ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, j ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/