Học phần lí thuyết tối ưu tuyến tính bài tập nhóm chương 23

a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC HỌC PHẦN LÍ THUYẾT TỐI ƯU TUYẾN TÍNH BÀI TẬP NHĨM CHƯƠNG Giảng viên hướng dẫn: Phạm Duy Khánh Nhóm thực hiện: Nhóm TP Hồ Chí Minh - tháng năm 2022 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g h a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC HỌC PHẦN LÍ THUYẾT TỐI ƯU TUYẾN TÍNH BÀI TẬP NHĨM CHƯƠNG Giảng viên hướng dẫn: Phạm Duy Khánh Nhóm thực hiện: Nhóm Trần Đặng Minh Tân (nhóm trưởng) MSSV: 47.01.101.123 Phạm Lê Hồng Thơng MSSV: 47.01.101.128 Lê Gia Huy MSSV: 47.01.101.084 Hồ Thị Thu Hồng MSSV: 4501101028 Trần Quang Minh MSSV: 47.01.101.097 Đặng Công Minh Khôi MSSV: 47.01.101.091 Đồn Cao Minh Trí MSSV: 47.01.101.047 Phan Trọng Tín MSSV: 47.01.101.133 Nguyễn Đại Nghĩa MSSV: 47.01.101.102 10 Nguyễn Hữu Quân MSSV: 4501101089 11 Trần Hoàng Lộc MSSV: 47.01.101.022 Lớp học phần: MATH140303 Ca học: Chiều thứ TP Hồ Chí Minh - tháng năm 2022 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g h Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương Bảng phân chia nhiệm vụ Trần Đặng Minh Tân Bài tập 2.17, 2.18, 2.25 + Tổng hợp Phạm Lê Hồng Thơng Bài tập 2.3, 2.23 2.29 Lê Gia Huy Bài tập 2.2, 2.11 2.21 Hồ Thị Thu Hồng Bài tập 2.22 2.28 Trần Quang Minh Bài tập 2.6, 2.7 2.12 Đặng Công Minh Khôi Bài tập 2.4, 2.26, 2.31 Đồn Cao Minh Trí Bài tập 2.15, 2.19 2.27 Phan Trọng Tín Bài tập 2.5, 2.8, 2.14 2.33 Nguyễn Đại Nghĩa Bài tập 2.1, 2.13, 2.20 2.32 10 Nguyễn Hữu Quân Bài tập 2.10, 2.30 2.34 11 Trần Hoàng Lộc Bài tập 2.9, 2.16 2.24 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập mở, tập đóng 1.2 Điểm trong, phần Điểm dính, bao đóng Điểm biên, tập biên 1.3 Tập bị chặn 1.4 Ảnh ảnh ngược 1.5 Ánh xạ tuyến tính 1.6 Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính 1.7 Đoạn thẳng, đường thẳng qua qua điểm 1.8 Tích vô hướng 1.9 Chuẩn Euclide 1.10 Phương trình tổng quát m-phẳng BÀI TẬP CHƯƠNG 2.1 Bài tập 2.1 2.2 Bài tập 2.2 11 2.3 Bài tập 2.3 13 2.4 Bài tập 2.4 14 2.5 Bài tập 2.5 17 2.6 Bài tập 2.6 18 2.7 Bài tập 2.7 21 2.8 Bài tập 2.8 22 2.9 Bài tập 2.9 24 2.10 Bài tập 2.10 25 2.11 Bài tập 2.11 27 2.12 Bài tập 2.12 32 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 2.13 Bài tập 2.13 35 2.14 Bài tập 2.14 40 2.15 Bài tập 2.15 44 2.16 Bài tập 2.16 46 2.17 Bài tập 2.17 51 2.18 Bài tập 2.18 54 2.19 Bài tập 2.19 56 2.20 Bài tập 2.20 58 2.21 Bài tập 2.21 60 2.22 Bài tập 2.22 61 2.23 Bài tập 2.23 70 2.24 Bài tập 2.24 71 2.25 Bài tập 2.25 72 2.26 Bài tập 2.26 74 2.27 Bài tập 2.27 79 2.28 Bài tập 2.28 83 2.29 Bài tập 2.29 96 2.30 Bài tập 2.30 98 2.31 Bài tập 2.31 99 2.32 Bài tập 2.32 101 2.33 Bài tập 2.33 102 2.34 Bài tập 2.34 103 Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 1.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tập mở, tập đóng Định nghĩa Tập X ⊂ Rn gọi tập mở Rn với x thuộc X, tồn cầu mở tâm x nằm trọn X, nghĩa ∀x ∈ X, ∃r > : B(x, r) ⊂ X Định nghĩa Tập Y ⊂ R gọi tập đóng Rn Rn \ Y tập mở Định nghĩa Trong khơng gian metric, A đóng dãy A, hội tụ điểm giới hạn thuộc A Định nghĩa Cho x0 ∈ Rn r ∈ R+ Khi đó, ta có định nghĩa sau: Quả cầu mở tâm x0 bán kính r không gian Rn tập hợp xác định bởi: B(x0 , r){x ∈ Rn :∥ x − x0 ∥< r} Quả cầu đóng tâm x0 bán kính r không gian Rn tập hợp xác định bởi: B ′ (x0 , r){x ∈ Rn :∥ x − x0 ∥≤ r} Quả cầu tâm x0 bán kính r khơng gian Rn tập hợp xác định bởi: S(x0 , r) {x ∈ Rn :∥ x − x0 ∥= r} Định lý Các khẳng định sau đúng: i) Tập ∅ Rn hai tập mở Rn ii) Tập ∅ Rn hai tập đóng Rn iii) Hợp họ tập mở Rn tập mở iv) Hợp họ hữu hạn tập đóng Rn tập đóng v) Giao họ hữu hạn tập mở Rn tập mở vi) Giao họ tập đóng Rn tập đóng 1.2 Điểm trong, phần Điểm dính, bao đóng Điểm biên, tập biên Định nghĩa Điểm x gọi điểm A tồn tập U mở chứa x nằm trọn A ◦ Tập hợp tất điểm A gọi phần A, kí hiệu A intA Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương Định nghĩa • Điểm x ∈ X gọi điểm dính A tập mở chứa x giao A khác rỗng • Tập hợp tất điểm dính A gọi bao đóng A, kí hiệu A • Như vậy, x ∈ A ⇔ V ∩ A ̸= ∅, ∀V mở chứa x • A tập đóng nhỏ chứa A Định nghĩa Nếu x điểm dính A X \ A x gọi điểm biên A Tập hợp tất điểm biên A gọi biên A kí hiệu ∂A Ta có ∂A = A ∩ X \ A Mệnh đề Các mệnh đề sau đúng: ◦ (i) X \ A = X \ A ◦ z }| { (ii) X \ A = X \ A ◦ (iii) ∂A = A \ A 1.3 Tập bị chặn Định nghĩa (i) A tập bị chặn ⇔ ∃M > : ∥x∥ ≤ M, ∀x ∈ A (ii) A tập không bị chặn ⇔ ∀M > bất kì, ∃x ∈ A : ∥x∥ > M Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 1.4 Ảnh ảnh ngược Định nghĩa Cho ánh xạ f : X −→ Y , A tập X, B tập Y Ta định nghĩa • f (A) := {f (x) : x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃x ∈ A, y = f (x)} ảnh A f • f −1 (B) := {x ∈ X : f (x) ∈ B} ảnh ngược B f 1.5 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho V U hai khơng gian vector, ánh xạ f : V −→ U ánh xạ tuyến tính f thoả mãn tính chất sau: (i) Với α, β ∈ V : f (α + β) = f (α) + f (β) (ii) Với a ∈ R, α ∈ V : f (aα) = af (α) Định nghĩa 1.6 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Cho hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn =0      a x + a x + + a x =0 21 22 2n n (I)       a x + a x + + a x = m1 m2 mn n Tập nghiệm N hệ phương trình tuyến tính (I) không gian vector n R  Không gian  gọi không gian nghiệm hệ (I) a11 a12 a1n    a21 a22 a2n    Đặt A =       am1 am2 amn Nếu ký hiệu r = rankA số chiều khơng gian nghiệm hệ (I) là: dimN = n − r Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 1.7 Đoạn thẳng, đường thẳng qua qua điểm Định nghĩa i) Đường thẳng qua hai điểm x, y ∈ Rn (x ̸= y) tập hợp: dA = {λx + (1 − λ)y, λ ∈ R} ii) Đoạn thẳng qua hai điểm x, y ∈ Rn (x ̸= y) tập hợp: dB = {λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]} iii) Tập M chứa đường thẳng tức tồn x, y ∈ Rn (x ̸= y) cho dA ⊂ M 1.8 Tích vơ hướng Định nghĩa Cho x, y ∈ Rn , với x = (x1 , x2 , , xn ) , y = (y1 , y2 , , yn ) Tích vơ hướng hai vector x y, ký hiệu ⟨x, y⟩, môt số thực xác định sau: ⟨x, y⟩ := x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Để đơn giản người ta thường viết tích vơ hướng xy thay ⟨x, y⟩, khơng mang đến nhầm lẫn Tính chất Với x, y, z ∈ Rn λ ∈ R, ta có tính chất sau: i) ⟨x, x⟩ ≥ Đẳng thức xảy chi x = ii) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ iii) ⟨λx, y⟩ = λ⟨x, y⟩ iv) ⟨x, y + z⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩ 1.9 Chuẩn Euclide Định nghĩa Chuẩn Euclide vector x ∈ Rn , ký hiệu ∥x∥, số thực xác định sau: ∥x∥ := p ⟨x, x⟩ Tính chất Với x, y ∈ Rn α ∈ R, ta có tính chất sau: i) ∥αx∥ = |α|∥x∥ ii) |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥ iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ iv) ∥x∥ − ∥y∥ |≤ ∥x − y∥ Nhóm - Chiều thứ hai Bài tập nhóm chương 1.10 Phương trình tổng qt m-phẳng Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính có dạng sau gọi phương trình tổng qt m-phẳng: n X i = 1, 2, , n − m bij xj + bi = 0, j=1 Ngược lại, hệ phương trình tuyến tính có dạng B ma trận cấp n − m xác định m-phẳng r x0 r = < r ||x1 − x0 || = ||x0 ||