Cđ1 1 phép chia hết phép chia có dư

CHUYÊN ĐỀ PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Trong chun đề chúng tơi trình bày lại cách tóm tắt phần lí thuyết phép chia hết phép chiá có dư, ước số chung lớn bội số chung nhỏ Hầu hết tính chất giới thiệu khơng nêu chứng minh Trong chun đề này, khơng rõ biến số hiểu số nguyên Phép chia hết Cho a, b hai số nguyên b khác Ta nói a chia hết cho b kí hiệu a : b, nêu tồn số nguyên q cho a = b.q Ví dụ, số chia hết cho = 2.3 Khi a chia hết cho b ta nói b ước a kí hiệu b \ a Ngồi ta cịn nói a bội b Lưu ý : Khi a chia hết cho b a chia hết cho – b nên ta xét ước nguyên dương a Ví dụ: số 28 có ước ±1, ±2, ±4, ±7, ±14 ±28 ta xét ước dưong 28 1, 2, 4, 7, 14 28 Từ định nghĩa ta rút số tính chất: a) Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c b) Nếu hai số a b chia hết cho m ax ± by chia hết cho m với x, y nguyên Đặc biệt a ± b chia hết cho m c) Nếu a chia hết cho tích m.n a chìa hết cho m a5 chia hết cho n Chú ý: Điều ngược lại nói chung khơng đúng, chẳng hạn 28 chia hết cho 14 không chia hết cho x 14 = 56 Phép chia có dư Trên đây, ta nói đến phép chia hết, nhiên cho truớc hai số nguyên a b khơng phải tìm đuợc số nguyên q cho a = b.q Chẳng hạn a = 1979 b = 22 khơng có số nguyên q để 1979 = 22.q Người ta chứng minh định lí sau phép chia ĐỊNH LÍ Cho a, b hai số nguyên b khác Khi đó, tồn cặp số nguyên (q ; r) cho a = b.q + r hay (a, b) > với a b không đồng thời Một cách tương tự, ta có định nghĩa ước số chung lớn n số nguyên không đồng thời Khi (a, b) = 1, ta nói hai số a b nguyên tố TÍNH CHẤT a) (a, b) = (b, a) b) (a, 0) = |a|, a c) k(a, b) = (ka, kb), k > d) (a, b) = (b, a - b) ; (a, 1) = 1, a ; (a, a) = |a|, a Tính chất d) cho ta cách đơn giản để xác định ước chung lớn hai số nguyên, ví dụ : (20, 12) = (12, 8) = (8,4) = (4,4) = e) Nếu (a, c) = (ab, c) = (b, c) f)(a1, a2,…., an) = (d, an), d= (a1, a2, …,an-1) g)Cho (a, b) = d Khi đó, d' ước chung a b d' ước d THUẬT TỐN Ơ-CLÍT (EUCLIDE) Để tìm ƯCLN hai số a b trường hợp a không chia hết cho b, ngồi cách phân tích số a, b thừa sơ ngun tố ta cịn có thuật tốn hiệu xuất phát từ tính chất d) nói Cụ thể, a khơng chia hết cho b nên ta có a - bq + r1, < r1 < |b| ; b = r1.q1 + r2, < r2 < r1 ; r1 = r2 q2 + n, < r3 < r2 ; …………………………… rn-2 = rn-1.qn-+ rn,0 với a b khác Một cách tương tự, ta có định nghĩa bội số chung nhỏ n số nguyên khác TÍNH CHẤT a) [a,b] = [b,a] b) [a,1] = [a], c) k[a, b] = [ka, kb], k > d) Nếu số dương d ước chung a b e) (a, b).[a, b] = a.b, với a, b thoả mãn a.b > f) [a1, a2, …… an] = [m, a2] m = [a1, … ,an-1] g) Cho [a, b] = m Khi đó: m' bội chung a b m' bội m a ; [a, a] = |a|, a Một số tính chất khác a) Nếu a chia hết cho m n, đồng thời hai số m n nguyên tố a chia hết cho tích m.n b) Nếu tích a.b chia hết cho c (b, c) = a chia hết cho c c) Cho p số nguyên tố Khi đó: tích ab chia hết cho p a chia hết cho p b chia hết cho p d) Khi chia n + số nguyên dương liên tiếp cho n (n > 1) nhận hai số dư e) Trong n số nguyên liên tiếp (n > 1) ln có số chia hết cho n f) Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n (n eN ) g) Nếu (a, b) = d tồn hai số nguyên x y cho : ax + by = d Chứng minh tính chất g) Xét tất số có dạng ax + by, số ta chọn số dương nhỏ nhất, giả sử ax0 + byo =p Ta chứng minh p = d Thật vậy, giả sử a = p.q + r, < r < p Khi đó, r = a - p.q = a(1-qx0) + b(-qy0) nên r có dạng ax + by r < p r = hay p \ a Lập luận tương tự, ta suy p \ b Vì p \ a p \ b nên p \ d Nhưng d \ a d \ b nên d \ ax0 + byo = p Vậy p = d Từ tính chất) ta có hệ sau : HỆ QUẢ (a, b) = tồn hai số nguyên x, y cho ax + by =  Chú ý: Bằng cách chứng minh tương tự ta chứng minh (a, b) = d a, b > tồn hai số nguyên dương x, y cho ax - bý = d Hằng đẳng thức hệ Cho a, b số thực n số nguyên dương Khi ta có an - bn = (a - b)(an - + abn-2 + abn + bn-1) HỆ QUẢ Cho a, b số nguyên n số tự nhiên Khi đỏ ta có • Nếu a - b • Nếu a + b an - bn chia hết cho (a - b) n lẻ an + bn chia hết cho a + b Một số ví dụ • Ví dụ Cho a số nguyên Tìm ƯCLN (2a + 3, 3a + 4) Lời giải Gọi d = (2a + 3, 3a + 4), ta có d\2a +3 d\3a + Vì 3(2a + 3) - 2(3a + 4) = nên d ước hay d = Ví dụ 2: Cho a, b sô nguyên dương cho a + b chia hêt cho tích a.b Hãy tính giá trị biểu thức A= (Thi học sinh giỏi Toán - Thành phố Hà Nội, năm 2002) Lời giải Gọi d = (a, b) a = d.a1 b = d.b1 với (a1, b1) = Ta có : a2+b2 =d2(a2+b2) ab = d2a1b1 Vì a2 + b2 chia hết cho ab a2 + b2 chia hết cho a1b1 Suy cho a1 b1 Suy chia hết cho b1 + chia hết chia hết cho a1 Vì (a1, b1) = nên a1 chia hết cho b1 b1 chia hết cho a1 Suy a1 = b1 = Vậy, A= • Ví dụ = =2 Chứng minh với số nguyên dương n ta đêu có n3 + 5n chia hêt cho (Thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN-DHQGHN năm 1996) Lời Giải Ta có n3 + 5n = (n3 – n) + 6n Để chứng minh n3 + 5n chia hết cho ta chứng minh n3 – n chia hết cho Do n3 – n = n(n – 1)(n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết Vì (2,3) = nên n3 – n chia hết cho tích x = • Ví dụ Cho a, b, c số nguyên Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết a + b + c chia hết cho Lời giải Xét A = a3 + b3 + c3 - a - b - c = (a3 + a) + (b3 - b) + (c3 - c) Theo ví dụ a3 - a, b3 – b c3 - c đểu chia hểt cho Suy A chia hết cho Vậy, a + b + c chia hết cho a + b + c chia hết cho • Ví dụ Chứng minh S= n2 + 3n - 38 không chia hết cho 49, với số tự nhiên n CLời giải Giả sử tồn n cho s = n + 3n —38 chia hêt cho 49 Vì n2 - 4n+4 = n2 + 3n - 38 - 7(n—6) nên n2 - 4n + chia hết cho hay (n - 2)2 chia hết cho Suy; n - chia hết cho hay n = + 7t Thay vào S ta : S = 49(t2 + t) - 28 Suy S không chia hết cho 49, trái với điều giả sử Vậy S không chia hết cho 49 với số tự nhiên n • Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có A= 2005n + 60n – 1867n – 168n chia hết 2004 Lời giải Ta có 2004 = 12 x 167 Vì (12, 167) = nên để chửng minh A chia hết cho 2004 ta chứng minh A chia hết cho 12 167 Ta có A = (2005n -1897n) -(168n – 60n) Áp dụng tính chất an - bn chia hết chọ a - b với n tự nhiên a – b 0, ta suy 2005n – 1897n chia hết cho 2005 - 1897 = 108 = 12 x Suy 2005n – 1897n chia hết cho 12 Mặt khác, 168 60 chia hết cho 12 nên 168n – 60n chia hết cho 12 Vậy A chia hết cho 12 Tuơng tự trên, ta có A = (2005n – 168n) - (1897n – 60n) Cũng lập luận tự trên, ta có 2005n - 168n chia hết cho 2005 - 168 = 1837 ; 1897n – 60n chia hết cho 1897 - 60 = 1837 1837 =11 x 167 nên 2005n - 168n 1897n – 60n chia hết cho 167 Suy A chia hết cho 167 Vậy ta có điều phải chứng minh BÀI TẬP 1.1 Chửng minh a + 2b chia hết cho b + 2a chia hết cho 3, 1.2 Giả sử a - c ước ab + cd Chứng minh a - c ước ad+bc 1.3 Cho a, b N Chứng minh Z Z 1.4 Cho n nguyên dương Chứng minh (n! + 1, (n+1)! + 1) = 1.5 Cho a, b số nguyên Chứng minh (5a+3b, 13b + 8b) = (a,b) 1.6 Cho số nguyên m, n, p, q thỏa mãn \p.m - q.n\ = Chứng minh với cặp số nguyên a, b ta có (ma + nb, pa + qb) = (a, b) 1.7 Giả sử (a, n) = p (b, n) = q Chứng minh (ab, n) = (pq, n) 1.8 Cho a < b < c b = aq1 + r1, c = a.q2 + r2 Chứng minh (a, b, c) = (a, r1, r2) 1.9 Chứng minh vớị số tự nhiên n, phân số sau phân số tối giản a) ; ; b) c) ; 1.10 Xác định giá trị n để phân số sau phần số tối giản a) n  22 n 3 (b) ; (c) 1.11 Xét phân số A= Hỏi có số tự nhiên n khoảng từ đến 2005 cho phân số A chưa tối giản? 1.12 Chứng minh với ba số lẻ a, b, c ta có = a, b , c) 1.13 Cho a, b, c số nguyên dương Chứng minh a) (a, b , c) = ; b) [a, b, c]= 1.14 Cho a1, a2 … , an số nguyên dương n > Đặt A= a1,a2 …an, Ai = A (i = 1,n) Chứng minh đẳng thức sau : 1.15 a) (a1, a2, ., an)[A1, A2, …, An] = A; b) [a1, a2, ., an](A1, A2, …, An) = A; Cho m, n hai số tự nhiên nguyên tố Hãy tìm ước số chung lớn hai sô A = m + n B = m2 + n2 (Thi học sinh giỏi Tốn tồn quốc — lớp năm 1979) 1.16 Xác định ước số chung lớn hai số sau : a) (7a+l, 8a + 3); b) (11a + 2, 18a + 5); a số nguyên cho trước 1.17 Cho n số nguyên dương Hãy tính bội số chung nhỏ số n, n + 1, n + 1.18 Chứng minh với số nguyên dương n ta có [1, 2, , 2n] = [n + 1, n + 2, ,,n + n] 1.19 Cho số nguyên a không chia hết cho Chứng minh : A = 4a2 + 3a + chia hêt cho a a a3   , a   1.20 Chứng minh  1.21 Chứng minh A(n) = n2 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 (Thỉ học sinh giỏi Tốn tồn quốc - lớp năm 1975) 1.22 Chứng minh n5 -n chia hết cho 30, với n 1.23 Chứng minh m3 + 3m2 - m - chia hết cho 48, với m lẻ 1.24 Chứng minh n12 –n8 - n + chia hết cho 512, với n lẻ 1.25 Chứng minh A(n) – n4 – 14n3 + 71n2 – 154n + 120 chia hết cho 24, với 1.43 Tìm số tự nhiên n lớn cho 29n ước 2003! 1.44 Tìm số tự nhiên k lớn cho (1994!)1995 : 1995k (Thi học sinh giỏi Tốn tồn quốc — lớp 9, năm 1994) 1.45 Cho n thuộc N n > Chứng minh 2n = 10a + b (0 < b < 10) tích a.b chia hết cho (Thi học sinh giỏi Tốn tồn quốc — lớp năm 1983) 1.46 Cho n thuộc N, n > Chứng minh Tn = l5 + 25 + + n5 chia hết cho tổng n số tự nhiên Sn = + + + n (Thi vào lớp 10 chuyên ĐHSPHN năm 2001) 1.47 Tìm n nguyên dương cho (n-1)! chia hết cho n (Thi vôđịch Hungari năm 1951) 1.48 Xác định n nguyên dương (n > 3) cho số A = 1.2.3 n (tích n số nguyên dương đầu tiên) chia hết cho B = + + + n (Thi vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQGHN năm 1994) 1.49 Cho a m số nguyên dương a > Chứng minh (m, a - 1) 1.50 Cho a, m, n số nguyên dương a Chứng minh an – \am - n \ m 1.51 Cho a, m, n số nguyên dương a > Chứng minh (am – 1, an – 1) = a(m,n)- 1.52 Cho a, b hai số nguyên dương không nhỏ nguyên tố Chứng minh m, n hai số nguyên dương thỏa mãn an + bn \ am + bm ta có n\ m 1.53 Cho a, b, n số nguyên dương Biết với số tự nhiên k có kn – a chia hết cho k – b Chứng minh a = bn b ta 1.54 Chứng minh tồn vô hạn số tự nhiên n cho 4n2 +1 chia hết cho 13 1.55 Giả sử - + - …+ p, q số nguyên Chứng minh p chia hết cho 1979 1.56 Cho a1, an, …, an {1, -1}, n eN* thoả mãn : a1a2 + a1a3 + …+ ana1 = Chứng minh n chia hết cho 1.57 Chứng minh tổng bình phương p số nguyên liên tiếp (p số nguyên tố, p > 3) chia hết cho p Cho số nguyên a không nhỏ Hỏi có tồn hay khơng số tự nhiên A cho a2001 < A < a2002 A có 600 chữ số tận cùng? 1.59 Có tồn hay khơng 4004 số ngun dương cho tổng 2003 số khơng chia hết cho 2003 1.58 (Balkan 2003) 1.60 Tìm cặp số nguyên dương (a, b) thoả mãn đồng thời điều kiện sau : a) ab(a + b) không chia hết cho b) (a + b)7 - a - b7 chia hết cho 77 (IMO-1984) 1.61 Giả sử a, b hai số nguyên dương khác Chứng minh tồn vô số số tự nhiên n cho a + n b + n hai số nguyên tố LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ 1.1 Suy từ đẳng thức : (a + 2b) + (b + 2a) = 3(a + b) 111 1.2 Suy từ đẳng thức : (ab + cd) - (ad + bc) = (a- c)(b - d) 1.3 Suy từ đẳng thức - 1.4 Giả sử d = (n! + 1, (n + 1)! + 1) Ta có d\n! + d \ (n + 1)! + nên d \ (n + 1)! + - n! - = n!.n (1) Vì d\n! + nên (d, n) = (d, n!) = Từ (1) suy d= 1.5 Giả sử d = (a, b) d' = (5a + 3b, 13a + 8b) Vì d\ a d\ b nên d\ 5a + 3b d\ 13a + 8b Suy d\d' (1) Vì d' \ 5a + 3b d' \ 13a + 8b nên d' \ 8(5a + 3b) - 3(13a + 8b) = a d' \5a (13a+8b) - 13(5a + 3b) = b Suy d'\ d (2) Từ (1) (2) ta suy d’ = d 1.6 Giải tương tự 1.5 1.7 Ta có (a, n)-p nên a =p.a1, n =pn1 với (a1, n1) = Suy (ab, n) = (pa1 b, pn) =p.(a1b, n1) =p(b, n1) = (pb, n) Vì (b, n) = q nên b = q.b1 n = q.n2 với (b1, n2) = Suy (pb, n) = (p.q.b1, q.n2) = q(pb1, n2) = q(p, n2) = (pq, n) 1.8 Giải tương tự 1.5 1.9 a) Giả sử (21n + 4, 14n + 3) = d (d > 1) Ta có d\21 + d\ 14n + nên d\3(14n + 3) - 2(21n + 4) = Vậy d = tự giải câu b) c) 1.10 a) Ta có =1+ Phân số cho tối giản (n + 3, 19) = hay n 19m - b) Vì (2n + 3, 2) = nên phân số cho tối giản phân số sau tối giản B= 3- Phân số B tối giản (2n + 3, 5) = Ta có (2n + 3, 5) \ 2n + hay 2n + = 5a Xét 2n + = 5a, ta có n = 2a + Vì n a số nguyên nên a - = 2m, từ có n = 5m + Vậy phân số cho tối giản n c) Đáp số: n 5m + 7m + 1.11 Giả sử A phân sô chưa tối giản Đặt d= (n2 + 4, n + 5) suy d > Ta có d \ (n + 5)2 - (n2 + 4) = 10n+ 21 = 10(n + 5) - 29 Nên d \ 29 suy d = 29 Ngược lại, n + chia hết cho 29 đặt n + = 29.m (m N*) Khi n2 + = 29(29m2 – 10m + 1) chia hết cho 29 nên A chưa tối giản Như vậy, ta cần tìm n cho n + = 29m, với m N* Ta có < n < 2002 < m < 69 Vậy có tất 69 giá trị n để A phân số chưa tối giản 1.12 Giải tương tự 1.13 Giải tương tự 1.14 Giải tương tự 1.15 Giả sử d= (A, B) (d > 1) Ta có d \A2 - B suy d\2mn (1) Vì d\A nên d\2n.A hay d\2mn + 2n2 Suy d\2n2 (2) Tương tự ta có d\ 2m2 111 Vì (m, n) = nên m, n không chẵn Xét trường hợp: • Nếu m, n khác tính chẵn lẻ d lẻ Từ (2) (3) ta suy d \ m2 d \ n2 Vì (m, n) = nên d = • Nếu m, n lẻ d chẵn Đặt 2d’, từ (2) (3) ta suy d’ \m2 d’ \ n2 Vì (m, n) = nên d’ = Suy d = 1.16 a) Đặt d = (7a + 1, 8a + 3) Ta có d\7(8a + 3) - 8(7a + 1) = 13 nên d = d = 13 Để d= 13 điều kiện cần đủ 13 \ 7a + Xét phương trình: 7a + = 13x Ta có a = 2x - số nguyên nên \ x + Đặt x + = 7m ta a = 13m - 2, m Vậy, a = 13m - 2, m a Z Z (7a + 1, 8a + 3) = 13 13m – , m Z (7 a + 1, 8a + 3) = b) Giải tương tự câu a) Đáp số: • Nếu a = 19m - 14, m Z (11a + 2, 18a + 5) = 19 • Nếu a 19m - 14, m Z (11a + 2, 18a + 5) = 1.17 Ta có a = [n, n + 1, n + 2] = [[n, n + 1], n + 2] Vì (n, n + 1) = nên a = [n(n + 1), n + 2], Xét hai trường hợp n lẻ n chẵn  Trường hợp n lẻ (n(n + 1), n + 2) = nên a = n(n + l)(n + 2)  Trường hợp n chẵn, đặt n = 2m ta có (n, n + 2) = (2m, 2m + 2) = (n + 1, n + 2) = 1, Suy ta a= 1.18 Giả sử m [1, 2, , 2n] m' = [n + 1, , n + n] (n > 2) Để chứng minh m = m' ta chứng minh m \ m’ m' \ m Vì n +1, n+2, , n + n ước m nên m’\m Ngược lại, xét số a {1, 2, ,n} tùy ý Trong a số nguyên liên tiếp n + 1, , n + a ln có số chia hết cho a nên a \ m’ Suy số 1, 2, …,2n ước m’ hay m\m’ Vậy m = m’ 1.19 Vì a khơng chia hết cho nên a có dạng: a = 6m ± (m thuộc Z)  Với a = 6m + ta có A = 4(6m + l)2 + 3(6m + 1) + = 6(24m2 + 11m + 2) chia hết cho  Với a = 6m - ta có A = 4(6m - l)2 + 3(6m -1)4-5 = 6(24m2 - 5m + 1) chia hết cho Vậy A chia hết cho 6, với a không chia hết cho 1.20 Ta có + + = Vì a(a + l) (a + 2) tích ba sổ nguyên liên tiếp nên chia hết cho từ suy đpcm 1.21 Ta có A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Vì tích ba số ngun liên tiếp chia hết A(n) chia hết cho Trong bốn số ngưn liên tiếp ln có hai số chẵn liên tiếp, hai số chia hết A(n) chia hết cho Vì (3, 8) =1 nên A(n) chia hết cho x = 24 2A-BD .SỐ HỌC 1.22 Ta có 30 = x Vì (6, 5) = nên để chứng minh n5 — n chia hết cho 30 ta chứng minh n5 - n chia hết cho Ta có n5 - n = (n-1)n(n +1)(n2 + 1) Vì (n - 1)n(n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Suy n5 - n chia hết cho x = Mặt khác ta lại có n5 - n = (n-1)n(n + 1)(n2 - + 5) = (n-2)(n-1)n(n - l)(n +2) + 5(n-1)n(n + 1) Vi (n - 2)(n – 1)n(n + l)(n + 2) tích năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Suy n5 n chia hết cho Vậy n5 - n chia hết cho 30 1.23 Đặt A = m3 + 3m2 - m - Ta có A = (m + 3)(m2 - 1) = (m + 3)(m + l)(m - 1) Vì m lẻ nên m = 2n + (n Z), từ suy A = 8.(n + 2)(n + 1)n  đpcm 1.24 ĐặtA =n12- n8- n4 + l Ta có A = (n4 - l)(n8 - 1) = [(n2 - l)(n2 + l)]2(n4 + 1) Vì n lẻ nên n = 2m + 1, suy A = 64.[m(m + l)]2(2m2 + 2m + l)2(n4 + 1) 1.25 Ta có 24 = x Để chứng minh A(n) chia hết cho 24 ta chứng minh A(n) chia hết cho Ta có A(n) = (n- 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5) Vì A(n) tích bốn số nguyên liên tiêp nên A(n) chia hêt cho Trong bốn số nguyên liên tiếp n-2, n-3, n-4, n-5 ln có hai số chẵn liên tiếp Một hai số chia hết cho 4, số lại chia hết A(n) chia hết cho Vì (3,8)= nên A(n) chia hết cho x = 24 1.26 Đặt A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n Ta có A = n(n - 4)(n2 - 4) Vì n chẵn nên n = 2m (m Z) Từ suy A = 16.(m - 2)(m - 1)m(m + 1) Vì (m - 2)(m - 1)m(m + 1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Từ có đpcm 1.27 Đáp số: n = 11m + n = 11m + (m N) Hướng dẫn: Ta có n2 + 9n -  11  n2 - 2n -  11  4(n2 - 2n - 2)  11  4n2 – 8n +  11  (2n — l) (2n -3)  11 1.28 Đáp số: x {-8, 0, 2} Giả sử (x3 - 8x2 + 2x)  (x2 + 1) suy x(x2 + 1) - 8(x2 + 1) + x +  (x2 + 1) hay x +  (x2 + 1) (*) • Nếu x + = x = - 8, thỏa mãn điều kiện đề