CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN Chương I SỐ HỮU TỈ SỐ THỰC Chuyên đề TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ A Kiến thức cần nhớ Số hữu tỉ Số hữu tỉ số viết dạng phân số a với a, b Ỵ Z, b ¹ b Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Q Biểu diễn số hữu tỉ trục số Mọi số hữu tỉ biểu diễn trục số Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi điểm x So sánh hai số hữu tỉ Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dạng phân số so sánh hai phân số Số hữu tỉ lớn gọi số hữu tỉ dương; Số hữu tỉ nhỏ gọi số hữu tỉ âm; Số hữu tỉ 0, không số hữu tỉ dương không số hữu tỉ âm a Số hữu tỉ số hữu tỉ dương a b dấu, số hữu tỉ âm a, b khác dấu, b a = B Một số ví dụ Ví dụ 1: Điền kí hiệu N, Z, Q vào trống cho hợp nghĩa (điền tất khả có thể): - 21 Ỵ Ỵ ; ; ; - 9Ỵ 2020 Ỵ 205 10 Giải Tìm cách giải Khi điền vào ô trống, ta vào định nghĩa tập hợp: N = { 0;1;2;3; } Z = { ;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3; } a ïì ïü Q = í x / x = ; a, b ẻ Z , b 0ý ùợù ùỵ b ï Trình bày lời giải - Î Z ;- Î Q 2020 Î N ;2020 Ỵ Z ;2020 Ỵ Q Ỵ Q 205 21 Ỵ Q 10 Nhận xét Chúng ta lưu ý N Ì Z Ì Q , không ý thứ ý thứ hai ví dụ dễ bị sót a - 10 Ví dụ 2: Cho số hữu tỉ x = Với giá trị a thì: 2020 a) x số dương; b) x số âm; c) x không số dương không số âm Giải a Tìm cách giải Khi xác định dấu số hữu tỉ, ta lưu ý số hữu tỉ dương a b dấu, b số hữu tỉ âm a, b khác dấu Chú ý 2020 > , ta có lời giải sau: Trình bày lời giải a - 10 > Û a - 10 2020 dấu a) x = 2020 Mà 2020 > nên a - 10 > suy a > 10 Vậy với a > 10 x số hữu tỉ dương a - 10 > Û a - 10 2020 khác dấu b) x = 2020 Mà 2020 > nên a - 10 < suy a 14 Û y Ỵ {15;18;21;24;27} Û y Ỵ { 5;6;7;8;9} b) Gọi số hữu tỉ cần tìm Vậy số hữu tỉ cần tìm 4 4 ; ; ; ; C Bài tập vận dụng 1.1 Trong phân số sau, phân số biểu diễn số hữu tỉ - - 10 ; ; ; ; 10 - 12 25 - 15 - 15 1.2 Viết số hữu tỉ sau dạng phân số với mẫu số dương ? - - 21 ; ; - - 11 - 10 ; ; - - a) Viết ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương b) Viết ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương m +10 1.4 Cho số hữu tỉ x = Với giá trị m thì: 21 a) x số dương b) x số âm c) x không số dương không số âm 14m +10 1.5 Cho số hữu tỉ x = Với giá trị m thì: - 2019 a) x số dương b) x số âm 1.6 Viết tập hợp số nguyên n cho số hữu tỉ sau có giá trị số nguyên n +6 a) ; b) n +1 - 2019 1.7 Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = số nguyên a +6 3x - 1.8 Tìm số nguyên x để số hữu tỉ t = có giá trị số nguyên x- 2n + 1.9 Chứng tỏ số hữu tỉ x = phân số tối giản, với n Î N 7n + 31 1.10 a c a c a) Cho hai số hữu tỉ ( b > 0; d > 0) Chứng minh < ad < bc b d b d 12 22 - ; b) Áp dụng kết trên, so sánh số hữu tỉ sau: và 13 25 11 - 15 1.11 a a +c c a c a c < a) Cho hai số hữu tỉ ( b > 0; d > 0) Chứng minh < < b b +d d b d b d b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen hai số hữu tỉ 1.12 Cho a, b, m số nguyên b > 0; m > a +1 a +m a a a) So sánh b) So sánh b +1 b +m b b - - c) So sánh ; 11 1.13 Cho số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn < a < b + c < a +1 b < c Chứng minh b < a 1.14 Tìm số hữu tỉ: - - a) Có mẫu số 20, lớn nhỏ ; 14 14 5 b) Có tử 2, lớn - nhỏ 12 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ - - 10 ; ; 1.1 Những phân số biểu diễn số hữu tỉ - 10 25 - 15 - - - 21 21 = ; = ; = 1.2 - 3 - 11 11 - 10 10 1.3 1.3 Cho ba số hữu tỉ a) Ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương 12 18 24 - - 14 - 21 -2 - - = = = ; = = = ; = = = 10 15 20 - 4 12 - 3 b) Ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương 72 - 105 - 40 = ; = ; = 60 - 60 - 60 1.4 m +10 > Û m +10 > Û m >- 10 a) x > Û 21 Vậy với m >- 10 số hữu tỉ x số dương m +10 < Û m +10 < Û m b) x < Û - 2019 Vậy với m >thì số hữu tỉ x số âm 1.6 Ỵ Z Û n +1 Ỵ Ư(5) mà Ư(5) = { 1;5;- 1;- 5} a) Ta có n +1 Suy bảng giá trị sau: n +1 -1 -5 n -2 -6 Vậy với n Ỵ { 0;4;- 2;- 6} Ỵ Z n +1 n +6 Ỵ Z Û n + M3 Û n M Û n = 3k ( k Ỵ Z ) n +6 Ỵ Z Vậy với n = 3k ( k Ỵ Z ) - 2019 Ỵ Z Û a + Î Ư(-2019) 1.7 a +6 Mà Ư(-2019) = {1;3;673;2019;- 1;- 3;- 673;- 2019} Suy bảng giá trị sau: a +6 673 2019 -1 -3 a -5 -3 667 2013 -7 -9 b) Ta có: -673 -2019 -679 -2025 - 2019 Vậy với a Ỵ { - 5;- 3;667;2013;- 7;- 9;- 679;- 2025} số nguyên a +6 3x - Ỵ Z Û x - 8Mx - Û 3( x - 5) + 7Mx - 1.8 x- Û 7Mx - Û x - Ỵ Ư(7) mà Ư(7) = { 1;7;- 1;- 7} Suy bảng giá trị sau: x- -1 -7 x 12 -2 3x - Ỵ Z Vậy với x Ỵ { 6;12;4;- 2} t = x- 1.9 Đặt ƯCLN ( n + 9;7n + 31) = d ( d ẻ N ) ị n + 9Md ị 14 n + 63Md Þ 7n + 31Md Þ 14n + 62 Md Þ ( 14n + 63) - ( 14 n + 62) Md Þ 1Md Þ d =1 Suy ra: ƯCLN ( n + 9;7n + 31) =1 Vậy x = 2n + phân số tối giản với n Ỵ N 7n + 31 1.10 a) Quy đồng mẫu hai phân số, ta có: a ad c bc = ; = Vì b > 0, d > nên bd > , đó: b bd d bd a c ad bc < < suy ad < bc b d bd bd ad bc a c < Nếu ad < bc suy < bd bd b d 12 22 > b) Ta có: 12.25 > 13.22 13 25 - - - - = < Þ < Ta có: Vì ( - 6) 15 b Þ ab + a > ab + b a a +1 Û a ( b +1) > b ( a +1) Û > b b +1 a < b Þ ab + a < ab + b Trường hợp Xét a a +1 Û a ( b +1) < b ( a +1) Û < b b +1 Nếu a a +1 > b b +1 a a +1 Nếu a < b < b b +1 b) Trường hợp Xét a > b Þ ab + am > ab + bm a a +m Û a ( b + m) > b ( a + m) Û > b b +m Trường hợp Xét a < b Þ ab + am < ab + bm a a +m Û a ( b + m) < b ( a + m) Û < b b +m 2 +1 = c) Áp dụng câu a), ta có < nên < 7 +1 7 +2 - - < Áp dụng câu b), < Þ < hay < suy 9 +2 11 11 1.13 Ta có b < c b + c < a +1 Þ 2b < a +1 Vì < a nên a +1 < 2a Þ b < 2a Þ b < a 1.14 x a) Gọi số hữu tỉ cần tìm với x Ỵ Z 20 - x - - 50 x - 30 < < Û < < Theo đầu bài, ta có: 14 20 14 140 140 140 Û - 50 < x b Vậy số hữu tỉ cần tìm là: - - - ; ; 20 20 20 vi y ẻ Z , y y - - - - - < < Û < < Theo đầu bài, ta có: y 12 - y 12 - 10 - 10 - 10 Û < < Û 16