Cđ4 phương trình bậc cao, pt phân thức

Chuyên đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Để giải phương trình bậc lớn Ta thường biến đổi phương trình dạng đặc biệt là: Dạng 1: Phương pháp đưa dạng tích: Tức biến đổi phương trình: Đưa phương trình tích ta thường dùng cách sau: Cách 1: Sử dụng đẳng thức đưa dạng: Cách 2: Nhẩm nghiệm chia đa thức: Nếu phân tích: nghiệm phương trình ta ln có Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau: Chú ý: Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn Đặc biệt phương trình bậc 4: Ta sử dụng cách xử lý sau:  Phương trình dạng: Phương pháp: Ta thêm bớt vào vế lượng: phương trình trở thành: Ta mong muốn vế phải có dạng:  Phương trình dạng: Ta tạo vế phải biểu thức bình phương dạng: Bằng cách khai triển biểu thức: Ta thấy cần thêm vào hai vế lượng: phương trình trở thành: Bây ta cần: Ta phân tích để làm rõ cách giải tốn thơng qua ví dụ sau: Bài tập 1:Giải phương trình: a) b) c) d) Lời giải: a) Ta thêm vào vế phương trình lượng: Khi phương trình trở thành: Ta có Ta viết lại phương trình thành: b) Ta thêm vào vế phương trình lượng: Khi phương trình trở thành: Ta có Ta viết lại phương trình thành: c) Phương trình có dạng: Ta tạo vế trái dạng: Tức thêm vào hai vế lượng là: phương trình trở thành: Ta cần Phương trình trở thành: d) Phương trình cho viết lại sau: Ta tạo phương trình: Ta cần: Phương trình trở thành: Bài tập 2: a) Giải phương trình: b) Giải phương trình: (1) c) Giải phương trình: (4) Lời giải: a) Ta có phương trình (1.1) Vậy phương trình có hai nghiệm b) Phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm c) Ta có phương trình Dạng :Phương pháp đặt ẩn phụ: Là phương pháp hữu hiệu toán đại số, giải phương trình bậc cao vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao phương trình bậc thấp Một số dạng sau ta thường dùng đặt ẩn phụ Dạng 2.1: Phương trình trùng phương: (1) Với dạng ta đặt ta chuyển phương trình: (2) Chú ý: Số nghiệm phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm không âm (2) Dạng 2.2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): Với dạng ta chia hai vế phương trình cho Đặt với ta có: ta được: thay vào ta phương trình: Dạng 2.3: Phương trình: a+b=c+d Phương trình Đặt , ta có: Dạng 2.4: Phương trình phương trình cho Phương trình tương đương: Với dạng ta chia hai vế Đặt Ta có phương trình: Dạng 2.5: Phương trình Đặt ta đưa phương trình trùng phương Bài tập 1: Giải phương trình: 1) 2) 3) 4) Lời giải: 1) Ta thấy không nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho ta được: Đặt Ta có: Với 2) Đặt ta được: Vậy phương trình có nghiệm Chú ý: Với ta giải cách khác sau: Trước hết ta có BĐT: với Áp dụng BĐT với: Đẳng thức xảy 3) Ta có phương trình: * Đặt Ta được: phương trình vơ nghiệm * Vậy phương trình có hai nghiệm 4) Phương trình Vì khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho Đặt ta được: , ta có: * * Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: Bài tập 2: a) Giải phương trình: b) Giải phương trình: c) Giải phương trình: d) Giải phương trình: Lời giải: a) Vì khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế cho ta được: Đặt * * phương trình vơ nghiệm b) Đây phương trình bậc ta thấy hệ số đối xứng ta áp dụng cách giải mà ta giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng Ta thấy khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho ta được: Đặt Ta có: nên phương trình trở thành: * * Vậy phương trình có bốn nghiệm c) Phương trình Đặt , ta có phương trình: Vậy phương trình có hai nghiệm: d) Ta có: nên phương trình tương đương Đặt Ta hệ: Vậy nghiệm phương trình Dạng 2.6: a) Phương trình: Phương pháp giải: Nhận xét số cho với nghiệm phương trình Với thu được: , ta chia tử số mẫu Đặt Thay vào phương trình để quy phương trình bậc theo b) Phương trình: với Phương pháp : Dựa vào đẳng thức Ta viết lại phương trình thành: Đặt quy phương trình bậc Bài tập 1: Giải phương trình: a) b) c) d) Giải: a) Điều kiện Ta viết lại phương trình thành Đặt phương trình có dạng Nếu ta có: Nếu phương trình vơ nghiệm b) Để ý nghiệm Đặt nên ta chia tử số mẫu số vế trái cho phương trình trở thành: Với ta có: vơ nghiệm Với ta có: c) Giải phương trình ta thu nghiệm d) Sử dụng HĐT ta viết lại phương trình thành: hay thu được: Suy phương trình cho vô nghiệm BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Đặt Với Phương trình cho thành Với Vậy tập nghiệm phương trình 2) Biến đổi phương trình thành Đặt phương trình thành Với Với , phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình 3) Đặt phương trình cho thành Vậy tập nghiệm phương trình cho 4) Đặt phương trình trở thành: Vậy tập nghiệm phương trình 5) Do Đặt khơng phải nghiệm phương trình, chia hai vế cho phương trình trở thành 6) Biến đổi phương trình thành Do không nghiệm nên chia hai vế phương trình cho Đặt ta được: phương trình trở thành Với ta Vậy tập nghiệm phương trình (vơ nghiệm) Với 7) Do khơng nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho Đặt , phương trình trở thành: Suy Vậy tập nghiệm phương trình 8) Phương trình khơng nhận Đặt ta nghiệm, chia hai vế cho phương trình trở thành Với Với thì Vậy tập nghiệm phương trình 9) Lời giải: Ta thấy (8) nên phương trình (8) phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ Đặt Với suy Phương trình (9) trở thành Phương trình có hai nghiệm Với nghiệm Vậy PT (8) có tập nghiệm 10) Điều kiện Phương trình có hai Ta biến đổi phương trình thành Đặt , phương trình trở thành Do Tìm tập nghiệm phương trình 11) Biến đổi phương trình thành Đặt dẫn đến phương trình bTìm tập nghiệm phương trình 12) Điều kiện Biến đổi phương trình thành Đặt phương trình (*) có dạng Mặt khác cho có nghiệm với Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình 13) Lời giải: Điều kiện Biến đổi phương trình thành 10 Đặt phương trình (*) trở thành Từ ta có Vậy tập nghiệm phương trình cho 14) Do không nghiệm phương trình nên chia tử mẫu phân thức vế trái phương trình cho , đặt ta Phương trình có nghiệm Với Phương trình vơ nghiệm Với Phương trình có hai nghiệm Vậy phương trình cho có tập nghiệm 15) Đặt , phương trình (1) thành Với Với Vậy tập nghiệm phương trình (1) 16) Lời giải: Đặt đưa phương trình (2) dạng tổng quát Bạn đọc giải phương pháp nêu Ta giải cách khác sau Viết phương trình cho dạng Đặt , phương trình thành 11 Vậy tập nghiệm PT(2) 17) PTtương đương với Đặt , PT thành Vậy tập nghiệm phương trình 18) Điều kiện Khử mẫu thức ta phương trình tương đương: đặt , suy , PT thành (thỏa mãn đk) Với ta có Với hay suy (thỏa mãn đk) Vậy tập nghiệm PT(4) 19) , suy (5) Lời giải: Đặt PT(5) trở thành ĐK: Khử mẫu thức ta PT tương đương Với Với (thỏa mãn ĐK) phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm PT(5) 20) PT Giải phương trình trùng phương ta tập nghiệm PT 21) Lời giải: 12 Điều kiện Đặt , PT có dạng: Dẫn đến Vậy tập nghiệm PT(2) (thỏa mãn điều kiện) 13