Chuyên đề 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Để giải một phương trình bậc lớn hơn 3 Ta thường biến đổi phương trình đó về một trong các dạng đặc biệt đó là Dạng 1 Phương pháp đưa về dạng tích Tức là biến đổi phương trình Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau Cách 1 Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng Cách 2 Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta luôn có sự phân tích Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau Chú ý Cách 3 Sử dụng phương pháp hệ số bất định.
Chuyên đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Để giải phương trình bậc lớn Ta thường biến đổi phương trình dạng đặc biệt là: Dạng 1: Phương pháp đưa dạng tích: Tức biến đổi phương trình: � �f x F x � f x g x � � �g x Đưa phương trình tích ta thường dùng cách sau: Cách 1: Sử dụng đẳng thức đưa dạng: a b2 0, a b3 0, Cách 2: Nhẩm nghiệm chia đa thức: Nếu x a nghiệm phương trình f x ta ln có phân tích: f x x a g x Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau: Chú ý: Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn Đặc biệt phương trình bậc 4: Ta sử dụng cách xử lý sau: Phương trình dạng: x ax bx c Phương pháp: Ta thêm bớt vào vế lượng: 2mx m phương trình trở thành: ( x m) (2m a ) x bx c m Ta mong muốn vế phải có dạng: ( Ax B) 2m a � �� �m b 4(2m a)(c m2 ) � Phương trình dạng: x ax bx cx d � a � Ta tạo vế phải biểu thức bình phương dạng: �x x m � � � Bằng cách khai triển biểu thức: � a �2 �2 a � x x m x ax m � �x amx m Ta thấy cần thêm vào hai vế � � � � � � � a �2 lượng: �2m �x amx m phương trình trở thành: 4� � � a2 �2 a � � x x m m b �x (am c ) x m d � � � � � � � � a2 m b � � �m? Bây ta cần: � � � a 2 � VP (am c) � 2m b � m d 0 � � � � Ta phân tích để làm rõ cách giải tốn thơng qua ví dụ sau: Bài tập 1:Giải phương trình: a) x 10 x x 20 b) x 22 x 8x 77 c) x x x x d) x x3 x x Lời giải: a) x 10 x x 20 � x 10 x x 20 Ta thêm vào vế phương trình lượng: 2mx m Khi phương trình trở thành: x 2mx m2 (10 2m) x x m2 20 Ta có VP 4(m 20)(10 2m) � m Ta viết lại phương trình thành: 2 �9 � � 9� � 1� x x � � x x � �x � �x � �2 � � 2� � 2� � ( x x 5)( x x 4) � x 1 � 17 � 21 x 2 b) x 22 x x 77 � x 22 x x 77 Ta thêm vào vế phương trình lượng: 2mx m2 Khi phương trình trở thành: x 2mx m2 (22 2m) x x m 77 Ta có VP 4(22 2m)(m 77) � m 9 Ta viết lại phương trình thành: x 18 x 81 x x � x x 2 � x 1 �2 � ( x x 7)( x x 11) � � x �2 � c) Phương trình có dạng: x x3 x x � x x3 8 x x Ta tạo vế trái dạng: ( x 3x m)2 x x (9 2m) x 6mx m Tức thêm vào hai vế lượng là: (9 2m) x 6mx m phương trình trở thành: ( x 3x m)2 (2m 1) x2 (6m 2) x m2 Ta cần 'VP (3m 1) (2 m 1)( m 1) � m Phương trình trở thành: ( x x) ( x 1) � x 2 � x 2 � � ( x x 1)( x x 1) � � x 1 � � x 1 � 3 2 d) Phương trình cho viết lại sau: x x3 x x Ta tạo phương trình: ( x x m) (2m 6) x (2m 6) x m 2m � Ta cần: � 'VP (m 3) (2 m 6)( m 3) � � m 1 Phương trình trở thành: ( x x 1)2 (2 x 2) � 3 21 x � 2 � ( x x 3)( x x 1) � � � 3 21 x � � Bài tập 2: a) Giải phương trình: x x 12 x (1) b) Giải phương trình: x 13x 18 x c) Giải phương trình: x 10 x3 11x x (4) Lời giải: a) Ta có phương trình � x x 3 (1.1) � x2 2x � x x 3 x x 3 � �2 � x 1; x Vậy phương trình có hai x x � nghiệm x 1; x 2 b) Phương trình � x x x 18 x � 3 � 29 x � � x 3x 2 2 2 �� � x 3x 3 � x 3x x x 1 � �2 � 3� x 3x � x � � 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x 3 � 29 3� ;x 2 c) Ta có phương trình 2 1� �1 3� � 1� � � �x x � x x � x �� �x x � x 3x 1 4� 4 16 �2 4� � 2� � � 2� x � � 2x 4x 1 � �2 �� � � 13 x 3x � x � � 2 Dạng :Phương pháp đặt ẩn phụ: Là phương pháp hữu hiệu tốn đại số, giải phương trình bậc cao vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao phương trình bậc thấp Một số dạng sau ta thường dùng đặt ẩn phụ Dạng 2.1: Phương trình trùng phương: ax bx c a �0 (1) Với dạng ta đặt t x , t �0 ta chuyển phương trình: at bt c (2) Chú ý: Số nghiệm phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm khơng âm (2) Dạng 2.2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): ax �bx cx �kbx k a k Với dạng ta chia hai vế phương trình cho �2 k � � k � k x x �0 ta được: a �x ��b �x � c Đặt t x với t �2 k ta có: x � x � � x� 2 k2 � k � x �x � 2k t 2k thay vào ta phương trình: a t 2k �bt c x � x� Dạng 2.3: Phương trình: x a x b x c x d e, a+b=c+d x a b x ab � x c d x cd � Phương trình � � � �� � � e Đặt t x a b x , ta có: t ab t cd e Dạng 2.4: Phương trình x a x b x c x d ex , ab cd Với dạng ta chia hai vế phương trình cho x x �0 Phương trình tương đương: � ab �� cd � � x a b x ab � x c d x cd � x a b �� x c d � e � �� � � ex � � � x �� x � Đặt t x ab cd x Ta có phương trình: t a b t c d e x x Dạng 2.5: Phương trình x a x b c Đặt x t 4 ab ta đưa phương trình trùng phương Bài tập 1: Giải phương trình: 1) x x x x 2) x 1 x 3 3) x x 1 x x 3 24 4) x x 3 x x x 4 Lời giải: 1) Ta thấy x không nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho x ta được: � � 1� � 1 1� 2 �x � �x � Đặt t x , t �2 � x � x � � t Ta có: x x � � � � x x � x� t2 � � t 5t � 2t 5t � t � x � x2 2x Với � t x � 2) Đặt x t ta được: t 1 t 1 � t 6t � t � x 2 4 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Chú ý: Với ta giải cách khác sau: Trước hết ta có BĐT: a b �a b � �� � với a b �0 �4 � với: a x 1, b x Áp dụng BĐT VT VP Đẳng thức xảy x 2 2 3) Ta có phương trình: � x 3x x 3x 24 Đặt t x x Ta được: t t 24 � t 2t 24 � t 6, t * t 6 � x 3x � phương trình vô nghiệm * t � x 3x � x 1; x 4 Vậy phương trình có hai nghiệm x 1; x 4 2 4) Phương trình � x x 12 x x 12 x Vì x khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta được: 12 � 12 � � 12 � �x � �x 1� Đặt t x , ta có: x � x � � x � t 1 � t2 � t t 1 � t 3t � � * t 1� x x4 � 12 � x x 12 � � x 3 x � * t � x x 12 � x � 13 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: x 3; x 4; x � 13 Bài tập 2: a) Giải phương trình: x x 1 x 1 x3 1 2 b) Giải phương trình: x 3x5 x 21x x 3x c) Giải phương trình: x 1 x x 3 x x 360 d) Giải phương trình: x3 x x 24 x 30 Lời giải: a) Vì x 1 khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x3 ta được: x2 x x 1 x2 x 2 � 3t � 3t 5t � t 2, t Đặt t x 1 x x 1 x 1 t * t � x 3x � x � 13 * t � x x phương trình vơ nghiệm b) Đây phương trình bậc ta thấy hệ số đối xứng ta áp dụng cách giải mà ta giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng Ta thấy x khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x ta được: x3 1 � � 1� � �x � �x � 21 Đặt t x , t �2 Ta có: x x � x � � x� x2 1 t 2; x3 t t 3 nên phương trình trở thành: t t 3 t 6t 21 x x � t 3t 9t 27 � t 3 x * t � x � x2 3x � x * t 3 � x 3x � x x 3 � 3� ;x 2 t 3 � t 3 � t 3 � � 3� 3 � Vậy phương trình có bốn nghiệm 2 2 c) Phương trình � x x 5 x x 8 x x 360 Đặt t x x , ta có phương trình: y y y 360 x0 � � y y 22 y 157 � y � x x � � x 6 � Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0; x 6 3 d) Ta có: x x 30 x x x nên phương trình tương đương x x x 24 x x 24 x 30 Đặt u x x Ta hệ: � u 5u x � � u x u ux x � u x �3 �x x u � x x � x 1 x x � x 1 Vậy x 1 nghiệm phương trình Dạng 2.6: a) Phương trình: ax bx c với abc �0 x mx p x nx p Phương pháp giải: Nhận xét x nghiệm phương trình Với x �0 , ta chia tử số mẫu số cho x thu được: a p xm x b p xn x c k x Đặt t x � t x k2 2k �2 k 2k Thay vào phương x2 trình để quy phương trình bậc theo t � ax � b) Phương trình: x � � b với a �0, x � a �x a � Phương pháp : Dựa vào đẳng thức a b a b 2ab Ta viết lại phương trình thành: 2 � x2 � x2 x2 x2 � ax � x a b � a b Đặt t quy phương trình � � � � xa xa xa � xa� �x a � bậc Bài tập 1: Giải phương trình: a) x 25 x x 5 11 12 x 3x 1 x 4x x 2x x2 3x x c) x 2 b) d) x x3 x 1 3x 20 x 1 Giải: a) Điều kiện x �5 2 � x � 10 x � x � 10 x 11 � 11 Đặt Ta viết lại phương trình thành �x � � � � x5� x5 �x � x t t 1 � x2 phương trình có dạng t 10t 11 � � t 11 x5 � x2 x2 � 21 11 Nếu t ta có: Nếu t 11 � 1� x x 5 � x x5 x5 � x 11x 55 phương trình vơ nghiệm b) Để ý x nghiệm x �0 nên ta chia tử số mẫu số vế trái cho x 12 thu được: x x x2 x 1 x Đặt t x phương trình trở thành: t 1 � 12 � 12t 3t t 2t � t 7t � � t 6 t2 t � x Với t ta có: x � t t vô nghiệm Với t ta có: x � x2 4x � x � x 2 �x � �x � �x � x � x 1 � � x 3� 3x 1� c) � � �x � �x � �x � Giải phương trình ta thu nghiệm x � 6; x 3 � d) Sử dụng HĐT a b3 a b 3ab a b ta viết lại phương trình thành: 3 x3 3x2 x � x2 � x � 3x � x 20� � x 3 hay �x � � x 1� � x 1 � x 1 � x 1 x 1 x 3 � x � �x � x �x � x2 20 � � 1� � � x x Suy � � � � x 1 �x � �x � x �x � phương trình cho vơ nghiệm BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) x x x x 3 2) x x x 1 3) x 1 x 3 82 4) 5) 6) x 1 x x x 5 10 x x 2 x 2x 2 2x2 x x 1 x 8 x x 7) x x 1 x 3x 1 x 2 8) 3x x 5x x 9) x 21x 34 x 105 x 50 x 10) 1 1 x 1 x x x x x x 8 x 8 x 1 x 1 x x x 1 x6 x2 x5 12) x x x 12 x 35 x x x 10 x 24 11) x x x x x 3x x x 0 x 1 x2 x3 x4 4x 3x 1 14) x x x 10 x 2 15) x x 1 x x 1 x 13) 16) x x 1 x x 1 17) x x3 16 x2 18 x 18) x 12 x 2 3x x 2x 13x 6 x x 3x x 2 20) x x 1 x 19) 2 x2 �x � �x � 20 21) 20 � � � � x2 1 �x � �x � LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN t2 � t 3 � 1) Đặt x x t Phương trình cho thành t t 1 � � Với t x x � x x � x x 1 Với t 3 x x 3 � x x � x � Vậy tập nghiệm phương trình S �1; 0; � 1 � 21 1 21 1 21 � ; � 2 � 2 2) Biến đổi phương trình thành 36 x 84 x 49 36 x 84 x 48 12 t 3 � t 4 � Đặt t 36 x 84 x 48 phương trình thành t t 1 12 � � Với t 36 x 84 x 48 � 36 x 84 x 45 � x x Với t 4 36 x 84 x 48 4 � 36 x 84 x 52 , phương trình vơ nghiệm �5 �6 3� Vậy tập nghiệm phương trình S � ; � 3) Đặt y x phương trình cho thành x0 �y � 24 y 48 y 216 82 � � �� x 2 �y 1 � Vậy tập nghiệm phương trình cho S 2;0 4) Đặt y y x 1 x x x x phương trình trở thành: � � y x 3 y 1 10 � y y � � �� y x 3 � � Vậy tập nghiệm phương trình S 3; 5) Do x nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta � � � � �x 1� �x � Đặt y x phương trình trở thành x � x � � x � � x 0 � y0 x 1 � � x y 1 y � � �� �� y 3 � x 2 � � x 3 � � x 6) Biến đổi phương trình thành x x x 1 x 8 x � x 6x 8 x 9x 8 4x Do x không nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x ta được: � � � � �x � �x � Đặt y x phương trình trở thành x � x � � x � y5 � Với y x � x x y 10 x � y y � y 15 y 50 � � � x 17 x (vô nghiệm) Với y 10 x 10 � x 10 x � � Vậy tập nghiệm phương trình S 17;5 17 x 17 � 7) Do x không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho x 2 � � � � ta �x � �x � Đặt y x , phương trình trở thành: x � x � � x � � 1 � � x 1 x � � y 1 � 2 x 2 �� y y 3 � y � � Suy � Vậy y � 1� � � x 1 � x � � x � �1 � � � ; � � � 8) Phương trình khơng nhận x nghiệm, chia hai vế cho x tập nghiệm phương trình S � � � 1� � �x � �x � Đặt t x phương trình trở thành 3t 4t x � x � � x� 3t 4t � t t x Với t x � x x � x Với t 1 1 x 2 1 1 37 37 x � x x � x3 x4 x 2 37 37 � � ; ; ; � 2 � � Vậy tập nghiệm phương trình S � 9) x 21x 34 x 105 x 50 (8) Lời giải: Ta thấy k 105 50 5 k 25 nên phương trình (8) phương trình bậc bốn có hệ 21 � 25 � � 5� số đối xứng tỉ lệ 8 � �x � 21�x � 34 Đặt t x suy x � x � � x� t x2 x 25 10 Phương trình (9) trở thành 2t 21t 54 � t t Với t x 2 x � x x � x x Phương trình có hai nghiệm x1 14; x2 14 Với x nghiệm x3 9 x � x x 10 Phương trình có hai x 161 161 Vậy PT (8) có tập nghiệm ; x4 4 161 161 � � S � 14;3 14; ; � 4 � � 10)Điều kiện x � 1; 2; 3; 4;0 Ta biến đổi phương trình thành x 2 x 2 ��1 � 1 �1 0� 0 � � � � x 4x x 4x x �x x � �x x � x 1 Đặt u x x , phương trình trở thành x x x x 2( x x 4) � � 25 145 u � 1 5u 25u 24 10 � 0 � 0� u u u 4 2u u 3 u � 25 145 u � 10 � �2 25 145 x 4x � 10 Do � Tìm tập nghiệm phương trình �2 25 145 x 4x � 10 � � 15 145 15 145 15 145 15 145 � � � S � 2 ; 2 ; 2 ; 2 � 10 10 10 10 � � � 11) Biến đổi phương trình thành 5 10 10 10 40 � x 1 x 1 x x x 1 x Đặt u x u �1, u �4; u �0 dẫn đến phương trình u 16 � � 4u 65u 16 � bTìm tập nghiệm phương trình � u � � �1 S � ; 4; ; � �2 12) Điều kiện x � 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0 Biến đổi phương trình thành x 1 x6 x2 x5 x x x x x 1 x 3 x x � x �1 � x6� 1 � x2�1 � x 5� 1 � � � � � � � � � �x x � �x x � �x x � x �x x � � 1 1 1 1 x x x x x 1 x x x �� 1 � �1 ��1 � �1 �� � � � � � � � �x x � �x x � �x x x � �x x � 1 � � � 2x 7 � � �x x x 10 x x x x 12 � � x � �� 1 � 0(*) �x x x x 10 x x x x 12 Đặt u x x phương trình (*) có dạng 1 1 �� 1 � �1 0�� � � � � u 18u 90 u u 10 u u 12 �u u � �u 10 u 12 � Mặt khác u 18u 90 u với u Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x 13) Lời giải: Điều kiện x � 4; 3; 2; 1 Biến đổi phương trình thành 4 ��2 � �1 0�� � � � x 1 x x x �x x � �x x � x0 � � � � � x�2 � � � 0(*) �x x x x � �x x x x Đặt u x x phương trình (*) trở thành x 10 x 11 � x 11 � u Từ ta có u4 u6 5 � � 5 5 � ; � 2 � � Vậy tập nghiệm phương trình cho S �0; 14) Do x khơng nghiệm phương trình nên chia tử mẫu phân thức vế trái phương trình cho x , đặt y x ta x 1 y y 10 Phương trình có nghiệm y 16, y x Với y x � x x Phương trình vơ nghiệm x Với y 16 x 16 � x 16 x Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 2 �1 � �2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S � ; � 15)Đặt t x x , phương trình (1) thành t x t x x � t 16 x x � t 25 x � t 5 x t x Với t 5x x x 5 x � x x � x Với t x x x x � x x � x 3 � 2� �3 � � � ; � � � Vậy tập nghiệm phương trình (1) � 16)Lời giải: 2 Đặt u x đưa phương trình (2) dạng tổng quát u 7u 3 u 2u 3 6u Bạn đọc giải phương pháp nêu Ta giải cách khác sau 2 Viết phương trình cho dạng x x 5 x x 1 Đặt t x , phương trình thành t 5 x t 6 x x 1 � t x t x 1 � x 3� � � t 6x x2 6x x2 6x � � �� � �2 � �2 � � 1 � 21 t x 1 x x x x � x � � � � �1 21 � 1 21 ;3 7; ;3 � � � Vậy tập nghiệm PT(2) S � 2 17)PTtương đương với x x x 16 x Đặt t x t x x , PT thành t xt 20 x � t x t x � x 2� � � t 4x x2 4x x 4x � � �� � �2 � �2 � � � 33 t 5x x 5x x 5x � x � � � � � Vậy tập nghiệm phương trình �2 6; � 33 33 � ; 6; � 2 � 18)Điều kiện x �2 Khử mẫu thức ta phương trình tương đương: 3x x3 16 x 36 x 12 � x x x 16 x 12 đặt t x t x 12 x 36 , suy 3x 3t 36 x 108 , PT thành 3t xt 20t � t 3t x 20 � t 3t 6 x 20 Với t x , suy x � (thỏa mãn đk) Với 3t 6 x 20 ta có 3x 18 6 x 20 hay x x suy x 3 � (thỏa mãn đk) Vậy tập �3 � 3 ; 6; ; � � � nghiệm PT(4) S � 19) 2x 13x (5) x x 3x x 2 Lời giải: Đặt t 3x PT(5) trở thành 2x 13 x ĐK: t �5 x, t � x t 5x t x Khử mẫu thức ta PT tương đương 2t 13tx 11x � t x 2t 11x � t x t 11 x (thỏa mãn ĐK) Với t x x x � 3x x phương trình vơ nghiệm Với t 11 11 x x x � x 11x � x x Vậy tập nghiệm 2 �1 � �2 PT(5) � ; � 2 2 20)PT � x x 1 x 1 x � x4 x2 x4 x2 2 � x4 x2 x4 x2 � x x 1 � x x � � Giải phương trình trùng phương ta tập nghiệm PT � � � 1 ; 1 � � � � 21)Lời giải: Điều kiện x ��1 Đặt x2 x2 y; z , PT có dạng: 20 y z 20 yz � y z � y z x 1 x 1 Dẫn đến x2 x2 � x x 1 x x 1 x 1 x 1 � x x x 3x � x x � x 73 73 x (thỏa mãn 2 �9 73 73 � ; � � � điều kiện) Vậy tập nghiệm PT(2) � ... :Phương pháp đặt ẩn phụ: Là phương pháp hữu hiệu tốn đại số, giải phương trình bậc cao vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao phương trình bậc thấp Một số dạng sau ta... phương trình vơ nghiệm b) Đây phương trình bậc ta thấy hệ số đối xứng ta áp dụng cách giải mà ta giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng Ta thấy x khơng nghiệm phương trình Chia vế phương. .. vào phương x2 trình để quy phương trình bậc theo t � ax � b) Phương trình: x � � b với a �0, x � a �x a � Phương pháp : Dựa vào đẳng thức a b a b 2ab Ta viết lại phương trình