Chuyên đề thực tế logic dirichle

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ - LOGIC – DIRICHLE (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: THỰC TẾ - LOGIC –DIRICHLE A KIẾN THỨC CƠ BẢN Nguyên tắc mang tên nhà toán học người Đức Peter Gustav Dirichlet gọi “nguyên tắc lòng chim câu” phát biểu đơn giản sau: Nếu nhốt n + 1con thỏ vào n lồng ( n ∈  *) có lồng chứa hai thỏ Nếu nhốt n thỏ vào k lồng (với n, k ∈ *, n lớn không chia hết cho k) n có lồng chứa   + 1con thỏ k  B BÀI TẬP TỰ LUYỆN ĐỀ BÀI TỪ BÀI ĐẾN BÀI 50 Bài Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cup 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 25000 bóng, bóng đánh số từ đến 25000 Người ta dùng màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn bóng (mỗi sơn màu) Chứng minh 25000 bóng nói tồn bóng màu đánh số a, b, c mà a chia hết cho b, b chia hết cho c abc > 17 Bài Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh số tự nhiên cho tổng ba số chúng chia hết cho số cịn lại Chứng minh tứ giác có hai cạnh Bài = Tập hợp A {1;2;3; ;3n − 1;3n} ( n số nguyên dương) gọi tập hợp cân đối chia A thành n tập hợp A1 , A2 , , An thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp Ai ( i = 1,2, , n ) gồm ba số phân biệt có số tổng hai số lại ii) Các tập hợp A1 , A2 , , An đôi phần tử chung a) Chứng minh tập A = {1;2;3; ;92;93} không tập hợp cân đối b) Chứng minh tập A = {1;2;3; ;830;831} tập hợp cân đối Bài Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý cho điểm tồn điểm mà khoảng cách điểm ln bé Chứng minh tồn đường trịn có bán kính chứa 1007 điểm( kể biên) Bài Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A, B, C khơng có điểm nằm bên ngồi đường trịn (O) cho ∆ABC có ba góc nhọn chu vi đường trịn ngoại tiệp ∆ABC khơng lớn chu vi (O) Bài Cho tập hợp A gồm 21 phần tử số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử lại Biết số 101 102 thuộc tập hợp A Tìm tất phần tử tập hợp A Bài Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A , B tô màu mà AB = Bài Cho bảng vuông 13x13 Người ta tô màu đỏ S ô vuông bảng cho khơng có đỏ nằm góc hình chữ nhật Hỏi giá trị lớn S bao nhiêu? Bài Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu Bài 10 Tính số nhỏ phải quét sơn bảng vng bảng chứa qt sơn Bài 11 Cho sáu đường trịn có bán kính có điểm chung Chứng minh tồn đường tròn chứa tâm đường tròn khác Bài 12 Cho 17 số tự nhiên mà chữ số số lấy từ tập hợp {0;1; 2;3; 4} Chứng minh ta chọn số 17 số cho cho tổng số chia hết cho Bài 13 Cho 100 điểm mặt phẳng cho điểm có điểm thẳng hàng Chứng minh ta bỏ điểm 100 điểm để 99 điểm cịn lại thuộc đường thẳng Bài 14 Trên biểu tượng Olympic có miền ký hiệu 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, , 𝑘𝑘 (như hình minh họa) Người ta điền số 1, 2, , vào miền cho miền điền số, miền khác điền số e a b d c Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 k f h g Website: tailieumontoan.com khác tổng số hình trịn 14 a Tính tổng số miền b, d, f h b Xác định cách điền thỏa mãn yêu cầu Bài 15 Cho 100 điểm mặt phẳng cho bốn điểm có ba điểm thẳng hàng Chứng minh ta bỏ điểm 100 điểm để 99 điểm lại thuộc đường thẳng Bài 16 Trên bảng ban đầu ghi số số Ta thực cách viết thêm số lên bảng sau: bảng có hai số, giả sử a, b ; a ≠ b , ta viết thêm lên bảng số có giá trị a + b + ab Hỏi với cách thực vậy, bảng xuất số 2016 hay khơng? Giải thích Bài 17 Cho a1 < a2 < < an , n số tự nhiên không âm, a số ngun dương khơng có số liên tiếp Đặt S = a1 + a2 + + an Chứng minh tồn số phương b thỏa mãn Sn ≤ b ≤ Sn +1 Bài 18 Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, , 625 chọn 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, có số phương Bài 19 Cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n nguyên dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên Bài 20 Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A,độ dài cạnh huyền 2015 Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách không lớn Bài 21.Chứng minh 2n+1 - số nguyên tồn 2n số có tổng số chẵn Bài 22 Trên đường tròn, lấy 1000 điểm phân biệt, điểm tô màu xanh màu đỏ xen kẽ Mỗi điểm gán với giá trị số thực khác không, giá trị điểm màu xanh tổng giá trị hai điểm màu đỏ kề với nó, giá trị điểm màu đỏ tích giá trị hai điểm màu xanh kề với Tính tổng giá trị 1000 điểm Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 23 Trong hình vng cạnh có 2019 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình trịn bán kính nằm hình vng mà khơng chứa điểm 2019 91 điểm cho = Bài 24 Tập hợp A {1;2;3; ;3n − 1;3n} ( n số nguyên dương) gọi tập hợp cân đối chia A thành n tập hợp A1 , A2 , , An thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp Ai ( i = 1,2, , n ) gồm ba số phân biệt có số tổng hai số lại ii) Các tập hợp A1 , A2 , , An đôi khơng có phần tử chung a) Chứng minh tập A = {1;2;3; ;92;93} không tập hợp cân đối b) Chứng minh tập A = {1;2;3; ;830;831} tập hợp cân đối Bài 25 Trong hộp có 2010 viên sỏi Có hai người tham gia trị chơi, người phải bốc 11 viên sỏi nhiều 20 viên sỏi Người bốc viên sỏi cuối thua Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc người thắng Bài 26 Cho đa giác lồi A1 A2  A100 Tại đỉnh Ak ( k = 1, 2, ,100 ), người ta ghi số thực ak cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số hai đỉnh kề Tìm giá trị lớn giá trị tuyệt đối hiệu hai số ghi cặp đỉnh đa giác cho, biết số ghi đỉnh cho đơi khác Bài 27 Cho hình vuông ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Bài 28 Cho 2014 số nguyên dương không lớn 2014 có tổng 4028 Chứng minh từ 2014 số ln chọn số mà tổng chúng 2014 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 29 Cho đường trịn bán kính ba điểm A, B,C tùy ý Chứng minh tồn điểm M nằm đường tròn cho MA  MB  MC  Bài 30 Trong giải đấu thể thao có n độ tham dự n ≥ , luật đấu sau: Hai đội đấu với trận Sau trận, đội thắng điểm, đội thua điểm hòa hai đội điểm Sau giải đấu đội xếp hạng théo thứ tự từ cao xuống thấp (bằng điểm xếp hạng) Hỏi điểm chênh lệch lớn đội xếp thứ hạng liền ? Bài 31 Một giải đấu bóng chuyền có n đội tham gia ( n ∈ , n ≥ ), luật đấu sau: Mỗi đội đấu với tất đội khác trận Sau trận đấu, đội thắng điểm, đội thua điểm; hai đội hòa đội điểm Sau giải đấu đội xếp hạng theo điểm số từ cao xuống thấp (hai đội điểm xếp hạng) Hỏi chênh lệch điểm lớn đội xếp thứ hạng liền bao nhiêu? Bài 32 Có tập hợp A tập hợp S = {1, 2,3 2018} thỏa mãn điều kiện A có hai phần tử x ∈ A, y ∈ A, x > y y2 ∈ A x− y Bài 33 Trên bảng ô vuông, ô người ta điền toàn dấu + Sau đó, thực q trình đổi dấu (dấu + sang dấu − , dấu − sang dấu +) theo bước sau: Bước 1: Các dịng thứ i đổi dấu i lần, i = 1,2, ,2019 Bước 2: Các ô cột thứ j đổi dấu j + lần, j = 1,2, ,2019 Tính số dấu cịn lại bảng vng sau thực trình đổi dấu Bài 34 Cho tập hợp A gồm 41 phần tử số nghuên khác thỏa mãn tổng 21 phần tử lớn tổng 20 phần tử lại Biết số 401 402 thuộc tập A Tìm tất phần tử tập hợp A Bài 35 Cho M tập tất 4039 số nguyên liên tiếp từ −2019 đến 2019 Chứng minh 2021 số đôi phân biệt chọn từ M ln tồn ba số phân biệt có tổng Bài 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M ( a; b ) gọi điểm nguyên a b số nguyên Chứng minh tồn điểm I mặt phẳng tọa độ 2019 số thực dương Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com R1; R2 ; .; R2019 cho có k điểm nguyên nằm đường tròn ( I ; Rk ) với k số nguyên dương không vượt 2019 Bài 37 Huyện KS có 33 cơng ty, huyện KV có 100 cơng ty Biết rằng, cơng ty huyện KS hợp tác với 97 cơng ty huyện KV Chứng minh có cơng ty huyện KV hợp tác với tất công ty huyện KS Bài 38 Hai phụ nữ An, Chi hai người đàn ơng Bình, Danh vận động viên Một người vận động viên bơi lội, người thứ hai vận động viên trượt băng, người thứ ba vận động viên thể dục dụng cụ người thứ tư vận động viên cầu lơng Có ngày nọ, họ ngồi xung quanh bàn vuông (mỗi người ngồi cạnh người) Biết (i) Chi Danh ngồi cạnh (ii) (iii) Vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đôi diện Bình Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An (iv) Một người phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng Hãy cho biết người vận động viên chơi mơn ? Bài 39 1 Viết lên bảng 2019 số 1; ; ; ; viết lên bảng số 1 ; Từ số viết, xóa số x, y 2018 2019 xy (các số lại bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực thao tác x + y +1 bảng cịn lại số Hỏi số ? Bài 40 Trong buổi tổ chức lễ tun dương học sinh có thành tích học tập xuất sắc huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bắt tay An bắt tay với người quen Biết cặp (hai người) bắt tay không lần có tổng cộng 420 bắt tay Hỏi bạn An có người quen buổi lễ tuyên dương Bài 41.Chứng minh tồn bội số 1993 chứa toàn số Bài 42.Chứng minh : Với 17 số nguyên tồn tổng có số chia hết cho Bài 43.Có hay khơng số có dạng 19931993 1993000 001994 Bài 44 Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh số tự nhiên cho tổng ba số chúng chia hết cho số cịn lại Chứng minh tứ giác có hai cạnh Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 45 Trên mặt phẳng cho điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng khơng có bốn điểm thuộc đường trịn Chứng minh tồn đường tròn qua ba điểm năm điểm cho hai điểm lại có điểm nằm bên đường trịn Bài 46 Để tiết kiệm chi phí vận hành đồng thời du khách tham quan hết 18 danh lam, thắng cảnh tỉnh K, công ty du lịch lữ hành KH thiết lập tuyến chiều sau: Nếu từ tỉnh A đến B từ B đến C khơng có tuyến từ A đến C Hỏi có cách thiết lập để hết 18 địa danh ? Bài 47 Trung tâm thành phố Việt Trì có tát 2019 bóng đèn chiếu sáng đô thị, chia gồm loại: Đèn ánh sáng trắng có 671 bóng, đèn ánh sáng vàng nhạt có 673 bóng, đèn ánh sáng đỏ có 675 bóng Vào dịp giỗ tổ Hùng Vương, người ta thực việc thay bóng đèn theo quy luật sau: Mỗi lần tháo bỏ bóng đèn khác loại thay vào bóng đèn thuộc loại cịn lại Hỏi đến lúc tất bóng đèn trung tâm thành phố loại không Bài 48 Chứng minh không tồn số tự nhiên n để 2018 + n số phương Mười đội bóng chuyền tham gia giải bóng chuyền VTV cup 2018 Cứ hai đội giải đấu thi đấu với trận Đội thứ thắng x1 trận thua y1 trận, đội thứ hai thắng x2 trận thua y2 trận,…, đội thứ mười thắng x10 trận thua y10 trận Biết trận đấu bóng chuyền khơng có trận hịa Chứng minh rằng: x12 + x22 + + x102 = y12 + y22 + + y102 Bài 49 Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh ln tìm đoạn để ghép thành tam giác Bài 50 Cho t1 =1.2.3, t2 = 2.3.4, t3 =3.4.5, tn = n ( n + 1)( n + ) Chứng minh 4Tn + số phương với Tn = t1 + t2 + t3 + + tn ( n số tự nhiên khác 0) ĐÁP ÁN TỪ BÀI 01 ĐẾN BÀI 50 Bài Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Xét tập A = {1; 2;3; .; 2500} tập B = {1;3;3.2;3.22 ; ;3.213 } 13 Do 3.2= 24576 < 250000 ⇒ B ⊂ A Tập B có 15 phần tử Do bóng sơn màu mà có màu nên theo nguyên lý Dirichle tập B tồn bóng màu Giả sử bóng đánh số a > b > c a chia hết cho b, b chia hết cho c abc ≥ 18 > 17 Vậy ta có điều phải chứng minh Bài Gọi độ dài cạnh tứ giác a, b, c, d (a, b, c, d ∈ * ) Giả sử khơng có cạnh tứ giác Khơng tính tổng qt, giả sử a > b > c > d (*) Do tứ giác lồi nên a < b + c +d ⇒ a < b + c + d < 3a ⇒ 2a < a + b + c + d < 4a Từ giả thiết toán suy a + b + c + d chia hết cho số a, b, c, d nên ta có : a + b + c + d = 3a (1) Đặt a + b + c + d = mb với m ∈ * (2) a + b + c + d = nc với n ∈ * Do a > b > c ⇒ n > m > (3) ⇒ n ≥ 5, m ≥ Cộng (1), (2), (3) 3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc ≥ 3a +4b + 5c ⇒ (b – d) + 2(c – d) ≤ , mâu thuẫn (*) ⇒ Tứ giác có cạnh Bài Giả sử A = {1;2;3; ;93} tập hợp cân đối , tập Ai ( i = 1,31) có dạng { xi ; yi ; xi + yi } , tổng ba phần tử Ai số chẵn Do tổng phần tử tập A số chẵn Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 93 Mặt khác tổng phần tử A bằng: + + + += 93.94 = 93.47 (là số lẻ) Mâu thuẫn A tập không cân đối Nhận xét: Nếu tập Sn = {1;2;3; ; n} , với n chia hết cho tập hợp cân đối tập S n = {1;2;3; ;4n= } S4 n+3 {1;2;3; ;4n + 3} tập hợp cân đối Chứng minh Từ tập S4n ta chọn tập ba phần tử sau: {1;2n + n;2n + n + 1};{3;2n + n − 1;2n + n + 2};{5;2n + n − 2;2n + n + 3}; ;{2n − 1;2n + 1;4n} Rõ ràng tập thỏa mãn có phần tử tổng hai phần tử lại Còn lại số sau tập S4n 2,4,6, ,2n Tuy nhiên tập Sn cân đối nên tập {2;4;6; ;2n} cân đối Vậy S 4n tập cân đối Tương tự từ tập S4 n +3 ta chọn tập ba phần tử sau: {1;2n + n + 2;2n + n + 3} ; {3;2n + n + 1;2n + n + 4} ;…; {2n + 1;2n + 2;4n + 3} Và lại số 2,4,6, ,2n , suy S4 n +3 tập cân đối Trở lại tốn Ta có = 831 4.207 + 207 = 4.51 + = 51 4.12 + 12 = 4.3 Chú ý tập {1;2;3} cân đối nên theo nhận xét ta xây dựng tập hợp cân đối theo quy trình sau: {1;2;3} → {1;2; ;12} → {1;2; ;51} → {1;2; ;207} → {1;2; ;831} Do tập A = {1;2;3; ;831} tập hợp cân đối (đpcm) Bài Gọi điểm : A1; A2; A3; …; Ai; Ai + ; A2012; A2013 Ta chia cặp điểm sau: (A1; A2013); ( A2; A2012); …( Ai; A2013 – i)…;(A1006; A1008) , điểm A1007 Xét điểm A1007 với cặp điểm cho, theo giả thiết cặp điểm tồn điểm Am cho đoạn thẳng A1007Am có độ dài nhỏ Khơng tính tổng Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038