Các bài toán nâng cao đại số lớp 9

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com Mơc lơc Trang Chủ đề Các tốn bất đẳng thức Chủ đề Các toán bậc hai số học – thức chứa chữ Chủ đề Các toán hàm số bậc Chủ đề Các tốn phương trình bậc hai, định lý vi-et Chủ đề Các tốn hệ phương trình Chủ đề Phương trình vơ tỷ, hệ phương trình vơ tỷ Chủ đề Tốn thực tế phương trình – hệ phương trình Chủ đề Các tốn đa thức Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 521 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 1: BẤT ĐẲNG THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Các Ví dụ Vd1:Cho a ≥ 3, tìm giá trị nhỏ S= a + a a 10 8a  a  24 Giải : S = a + = +  +  ≥ +2 = a 9 a 9 a Vd2:Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ S= a + a a a 12 6a  a a  12 Giải : S = a + = +  + +  ≥ + 3 = + = a 8 a  8 a 4 S ab + Vd3: Cho a, b >0 a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ = ab Giải:   15 15 17 S = ab + =  ab + ≥ ab + = ⇔ a =b = + ab  16ab  16ab 16ab a+b 16     Vd4: Cho a, b, c > a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ : + S = a+b+c+ + a 2b c a 2,= b 3,= c Giải: Dự đoán= 12 18 16 12   18   16   S =4a + 4b + 4c + + + =a + 2b + 3c +  3a +  +  2b +  +  c +  a b c a  b  c   ≥ 20 + 3.2.2 + 2.2.3 + 2.4 = 52 ⇒ S ≥ 13 1 Tìm giá trị lớn Vd5: Cho x, y, z > + + = x y z 1 P= + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Giải :Ta có : 1 1 1 1 4 + ≥ ⇒ + + + ≥ + ; + ≥ x y x+ y y z y+z x y y z x+ y y+z 16 1 1 1 ⇒ ≤  + +  x + 2y + z x + y + z 16  x y z  Chứng minh tương tự : ≥ Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 1 2 1 1 1 2 ≤  + + ; ≤  + +  x + y + z 16  x y z  x + y + z 16  x y z  4 4 ⇒S ≤  + + = 16  x y z  Vd6: Cho a, b số thực dương Chứng minh : a+b ≥ 2a b + 2b a (a + b) + Giải : a+b 1  1    = ( a + b )  a + b +  = ( a + b )  a +  +  b +   (a + b) + 2 4     ≥ ab ( a + b= ) 2a b + 2b a Vd7 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh : x2 + y +1 Giải : x2 + y +1 y2 z2 + ≥ z +1 x +1 y +1 y2 z +1 z2 x +1 ≥ x; + ≥ y; + ≥z x z +1 x +1 3 3 ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − ≥ − = 4 4 Vd8: Với a, b, c ba số thực dương Chứng minh a b3 c + + ≥ a + b2 + c2 b c a 3 a b c + ab ≥ 2a ; + bc ≥ 2b ; + ca ≥ 2c Giải : b c a 2 ⇒ VT ≥ a + b + c − ( ab + bc + ca ) ≥ a + b + c ( ) x − − x2 −2 −2 = A = = x − − x x − x + ( x − 1)2 + Vd9 Tìm GTNN A = Ta thấy ( x − 1) ≥ ⇒ ( x − 1) + ≥ 1 1 Do ≤ (theo tính chất a ≥ b ≤ với a, b dấu) a b ( 3x − 1) + 4 2 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Do −2 ( 3x − 1) +4 ≥ −2 −1 ⇒ A≥ 1 Min A =− ⇔ x − =0 ⇔ x = B CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài 01 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : (a + b )( b + c )( c + a ) ( ab + bc + ca ) ≥ 8a 2b 2c ( a + b + c ) 2 Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: a + b2 b2 + c2 c2 + a  a + b2 + c2  ≥  2ab 2bc 2ca  ab + bc + ca  Không thể đánh giá bất đẳng thức bđt Co si hay Bunhia thu đánh giá ngược chiều Do ta hướng đến phép biến đổi tương đương Khi bất đẳng thức tương đương với:  ( a − b )2   ( b − c )2   ( c − a )2   ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2  1 +  1 +  1 +  ≥ 1 +  2ab   2bc   2ca   ( ab + bc + ca )   Đến để có cách đánh giá dễ dàng ta xếp thứ tự biến, khơng tính tổng qt ta giả sử a ≥ b ≥ c, ta được: 2  ( a − b )2   ( b − c )2  a − b) (b − c ) a − c) ( ( + ≥1+ 1 +  1 +  ≥1+ ab bc ab bc ( ab + bc )     Như ta cần đánh giá vế phải đại lượng ( a − c ) Ta có: ( a − b ) + ( b − c ) = ( a − c ) − ( a − b )( b − c ) ≤ ( a − c ) 2 2 2  a − c)   (c − a)   c − a)  ( ( Bài toán quy chứng minh: 1 +  1 +  ≥ 1 +  2ca   ab + bc + ca   ( ab + bc )   Áp dụng Bđt Bunia ta được: 2  a − c)   (c − a)   c − a)  ( ( 1 +  1 +  ≥ 1 +  ab + bc ca ab + bc + ca ( )       2 Mà theo bất đẳng thức Co si ta ca ( ab + bc ) ≤ ab + bc + ca nên ta có: (c − a) (c − a) ≥1+ ab + bc + ca ca.( ab + bc ) 1+ 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 2 2  a − c)   (c − a)   c − a)  ( ( Do ta : 1 +  1 +  ≥ 1 +  2ca   ab + bc + ca   ( ab + bc )   Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu xảy a= b= c Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ab bc ca + + ≤ ab + bc bc + ca ca + ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: ab bc ca bc ca     ab + + ≤ + + + + ab bc ca ( )     bc + ca ca + ab   ab + bc bc + ca ca + ab   ab + bc ab bc ca = ab + bc + ca + + + a+b b+c c+a Ta quy toán chứng minh  ab bc ca  ( ab + bc + ca ) +  + +  ≤1= a+b b+c c+a (a + b + c)  ab bc ca  2 Hay  + + ≤a +b +c a+b b+c c+a b(a + b) 2ab b ( a + b ) Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được: ≤ = a + b 2(a + b) Hoàn toàn tương tự ta được:  ab bc ca  a + b + c + ab + bc + ca 2 + + ≤ a+b b+c c+a Phép chứng minh hoàn tất ta a + b + c + ab + bc + ca ≤ a + b2 + c2 2 2 Hay ab + bc + ca ≤ a + b + c , đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ab bc ca a b c + + ≥ + + c ( c + a ) a ( a + b) b (b + c ) c + a a + b b + c Giải: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com c a + = , bất đẳng thức cần chứng minh viết lại a+c c+a ab c bc a ca b + + + + + ≥3 thành: c ( c + a ) c + a a ( a + b) a + b b (b + c ) b + c Để ý c + ab a + bc b + ca c + ab a + bc b + ca + + ≥3 Hay c ( c + a ) a ( a + b) b (b + c ) c ( c + a ) a ( a + b ) b (b + c ) c + ab a + bc b + ca ≥1 c ( c + a ) a ( a + b) b (b + c ) Phép chứng minh hoàn tất ta được: ( )( )( ) Ta có: ( a + bc )( b + ca ) − ab ( a + c )( b + c ) = c ( a + b )( a − b ) ( a + bc )( b + ca ) ≥ ab ( a + c )( b + c ) Hay ta cần chứng minh a + bc b + ca c + ab ≥ abc ( a + b )( b + c )( c + a ) 2 2 , ta được: Hoàn toàn tương tự ta được: b + ca c + ab ≥ bc ( a + b )( a + c ) ; c + ab a + bc ≥ ca ( a + b )( b + c ) ( )( ) ( )( ) Nhân theo vế bất đẳng thức ta được: a + bc b + ca c + ab ≥ abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ( )( )( ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a= b= c C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) Đề từ 01 đến 10 Bài 01 Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng mnh rằng: 1 ≤ 3a + 4b + 3b + 4c + 3c + 4a + abc Bài 02 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: + 1 + a + b3 + c3 + 3abc ≥ ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 1 + + ≤ a + b + c Tìm giá trị a b c 1 + + 2 + a + b + c2 Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn c ( c − a − c ) = a + b + Tìm giá lớn biểu thức T = trị lớn P = a 4b ( a + bc )( b + ca )( c + ab ) Bài Cho a, b, c thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a − a + ab − + b − b3 + bc + + ≤ c + c3 + ac + Bài abc Cho a, b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh + a2 + b2 + − + c2 < a b Bài Cho số thực dương a, b thỏa mãn a + b = Chứng minh ( a + b ) − ( a + b ) + 4ab ≥ 2 ( a + 3b )( b + 3a ) Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  ab bc   1  + +    ≤2 b + c  a + b b+c   a+b Bài a) Cho x, y, z số thực thỏa mãn ( x − y )( x − z ) = 1; y ≠ z Chứng minh ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) ≥ Bài 10 a) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Chứng minh xy + xy + z yz xz + ≤ yz + x xz + y Đáp án từ 01 đến 10 Bài 01 Dễ dàng dự đoán dấu đẳng thức xảy a= b= c= Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: abc abc abc + + ≤ 3a + 4b + 3b + 4c + 3c + 4a + Quan sát bất đẳng thức suy nghĩ tự nhiên đánh giá làm dấu bậc hai, ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com abc abc abc + + 3a + 4b + 3b + 4c + 3c + 4a + abc abc abc   ≤ 3. + +  2  3a + 4b + 3b + 4c + 3c + 4a +  Đến ta quy toán chứng minh : abc abc abc + + ≤ 2 2 3a + 4b + 3b + 4c + 3c + 4a + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 3a + 4b + ≥ 2ab + 4a + 6b abc abc ≤ Cũng theo bất đẳng thức Cơ si ta Do ta 3a + 4b + 2ab + 4a + 6b được: 1  1   2 1 1 ≤  +  ≤  + + = + + 2ab + 4a + 6b  2ab + 4a 6b  72  ab a  24b 72ab 36a 24b abc c bc ac ≤ + + Hoàn toàn tương tự ta được: Do ta được: 3a + 4b + 72 36 24 abc a ca ba abc b ab bc ≤ + + ; ≤ + + 3b + 4c + 72 36 24 3c + 4a + 72 36 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: abc abc abc abc ( ab + bc + ca ) + + ≤ + 2 2 3a + 4b + 3b + 4c + 3c + 4a + 72 72 Phép chứng minh hoàn tất ta được: a + b + c ( ab + bc + ca ) + ≤ ⇔ ab + bc + ca ≤ 72 72 a + b + c) ( Đánh giá cuối đánh giá ab + bc + ca ≤ = 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 02 Dự đoán dấu đẳng thức xảy a= b= c Không tính tổng qt ta giả sử c số nhỏ ba số a, b, c Khi ta cố gắng đánh giá bất đẳng thức xoay quanh biến c Áp dụng bđt Cô si ta được: c ( 3b + c ) 2 2 bc ( b += c ) c 2b ( b + c ) ≤ c ( 3a + c ) 2 2 ca ( c += a ) c 2a ( c + a ) ≤ Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ta quy toán chứng minh : a + b + c + 3abc ≥ ab ( a + b 3 Hay a + b + 3abc ≥ ab ( a + b 3 2 )+ )+ 3c ( a + b ) 3c ( a + b ) + c3 ⇔ 2a + 2b3 − 2ab ( a + b ) ≥ 3c ( a − b ) 2 Ta cần biến đổi vế trái bất đẳng thức cho xuất đại lượng ( a − b ) Ta có: 2a + 2b3 − 2ab ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b − ab ) − 2ab ( a + b ) = ( a + b )( a − b ) + ( a + b ) ( a + b ) − 2ab ( a + b ) a + b2  =( a + b )( a − b ) + ( a + b ) ( a + b ) − 4ab    2 Theo giả sử ta có a + b ≥ 2c ta được: ( a + b )( a − b ) ≥ 2c ( a − b ) Mặt khác a + b2 ≥ 2; ( a + b ) ( a + b ) − 4ab ≥ ( a + b )( a + b ) − 4ab = ( a − b ) a + b2  ( a + b ) ( a + b ) − 4ab  ≥ 3c ( a − b )   Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a= b= c Bài 03 Dự đoán giá trị lớn T xảy a= b= c= Như ta cần chứng 1 + + ≤ Thật vậy, bất đẳng thức minh bất đẳng thức T = + a 2 + b2 + c2 cần chứng minh tương đương với: 1 1 1 a2 b2 c2 − + − + − ≥1⇔ + + ≥1 2 + a 2 + b2 2 + c2 a + b2 + c2 + Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz dạng phân thức ta có: a + b + c) a2 b2 c2 ( + + ≥ a + b2 + c2 + a + b2 + c2 + Phép chứng minh hoàn tất ta được: ( a + b + c ) ≥ ⇔ a + b + c ≥ a + b2 + c + ⇔ ab + bc + ca ≥ ( ) a + b2 + c2 + Để ý ta viết lại giả thiết thành ab + bc + ca ≤ abc ( ab + bc + ca ) Suy ta được: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038