Dạng 1 mở đầu về khối đa diện

HQ MATHS – 0827.360.796 – DẠNG Mở đầu khối đa diện Khối tứ diện ABCD tích V , AB = a , CD = b , góc hai đường thẳng AB CD  khoảng cách chúng c Mệnh đề đúng? abc sin  A V = Câu 2: B V = abc sin  C V = abc sin  Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 1: Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp D V = abc sin Khối tứ diện ABCD tích V , AB = a góc hai mặt phẳng ( CAB ) ( DAB )  Các tam giác CAB , DAB có diện tích S1 S2 Mệnh đề đúng? A V = Câu 3: 2S1S2 sin  a B V = 4S1S2 sin  3a C V = 4S1S2 sin  a D V = 2S1S2 sin  3a Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, cịn cạnh bên SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30 Thể tích hình chóp a3 A Câu 4: a3 B a3 C a3 D Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Các mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Thể tích khối chóp cho A Câu 5: a3 a3 C a3 D a3 B a3 C a3 D a3 12 Nếu hình chóp có chiều cao cạnh đáy tăng lên n lần thể tích tăng lên A n2 lần Câu 7: B Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a diện tích xung quanh gấp đơi diện tích đáy Khi thể tích hình chóp A Câu 6: a3 HQ MATHS – 0827.360.796 – B 2n2 lần C n3 lần D 2n3 lần Cho hình lăng trụ ABC.A ' B' C ' có AA ' = , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ',CC' , ; khoảng cách C đến đường thẳng BB ' khối lăng trụ ABC.A ' B'C' “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Thể tích HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – A Câu 8: B Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C D Cho khối tứ diện O.ABC có OA , OB , OC đơi vng góc thỏa mãn OA2 + OB2 + OC = 12 Thể tích lớn khối tứ diện O.ABC A C D Thể tích khối chóp cụt có diện tích hai đáy S1 , S2 có chiều cao h B h(S1 + S2 + S1S2 ) C h(S1 + S2 − S1S2 ) D h(S1 + S2 + S1S2 ) Câu 10: Cho hình hộp ABCD.A ' B' C 'D' có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 600 có chiều cao 2a Gọi M,N trung điểm cạnh A ' B ', A ' D ' Tính thể tích khối đa diện ABDA ' MN A a3 B 3a C 5a D 2a3 Câu 11: Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có AB = AD = a , a góc BAD = 60 o Gọi M N trung điểm cạnh AD AB Thể tích khối chóp A.BDMN là: AA = A 3a 16 B 3a 16 C 3a 16 D a3 16 Câu 12: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB BC Mặt phẳng ( AMN ) cắt cạnh BC P , Thể tích khối đa diện MBP.ABN bằng: A 3a 24 B 3a 12 C 3a 96 D 3a 32 Câu 13: Cho khối tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc với thỏa mãn OA + OB + OC = Thể tích lớn khối tứ diện OABC A B C D Câu 14: Cho hình hộp ABCD.ABCD có diện tích đáy S , chiều cao h Thể tích khối tứ diện AABD HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A h(S1 + S2 − S1S2 ) HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 9: B HQ MATHS – 0827.360.796 – A Sh B Sh C Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Sh D Sh Câu 15: Cho hình lăng trụ có độ dài cạnh đáy a Chiều cao hình lăng trụ h , điện tích mặt đáy S Tổng khoảng cách từ điểm hình lăng trụ tới tất mặt hình lằng trụ A h + 2S a B h + 3S a C 2S a D 3S a Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 16: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC ' có đáy tam giác a , AA = 2a Gọi M , N trung điểm AA , BB G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( MNG ) cắt CA ,CB E , F Thể tích khối đa diện có đỉnh A , B , M , N , E , F A a3 B 3a C 3a 27 D 3a 27 a BAD = 60 o Gọi M N trung điểm cạnh A ' D ' A ' B ' Tính thể tích khối chóp A.BDMN A a3 16 B 3a 16 C 3a 3 16 D a3 16 Câu 18: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B' C ' có tất cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB B ' C ' Mặt phẳng ( A ' MN ) cắt cạnh BC P Thể tích HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 17: Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B' C ' D ' có AB = AD = a , AA' = khối đa diện MBP.A ' B' N A a3 24 B a3 12 C a3 96 D a3 32 a góc BAD = 600 Gọi M; N trung điểm A'D'; A ' B' Tính thể tích khối đa diện BCD.MNB’C ’D’ Câu 19: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C ’D’ có AB = AD = a; AA' = A 3a 16 B a3 32 C 9a3 16 D “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” 17 a 32 HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 20: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C ’ tích 72 Gọi M trung điểm cạnh A’B’; điểm N , P thỏa mãn B ' N = B ' C '; BP = BC Đường thẳng NP cắt BB’ E , đường 4 thẳng ME cắt AB Q tính thể tích khối đa diện AQPC.C ’A’MN B 59 C 52 D 56 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.B 9.B 10.A 11.B 12.C 13.B 14.B 15.A 16.A 17.B 18.C 19.D 20.B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A Dựng điểm E cho tứ giác BDCE hình bình hành Khi ( ) ( ) ( ) CD // BE  CD // ( ABE )  d ( AB,CD ) = d C , ( ABE ) = c ; AB, CD = AB, BE =  HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A 55 HQ MATHS – 0827.360.796 – ( Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ) 1 AB.BE.sin AB, BE = ab sin  2 1 abc sin  Vậy VABCD = VC ABE = SABE d C , ( ABE ) = ab sin  c = 3 SABE = ( Chọn D Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 2: ) Gọi H hình chiếu vng góc C ( ABD ) E hình chiếu vng góc H AB Khi ((CAB) ,( DAB)) = ( HE,CE) = CEH =  HQ MATHS – 0827.360.796 – CH ⊥ AB 2S 2S CE.AB  CE ⊥ AB Do SABC =  CE = ABC =  AB a  HE ⊥ AB 2S sin  CH = sin CEH = sin   CH = CE.sin  = CE a 2S sin  2S1S2 sin  1 = SDAB CH = S2 = 3 a 3a CEH vng H có Vậy VABCD = VC ABD Câu 3: Chọn D Ta có CB ⊥ AB   CB ⊥ ( SAB ) CB ⊥ SA  Suy góc SC với mặt phẳng ( SAB ) CSB = 30 Do đó, SB = CB.cot 30 = a Suy SA = SB2 − AB2 = a a Vì VS ABCD = SA.SABCD = 3 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 4: Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Chọn A Do (SAB) ⊥ ( ABCD )   SA ⊥ ABCD ( ) (SAD ) ⊥ ( ABCD ) Suy góc SC với mặt phẳng đáy SCA = 30 Suy SA = AC.tan 30 = a = a Chọn A S Giả sử hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O Đặt SO = h Gọi M trung điểm BC Ta có SM = SO2 + OM = h + A B a D O M C a Sxq = 4SSBC = .SM.BC = h + a Có Sxq = 2Sday  h2 + a2 a a = 2a2  h = 1 a a3 VS ABCD = SO.SABCD = a = 3 Câu 6: Chọn C Ta xét hai hình chóp tam giác, tứ giác Trường hợp 1: Hình chóp tam giác có cạnh đáy a chiều cao h a2 h Thể tích khối chóp tam giác ban đầu: V1 = Thể tích khối chóp sau tăng chiều cao cạnh đáy tăng lên n lần: ( na ) V2 = nh = n3 V1 Kết luận: hình chóp tam giác có chiều cao cạnh đáy tăng lên n lần thể tích tăng lên n3 lần Trường hợp 2: Hình chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao h Thể tích khối chóp tứ giác ban đầu: V1 = a2 h HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 5: Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp a Do VS ABCD = SA.SABCD = HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Thể tích khối chóp tứ giác sau tăng chiều cao cạnh đáy tăng lên n lần: V2 = ( na ) nh = n3 V1 Kết luận: hình chóp tứ giác có chiều cao cạnh đáy tăng lên n lần thể tích tăng lên n3 lần Kết luận: Nếu hình chóp có chiều cao cạnh đáy tăng lên n lần thể tích tăng lên n3 lần ▪ Nếu ta tăng kích thước đa giác lên k lần diện tích đa giác tăng lên k lần ▪ Nếu tăng diện tích đáy khối chóp lên k lần chiều cao k lần thể tích khối chóp Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Nhận xét: Ta dùng kết quen thuộc tăng lên k lần Câu 7: Chọn A Gọi H , K lượt hình chiếu vng góc A lên BB',CC' ta có AH = d( A, BB ') = 1, AK = d(A,CC') = Câu 8: HQ MATHS – 0827.360.796 – AH + AK = HK =  AHK vuông A  SAHK = AH.AK = Vậy VABC A ' B' C ' = SAHK AA ' = Chọn B Ta có VO ABC = OA.OB.OC Sử dụng bất đẳng thức AM – GM có 12 = OA2 + OB2 + OC  3 OA OB2 OC  OA.OB.OC   VO ABC  Câu 9: = Chọn B Thể tích hình chóp cụt h(S1 + S2 + S1S2 ) Câu 10: Chọn A “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Chú ý: ABDA ' MN hình chóp cụt có hai tam giác đáy ABD , A ' MN Do V = h(S1 + S2 + S1S2 ) Trong đó, h = 2a Vậy V = a2 a2 , S2 = SA ' MN = SA ' B' D ' = 4 16 2a a2 a2 a2 a2 a2 ( + + )= 16 16 Câu 11: Chọn B 1 a a a3 0 a   sin 60  =   3 2 32  Khối chóp cụt ABD.AMN có h = Do VABD AMN = a a2 a2 , S1 = SABD = , S2 = SAMN = 16 h a  a2 a2 3a  S1 + S2 + S1S2 = + +  16 64  ( ) Do VA.BDMN = VABD AMN − VA AMN =  a3 =  32  a a 3a − = 32 32 16 HQ MATHS – 0827.360.796 – Ta có: VA AMN = SAMN  AA = Câu 12: Chọn C Ta có MP BP BM 1 = = =  MBP ~ ABN theo tỉ số     AN BN AB 2 Khối đa diện MBP.ABN khối chóp cụt có chiều cao h = BB = a Diện tích hai đáy : a2 a2 S1 = SABN = SABC  = , S2 = SMBP = SABN = 32 Vậy VMBP ABN = HQ MATHS – h a  a2 a2 a2 a2 S1 + S2 + S1S2 =  + + 3 32 32  ( ) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp S1 = SABD =  3a =  96  “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 13: Chọn B Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm, ta có: = OA + OB + OC  3 OA.OB.OC  OA.OB.OC  1 Ta có VOABC = OA.OB.OC  = 6 Vậy VOABC lớn Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Dấu " = " xảy OA = OB = OC = HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 14: Chọn B 1 Sh 1 Ta có SABD = SABCD  VAABD = VA ABCD = SABCD d ( A; ( ABCD ) ) = 2 Câu 15: Chọn A Xét hình lăng trụ ( H ) cho có đáy đa giác n đỉnh Xét điểm I hình lăng trụ ( H ) cho Khi nối I với đỉnh ( H ) ta n + khối chóp có đỉnh I , có hai khối chóp có đáy hai mặt đáy ( H ) , n khối chóp có đáy mặt bên ( H ) Diện tích mặt đáy ( H ) S , diện tích mặt bên ( H ) ah Gọi h1 , h2 , , hn , hn+1 , hn+ khoảng cách từ I đến mặt bên mặt đáy ( H ) Vậy theo cơng thức tính thể tích khối lăng trụ khối chóp ta có: 1 1 V( H ) = V1 + V2 + + Vn + Vn+1 + Vn+  Sh = h1 ah + + hn ah + hn+1 S + hn+ S 3 3 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – S= Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 1 S h1 + h2 + + hn ) a + ( hn+1 + hn+ ) ( 3 h h S S h1 + h2 + + hn ) a +  ( h1 + h2 + + hn ) a = S − ( 3 3 2S 2S  h1 + h2 + + hn =  h1 + h2 + + hn + hn+1 + hn+ = +h a a S= Câu 16: Chọn D  MN  ( GMN )   AB  ( ABC )  AB / / MN   ( GMN )  ( ABC ) = EF / / AB / / MN Suy CF CG CE = = = CB CH CA 3 VC EFNM + + + 4 3a 3a Suy = =  VBFN AEM = V1 − VC EFNM = V1 = = 3 V1 9 27 .1.1 2 Câu 17: Chọn B Dễ thấy A ' MN.ADB hình chóp cụt hai đáy hai tam giác đồng dạng theo tỉ số Ta có: SADB =  VAA ' MN = a2 a2  SA ' MN = SADB = 16 a3 AA.SAMN = 32 ( ) a3 VA ' MN ADB = AA SAMN + SADB + SAMN SADB = 32  VA.BDMN = VA ' MN ADB − VAA ' MN = HQ MATHS – 10 3a 16 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – 1a 3a V1 = VC ABNM = CH.SABNM = a = 3 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Ta có HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 18: Chọn C Ta có AN / / ( ABC ) Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Suy AK / / AN Mặt khác ( AMN )  BC = P nên P trung điểm đoạn thẳng BK Ta có SABN = Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Dễ thấy MBP.A ' B' N hình chóp cụt hai đáy hai tam giác đồng dạng theo tỉ số a2 a2 AB.AN sin 60 o =  SMBP = SABN = 32 ( ) a3 Vậy VMBP A ' B' N = AA SMBP + SA ' B' N + SMBP SA ' B ' N = 96 Câu 19: Chọn D Đặt: V1 thể tích khối hộp đứng ABCD.A’B’C ’D’ HQ MATHS – 0827.360.796 – V2 thể tích khối chóp cụt A’MN.ABD V thể tích đa diện BCD.MNB’C ’D’ Ta có: V1 = B.h = a.a.sin600 a 3a = a3 a2 SA ' MN = SA ' B' D ' = ; SABD = 16 ( ) h S + SABD + SA ' MN SABD A ' MN a  a a a2 a  a = + + =  16 16  32    V2 = Do đó: V = V1 − V2 = 3a3 a3 17 a3 − = 32 32 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 11 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 20: Chọn B Đặt: V thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C ’  V = 72 V1 thể tích khối đa diện AQPC.C ’A’MN V2 thể tích khối chóp cụt BQP.B ' MN   BP BQ BQ = =  = B' N B' M BA SBQP SBAC 1 1 = =  SBQP = SBAC 24 24 SB 'MN 3 = =  SB 'MN = SBAC SB ' A ' C ' 8 Suy ra: V2 = ( h S + SB 'MN + SBQP SB 'MN BQP h 3 =  SBAC + SBAC + SBAC SBAC  24 24 )  h.SBAC   13V = 13 =  + + =   24 8  72  HQ MATHS – 0827.360.796 – Vậy: V1 = V − V2 = 72 − 13 = 59 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Ta có: HQ MATHS – 12 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 13