THÔNG TIN TÀI LIỆU
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VÀ TIẾN TỚI GIẢI TỐT CÁC BÀI CẦN ÁP DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT I ) Lý chọn đề tài Từ tốn đơn giản khơng giải phương trình tính tổng tích nghiệm phương trình bậc , học sinh có phương tiện hệ thức Vi – ét để tính tốn Hệ thức giúp học sinh xét dấu nghiệm phương trình mà khong biết cụ thể nghiệm Giải biện luận phương trình bậc có chứa tham số loại tốn khó Tiếp tục toán thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ nghiệm , phép tính nghiệm phương trình Việc tính nghiệm phương trình theo cơng thức nghiệm vơ khó khăn phương trình chứa tham số Trong trường hợp hệ thức Vi – ét phương tiện hiệu giúp học sinh giải loại toán Cuối học kỳ lớp , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ kỳ thi cuối cấp Các toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt nhiều kỳ thi quan trọng thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào trường chuyên lớp chọn Trong viết , tơi hy vọng đóng góp thêm số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen tiến tới giải tốt cần áp dụng hệ thức Vi - ét II ) Nội dung đề tài A) Kiến thức : 1) Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ) có nghiệm phân biệt x1 , x2 tổng tích hai nghiệm là: S = x1 x2 c b P = x1.x2 a a ) Tính nhẩm nghiệm a ) Nếu a + b + c = phương trình ax + bx + c = ( a ) có nghiệm số x 1, x c a b ) Nếu a - b + c = phương trình ax + bx + c = ( a ) có nghiệm số x1 1, x2 c a ) Tìm số biết tổng tích chúng Nếu số u v có tổng u + v = S phương trình bậc hai : tích u.v = P u v nghiệm x Sx P B ) Bài tập áp dụng tập phát triển , nâng cao ) Loại toán xét dấu nghiệm phương trình mà khơng giải phương trình Bài tập 1: Khơng giải phương trình cho biết dấu nghiệm ? a) x 13x 40 b) x x c) x x Giải a) Theo hệ thức Vi – ét có S = x1 x2 P = x1 x2 b 13 a c 40 a Vì P > nên nghiệm x x dấu S > nên nghiệm dấu dương c a b) Theo hệ thức Vi – ét có P = x1.x2 nên nghiệm dấu S = x1 x2 c) P = x1.x2 b 7 nên nghiệm dấu âm a c 1 nên nghiệm trái dấu a b a S = x1 x2 Bài tập : Cho phương trình x 10 x m2 (1) Chứng minh phương trình ln có nghiệm trái dấu với giá trị Nghiệm mang dấu có giá trị tuyệt đối lớn ? m Giải Ta có a = > , c = - m < với m Vì a , c trái dấu nên phương trình (1) ln ln có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi - ét : P = x1 , x2 m < Do x1 x2 trái dấu S = x1 x2 10 nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn Bài tập 3: (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000) 2 Cho phương trình x ( m 1) x m m (1) (3đ) (với m tham số) a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình cho có nghiệm trái dấu m c) Gọi nghiệm phương trình cho x , x Tìm m để biểu thức 3 x x A đạt giá trị lớn x2 x1 Giải : a) Thay m = vào phương trình ta x2 x ( ) Phương trình có nghiệm phân biệt x1 x2 1 17 1 17 b)Xét 1 3 ac m2 m ( m2 m 2) (m m ) (m ) 4 4 2 1 1 3 Có m m P P m 2 2 4 Vậy phương trình (1) có nghiệm trái dấu m c) Gọi nghiệm phương trình cho x , x Từ kết phần b có x , x , biểu thức A xác định với x , x tính theo m ( Đặt ( x1 x ) 0; ( ) x2 x1 x1 ) a Với a > x2 Có A = -a + a ( x2 ) x1 a mang giá trị âm A đạt giá trị lớn - A có giá trị nhỏ Có – A = a + a2 1 a a Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a ( a > a 0) a 1 ):2 a a a Có ( a a ) : 1 a a (a Vậy – A nên – A có giá trị nhỏ A nên A có GTLN -2 *A 2 a 2 a a a a a a ( a 1) a 2 a a 2 2a 2a ( thoả mãn điều kiện a > ) Với a = ( x1 x ) 1 1 x1 x2 x2 x2 Theo kết x1 x2 có S x1 x2 x2 x2 b a (m 1) m 1 m 1 * Kết luận : Với m = biểu thức A đạt giá trị lớn - 2) Loại tốn tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích nghiệm Bài tập 4: Cho phương trình : x (m 1) x m m a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm trái dấu với m b) Gọi nghiệm x x tìm giá trị m để x12 x22 đạt giá trị nhỏ Giải: a ) Ta có a = > m (m m 2) (m m ) 4 7 (m )2 4 c m a, c trái dấu nên phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với tham số m Theo hệ thức Vi ét P = x1.x2 c m m nghiệm a trái dấu b) Ta có x12 x22 ( x1 x2 )2 2x1x2 (m 1) 2( m2 m 2) = m m m m 3m m 5 11 m m 3( m 2m ) 3 9 11 11 3(m ) 3 Vậy Min x12 x22 11 m = 3 Bài tập 5: 2 Cho phương trình x ( m 2) x m Tìm giá trị dương m để phương trình có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nghịch đảo nghiệm Giải : Ta có a = > Phưong trình có nghiệm trái dấu 7 m2 m Với điều kiện giả sử x < ,x > theo đề ta có x1 7 m2 x1 x2 ( ) m2 m m x2 m= Vì m > nên ta chọn ( thoả mãn điều kiện m ) Kết luận : Vậy với m = phương trình cho có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối ngịch đảo nghiệm Bài tập : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ) Xét phương trình : x 2( m 2) 5m (1) với m tham số 1) Chứng minh với giá trị m phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt 2) Gọi nghiệm phương trình (1) x1 , x2 , x3 , x4 Hãy tính theo m giá trị biểu thức M = 1 1 2 x1 x2 x3 x4 Giải : 1) Đặt x = y ( ĐK : y ) Pt (1) trở thành y 2( m 2) y 5m (2) , ( m ) (5 m 3) ( m 2) (5 m 3) m 4m 5m m4 m2 1 1 4 (m )2 (m )2 2m 2 Có ( m 3 ) (m )2 2 4 nên , Phương trình (2) ln có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – ét có S y1 y P y1 y2 b 2( m 2) 2( m 2) a c 5m a 2 2 Xét P 5m có m m m nên P > với m Z y , y dấu Xét S y1 y b 2( m 2) a 2 Vì m m 2( m 2) nên S > y1 , y2 dấu dương (thoả mãn ĐK y 0) Vậy phương trình (2) có nghiệm phân biệt dấu dương nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt đối đơi 2) Theo kết phần a có x1 , x2 , x3 , x4 x1 x3 M y1 , x y1 y , x4 y 1 1 2 ( y1 ) ( y1 ) ( y2 ) ( y2 ) 1 1 y1 y1 y2 y2 2 y1 y2 y1 y y1 y ( y1 y ) y1 y Thay kết S P vào M ta 2.2( m 2) 4( m 2) M 5m 5m Kết luận: M 4( m 2) 5m Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ) Cho phương trình x 2( m 1) x m ( mlà tham số) a) Chứng minh : Phương trình cho ln ln có nghiệm với m b) Trong trường hợp m > x1 , x2 nghiệm phương trình nói tìm GTLN biểu thức x1 x 2 3( x1 x ) A x1 x Giải: , a) ( m 1) m ( m 1) m m 2m m m2 m 1 m 1 m 4 (m ) 2 3 Vì ( m ) nên ( m ) 2 4 , 0m Z Phương trình cho ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) A x1 x 2 3( x1 x ) x1 x Theo kết phần a phương trình cho ln có nghiệm phân biệt áp dụng hệ thức Vi – ét ta có S = x1 x2 b 2m a P = x1 x2 c m a Vì P = m > nên x2 , x2 biểu thức A xác định với giá trị x1 , x2 x1 , x2 tính theo m x12 x1 x2 x22 x1 x2 3( x1 x2 ) A x1.x2 ( x1 x2 ) x1 x2 3( x1 x2 ) = x1 x2 Thay S P vào biểu thức A ta : (2 m 2) m 3(2 m 2) m m m m 3(2 m 2) m A 4m m2 1 m2 4( ) 4( ) m m m m 4( m ) m 1 ( m ) : m Theo bất dẳng thức Cô Si m m ( m > 0và 0) m m m 2 m 4(m ) m m Vậy biểu thức A có GTNN Trong bất đẳng thức Cô Si dấu xảy m = m m2 m 1 Với m = thoả mãn điều kiện m > m = -1 không thoả mãn điều kiện m > Vậy với m = A có GTNN Bài tập : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) Xét phuương trình mx + (2m -1) x + m -2 = (1) (2 đ) với m tham số a ) Tìm m để phương trình có nghiệm x , x thoả mãn x12 x22 x1 x2 b) Chứng minh m tích số tự nhiên liên tiếp phương trình có nghiệm số hữu tỉ Giải m a ) Điều kiện để m có nghiệm Xét (2 m 1) m ( m 2) m m m 8m 4m 4m m 1 Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm m m 1 Với điều kiện theo hệ thức Vi ét có S x1 x P x1 x b 2m a m c m2 a m A x12 x22 x1 x2 Gọi ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 m áp dụng hệ thức Vi ét có A = ( ĐK 1 ) m ( 2m m2 ) 3 4 m m 4m 4m 3m 4 m2 m 4m 4m 3m 6m 4m 3m 2m 3m 2m Có a + b + c = – – = => m = ( thoả mãn điều kiện m m 1 ) m2 = m 1 ( không thoả mãn điều kiện m 1 ) Vậy với m = phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 x22 x1 x2 c) Gọi n N * ta có m = n( n + ) tích số tự nhiên liên tiếp ( TMĐK m ) d) Theo kết phần a ta có m n ( n 1) n n ( n 1) phương trình ln có nghiệm với m 2n 2n ( n > ) 2m x1 2m n ( n 1) n 1 n n n n ( n 1) n (2 n 1) 2n2 2(1 n ) 2(1 n )(1 n ) n n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1) n 2n 2n( n 1) 2n 1 2n 2n 2n x2 2m 2n(n 1) 2n( n 1) 2n 4n 2n(n 2) n2 2n(n 1) 2n( n 1) n 1 Vì n N * nên 1- n Z n N * => x1 tử n +2 N * n +1 N * => x2 1 n phân số Q n n2 phân số Q n 1 Kết luận:Với m tích số tự nhiên liên tiếp phương trình có nghiệm số hữu tỉ ) Loại tốn tìm hai số biết tổng tích chúng Bài tập : Tìm hai số x y biết a) x + y = 11 xy = 28 b) x – y = xy = 66 Giải : a ) Với x + y = 11 xy = 28 theo kết hệ thức Vi ét x ,y nghiệm phương trình x - 11x + 28 = b ac = 121 – 112 = > Phương trình có nghiệm phân biệt x1 11 11 7; x2 =4 2 Vậy x = y = x = y = x y x ( y ) b) Ta có xy x ( y ) 66 có x , y nghiệm phương trình x - 5x - 66 = b ac = 25 + 264 = 289 > , = 17 17 17 11; x2 6 2 Phương trình có nghiệm phân biệt x1 Vậy x = 11 y = - cịn x = - y = 11 Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x + y = 25 xy = 12 Giải : Ta có x + y = 25 (x + y ) - 2xy = 25 (x + y ) - 2.12 = 25 (x + y ) = 49 x +y = * Trường hợp x + y = xy =12 Ta có x y nghiệm phương trình x - 7x +12 = b ac = 49 – 4.12 = x1 1 1 4; x2 3 2 * Trường hợp x + y = - xy =12 Ta có x y nghiệm phương trình x +7x +12 = Giải phương trình ta x = -3 ; x = - cặp số x, y cần tìm (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- ; - 3) ; ( -3 ; -4) ) Loại tốn tìm biểu thức liên hệ tổng tích nghiệm khơng phụ thuộc tham số : Bài tập 11 : Cho phương trình x - ax + a - = có nghiệm x1 , x2 3x12 3x22 a) Không giải phương trình tính giá trị biểu thức M x1 x2 x22 x1 b) Tìm a để tổng bình phương nghiệm số đạt GTNN ? Giải 3( x12 x22 1) ( x1 x2 ) x1 x2 1 a) M x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) Theo hệ thức Vi ét có S x1 x2 a; P x1.x2 a Vậy M a 2( a 1) 1 a( a 1) (a 1)( a 1) 2( a 1) 3(a 1) 3(a 1)2 3(a 1) a (a 1) a (a 1) a b) Ta có S x1 x2 a P x1.x2 a a (a 1) (ĐK : a 0, a ) (1) (2) Trừ vế (1) cho (2) ta có x1 x2 x1 x2 , biểu thức liên hệ x x không phụ thuộc vào a C) Các tập tương tự Bài tập : Khơng giải phương trình cho biết dấu nghiệm ? a) x - 6x +8 = b) 11 x +13x -24 =0 c) x - 6x + = Bài tập : Chứng minh với giá trị k , phương trình a) x + kx -23 = có nghiệm trái dấu b) 12 x +70x + k +1 = có nghiệm trái dấu c) x - ( k +1)x + k = có nghiệm Bài tập : Giải phương trình sau cách nhẩm nhanh a) mx - 2(m +1)x + m + = b) (m -1) x + 3m + 2m + = c) (1 – 2m) x + (2m +1)x -2 = Bài tập : Cho phương trình x - 2m + m - = a) Tìm m để phương trình có nghiệm đối Tính nghiệm b) Định m để phương trình có nghiệm thực dương Bài tập : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) (2,5 đ) Cho phương trình x - mx +1 = ( m tham số ) a) Giải phương trình m = b) Với m = , giả sử phương trình cho có nghiệm x1 , x2 Khơng giải phương trình , tính giá trị biểu thức A x12 x1 x x 22 x1 x 23 x13 x Hướng dẫn giải: a) Với m = phương trình trở thành x -5x +1 = = 21 , phương trình có nghiệm phân biệt x1 21 (5 21) , x2 2 b)Với m = , ta có phương trình bậc hai : x x Theo hệ thức Vi ét : S x1 x2 P x1.x2 A x12 x1 x x 22 x1 x 23 x13 x 3( x12 x1 x x 22 ) x1 x x1 x ( x12 x 22 x1 x ) x1 x 3( x1 x ) x1 x x1 x ( x1 x ) x1 x Thay S P vào A ta : A 14 Bài tập :( đề thi học sinh giỏi lớp thị xã Hà Đông , Hà Tây 2003 2004) (4đ) Cho phương trình bậc ẩn x : x 2( m 1) x m 3m (1) a) Chứng minh phương trình có nghiệm m 1 b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình , chứng minh x1 x x1 x 8 Hướng dẫn giải: , 2 a) Phương trình (1) có nghiệm (m 1) (2m 3m 1) m m m( m 1) m m m 1 c) Khi m , theo hệ thức Vi ét có S x1 x 2( m 1) P x1 x m m Q x1 x2 x1 x2 2( m 1) m 3m m m m2 m 1 (m ) 2 16 Vì m 1 m (m )2 4 4 16 (m ) 0 16 9 Q ( m ) 2( m ) 16 2 9 Vì 2( m ) 2( m ) 2( m ) Q 4 8 Bài tập : ( đề thi TS lớp 10 Hải Dương 2003 – 2004 ) (1đ) Cho phương trình : x x Tính x1 x2 x2 x1 (Với x , x nghiệm phương trình) Hướng dẫn giải: Theo định lý Vi ét ta có x1 x Ta có A x1 x x x1 ; x1 x 2 x1 x ( x1 Nếu S x1 x S x1 x2 x1 x2 Do A = x1 x2 x2 x1 x x2 ) 2S 52 2 x1 52 2 52 Bài tập : (đề thi học sinh giỏi lớp - TP Hồ Chí Minh 2003- 2004) (4đ) 2 a) Xác định m để phương trình x 2mx m có nghiệm phân biệt b) Gọi nghiệm x , x , Tìm GTNN biểu thức A x1 x x1 x Hướng dẫn giải: a) , m 2( m 2) m Phương trình có nghiệm m m 2 m 2 m2 b)Theo định lý Vi ét có x1 x m ; x1 x Do ta có A x1 x2 x1 x2 (m 2)( m 3) Vì m 2; nên (m + 2)(m - 3) 25 25 Khi A ( m 2)(3 m ) m m ( m ) 4 Vậy GTNN A 25 m = Bài tập : (đề thi TS lớp 10 chuyên toán THPT khiếu Trần Phú) (2,5đ) 1) Chứng tỏ phương trình x x có nghiệm phân biệt x , x2 Lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 x22 2) Tìm mđể phương trình x 2mx 2m có hai nghiệm dấu Khi hai nghiệm dấu âm hay dấu dương ? Hướng dẫn giải: , 1) nên phương trình có nghiệm phân biệt S x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 42 2.1 14 P x12 x22 ( x1 x2 )2 phương trình cần tìm x - 14x +1 = 2) Phương trình có nghiệm dấu ( m 1) , m 2m m x1 x m m Khi x1 x m Suy phương trình có nghiệm dương Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006) Xét phương trình mx (2 m 1) x m vói m tham số a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thoả mãn x12 x22 x1 x2 b) Chứng minh m tích hai số tự nhiên liên tiếp phương trình có nghiệm hữu tỉ III) Phương pháp tiến hành Trong học khố tơi lồng ghép tập lời giải mẫu, sở giải theo phương pháp để học sinh hình thành kỹ giải loại toán Cho học sinh thực hành tập tương tự lớp Đặc biệt , luyện tập , ôn tập chương giáo viên tiếp tục cho học sinh giải tập nâng cao , làm thử đề thi tuyển sinh chuyên chọn Qua học sinh thấy tầm quan trọng loại toán , tự rèn luyện tạo kỹ cho Bằng rèn luyện thực hành giải tập , học sinh cách giải tập phức tạp Các em nâng cao kiến thức , hình thành kỹ phản xạ gặp toán tương tự IV) Phạm vi , đối tượng nghiên cứu Học sinh khối lớp trường THPT Hòn Gai V) Tổng kết rút kinh nghiệm Qua áp dụng vấn đề nêu vào giảng dạy khối lớp , kết thu học sinh hình thành , định hướng cách giải loại toán Bằng phương pháp gợi mở nêu vấn đề , câu hỏi dẫn dắt , em tự phát hướng giải cho tập Giáo viên tạo hứng thú , phát triển trí thơng minh sáng tạo cho học sinh Các tài liệutham khảo giảng dạy loại toán cần áp ét dụng hệ thức Vi 1) SGK sách giáo viên lớp cải cách 2) “ Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 9” Bùi Văn Tuyên 3) Báo toán học tuổi thơ 2” Bộ Giáo Dục 4) Các đề thi TS thi chuyên chọn hàng năm tỉnh toàn quốc 5) Bài tập nâng cao Đại số 9” Vũ Hữu Bình
Ngày đăng: 03/09/2023, 11:18
Xem thêm: