góc – cung lượng giác công thức lượng giác

Dấu của các giá trị lượng giác 3 32 1 12 CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cosin O... VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá tr

I Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác

sintan

coscot

 sin( k2 ) sin    tan(k) tan 

cos(k2 ) cos   cot(k) cot 

2 Dấu của các giá trị lượng giác

3

32

1

12

CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

cosin O

5 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

cos( ) cos   sin( ) sin  sin cos

sin(a b ) sin cos a b sin cosb a

sin(a b ) sin cos a b sin cosb a

cos(a b ) cos cos a b  sin sina b

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

tan tantan( )

2 Công thức nhân đôi

sin 2 2sin cos 

cos2 cos  sin  2 cos 1 1 2sin  

tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)

2 2 2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

3 2

sin3 3sin 4sincos3 4 cos 3cos

3tan tantan3

3 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos cos

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác

Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.

Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin 50 cos( 300 )0  0 b) B = sin 215 tan0 21

Bài 4. Cho tam giác ABC Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sinAsinBsinC b) B = sin sin sinA B C

c) C = cos cos cosA B C

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.

I Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại

1 Cho biết sin, tính cos, tan, cot

 Từ sin2cos2   1 cos  1 sin 2 .

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos  1 sin 2 – Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos  1 sin 2 .

2 Cho biết cos, tính sin, tan, cot

 Từ sin2cos2   1 sin  1 cos 2 .

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin  1 cos 2 – Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin  1 cos 2 .

3 Cho biết tan, tính sin, cos, cot

 Tính sin tan cos  .

4 Cho biết cot, tính sin, cos, tan

II Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức

 Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.

 Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết

III Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG

Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

A2B2 (A B )2 2AB A4B4 (A2B2 2)  2A B2 2

A3B3 (A B A )( 2 AB B 2) A3 B3(A B A )( 2AB B 2)

IV Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

 Đặt tsin , 02x    t 1 cos2x t  Thế vào giả thiết, tìm được t

Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.

 Thiết lập phương trình bậc hai: t2 St P  với 0 S x y P xy  ;  Từ đó tìm x, y.

Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

a) cosa 4, 2700 a 3600

5

25

sin 2sin cos 2 cos cot 3

2sin 3sin cos 4cos

ĐS: 2347

  Tính giá trị các biểu thức sau:

a) Asin cosa a b) Bsina cosa c) Csin3a cos3a

ĐS: a) 9

74

128



Bài 4. Cho tana cota3 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) Atan2acot2a b) Btanacota c) Ctan4a cot4a

  Tính sin , cos , tan , cot x x x x

b) Cho tanxcotx4 Tính sin , cos , tan , cot x x x x

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết

Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).

Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:

a) 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 25500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0b) 9 ; 11 ; 7 ; 13 ; 5 ;10 ; 5 ; 11 ; 16 ;13 ; 29 ; 31

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) A cos x cos(2 x) cos(3 x)

c) Ccos200cos400cos600 cos160 0cos1800 ĐS: C1

d) Dcos 102 0cos 202 0cos 302 0 cos 180 2 0 ĐS: D 9

e) Esin 200sin 400sin600 sin340 0sin3600 ĐS: E 0

f) 2sin(7900x) cos(1260 0 x) tan(630 0x).tan(12600 x) ĐS: F 1 cosx

Bài 4.

a)

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác

Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.

Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:

A B C   và A B C



Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4x cos4x  1 2 cos2x

b) sin4xcos4x  1 2 cos sin2x 2x

c) sin6xcos6x  1 3sin cos2x 2x

d) sin8xcos8x  1 4sin cos2x 2x2sin cos4x 4x

e) cot2x cos2x cos cot2x 2x

f) tan2x sin2x tan sin2x 2x

g) 1 sin xcosxtanx  (1 cos )(1 tan )x  x

h) sin tan2x xcos cot2x x2sin cosx x tanxcotx

sin cos 1 2 cos

sin cos cos sin 1 cot

1 cos 1 (1 cos ) 2 cot

tan .1 cot 1 tan

tan tan sin sin

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) (1 sin )cot 2x 2x 1 cot2x b) (tanxcot )x 2 (tanx cot )x 2

2 2 2

2 2 2

cos cos cot

sin sin tan

Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

a) 3(sin4xcos ) 2(sin4x  6xcos )6x ĐS: 1

b) 3(sin8x cos ) 4(cos8x  6x 2sin ) 6sin6x  4x ĐS: 1

c) (sin4xcos4x 1)(tan2xcot2x2) ĐS: –2

d) cos cot2x 2x3cos2x cot2x2sin2x ĐS: 2

Bài 6. Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinBsin(A C ) b) cos(A B ) cosC

sin(a b ) sin cos a b sin cosb a

sin(a b ) sin cos a b sin cosb a

cos(a b ) cos cos a b  sin sina b

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

tan tantan( )

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) tan khisin 3,

    và tan tana b  3 2 2 Từ đó

suy ra a, b ĐS: 2 2 2 ; tana tanb 2 1, a b

8



Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:

a) A = sin 202 osin 1002 osin 1402 o ĐS: 3

2b) B = cos 102 ocos110ocos 1302 o ĐS: 3

2c) C = tan 20 tan80o otan80 tan140o otan140 tan 20o o ĐS: –3

d) D = tan10 tan70o otan70 tan130o otan130 tan190o o ĐS: –3

e) E = cot 225o ocot 79 cot 71o o o

Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin(x y ).sin(x y ) sin 2x sin2y

2sin( )tan tan

1 tan 2 tan







Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:

a) 2 tanatan(a b khi ) sinbsin a cos a b(  )

b) 2tanatan(a b khi ) 3sinbsin(2a b )

c) tan tana b 1 khi cos(a b) 2cos(a b)

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a

c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b

Bài 6. Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinC sin cosA Bsin cosB A

sin tan tan ( , 90 )

c) tanAtanBtanCtan tan tan ( , ,A B C A B C90 )0

d) cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1

e) tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1

Bài 7. Cho tam giác A, B, C Chứng minh:

a) tanAtanBtanC 3 3,ABC nhọn

b) tan2Atan2Btan2C 9, ABC nhọn

c) tan6Atan6Btan6C81,ABC nhọn

d) tan2 A tan2 B tan2C 1

sin 2 2sin cos 

cos2 cos  sin  2 cos  1 1 2sin  

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)

2 2 2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

3 2

sin3 3sin 4sincos3 4 cos 3cos

3tan tantan3

Bài 6. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) cos2 , sin2 , tan 2 khi cos 5 , 3



b) cos2 , sin 2 , tan 2   khi tan 2

c) sin , cos khi sin 2 4, 3

Bài 7. Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A cos20 cos40 cos60 cos80 o o o o ĐS: 1

16

8c) C cos cos4 cos5

16f) G cos2 cos4 cos8 cos16 cos32

32h) H sin 5 sin15 sin25 sin75 sin85 o o o o o ĐS: 2

512i) I cos10 cos20 cos30 cos70 cos800 0 0 0 0 ĐS: 3

256k) K 96 3 sin cos cos cos cos

2

Bài 9. Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin cos4 4x 3 1cos4x

1 tan tan 2





l) tanx cotx 2 cotx m) x x

x

2cot tan

VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi

1 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos cos

1cos cos cos( ) cos( )

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

Bài 1. Biến đổi thành tổng:

a) 2sin(a b ).cos(a b ) b) 2 cos(a b ).cos(a b )

c) 4sin3 sin2 cosx x x d) 4sin13x.cos cosx x

e) sin(x30 ).cos(o x 30 )o f) sin sin2

g) 2sin sin 2 sin3 x x x h) 8cos sin 2 sin3x x x

i) sin x sin x cos2x

A sin10 sin 50 sin70 B cos10 cos50 cos70 o o o

Csin 20 sin 40 sin800 0 0 Dcos20 cos40 cos800 0 0

Bài 3. Biến đổi thành tích:

c) 1 3tan 2x d) sin 2xsin 4xsin 6x

e) 3 4cos4 xcos8x f) sin 5xsin 6xsin 7xsin8x

g) 1 sin 2 –cos2 –tan 2 x x x h) sin (2 x90 ) 3cos (o  2 x 90 )o

i) cos5xcos8xcos9xcos12x k) cosxsinx1

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

cos7 cos8 cos9 cos10

sin 7 sin8 sin 9 sin10

Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin sin7 sin13 sin19 sin25

ĐS: 132b) 16.sin10 sin30 sin50 sin70 sin90o o o o o ĐS: 1

c) cos24ocos48o cos84o cos12o ĐS: 1

2d) cos2 cos4 cos6

2f) cos cos5 cos7

a) tan 9o tan27o tan63otan81o 4

b) tan 20o tan 40otan80o 3 3

c) tan10o tan 50otan 60otan 70o 2 3

d) tan30o tan 40o tan 50o tan 60o 8 3.cos20o

3

e) tan 20otan 40otan80otan 60o 8sin 40o

f) tan 206 o 33tan 204 o27tan 202 o 3 0





a) Chứng minh rằng: sin3x 1(3sinx sin3 ) (1)x

x

sin .

2 sin2

Bài 14.Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cotx tanx 2tan 2x 4 cot 4x b) x x

cos4 sin 2 cos2



e) tan 6x tan 4x tan 2x tan 2 tan 4 tan 6x x x



b) Cho tan(a b ) 3tan a Chứng minh: sin(2a2 ) sin2b  a 2sin 2b

Bài 16.Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinA sinB sinC 4 cos cos cosA B C

c) sin2Asin 2Bsin2C 4sin sin sinA B C

d) cos2Acos2Bcos2C  1 4cos cos cosA B C

e) cos2Acos2Bcos2C  1 2 cos cos cosA B C

f) sin2Asin2Bsin2C  2 2cos cos cosA B C

Bài 17.Tìm các gĩc của tam giác ABC, biết:

a) B C vàsin sinB C 1

Bài 18.Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuơng:

a) cos2Acos2Bcos2C 1 b) tan 2Atan 2Btan2C0

cos cos sin sin d)

B a c b

cot2





Bài 19.Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:

a) atanA btanB (a b)tanA B

c) tanAtanBtanC3 3 (với A, B, C nhọn)

d) cos cos cosA B C 1

8

 HD: Biến đổi cos cos cosA B C 1

8

 về dạng hằng đẳng thức.

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG VI

Bài 11.Chứng minh các đẳng thức sau:

cos sin sin

1 cos 1 cos 4 cot

1 cos 1 cos sin

3cos cos 1 cot

Bài 12.Chứng minh các biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x:

a) 3(sin4xcos ) 2(sin4x  6xcos )6x

c) cos x cos x cos x cos x 3

sin2 sin 4 sin8 sin16   .

Bài 14.a) Chứng minh: tan cot  2 cot 2

2



Bài 19.Đơn giản các biểu thức sau:

a) A tan3 tan17 tan23 tan37 tan 43 tan 57 tan 63 tan 77 tan83 o o o o o o o o o

b) B cos2 cos4 cos6 cos8

e) tan30o tan 40o tan 50o tan 60o 8 3cos20o

g) tan 20otan 40o 3.tan20 tan 40o o  3

h) cos cos3 cos9 1

Bài 24.Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:

a) sin18 , cos180 0 b) Acos 18 sin 362 0 2 0 cos36 sin180 0

a) Nếu cos(a b ) 0 thì sin(a2 ) sinb  a

b) Nếu sin(2a b ) 3sin b thì tan(a b ) 2 tan a

Bài 26.Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

a) bcosB c cosC a cos(B C ) b) S2 sin sin sinR2 A B C

c) S R a2  ( cosA b cosB c cos )C d) r 4 sin sin sinR A B C



Bài 27.Chứng minh rằng:

sin sinsin

1 Góc và cung lượng giác:

* Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R và có số đo bằng 3600

* Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài

* Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.

* Cung có số đo bằng a0 ứng với  radian công thức đổi đơn vị là:





0

0180

a

* Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R. y

* Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này

là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z

Ox đến Oy

*.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x

Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một

chiều làm chiều dương (+)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròntâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiềungược kim đồng hồ

* Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là cung

vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ

A đến C

* Số đo của góc và cung lượng giác:

sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) =  + k2

sđAM = a0 + k3600 hoặc sđAM =  + k2

+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:

sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz)

+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn

xác định khi    k

sin = tancos, cos = cotsin, tancot = 1, sin2 + cos2 + 1

.sin

1cot

1,cos

1tan

2 2

3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:

* Cung đối nhau: -  và :

cos(-) = cos, sin(-) = - sin, tan(-) = - tan, cot(-) = - cot

cos( + ) = coscos – sinsin, sin( + ) = sincos + cossin.

cos(– ) = coscos + sinsin, sin(– ) = sincos – cossin

tan( + ) = 1tan tantantan , tan(– ) = 1tantan tantan

* Công thức nhân đôi:

cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 – 2sin2;

tan1

tan22

; 2

2 cos 1 cos

; 2 sin 2

* Công thức biến đổi tích thành tổng:

2

1 cos sin

; ) cos(

) cos(

2

sin 2 sin

2

sin 2 cos

; 2 3



c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b)

2 Xác định điểm cuối M của cung lượng giác  biết cos  0,5 Tìm miền giátrị của sin, tan và cot

3 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x;b) sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x;

x;

tan tanx) - 2x tanx)(sin -

(tan2x d)

; cosx 1

sinx sinx

2cos4x 6

x cot

x tang) x;

tanxsin

x sin-

x cos

xcos

x cosxsin

4 2

2

4 2

h) tan2x – sin2x = tan2xsin2x;

3

2 cos 3 2x cos - 6

x cos 3

x 2cos

1cosx cos2x

cos3x C

; tanx)x(1

coscotx)x(1

sinB

;sinx

1-

cosx-1cosx1

E

; xsin

cosx)-(11sinx

cosx1

cos2a a

cos

sin4a sin3a

sin2a sina

)-)sin(asin(a

)cos(-1882520

sin2tan368

1

0 0

cosx 1



5 Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + + sinna;

S2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + + cosna

6 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:

A = cos2x + cos2(x + a) – 2cosxcosacos(x + a);

B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x;

3

3

x cos 6

x cos 4

x cos 3

x sinE

; x-3

2cos3

2

x cos

x

cos

8 8

2 2

2

x x

y sin -

x cos

2 2

2 2

3 cos 7 cos

0   tính sin2a, sin4a Tìm điều kiện của m

d) Cho sina + cosa = m với - 2  m  2 Tính sin2a, sina, cosa

9 Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:

24

11 sin 24

7 sin 24

5 sin 24 sin B

; 12

5 cos

12

11

sin

C = cos100.cos500.cos700; D = cos200.cos400.cos800

E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400

12

5 tan 12 tan



H = tan90 – tan270 – tan630 + tan810; I = cos100cos200cos300 cos800

; 7

3 cos 7

2 cos

5 sin 12

7 sin 12

5 cos

10 Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:

ACtan2

A-Ctanac

a-c

;2

CBtan2

C-Btancb

c-b

;2

B

A tan

2

B-

A tan

c)bsin(a 

a2a.tan

tan

-1

a tan

-2a

tan

2 2

2 2

bacoscos

b)-b)sin(asin(a

b tan-a tan



cos4x 4

1 4

3

x cos

x sin f)

; sina cosa

sina - cosa sin2a

1

cos2a e)

0;

2

3 - cos4x 2

1 - 2cos2x

3 sin80

.sin40 sin20

h) 0;

9

7 cos 9

5 cos 9 cos

2 2y

x  

13 CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;

b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana

14 CMR: trong mọi ABC ta đều có:

2

C cos 2

B cos 2

A 4cos

; 2

C sin 2

B sin 2

A 4sin 1

cosC cosB

cosA

c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;

d) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC;

e) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC;

f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C)

2

C cot 2

B cot 2

A cot 2

C cot 2

B cot

A cot c) - (b 2

C cot

B sin 2

A 4Rsin

C tan 2

C tan 2

B tan 2

B tan

C.cos2

B

cos

2

Ap.sin

b-a

2 2

2

C tan 2

B tan 2

A p.tan

r

;2

Asin

2

C.sin2

B cos 2

A 4cos

p R

B sin 2

A sin 4R

r )

cosC;

cosB cosA